안녕하세요 15:56 에서 합규칙 rx에 의해 x + e^x 에서 x는 놔두고 e^x만 겹치지않기위해 x^2 을 곱하셨는데 왜 37:59 에서는 e^x를 각항에 곱해줘서 풀어줬을때 ax^2e^x은 y1 y2와 겹치지 않는데 전체에 x^2을 곱하는지 궁금합니다 전개해서 bxe^x엔 x , ce^x엔 x^2을 곱해주어야하는거 아닌가요? 앞선 15:56에서는 ax+b는 놔두고 e^x에만 x^2을 곱했듯이요!
빼기는 더하기랑 동급입니다. 1-2를 1+(-2)로 해석하는것 처럼 말이죠. 그래서 합규칙이 적용됩과 동시에 어차피 같은 cosx, sinx이므로 Acosx+Bsinx 입니다. 앞에 계수는 상관없이 cosx나 sinx가 있으면 Acosx+Bsinx 인데 합규칙에 의해서 A cosx +B sinx + C cosx + Dsinx 로 본다면 (A+C) cosx + (B+D) sinx 여기서 A+C 를 또 다른 상수 A로 보고 B+D를 또 다른 상수 B로 본다면 Acosx+Bsinx 가 됩니다.
적분상수는 적분을 수행했을때만 등장합니다. 미정계수법을 이용하여 비제차해 yp를 구하는 경우 적분과정이 없기 때문에 별도의 적분상수가 등장하지 않습니다. 매개변수법을 이용하여 비제차해 yp를 구하는 경우 공식에 적분 과정이 있기 때문에 적분상수가 있어야 한다고 생각할 수 있는데, 적분상수가 있다고 하더라도 제차해의 c1 y1 + c2 y2와 통합되어 결국 의미가 없습니다. 따라서 매개변수법 적분 과정에서 적분상수는 0으로 보면 됩니다. 이것과 관련된 설명은 15강에서 합니다.
교수님, 질문이 있어 댓글 남깁니다. r(x) = e^x(cos x -3sin x)이고, 제가 구한 제차해 yh = e^x(c1cosx + c2sinx)가 나왔습니다. e^x sinx, e^x cos x 모두 론스키안 값이 0 이므로, dependent한 해라고 판단하여, yp=xe^x(Acosx + Bsinx)라고 생각하였습니다. 하지만 답지에서는 e^2x(Acosx + Bsinx)로 나와있더군요. 저는 x를 곱하였는데 왜 답지에는 e^x를 곱하였는지 궁금합니다. 항상 잘 보고 배우고있습니다. 진심으로 감사드립니다.
만약 질문자님의 말씀대로 하면 yp' = A cos(2x) ... 이렇게 본다는것인데 우리는 초기조건 두 개를 대입해서 연립해서 풀것입니다. 그런데 첫번째 식에서의 A와 두 번째 식에서의 A가 다르기 때문에 연립이 안되겠죠. 마치 연립방정식이 있는데 미지수가 3개가 되버린 형태입니다. 따라서 연립방정식 푸실때는 치환하시면 안됩니다.
핵심은 독립 (Wronskian 값이 항상 0이 아니다) 입니다. 변형규칙 적용시점은 yh의 제차해 중 하나가 yp와 독립일때이며 저번 강의에서 임의의 함수 y1, y2가 서로 독립이려면 W(y1, y2)이 0이 아니여야 합니다. e^x 와 e^x cosx 의 론스키안을 구해보시면 항상 0이 아니므로 서로 독립관계입니다. 그래서 변형규칙을 적용해주면 안되는거죠. 변형규칙은 서로 종속관계일때만 적용해주는것입니다. "겹친다"라는 표현보다는 W(y1, y2) is not zero 와 같은 정확한 표현이 적용되어야 하겠네요. 좋은 질문입니다.
그렇게 하셔도 되고 따로따로 보셔도 됩니다. r=r1+r2 r1=tanx r2=3x-1 로 보신다음 각각을 대입한 후 구한 yp1, yp2를 더하시면 최종 비제차해 yp가 됩니다. 문제에 따라 다르겠지만 어차피 tanx 구할 때 매개변수법 사용하는거 3x-1도 tanx와 같이 더해서 매개변수법 공식에 대입하는게 좋을것 같네요.
항상 좋은 강의 감사합니다. 강의 풀이 중에 마지막 연습문제 299번이 yp= (1/2)(e^-x)sinx라고 구하셨는데 답 확인하실 때는 (1/2)(e^-x)cosx를 보고 답이 맞다고 말씀하셔서 둘 중 어느 것이 답인지 혼동됩니다. 저도 풀었을 때 선생님 풀이처럼 나왔는데 강의 중에 선생님께서 잠깐 잘못 보시고 답이 맞다고 말씀하신 것인가 유추해봅니다. 교재에는 아직도 (1/2)(e^-x)cosx라고 되어있는 것 같습니다. 답이 (1/2)(e^-x)sinx가 맞다면 교재 답의 cos만 sin으로 수정해주시면 많은 학생들이 혼동을 겪을 일이 없을 것 같습니다.
![공학수학(1) [15강] 2계ODE - 매개변수법 (비제차 상수계수) (2023년 Ver.)](http://i.ytimg.com/vi/MDXctbk_t50/mqdefault.jpg)
![공학수학(1) [15강] 2계ODE - 매개변수법 (비제차 상수계수) (2023년 Ver.)](/img/tr.png)
![공학수학(1) [20강] 라플라스변환 - 기초 + 제1이동정리 (s-shift) (2023년 Ver.)](http://i.ytimg.com/vi/yO3vj5vPHZw/mqdefault.jpg)
53:13 비제차해 yp 부분은 cosx가 아닌 sinx가 맞습니다.
항상 말하지만.. 사랑합니다.. 그리고 감사합니다
싫어하던 과목인데 어느순간 재밌게 느껴지게 만들어 주셨어요. 정말 감사합니다😊
주변 사람들에게 많은 추천 부탁드립니다~
살려주셔서 감사합니다
안녕하세요
15:56 에서 합규칙 rx에 의해
x + e^x 에서 x는 놔두고 e^x만 겹치지않기위해 x^2 을 곱하셨는데
왜 37:59 에서는 e^x를 각항에 곱해줘서 풀어줬을때 ax^2e^x은 y1 y2와 겹치지 않는데 전체에 x^2을 곱하는지 궁금합니다
전개해서 bxe^x엔 x , ce^x엔 x^2을 곱해주어야하는거 아닌가요?
앞선 15:56에서는 ax+b는 놔두고 e^x에만 x^2을 곱했듯이요!
항상 좋은 강의 감사드립니다
GOAT십니다 진짜...
감사합니다 저희 교수님으로 와주세요
너무 잘가르치십니다
진짜 감사합니다..........🥹🥹🥹🥹🥹
첫번째 관문이네요 연습문제 풀이 부탁드립니다 감사합니다.
일부 업로드했습니다.
중복 판단이 어려웠는데 항을 기준으로 생각하면 되겠네요 ㅎㅎ
공학수학 역사상 최고, goat
교수님 항상 수업 잘 듣고 있습니다! 뭔가 알쏭달쏭해서 질문드립니다.
23:20 에 3단계 일반해 구하기에서 일반해=제차항y+비제차항y이기 때문에
y=y(_h)+y(_p)이후에 y_h= ~라고 되어있는데 y_h가 아니라 y(일반항)으로 표기되어야 하는 것 아닌가요?
오타네요. 질문자님이 말씀처럼 y= 으로 되어야 합니다.
방금 강의자료 수정해서 재업로드했습니다. 감사합니다.
참된 교육
연습문제 300번 질문있습니다! r(x)랑 y(p)가 e(-x/2)를 동시에 가져서 겹치기때문에 y(p)항에다 x를 곱해야 되는거 아닌가요? 그부분이 이해가 가지않아서 질문드렸습니다! 좋은공업수학강의 제공해주셔서 감사합니다.
19:47 24:37에서 왜 yh값이 사인하고 코사인이 나오는 건가요…? 람다값이 허근인데..어..제가 놓친 부분이 어디일까요..?ㅠㅠ..
아!! 알아냈어요!! 항상 좋은 강의 감사합니다!!
예제 4번에 독립여부를 판단할때 비제차항과 제차해의 독립여부로 판단하는걸로 알고 있는데...잘 이해가 안가네요... 비제차항과 제차해가 종속으로 보이진 않는데...
정말 감사합니다 선생님
안녕하세요 혹시 300번 Yh 에서 허수 계수 베타값이 pi가 나와 c1cos(pi*x) 꼴이 아닌가해서 글 남깁니다 ㅠㅠ
ㅠㅠㅠㅠ 쓰앵님 감사합니다 ㅠㅠ
강의 최고에요🥹
선생님, 302번을 계산하는데 Axe^4x + Bxe^x를 yp 큰 틀로 잡고 계산 시 A를 구할 수가 없네요 이 풀이에 문제가 있을까요? ㅠㅠ
감사합니다.
Yp와 Yh를 비교해서 변형규칙을 적용하는건가요??
질문이 있습니다 yp 의 큰틀을 잡을때 우변이 =sin 로 있으면 큰틀을 acos(wt)+asin(wt) 로 잡으라 하셨는데 제가 학교 교재를 보니까
큰틀을 asin(wt)+acos(wt)라고 나와있었습니다 어떤게 정확한가요?
A cos(wt) + B sin(wt) 입니다. cos과 sin의 계수가 달라야 합니다. 순서는 당연히 상관없죠.
@@ODE_PDE 늦은시간에 감사합니다
선생님 미정계수법 일반, 합규칙에서 y1,y2랑 yp의 조건을 따져봐야한다고 하셨었는데 마찬가지로 곱규칙에서도 변형규칙을 따져봐야 하는 거죠??
네, 곱규칙 역시 변형규칙이 적용되는지 항상 확인해보는 습관을 가지시는것이 중요합니다.
꼭 기억해두셔야 할 점이 y1, y2, yp가 언제나 서로에 대하여 독립이여야 합니다.
선생님 혹시 308번에 특성방정식의 해가, 람다= -1+_ i 가 나오는데, 해설에서는 람다 = 1+_ i라고 나오는데 문제 오류가 맞을까요?, 만약 람다가 -1+_i라면 종속이게 되어서 Yp = A x e^(-x) cos (Bx) 로 풀어야 하는게 맞나요?
말씀대로 -1+- i 가 맞습니다.
그런데 r(x)를 자세히 보시면 e^(-x) cos(2x)이여서 어차피 독립입니다.
r(x)에서의 삼각함수는 cos(2x), sin(2x)이고
yh에서의 삼각함수는 cosx, sinx 입니다.
해설 수정하였고 재업로드했습니다.
선생님 비제차상수계수 문제를 미정계수법으로 풀고 있는데요, y"+y=cosx-sinx 입니다. 여기서 yp를 잡으려면 Acosx+Bsinx+Ccosx+Dsinx로 잡아야할까요 아니면 Acosx-Bsinx+Ccosx-Dsinx로 잡아야할까요..?! 빼기로 나타나있어서 곱규칙인지 합규칙인지 모르겠습니다..!
빼기는 더하기랑 동급입니다.
1-2를 1+(-2)로 해석하는것 처럼 말이죠.
그래서 합규칙이 적용됩과 동시에 어차피 같은 cosx, sinx이므로 Acosx+Bsinx 입니다.
앞에 계수는 상관없이 cosx나 sinx가 있으면
Acosx+Bsinx 인데
합규칙에 의해서 A cosx +B sinx + C cosx + Dsinx 로 본다면
(A+C) cosx + (B+D) sinx
여기서 A+C 를 또 다른 상수 A로 보고
B+D를 또 다른 상수 B로 본다면
Acosx+Bsinx 가 됩니다.
선생님 비제차상수계수 문제에서 미정계수법으로 풀고싶은데요, r(x)=e^2x•cscx 이면 여기서 cscx는 yp에서 어떻게 나타내야될까요..?
모든 문제들이 미정계수법으로 풀리지는 않습니다. 잘 알려진 형태들에 한해서만 미정계수법으로 풀 수 있죠. 질문자님의 질문을 보면 e^(2x)/sinx 와 같이 일반적으로 보는 형태가 아니라면 매개변수법으로 푸시면 됩니다. 15강을 참조해주세요.
1페이지 기본알고리즘 표에 1단계 2단계에 q(x)뒤에 y가 안곱해져 있는건 오타지요??
네 오타입니다. q(x) y 가 되어야 합니다. 수정하였고 재업로드 했습니다. 감사합니다.
안녕하세요 선생님... 궁금한게 있는데요... 제차해 yh는 적분상수가 나오는데 비제차해 yp는 왜 적분상수가 나오지 않나요...?
적분상수는 적분을 수행했을때만 등장합니다.
미정계수법을 이용하여 비제차해 yp를 구하는 경우 적분과정이 없기 때문에 별도의 적분상수가 등장하지 않습니다.
매개변수법을 이용하여 비제차해 yp를 구하는 경우 공식에 적분 과정이 있기 때문에 적분상수가 있어야 한다고 생각할 수 있는데, 적분상수가 있다고 하더라도 제차해의 c1 y1 + c2 y2와 통합되어 결국 의미가 없습니다. 따라서 매개변수법 적분 과정에서 적분상수는 0으로 보면 됩니다. 이것과 관련된 설명은 15강에서 합니다.
교수님, 질문이 있어 댓글 남깁니다.
r(x) = e^x(cos x -3sin x)이고, 제가 구한 제차해 yh = e^x(c1cosx + c2sinx)가 나왔습니다. e^x sinx, e^x cos x 모두 론스키안 값이 0 이므로, dependent한 해라고 판단하여, yp=xe^x(Acosx + Bsinx)라고 생각하였습니다.
하지만 답지에서는 e^2x(Acosx + Bsinx)로 나와있더군요. 저는 x를 곱하였는데 왜 답지에는 e^x를 곱하였는지 궁금합니다.
항상 잘 보고 배우고있습니다. 진심으로 감사드립니다.
x를 곱하는게 맞을것 같은데 혹시 제 강의교재의 연습문제인가요? 문제 자체를 댓글로 작성부탁드립니다.
@@ODE_PDE
y'' - 2y' +2y = e^2x(cosx-3sinx)입니다.
@@ODE_PDE 교수님 강의교제의 연습문제가 아닙니다. ZILL의 공업수학 7판 교제의 수록된 예시문항입니다. 감사합니다.
r(x)는 비제차항입니다. 댓글에 적어주신 문제를 보면
r(x) = e^2x(cosx-3sinx)
지수가 x가 아닌 2x 입니다. 그래서 W연산을 하면 0이 아니여서 yh와 독립관계입니다. -> 변형규칙 적용할 필요 없음.
@@ODE_PDE 앗 제가 실수했네요. 바로잡아주셔서 감사합니다!
연습문제 337번 정답에서
(2x + (12/13)e^x) →
(2x + (12/13))e^x 로 정정해야할것 같습니다! 좋은강의 감사합니다
선생님 질문이 있습니다 예제 2번같은경우 yp= Acos(2x) ~~~인데 미분시 어차피 A가 상수니까 -2A를 A라고 하면 왜 안되는건가요??
만약 질문자님의 말씀대로 하면
yp' = A cos(2x) ... 이렇게 본다는것인데
우리는 초기조건 두 개를 대입해서 연립해서 풀것입니다.
그런데 첫번째 식에서의 A와 두 번째 식에서의 A가 다르기 때문에 연립이 안되겠죠.
마치 연립방정식이 있는데 미지수가 3개가 되버린 형태입니다.
따라서 연립방정식 푸실때는 치환하시면 안됩니다.
선형대수는 예전강의로 보면 되나요? (따로 공수(1)처럼 새롭게 리뉴얼 계획 있으신가요? ㅜㅜ)
1. 별도로 선형대수 부분은 촬영한 적이 없습니다.
2. 과거 미분방정식에서 사용하는 행렬을 소개하기 위해 행렬 개념을 간단하게 설명한 적은 있습니다.
3. 당장 리뉴얼 계획은 없습니다.
안녕하세요 질문이 있어 댓글 남겨봅니다.
r(x)가 e^(-2x) * sin(2x)이고, 제차해 yh가 e^(-2x) * (c1 + (c2)x)일 때,
저는 비제차해 yp를 다음과 같이 생각했습니다.
r(x)의 일부인 e^(-2x)가 제차해 e^(-2x) * (c1 + (c2)x) 와 겹치기 때문에
x를 두번 곱해주고 곱의 규칙까지 적용해주면 e^(-2x) * x^2 * (Acos(2x) + Bsin(2x))라고 생각했지만
답은 e^(-2x) * (Acos(2x) + Bsin(2x)) 였습니다.
예제 4번에서
r(x)가 e^x * x^2이고, 제차해 yh가 e^x * (c1 + (c2)x)일 때는 변형규칙과 곱규칙 모두 적용가능한데, 위의 문제에서는 왜 불가능한지 이유가 궁금합니다!! 론스키안을 구했을 때 종속이어서 그런건가요? 하지만 e^x * x^2와 e^x도 종속이지만 예제 4번에서는 변형규칙과 곱규칙을 모두 적용이 되었습니다. 답변 해주시면 정말정말 감사드리겠습니다!
핵심은 독립 (Wronskian 값이 항상 0이 아니다) 입니다.
변형규칙 적용시점은 yh의 제차해 중 하나가 yp와 독립일때이며 저번 강의에서
임의의 함수 y1, y2가 서로 독립이려면 W(y1, y2)이 0이 아니여야 합니다.
e^x 와 e^x cosx 의 론스키안을 구해보시면 항상 0이 아니므로 서로 독립관계입니다. 그래서 변형규칙을 적용해주면 안되는거죠. 변형규칙은 서로 종속관계일때만 적용해주는것입니다.
"겹친다"라는 표현보다는 W(y1, y2) is not zero 와 같은 정확한 표현이 적용되어야 하겠네요. 좋은 질문입니다.
10강 공식계수내림이랑 식 형태는 똑같은데 상황이 어떻게 다른건가요?? 단순히 하나의 해를 아는것과 모르는 것의 차이인가요?
질문을 좀 더 구체적으로 부탁드려요
혼자 문제풀다가 궁금한점이 있어서 질문 남깁니다. 5y'' + y' = -6x 에서 r(x)를 ax+b 로 잡았을때 제차해인 1, e^(-x/5)와 ax+b가 독립관계인줄 알고 풀었는데 x를 곱해야 문제가 풀립니다. ax+ b에서 상수항 b가 c1과 겹치기때문에 x를 곱해줘야 하는걸까요?
정확하게 말하면 1과 겹치는거죠. c1은 1 앞에 곱해져 있는 상수일 뿐이고요. 즉, 1과 ax+b의 상수항인 b가 서로 종속관계여서 x를 곱하고 yp= ax^2+bx 로 잡아야 하죠.
@@ODE_PDE 그러면 론스키안을 구할때 ax 와 b 를 따로 계산해서 b에서 종속임을 나타내는건가요?
네 맞습니다. 물론 b와 1은 둘 다 상수여서 굳이 W 연산을 할 필요는 없지만 생각하시는 방향은 맞습니다.
@@ODE_PDE 도움이 많이 되었습니다 갑사합니다!!
선생님 혹시 tan x 를 큰 틀로 잡으려면 sinx/cosx 로 보고 Acos x + Bsin x 로 잡아도 되는 걸까요?
안됩니다. 비제차항이 tanx의 경우 다음강의에서 배우는 매개변수법을 사용하시면 됩니다.
@@ODE_PDE 그러면 tan x + 3x -1 일 경우 매개변수법 공식 r부분에 tan x + 3x -1 를 다 넣으면 되는 거 맞을까요 !?
그렇게 하셔도 되고 따로따로 보셔도 됩니다.
r=r1+r2
r1=tanx
r2=3x-1
로 보신다음 각각을 대입한 후 구한 yp1, yp2를 더하시면 최종 비제차해 yp가 됩니다.
문제에 따라 다르겠지만 어차피 tanx 구할 때 매개변수법 사용하는거 3x-1도 tanx와 같이 더해서 매개변수법 공식에 대입하는게 좋을것 같네요.
300번 문제 간단하게 푸는 방법이 없을까유? 비제차해가 너무 복잡하게 나와서...
QNA 7번에서 yp2에 x를 곱해도 bx가 5x랑 겹치니까 x를 또 곱해주어야하지 않나요?
5x는 비제차항인 r(x)에서 온것이므로 상관없습니다. 우리는 r(x)에서 기반한 yp가 yh와 겹치지 않게 하는게 목적입니다.
325번 문제 yp = acoshx + bsinhx 로 하는게 맞나요? 이러면 다 소거되는거 같아서요
r(x)에 coshx 항이 있으므로 yp 형태에 x를 곱해주셔야 합니다. 변형규칙을 잊어버리시면 안됩니다.
304번도 답이 이상한것 같습니다. y(0)=-1 답에 넣으면 성립하지 않습니다.
답 수정 완료했습니다. 감사합니다.
14강부터 문제 풀이 해설 파일이 다운로드가 안 되네요..ㅠㅠ
없어서 안되는것입니다. 제작중입니다.
아 그렇군요! 답변 감사드립니다!!
풀다보면 4로 나누는 방향으로 되어서 322번 문제에서 xcos(2x) 의 계수가 -3/4이 나옵니다,, 제가 어떤 부분이 틀렸는지 모르겠습니다
추가로 331번에 특수해를 구하는 조건이 주어져 있지 않고, 답에 e^x 대신 e^2x 인지 확인 부탁드립니다 선생님 !
두 문제 모두 제가 답/문제를 잘못적었습니다. 지금은 수정했습니다. 감사합니다.
@@ODE_PDE 감사합니다 선생님 !
문제풀이 해석이 12강까지만 있는 이유를 알 수 있을까요???????
12강까지만 만들었기 때문입니다. 시간 여유가 있을때 마다 해설은 조금씩 만들고 업로드 하고 있어요.
336번도 혹시 오류가 있나요?/
문제에 오타가 있었네요.
우변에 e^(2x)입니다. 수정했습니다. 감사합니다.
303번에서 제가 풀었을떈 yp가 2x^2-1이 나와서 이걸로 계산하면 y=2cos2x+2x^2-1이 나옵니다. 확인 부탁 드립니다!
네 맞습니다. 다시 풀어보니 y=2cos2x+2x^2-1이 맞네요. 수정완료했습니다.
307번 e의 지수인1/2과 2의 부호가 반대인거 같습니다.
네 감사합니다. 수정했습니다.
306번에 y'(0)=1/2여야 답지랑 같은 답 나오는거 같습니다 추가로 문제에 y 빠져있어요!
수정했습니다. 감사합니다.
305번 답에서 c2가 계산해보니 0이 나오는데 답지에서는 -(2/3)이라고 되어있습니다 제 계산실수일 수 있습니다.
제가 실수한것입니다. 0이 맞아요. 제가 미분계산할때 e^-x 미분 시 (-)를 깜빡했네요 ㅎㅎ.
수정완료했습니다. 감사합니다.
@@ODE_PDE 감사합니다!
315번 문제 답에 +x^2 이어야 되는데 +가 빠진것 같습니다.
337번 문제 답에 12/13e^x -> 12/13)e^x 가 되어야 할 것 같습니다.
항상 좋은 강의 감사합니다.
강의 풀이 중에 마지막 연습문제 299번이 yp= (1/2)(e^-x)sinx라고 구하셨는데 답 확인하실 때는 (1/2)(e^-x)cosx를 보고 답이 맞다고 말씀하셔서 둘 중 어느 것이 답인지 혼동됩니다.
저도 풀었을 때 선생님 풀이처럼 나왔는데 강의 중에 선생님께서 잠깐 잘못 보시고 답이 맞다고 말씀하신 것인가 유추해봅니다.
교재에는 아직도 (1/2)(e^-x)cosx라고 되어있는 것 같습니다. 답이 (1/2)(e^-x)sinx가 맞다면 교재 답의 cos만 sin으로 수정해주시면 많은 학생들이 혼동을 겪을 일이 없을 것 같습니다.
sinx가 맞습니다. 제가 영상촬영할때 실수했네요. 강의자료를 수정했습니다. 감사합니다.
@@ODE_PDE 빠른 답변 항상 감사드립니다.
연습문제 300번 이상한것 같아요 제 실수일수도 있습니다
제 실수가 맞네요... 다시 확인해보니 문제와 답 모두 이상합니다. 지금은 y계수를 수정하여 계산이 가능하게 수정하였고 그에 맞게 답도 수정하였습니다. 확인부탁드립니다.