제가 곰곰히 y = y_[c] + y_[p] 인 것일까 하고 생각을 해봤는데, 집합론적으로 본다면 비제차 미분방정식이 제차 미분방정식보다 보다 일반적인 경우이기에 제차 미분방정식의 해가 비제차 미분방정식의 부분집합으로서 작용한다고 추측을 해봤습니다. 이런 식으로 생각하면 되는 지 한 번 여쭙고 싶어서 답글을 남깁니다. p.s. 오늘 베르누이 미분방정식에 달아주신 답글속도가 빨라서 정말 놀랐습니다.
우선 (선형대수학의 내용에 따라) 제차 미분방정식의 해는, 그 해집합이 벡터 공간이므로 집합의 개념이 필요합니다. 그런데 비제차 미분방정식의 경우에는 조금 다르게 이해하는 것이 낫습니다. (영상에서는 다루지 않았지만) 비제차 미분방정식의 해를 y라고 할 때, 다음과 같은 선형 상미분방정식을 만족시킨다고 합시다 : y" + p(x)y' + q(x)y = r(x) 그런데 yp라는 해는 좌변의 결과로 r(x)를 주는 또 다른 해라고 합시다. 즉, 설정 상 yp" + p(x)yp' + q(x)yp = r(x) 로서 우변이 같죠. 두 식을 빼면, (y-yp)" + p(x)(y-yp)' + q(x)(y-yp) = 0 으로서, 우변이 0이 되었으니 y-yp는 제차 미분방정식의 해가 됩니다. 그렇기 때문에 y-yp는 e의 지수함수 꼴을 갖는 기저의 합으로 기술할 수 있으며, 그러한 형태의 해를 yc라고 둔다면 y-yp = yc 입니다. 따라서 y = yp + yc 이고, yp는 특수해이죠. 이렇게 y-yp가 제차 미분방정식의 해임을 통해서 y = yc + yp인 것을 설명하는 미분방정식 교재가 더 많습니다 : ) 답변은 제가 확인을 하면 대부분 바로 답을 드리는 경우가 많은데, 보통 바쁠 때는 미뤄지기도 합니다 ㅎ
@@bosstudyroom 답변 감사합니다. Homogeneous가 아닌 그 외의 해들을 yp로 정의한 뒤 중첩의 원리에 따라 y-yp가 homogeneous ODE의 해가 됨을 보이기에 y = yc + yp였던 거군요. 맥락이 음함수 미분에서 음함수 미분의 확장인 전미분인 사실과 비슷하게 느껴집니다. 말 그대로 yp가 추가된 형태로 확장된 개념이었군요. 알려주셔서 감사합니다.
@@bosstudyroom 다만 궁금한건 벡터 공간이 집합의 확장된 개념인 것은 알겠지만, 어째서 비제차가 제차와 다르게 이해되어야한다는 지는 아직까지 잘 와닿지 않네요. 기저의 가짓수가 더 많이졌고 비제차 역시 선형이니 벡터고간의 확장으로 생각하면 논리의 비약이라도 있는 건지 하나 더 여쭙고 싶습니다.
집합을 정의하는것에는 문제가 없더라도 벡터 공간의 정의를 적용할 때는 문제가 생기기 때문입니다. 벡터 공간의 개념이 유용한 이유 중 하나는, 그 공간에 해당하는 기저의 선형결합에 의해서 생성되는 또 다른 벡터(함수로 이루어진 공간에서는 함수)도 같은 벡터 공간에 속해있다는 성질이 있기 때문입니다. 그런데 벡터공간은 '영벡터'를 가져야합니다. (설명은 다음의 링크에서 드린 적이 있습니다 : ruclips.net/video/wIuBmfv5Lw8/видео.html) 3차원 유클리드 공간에서는 영벡터가 (0,0,0)이고 제차 미분방정식의 해집합에서는 y=0이 영벡터에 해당합니다. 실제로 y" + p(x)y' + q(x)y = 0은 y=0도 만족하므로 해집합에 포함 되어요. 이때, (제차 상미분방정식의 해집합에 속하는) 영벡터가 비제차 선형 상미분방정식인 y" + p(x)y' + q(x)y = r(x)의 해집합에는 속하지 않습니다. 그러한 이유로, 제차 미분방정식의 해집합을 부분공간으로 하는 (확장된) 벡터공간을 비제차 미분방정식의 해집합에 대해 고려하는 것에 문제가 생기게 되어요! 물론 더 큰 '집합'을 정의하는 것에는 문제가 없지만 그렇게 이해한다고 했을 때 수학적으로 새로운 관점을 주지는 않을 것 같다는 것이 제 생각입니다 : )
@@bosstudyroom 선형대수학에서 간과하면 안되는 원점의 정의에 대해 제가 잊고 있었군요. 확실히 제차의 경우는 y = 0 인 경우이고 비제차의 경우 y = r(x)인 상황이니 굳이 집합으로 따지면 임의의 큰 집합 내의 부분집합과 그 외의 여집합과 같은 관계였군요. 덕분에 앞으로 간과하지 않고 푸리에까지 기저의 개념을 헷갈리지 않고 갈 수 있을거 같습니다. 여러모로 답변해주셔서 감사합니다.
3:21 한번 미분했을때 x가 나오게 되니까 2차식이 적절하다고 하셨는데 값을 대입하고 가정할때 y'''여기는 상관없이 y'여기에만 대입해도 성립하는 이유가 있을까요? 어려워요 ㅠㅠ 3:21 ~ 3:37 또 yp라는 것을 어떤 형태로 정하여 대입 해줘야 하나요? 10:14 yc= asin2x + bcos2x 앞에 e^cx 없어도 되나요? 물음표 살인마라서 죄송합니다..
ruclips.net/video/EDKPlgqyuck/видео.html 윗 링크의 제 영상 고정댓글 내용이 질문주신 것 중 상단 2개에 대한 답변이 되어드릴 것 같습니다 :) 즉, y"'을 따로 고려하지 않는 것이 아니라 '고려를 하더라도' 한번 미분한 항인 y'이 있기 때문에 우변이 저렇게 나오려면, x에 대한 2차식으로 설정해야 적절합니다 다르게 3차식 4차식 이렇게 잡아버리면 y"'은 문제가 되지 않아도 좌변의 y'의 결과로는 2차식, 3차식 이렇게 되어버릴 것이니 적절한 y의 설정이 아닌 것이에요! 그리고 10:14의 경우는 c가 0인 상황이기 때문에 e^0 = 1이므로 곱하나 마나 똑같다는 것을 이용한 것 입니다 :)
비제차 항이 tanx인 상미분방정식은, 미정계수법을 이용하기에 적합하지 않다고 할 수 있습니다 :) 예를들어 sinx나 cosx, e^x 및 다항함수의 꼴은 "미분의 형태가 지속적으로 반복되기 때문에" 거의 공식화 시키다시피 하는 방법으로서 미정계수법을 쓸 수 있는 것이라서, 한번만 미분해도 sec^2(x) 가 되어버리는 tanx는 미정계수법이 아닌 '매개변수 변화법'을 이용해야 합니다 ^^ 다만 제 채널에서는 아직 매개변 변화법 까지 진도를 나가놓지 못했네요 ㅠ ㅎ
Seungwon Lee님께서 열심히하신 결과입니다, 그래도 제 덕분이라고 해주셔서 감사합니다 ㅎ :) 푸리에급수 및 적분변환, 그 응용까지의 개념 및 풀이 영상들을 앞으로 계획 중에 있으나, 언제가될지는 사실 확정짓기가 어렵긴하네요 (제작해야할 영상들이 각 전공과목 과 각 재생목록별로 있어서..) 최대한 분발해볼게요 ㅎ 열심히 해주셔서 감사합니다
답변드립니다 :) Yp=Cx+E 로 잡는다면, 우변인 x가 나올 수가 없습니다 ^^ 즉, y'''+4y'에 그러한 Yp를 대입했을 때에, 한번미분시키는 4y'만 계산해주더라도 Yp'=4C가 나옵니다! (Yp=Cx+E 라면) 그래서 '그러한 상황을 고려하면' 이 문제에서는 2차식으로 잡아줘야 맞습니다 :)
![[미분방정식] 12편. 미정계수법 (문제풀이)](http://i.ytimg.com/vi/EDKPlgqyuck/mqdefault.jpg)
![[미분방정식] 12편. 미정계수법 (문제풀이)](/img/tr.png)
![[미분방정식] 8-1편. 선형고계미분방정식 풀이법](http://i.ytimg.com/vi/Bg8AvPd0_8Y/mqdefault.jpg)
![[ODE Ep.4] 완전미분방정식의 해는 이렇게 생겼습니다.](http://i.ytimg.com/vi/E-27xVwrCXU/mqdefault.jpg)
![공학수학(1) [14강] 2계ODE - 미정계수법 (비제차 상수계수) (2023년 Ver.)](/img/1.gif)
제 생각엔 다음영상에서 미정계수법 마무리짓고나면, 라플라스변환 재생목록으로 넘어가셔서 스터디하시면 기말시험은 잘 대비되실것같아요^^ 혹시 더 필요한 내용있으시면 댓글주세요! 제가 잘 아는 미분방정식의 부분이면 영상 더 제작해서 업로드할게요 :)
보스님 최고 감사해요 🙌🏻
@@kikislong 감사해용 @_@
이걸 우리 하늘같은 교수님은 2시간동안 설명해야하니 얼마나 입이 아플까
설명 진짜 기깔난다…
ㅎ_ㅎ 댓글 남겨주셔서 감사합니다 :)
여기까지보고 공수 중간시험 보러가는데 덕분에 자신감 있게 볼 수 있습니다 감사합니다!
시험에서 최대로 좋은 성적 받으시길 바랍니다 : )
진짜 미쳤네
제차랑 동차랑 거의 같은 뜻으로 쓰이는 거 같던데 정확한 의미 차이가 있나요?
단시간에 독학으로 빨리 공부하는건 이 채널밖에 없네요 진짜 핵심내용만 꽉꽉 넣은 액기스 같은영상들이라서 거를타선이없습니다 감사합니다
ㅎ_ㅎ 친절한 말씀 감사해요 :)
항상 제가 더 감사합니다 ㅜㅜ
ㅎㅎ 감사해용
미방 궁금해서 공부해보는 중학생인데 계산은 어느정도 할수있겠네요 좋은 설명 감사합니다
좋은 말씀 남겨주셔서 감사해요! : )
시험기간에 제 한줄기 빛이에요ㅠㅠ 영상 짧지만 너무 이해가 잘돼요!!설명 짱짱
ㅎ_ㅎ 댓글 정말 감사드립니다
선생님이 절 살리셨어요 감사해요ㅠㅠ
ㅎㅎ 조금이나마 도움드릴 수 있어서 정말 기뻐요 :) 감사합니다 ^^
우변이 cosx가 아니라 cosx-sinx 면 어떡하나요?
3:40 에서 (처음 예시에서) yp를 우변항의 한 차수를 크게(x^2으로) 잡았는데 10:00 에서 문제 2번 풀 때는 왜 yp를 (Ax^3이 아닌) Ax^2으로 시작하는 걸까요?
1:34 초에서 중첩의 원리를 사용할때 근의 갯수는 상관없이 사용할수있는건가요?
진짜 영상기다리고있었어요ㅜㅜㅜ
혹시 비제차방정식의 중첩의 원리도 알려주실수있나요???ㅜㅜ
오오ㅎ 안그래도 오늘 곧 올리려는 미정계수법 심화내용 영상이있는데요 ! 혹시 비제차방정식의 중첩의 원리라는 말씀은, 해가 중복될 때의 설정법을 말하시는건가요? 그부분이라면 오늘 올라갈테니 조금만기다려주세요 :) 곧 올리면 답글로 알려드릴게요 ^^
올렸는데, 필요하신 내용인지 확인하시면 되어요 ^^
@@bosstudyroom 너무감사합니다ㅜㅜ😊
혹시 2번 예제랑 비슷하게 다항식과 지수항이 곱해져 있다면 서로 분리해서 구한뒤에 곱해주면 될까요??
아뇨, 해를 곱하는 것은 안됩니다 : )
미분방정식 12편의 2번 문제를 참고해보시면 답변이 될 수도 있을 것 같습니다. 참고로 해주세요.
@@bosstudyroom 넵 감사합니다!
제가 곰곰히 y = y_[c] + y_[p] 인 것일까 하고 생각을 해봤는데, 집합론적으로 본다면 비제차 미분방정식이 제차 미분방정식보다 보다 일반적인 경우이기에 제차 미분방정식의 해가 비제차 미분방정식의 부분집합으로서 작용한다고 추측을 해봤습니다. 이런 식으로 생각하면 되는 지 한 번 여쭙고 싶어서 답글을 남깁니다.
p.s.
오늘 베르누이 미분방정식에 달아주신 답글속도가 빨라서 정말 놀랐습니다.
우선 (선형대수학의 내용에 따라) 제차 미분방정식의 해는, 그 해집합이 벡터 공간이므로 집합의 개념이 필요합니다.
그런데 비제차 미분방정식의 경우에는 조금 다르게 이해하는 것이 낫습니다. (영상에서는 다루지 않았지만) 비제차 미분방정식의 해를 y라고 할 때,
다음과 같은 선형 상미분방정식을 만족시킨다고 합시다 : y" + p(x)y' + q(x)y = r(x)
그런데 yp라는 해는 좌변의 결과로 r(x)를 주는 또 다른 해라고 합시다. 즉, 설정 상
yp" + p(x)yp' + q(x)yp = r(x) 로서 우변이 같죠.
두 식을 빼면,
(y-yp)" + p(x)(y-yp)' + q(x)(y-yp) = 0 으로서, 우변이 0이 되었으니
y-yp는 제차 미분방정식의 해가 됩니다.
그렇기 때문에 y-yp는 e의 지수함수 꼴을 갖는 기저의 합으로 기술할 수 있으며, 그러한 형태의 해를 yc라고 둔다면
y-yp = yc 입니다.
따라서 y = yp + yc 이고, yp는 특수해이죠.
이렇게 y-yp가 제차 미분방정식의 해임을 통해서 y = yc + yp인 것을 설명하는 미분방정식 교재가 더 많습니다 : )
답변은 제가 확인을 하면 대부분 바로 답을 드리는 경우가 많은데, 보통 바쁠 때는 미뤄지기도 합니다 ㅎ
@@bosstudyroom 답변 감사합니다. Homogeneous가 아닌 그 외의 해들을 yp로 정의한 뒤 중첩의 원리에 따라 y-yp가 homogeneous ODE의 해가 됨을 보이기에 y = yc + yp였던 거군요. 맥락이 음함수 미분에서 음함수 미분의 확장인 전미분인 사실과 비슷하게 느껴집니다. 말 그대로 yp가 추가된 형태로 확장된 개념이었군요. 알려주셔서 감사합니다.
@@bosstudyroom 다만 궁금한건 벡터 공간이 집합의 확장된 개념인 것은 알겠지만, 어째서 비제차가 제차와 다르게 이해되어야한다는 지는 아직까지 잘 와닿지 않네요. 기저의 가짓수가 더 많이졌고 비제차 역시 선형이니 벡터고간의 확장으로 생각하면 논리의 비약이라도 있는 건지 하나 더 여쭙고 싶습니다.
집합을 정의하는것에는 문제가 없더라도
벡터 공간의 정의를 적용할 때는 문제가 생기기 때문입니다.
벡터 공간의 개념이 유용한 이유 중 하나는, 그 공간에 해당하는 기저의 선형결합에 의해서 생성되는 또 다른 벡터(함수로 이루어진 공간에서는 함수)도 같은 벡터 공간에 속해있다는 성질이 있기 때문입니다.
그런데 벡터공간은 '영벡터'를 가져야합니다.
(설명은 다음의 링크에서 드린 적이 있습니다
: ruclips.net/video/wIuBmfv5Lw8/видео.html)
3차원 유클리드 공간에서는 영벡터가 (0,0,0)이고
제차 미분방정식의 해집합에서는 y=0이 영벡터에 해당합니다. 실제로 y" + p(x)y' + q(x)y = 0은
y=0도 만족하므로 해집합에 포함 되어요.
이때, (제차 상미분방정식의 해집합에 속하는) 영벡터가
비제차 선형 상미분방정식인 y" + p(x)y' + q(x)y = r(x)의 해집합에는 속하지 않습니다.
그러한 이유로, 제차 미분방정식의 해집합을 부분공간으로 하는 (확장된) 벡터공간을 비제차 미분방정식의 해집합에 대해 고려하는 것에 문제가 생기게 되어요!
물론 더 큰 '집합'을 정의하는 것에는 문제가 없지만
그렇게 이해한다고 했을 때 수학적으로 새로운 관점을 주지는 않을 것 같다는 것이 제 생각입니다 : )
@@bosstudyroom 선형대수학에서 간과하면 안되는 원점의 정의에 대해 제가 잊고 있었군요. 확실히 제차의 경우는 y = 0 인 경우이고 비제차의 경우 y = r(x)인 상황이니 굳이 집합으로 따지면 임의의 큰 집합 내의 부분집합과 그 외의 여집합과 같은 관계였군요. 덕분에 앞으로 간과하지 않고 푸리에까지 기저의 개념을 헷갈리지 않고 갈 수 있을거 같습니다. 여러모로 답변해주셔서 감사합니다.
3:21 한번 미분했을때 x가 나오게 되니까 2차식이 적절하다고 하셨는데
값을 대입하고 가정할때 y'''여기는 상관없이 y'여기에만 대입해도 성립하는 이유가 있을까요? 어려워요 ㅠㅠ
3:21 ~ 3:37
또 yp라는 것을 어떤 형태로 정하여 대입 해줘야 하나요?
10:14 yc= asin2x + bcos2x 앞에 e^cx 없어도 되나요?
물음표 살인마라서 죄송합니다..
ruclips.net/video/EDKPlgqyuck/видео.html
윗 링크의 제 영상 고정댓글 내용이
질문주신 것 중 상단 2개에 대한
답변이 되어드릴 것 같습니다 :)
즉, y"'을 따로 고려하지 않는 것이 아니라
'고려를 하더라도' 한번 미분한 항인
y'이 있기 때문에
우변이 저렇게 나오려면, x에 대한
2차식으로 설정해야 적절합니다
다르게 3차식 4차식 이렇게 잡아버리면
y"'은 문제가 되지 않아도
좌변의 y'의 결과로는 2차식, 3차식 이렇게 되어버릴 것이니
적절한 y의 설정이 아닌 것이에요!
그리고 10:14의 경우는
c가 0인 상황이기 때문에
e^0 = 1이므로 곱하나 마나 똑같다는 것을 이용한 것 입니다 :)
@@bosstudyroom 답변 정말 감사드립니다. 다시 처음부터 미방 영상 정독하면서 댓글 보고 반복했습니다. 다음 심화편도 봐보겠습니다. 아직은 너무 깊이 이해하려고 하면 안될 것 같습니다.
왼쪽항이 오일러코시에 해당하는 미분방정식형태라면 미정계수법 사용이 불가 한가요?
우변이 (x-1)*e^x로 되어 있는경우에는 Yp를 뭐로 둬야 하나요? 그리고 그냥 우변이 5나 6처럼 숫자로만 되어있으면 Yp를 뭐로 둬야 하나요?
혹시 우변이 2sin^2x 일경우에는 Yp 가 어떻게 되는지 알려주실수 있나요?
sinx의 제곱을 말씀하시는 것 같은데 맞겠죠? 그 경우는 (sinx)^2
=(1-cos2x)/2 라는 공식을 이용해주세요 :) 그 이후에는 11편, 12편 영상에서 설명드린 대로의 방식과 일치합니다
1계 미분방정식에서는 미정계수법은 사용 못하는 건가요??
늦게 답변 드린 점 양해부탁드립니다 ㅠ 1계 미방도 우변에 비제차 항 (예를들어 sinx 처럼) 이 있으면 미정계수법 사용 가능합니다
공식에서 탄젠트에 관한 공식은 없나용? y’’+y=tanx 에서 미정계수를 뭐로 설정해야 할까요..?
비제차 항이 tanx인 상미분방정식은, 미정계수법을 이용하기에 적합하지 않다고 할 수 있습니다 :) 예를들어 sinx나 cosx, e^x 및 다항함수의 꼴은 "미분의 형태가 지속적으로 반복되기 때문에" 거의 공식화 시키다시피 하는 방법으로서 미정계수법을 쓸 수 있는 것이라서, 한번만 미분해도 sec^2(x) 가 되어버리는 tanx는 미정계수법이 아닌 '매개변수 변화법'을 이용해야 합니다 ^^ 다만 제 채널에서는 아직 매개변 변화법 까지 진도를 나가놓지 못했네요 ㅠ ㅎ
3일동안 혼자 예제도 풀어가면서 미방쪽 잘 독학해냈네요!! 다 보스님 덕분입니다!!
푸리에 급수 인테그랄 변환등의 영상들 제작할 계획 혹시 있으신지요 🧐😀
Seungwon Lee님께서 열심히하신 결과입니다, 그래도 제 덕분이라고 해주셔서 감사합니다 ㅎ :)
푸리에급수 및 적분변환, 그 응용까지의 개념 및 풀이 영상들을 앞으로 계획 중에 있으나, 언제가될지는 사실 확정짓기가 어렵긴하네요 (제작해야할 영상들이 각 전공과목 과 각 재생목록별로 있어서..)
최대한 분발해볼게요 ㅎ 열심히 해주셔서 감사합니다
안녕하세요 질문있습니다! 혹시 우변이 삼각함수인데 만약 풀기 힘든 상황이면 복소수 꼴로 바꾸어서 풀수도 있나요? 그리고 만약 가능하다면 yp의 기본항을 삼각함수의 (복소수꼴×상수)로 나타내면 될까요?
아마 아래의 제 영상 내용이 답변이 될 것 같습니다
ruclips.net/video/Wa1H48IMkwY/видео.htmlfeature=shared
: 질문과 관련된 풀이방법을 설명한 적이 있습니다.
@@bosstudyroom 헉 너무너무 감사합니다!!
Yp=kx^2Cx+E 로 2차식으로 잡으셨는데,,
이해가 잘안가네요,,
한번미분한게 상수가 됬다는 의미 ( 03:05 )는
y'(0)=0을 보고 말하시는건가요?
답변드립니다 :)
Yp=Cx+E 로 잡는다면, 우변인 x가 나올 수가 없습니다 ^^
즉, y'''+4y'에 그러한 Yp를 대입했을 때에, 한번미분시키는 4y'만 계산해주더라도 Yp'=4C가 나옵니다! (Yp=Cx+E 라면)
그래서 '그러한 상황을 고려하면'
이 문제에서는 2차식으로 잡아줘야 맞습니다 :)
y'' + w^2y =f , f(x)= acos (ux) + bsin (ux)
W는 오메가 기호구요.. u는뮤인거같습니다.
풀어보는데 왜 일반해가 + wi -wi 인지를 모르겠습니다.. 혹시 알려주실수있을까요?
공부하는데 항상많은 도움 받고있습니다
rx가 (t^2)e^t일때는 미정계수법을 사용할수 없나요 ㅠ?? yp를 e^t(a0+a1x+a2x^2)으로 두고푸니 답이 안풀어져서요!!
안녕하세요~ 혹시 문제자체를 말씀해주실수 있나요?^^
제차일때의 해인 yc와 중첩될 경우일 수 있는데 그때는 풀이가달라지며, 이 바로다음영상의 내용에 따라서 풀이해주셔야 하기 때문에 문제를 댓글로 알려주시면 제가 설명드릴게요 :)
강의 너무 잘해주셔서 너무 감사드립니다 ㅜㅜ 질문이 하나 있는데 만약 y''+y'-2y=exp(x) 에서 특수해를 A*exp(x)라고 가정하면 모순이 일어나는데 이럴때는 어떻게 해결해야 할까요?? 제가 잘못 생각했다면.. 혹시 풀이가 있을런지요..
12편에서 설명드린 부분인 것 같아요 :)
즉, (어떤 모순을 말씀하신건지는 잘 모르겠지만) A*x*exp(x) 라고 두시면 모순이 없을거에요 ㅎ
좋은 영상 감사합니다~! 혹시 f(x)가 e^2xcos3x 같은 경우는 yp를 (e^ax)*cosbx+(e^ax)sinbx 꼴로 두고 하면 될까요..?
알림 확인을 못했네요, 늦게답변드린점 양해부탁드립니다 ^^;
넵 다만, 'x의 계수에 대한 정보' 를 일치시켜주세요!
즉, A(e^2x)cos3x+B(e^2x)sin3x 로 두고 풀어주세요 :)
10:08 초에서 a=+- 2i 어떻게 구하는건가요?? 자꾸 저부분만 이해가 안되어서 근의공식으로 해봐도 제가 잘 못하나봐요 안풀리네요ㅠㅠ 한번만 알려주세요. 선생님 a^2+4에서 어떻게 해야하나용
근의 공식으로 아주 잘 풀려요
루트-a=루트a×루트-1