[미분방정식] 13편. '오일러공식' 을 이용한 방법 (비제차, 미정계수법)

[@bosstudyroom]

[02:54] 에 대한 보충설명 :
영상에서 설명드린 오일러공식을 참고하면 알 수 있습니다
즉, e의 지수함수인 e^x를 exp(x)라고 표현한다면
'임의의 복소수'는 r*exp(ix) 로 표현할 수 있습니다 (r은 진폭 정도로 이해하셔도 좋습니다)
이때 영상에서의 기법은, '미분 연산자와 Im[ ]의 교환법칙이 성립하느냐'의 문제와 같게 됩니다
왜냐하면, 아무리 미분방정식이 '등호' 로서 연결되어 있다 하더라도
'좌변 전체적으로 허수부나 실수부를 취한 것'이, '각각을 취해준 것과 같은지'는 충분히 헷갈릴 수 있는 문제이죠
자세한 설명을 해보자면, 미분 연산자는 '선형성'을 가지며
덧셈에 대해 분리 가능 및
상수는 밖으로 빼서 곱셈이 가능합니다
따라서, 미분기호를 ' (프라임) 으로 표시하면,
(r*exp(i*x))' = (r*cosx + r*i*sinx)'
= (r*cosx)' + (i*r*sinx)'
= (r*cosx)' + i*(r*sinx)'
= (Re[r*exp(i*x)])' + i*(Im[r*exp(i*x)])'
이때, 위의 식은 ' 미분을 몇번 하느냐와 무관하게'
' 미분기호의 선형성 만으로 ' 유도가 가능한 부분이기 때문에
설명드린 부분에 대한 답이 yes로 확정됩니다
간단한 계산을 통해 확인을 해보면
우선 미분을 먼저하고 허수부를 취해보면
: r*i*exp(ix) = r*i*(cosx+i*sinx)
= r*i*cosx - r*sinx 가 되고
이의 허수부는 r*cosx 입니다
이번에는 허수부를 먼저 취하고 미분을 행한다면, 우선 r*exp(ix)의 허수부는 r*sinx 이므로 그를 미분하면
: r*cosx 입니다
즉, 이러한 예를 통해서도 둘의 교환이 문제없이 가능함을 알 수 있어요 :)

[@chance_attack]

감사합니다 교수님이 설명하시긴 했는데 왜 갑자기 튀어나오는지 몰랐는데 한번에 이해가가네요

[@ericcire977]

감사합니다 잘 봤습니다 ㅎㅎ

[@bosstudyroom]

댓글 감사드려요 ^^

[@Haan_0518]

오 오랜만에 미분방정식 영상이 올라왔네요! 혹시 향후에 베셀 방정식이나 르장드르 방정식을 다룬 영상을 찍으실 계획이 있으신가요??

[@bosstudyroom]

네^^그러한 상미분방정식들의 급수해는 편미분방정식에도 필요한부분이라, 계획은 분명 있습니다 :)
안그래도 편미분방정식이 이공계에서는 필수적인 개념이라서.. 부지런히 제작해보도록 해야겠어요! ㅎ

[@chance_attack]

하나 궁금한게 있는데 만약 2:16에서 y"+4y=3cos2x 라면 yp = Re[Yp]로 둬야하는건가요?

[@bosstudyroom]

늦게 답변드려서 죄송합니다 ㅜ
가끔 많이 바쁜 날에 몇몇 분들의 댓글을 놓친적이 있었던 것 같은데, 1년이 지나서 답변 드리게 되었네요
네, 말씀하신 부분이 맞습니다
이유는 아래의 댓글 내용 때문이며,
이는 제 고정댓글과 같습니다 :
[영상에서 설명드린 오일러공식을 참고하면 알 수 있습니다
즉, e의 지수함수인 e^x를 exp(x)라고 표현한다면
'임의의 복소수'는 r*exp(ix) 로 표현할 수 있습니다 (r은 진폭 정도로 이해하셔도 좋습니다)
이때 영상에서의 기법은, '미분 연산자와 Im[ ]의 교환법칙이 성립하느냐'의 문제와 같게 됩니다
왜냐하면, 아무리 미분방정식이 '등호' 로서 연결되어 있다 하더라도
'좌변 전체적으로 허수부나 실수부를 취한 것'이, '각각을 취해준 것과 같은지'는 충분히 헷갈릴 수 있는 문제이죠
자세한 설명을 해보자면, 미분 연산자는 '선형성'을 가지며
덧셈에 대해 분리 가능 및
상수는 밖으로 빼서 곱셈이 가능합니다
따라서, 미분기호를 ' (프라임) 으로 표시하면,
(r*exp(i*x))' = (r*cosx + r*i*sinx)'
= (r*cosx)' + (i*r*sinx)'
= (r*cosx)' + i*(r*sinx)'
= (Re[r*exp(i*x)])' + i*(Im[r*exp(i*x)])'
이때, 위의 식은 ' 미분을 몇번 하느냐와 무관하게'
' 미분기호의 선형성 만으로 ' 유도가 가능한 부분이기 때문에
질문하신 부분에 대한 답이 yes로 설명됩니다
간단한 계산을 통해 확인을 해보면
우선 미분을 먼저하고 허수부를 취해보면
: r*i*exp(ix) = r*i*(cosx+i*sinx)
= r*i*cosx - r*sinx 가 되고
이의 허수부는 r*cosx 입니다
이번에는 허수부를 먼저 취하고 미분을 행한다면, 우선 r*exp(ix)의 허수부는 r*sinx 이므로 그를 미분하면
: r*cosx 입니다
즉, 이러한 예를 통해서도 둘의 교환이 문제없이 가능함을 알 수 있어요 :)
]

[@hxgfcvjbjkn]

3:04 어떻게 첫째 식의 해를 두번째 식에서 구한 해의 허수부와 같나요? 여기서 방정식의 선형 유무와 중첩의 원리가 어떤 관계이죠? (2:54에 나와서 물어봅니다)

[@bosstudyroom]

1년이 지난 후에야 답변드려 죄송합니다
제가 많이 바쁜 날에는 몇몇 댓글을 놓치곤 하는데, 아마 댓글을 확인하지 못한 것 같아요ㅜ
많은 분들이 보실 수 있도록 고정댓글에 답변을 드려서, 아래에도 붙여드립니다 :
[
영상에서 설명드린 오일러공식을 참고하면 알 수 있습니다
즉, e의 지수함수인 e^x를 exp(x)라고 표현한다면
'임의의 복소수'는 r*exp(ix) 로 표현할 수 있습니다 (r은 진폭 정도로 이해하셔도 좋습니다)
이때 영상에서의 기법은, '미분 연산자와 Im[ ]의 교환법칙이 성립하느냐'의 문제와 같게 됩니다
왜냐하면, 아무리 미분방정식이 '등호' 로서 연결되어 있다 하더라도
'좌변 전체적으로 허수부나 실수부를 취한 것'이, '각각을 취해준 것과 같은지'는 충분히 헷갈릴 수 있는 문제이죠
자세한 설명을 해보자면, 미분 연산자는 '선형성'을 가지며
덧셈에 대해 분리 가능 및
상수는 밖으로 빼서 곱셈이 가능합니다
따라서, 미분기호를 ' (프라임) 으로 표시하면,
(r*exp(i*x))' = (r*cosx + r*i*sinx)'
= (r*cosx)' + (i*r*sinx)'
= (r*cosx)' + i*(r*sinx)'
= (Re[r*exp(i*x)])' + i*(Im[r*exp(i*x)])'
이때, 위의 식은 ' 미분을 몇번 하느냐와 무관하게'
' 미분기호의 선형성 만으로 ' 유도가 가능한 부분이기 때문에
질문하신 부분에 대한 답이 yes로 설명됩니다
간단한 계산을 통해 확인을 해보면
우선 미분을 먼저하고 허수부를 취해보면
: r*i*exp(ix) = r*i*(cosx+i*sinx)
= r*i*cosx - r*sinx 가 되고
이의 허수부는 r*cosx 입니다
이번에는 허수부를 먼저 취하고 미분을 행한다면, 우선 r*exp(ix)의 허수부는 r*sinx 이므로 그를 미분하면
: r*cosx 입니다
즉, 이러한 예를 통해서도 둘의 교환이 문제없이 가능함을 알 수 있어요 :)
]

[@이민우-g3b]

sin2x의 허수부가 e^i(2x)인건가요? 제가 알던 sinx의 복소수꼴은 (e^(ix)-e^(-ix))/2i인데 왜 저런 모양으로 표현되는지 궁금합니다

[@bosstudyroom]

'오일러공식'을 이용한 것입니다.
e^ix = cosx + isinx
허수부란 i옆에 곱해져 있는 실수를 말하는 것이므로, e^i2x의 허수부가 sin2x입니다.

[@이민우-g3b]

@@bosstudyroom 아 삼각함수를 복소수로 나타낸게 아니라 반대로 먼저 e^(ix)꼴로 나타내고 우변이 뭔지 보고 im[ ] 인지 re[ ]인지 결정하는 건가요?

[@bosstudyroom]

넵, 그렇게 하는 이유는
(예를 들어 원래는 비제차항에 cos항이 있는 경우라면) 복소수꼴로 바꾼 후
그 미분방정식의 해가 복소수꼴로 나오면, 해의 실수부만 취해주려는 것입니다.