Размер видео: 1280 X 720853 X 480640 X 360
Показать панель управления
Автовоспроизведение
Автоповтор
備忘録‘’50G【 円分方程式 z⁴＝ －1 ･･･① 】【 重要定理 】zⁿ＝ α の解は、円を n等分する■極形式で、 z＝ cosθ＋𝑖 sinθ と表せるから、① ⇔ cos4θ＋𝑖 sin4θ＝ －1 ⇔ 4θ＝ π＋2π・n ⇔ θ＝ π/4 ＋π/2・n ( n＝ 0, 1, 2, 3 ) ⇔ z＝( 1 ± 𝑖 )/√2, (－1 ± 𝑖 )/√2 ■
自分のやった解法解法1z=r(cosθ+isinθ)解法2z^4=-1⇔z^2=±iよりz=a+biとおいて係数比較(4乗展開するより楽)解法3z^4=-1⇒ z^8=1 これは複素数平面で点(1,0)から始まる正八角形の頂点明らかに点(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)はz^4=-1を満たさないので残りの4点が答え(おそらくこれが最速かつ美しい)
いいねー
普通にz^8=1はさむ必要なくないか？
@@焼肉定食-c8v １つの頂点が分かりやすい！
@@kaj694 いや、変わらんやろ
@@焼肉定食-c8v -1の偏角はpi４分の1して，pi/4の単位円周上，1/sqrt(2)+i/sqrt(2)って汚くない？
パスラボ、マスラボ見すぎて一番最初に出てきたのが複２次式だった笑
複２次式(無理矢理因数分解)の解法も思い浮かんで良かった!! 理系やから 複素数も思い浮かんだけど、逆にz=x＋yi(x、yは実数)って考え方は浮かばんかったな〜...
思いついてもめんどいから嫌だって頭から消すよね
今回は珍しく3つとも解法思いついて嬉しい
複数の解法から一つの答えを見つける。数学って美しいな…
こういうの3通りと言われたときに、それほとんど等価やろ、と言われないくらい、全く異なるアプローチで解いて欲しい。
自分の大学の入試問題が出てるの嬉しい😆
すばるさんのおかげで大嫌いだった数学に興味を持つことができて、文系の中ではあるんですが偏差値が65まで辿り着きました。本当に感謝しかありません。
凄いですね！僕もやってやるぞという気持ちになりました。
解が一つ分かれば共役な複素数の解に持つので、(x-α)(x-α')で割ってやるという方法もあります。割る多項式はℝ係数なので筆算で案外いけます。
今回の場合はz^2=iの解を含むので、高2でも気合いで求めることが出来れば、少ない計算でなんとかなります。
I was surprised about the last solution. Thank you for making an interesting video.
最近毎日ひとつは見てますまだ初見で自力でとける問題は少ないけれど解説を聞いて毎日かしこくなってるとかんじます僕は僕は一橋大学に行きたいので数学頑張ってますこれからもお願いします❗
面白かったです。一番シンプルな解法を見つけてやるぜ！
私の勘違いかもしれませんが、復号を使用するならば、z=(±1±i)/√2（複号任意）のような表現になる気がします。
高校数学の教科書で当然のような顔して書いてある 「複素数の積が０ならいずれかは０」 を自明としていいなら (z^2+i)(z^2-i)=0 の形に因数分解して解くのも一つの解法かと。後は、２つ解法が出て３つ目が出てこなくて困った受験生はこう書くのです。「これはｚの四次方程式だから解は４つ以下だ。そして偶然、そう偶然にも、上になんか２つ解法書いたけどそれを使ったわけじゃなくて偶然にもこの４つの値が解になることを私は見つけたんだ。だからこの方程式の解はこの４つで間違いない」と。
多分一番簡単な解法動画の3つはどれも思いつきませんでした😭|z^4|=1より|z|=1単位円を書いて４倍して-1になる角度は45゜正方形を書いたら±(√2±√2i)でおわり
解法が複数あっていい問題ですね。試験では高3の方法が早いと思います。複素平面に丸と45度の線を描いて、そこから90度回した点を描いていきます。4回回ると最初に戻るので、視覚的に4つの解で過不足ないこともわかると思います。例題z^3.6=-1の異なる解の個数を求めよ。というような想像力や理解を問う問題も解けると思います。
複素数は世界の幅が広がって楽しい初めて全部思いついて嬉しかった〜
高3理系で複素平面を使うとき、もう少し本質的なことを理解した上で使う様にした方が良いと思う。複素平面上の点z=x+yiをrとx軸からの角度θを使って、z=r(cosθ+i sinθ)と表すと、r=√(x^2+y^2)、x=r cosθ、y=r sinθ (0
これは高校範囲内ですか？ギリ範囲内ならそれは趣味の部類に当たります。
複素数平面オイラーの公式を使うのであれば本質を知っておいた方が良いと思った次第です。公式丸暗記ではなく、意味を知って使うほうが応用が効くと思います。複素平面でオイラーの公式を扱っている時点ですでに高校数学の範囲をギリギリ超えているような気が致しますがいかがでしょうか？
この問題をみて最初にやった方法がまさかの別視点の裏解放でした笑
z^4=-1⇔z^2=i⇔z=√iiをかけて90°回転なら√iをかけたら45°回転になると考えられる複素数平面上1をで45°回転させると「sin45°+icos45°」になって計算すると「(1/√2)+i(1/√2)」が得られるっていう方法はいかがでしょうか。
それだとz^4=-1 の両辺の平方根をとる作業の時にz^2=iじゃなくて z^2=±iになりませんか？
プラマイナスわすれてるよ！
@@priushiroshi3249 ? どゆこと?
@@12ichinimomme30 ？
@@priushiroshi3249 ±(1/√2)±i(1/√2) という感じですかね
この型の因数分解は積分でも使うから触れておいて損はないね
この問題すごく好き
複素平面に単位円を描いて、４乗して-1になる点を探すというのが、直感的でわかりやすいのでは。
私も同じ考えです。
7:18 これ、虚数の概念を学んだ時に「虚数の虚数、すなわち４乗して－１になる数ってどうなるんかな？」って思って計算して結局ｉで表せるって分かった時めっちゃ感動したなぁ……🥰
-1を移行してz^4 + 1=0z^4 - i^2=0(z^2 + i)(z^2 - i)=0からz^2=±iでz=√i,-√i,√-i,-√-iという考え方をしてみましたが、解が√iはまずかったりしますか？
a+biの形で表すのが最も簡単なのではないでしょうか。iの実部が0であることを利用すればドロドロに溶けると思いますよ
@@プーリえオランダ この答案が合ってるのか合ってないのかを教えてほしいんだと思いますよ
@@あもう-t9p 数値自体は合っていますが、書き方としては一歩足りない、ということを言ったつもりなのです。1/2と3/6は同じ数値ですが、前者のほうが良い書き方だと言える場合が多いです。実際にテスト等で問題として出された場合は、最も簡単な形で表す必要があることが多いので、そういう意味では、解としてはまずいですね。わかりづらくてすみません。
うーん懐かしいし美しい。文系で複素平面やった世代だけど、アレのおかげで苦手だったベクトルを全部複素平面に置き換えて力技で解くっていうのを本番まで含めてやることができたのを思い出す。
天才か
裏解法しか出てこなかった、、、
わいもw
me too だから難しいんだね。いろんな視点から見ないといけないから。
ぱっと思いつくのは因数分解か極形式もう一個はなんだろ
@紙牌 その通りでした👌⭕️言われてみれば確かに、っていう笑この置換は計算が🦍になりがちなので、次数が低めの時や、変形がうまくいかない時の最終手段として私は使ってますね✨
自分もそれしか思いつかなかった
因数分解って言葉がでできたときに「うわあああっ」で叫んでしまったw目からウロコですわ
複素数平面でx^2+y^2=1の円とy=±xの交点っで求まる
今年高3でしっかり全部の解法ぱっと出てきてよかった！別解については自分で作問したことあったので^_^
高1なので間違ってたら教えて欲しいんですけどz=√iではいけないんですか？
√iの記法は高校数学の範囲では習わないはずです。どのみち√iは開平出来るので、かなりまずいですね😅
これ2乗してzの8乗にしてあげれば複素平面の単位円8等分で、4等分が1が解になるからななめのとこってすると頭の中のイメージで解ける
普通に３個と言われたらこれしか無いと思いついた
最初に思い付いたのが複素数平面でｒ＝１の円を描いて円周上の４か所の４θ＝πになる座標の値でした式を使わないといけないのかなぁ？
朧げながら正方形が浮かんできた
最後の解法で√2で割る必要はあるのですか？
頭の中で『zの4乗=-1だけど、zの8乗=1になる8つの複素数(正八角形になる頂点)のうち、zの4乗=1になる4つの複素数を除いた残り4つの複素数が答えになるかな？』と思いました。答案はもっとちゃんと書きますが、適当に考える時はこんな感じでやりますかねぇ
数学と全然関係なくて申し訳ないんだけど、広告が宇佐美のウルトラマンのやつで笑った
そうやんいい感じに因数分解できるやん
完全に数弱なんですが、±√iは解にならないのですか...？？誰か叡智をば...
なりますよ。zに代入して等号が成立するならそれは解です。√iは複素数で、具体的には(±1/√2)(1+i)です。ちゃんと動画に出てる値と一致していますね。
数学を基礎から超応用まで体系的に理解されてますね。感心しました。文系の私でも理解できました。
√iぐらいなら既知のものとして使って良いだろうということで±√±iを整理しましたね(本質的には3番目の解法と変わりませんが)
高校範囲では複素数のルートは考えちゃいけないらしい。複素数係数で二次方程式の解の公式が使えない理由です。受験では大丈夫そうだけどテストでは減点されてしまうかも
@@大学生のわたあめてんこもり (√iを求める段階で使うが)極形式も相同条件も複素数の根号も使わずにしようとすると、z^2=±iの段階でz^2=iとz^2=-iの2式に天下り的に解を与える(z^2=iは((√2±√2i)/2)^2=iであるからこれらが解である)とかになるんですかね……ｳｰﾝﾒﾝﾄﾞｸｻｲ
@@Zab_n なぜダメだと言っているのかがわかりません。そして実際に極表示すれば簡単にルートの計算はできるし、二次方程式を解くときには平方完成すれば減点もされないです。
@@大学生のわたあめてんこもり √a(a>0)の定義が「aの平方根のうち正であるもの」である以上、符号がない虚数に対して平方根を考えるのは難しいからだと思いますね。
@@tmr_ssbu 今回は複素まで考えているので定義が違いますよ例えば√ー１＝iです
z^2をxとおいてx=±i z^2=i とz^2=-i とするのはiが√の中に入ってしまうからダメなのですか？
40年前のことだが、私は工業高校だったので高１の時に高３理系の複素数平面で電気回路の問題を解いていました。
最後の解答でちょっと気になる点があります。せっかく分母が有利化された状態で解が得られたのにあえて分母を無理数にする意義は何でしょうか？ 分母は有利化しないと減点と習ったような気がするのですが。
有理化しないと減点になるとは限らないです。今回の場合では√2で割ることで解がすっきりするので割ったのかと思います。
@@ringyo_kokoro 解がすっきり？
@@eggmanx100 √2で割る前と割った後だと割った後のほうが綺麗な形になると思いません？
@@ringyo_kokoro 分母にルートがあると美しくない
@@eggmanx100 価値観の違いってやつですね。
和と差の積マニアなら閃くかもしれない解法…
z^4=1の解を45度回転させた位置にある
さすがド・モアブル
寝起きで頭が冴えていたのか、問題見た瞬間θ＝π/4,3π/4,5π/4,7π/4に点が配置されてるのが見えて秒で答えられた。
そーゆーのってなんですぐわかるんですか？
@@Lucas-sd6wd 複素数の回転を意識するのが大事だと思います。
@@コロンビア-z1f 例えばどんな感じでとかあったら教えていただきたいです😓
@@Lucas-sd6wd ＠１７さんではありませんが複素平面かじったことがあれば超基本なので見た瞬間に分かります
@@焼肉定食-c8v ありがとうございます基本から見直してみようと思います
以下の問題も解けるようにしておいた方が良い以下の方程式を複素数範囲で解けx^2 + 5|x| - 6 = 0（|・|は絶対値記号）一見簡単そうだが･･･これは数III範囲だろう･･･場合分けが面倒な問題で以外に記述が長くなる答えは６個出てくる（±1, ±2i, ±3i）もしアッと驚く解法が見つかったら教えて欲しい
t=x+1/xって置いてx^4=-1の両辺をx^2で割ったらt^2=2ってなるからt=+-√2x+1/x=+-√2をそれぞれ求めたら答えが出た
さすがにz^4+1の因数分解がパッと出てくるなぁ
１の8乗根から、±1、±ｉを除いたもの。２乗するとiか-iになる数。
i^2＝-1ということを知っていた小学生の解法z^2×z^2＝-1z^2をAと置くとA^2＝-1A＝√-1A＝iA＝z^2を代入z^2＝iz＝√i
高1です。疑問に思ったのですが、z＝√iじゃダメなんでしょうか？もしダメなら教えて下さい。
√iでは、どんな複素数であるか分からないし、開平出来る範囲なので、√iのままではまずいですね😅それに√iの定義は、高校数学の範囲では習わないはずです😅
すみません！z=√iと直感で考えたのですがこれが違う理由教えてください！
@@per3301√iを2乗したらiじゃない？
答えだけでよかったら複素数平面上に半径1、中心Oの円書いて後は円周を4等分を頭の中でやれば直接答えだせる
１つの頂点を求めないと．．．
z^4+1=0(z^2+i)(z^2-i)=0z=±√iで√i=a+biとして解きましたー複素平面も使えるようになりたいです！
√iって定義されてるんですかね…？
あ、その因数分解も出来た
見たことある問題だったんですが、3つ目の解法だけ思いつきました。
複号同順っていう文言の使い方が違う気がします。
極形式パターンしか出てこなかった。まだまだ頭がかたいなぁ...
昨日複素数平面のとこ自習の時に勉強したわ𐤔
力ずくで複二次式で因数分解して解の公式で解きます。っていうか、問題見た時点で気付きました！
分母をそのままでは、ダメですか。
√i はダメなんですか？
裏解法より普通に複素数平面のほうが楽では？
出題者の意図が知りたいところです！
複2次式しか思いつかんかった…
まさか、裏技が「複二次式」だとは思わなかった････💦自分はそれが一番初めに思いついたから････💦
eiπ＝z4。（x＋y）4乗＝−1。z二乗の二乗＝−1。
4次方程式の解の公式使って解きました！
最後の複号同順っているの？
この中で一番手間が掛かるのはz=x+yiと置く解法かな？
3:25しがないでやってた
4次方程式の解の公式を使いました
z^2=±iとしてから複素数平面を考えて、偏角を半分として解く。オイラーの公式を使い、1/4乗して解く。もう一つは？
複素数平面で-1の時はθ＝π4乗は4倍だから1/4の所のπ/4がひとつの解他の解は単位円に内接のπ/4をとる正方形の各点
絶対値1だしね
すみません、π/4が解であることはわかるのですが、何故正方形の各点が他の3つの解になるのか知りたいです。
@@tinydreaminglion5440 さん例えば θ＝3/4πを4倍すると12/4πで1周とπで複素数平面の-1+0πに来ます同様に5/4πは20/4π=5π で2周とπ7/4πは28/4π=7π で3周とπなので解になります9/4π、11/4π､､､､､もπで解ですが0
@@sangorouhorise2530 ご丁寧にありがとうございます。たしかにそれぞれが解として適当？なのはわかるのですが、なぜ"正方形の各点"が解になっているはずだと考えられるのかがわかりません。伝わりにくかったらすみません。
@@tinydreaminglion5440 さんX^n=±1の時の解は複素数平面の単位円上を頂点とする正n角形の頂点を解に取る性質がありますn=5で試してみてください
裏解法と数さんのやつしか思いつかなかった
まずは大きさに変換することがげ現実世界ではじゅうようかとおもう
Z=x+yiって置き方初めて知れた
「そのニュースを見た瞬間に言葉を失ったよ」。字幕なら「即凍ったね」かな
√√−1はダメですかね？？高1で話は全然分かりませんでした笑笑
Z⁸－１＝０ （Z⁴＋１)(Z⁴－１)＝０よって ガウス平面上の単位円周上の８分点からZ⁴ー１＝０の根±１と±i を除いた４根がZ⁴＋１＝０の根で±(1/√2±1/√2i) おしまい
ひと目複二次式の因数分解が見えました。
手癖で複号同順って書きたくなる気持ちはわかるけどｗ
√iと√-iってだめなんですか？
どちらもだめです。開平出来る範囲なので、√の中身が実数で無いような数の定義は、高校数学の範囲では習わないはずです。記述式で、その答えを出すと、良くて三角までしか上げられないですね。
中学生ワイ、複素数は知ってるけど高2高３の発想は出てこないのでz⁴+1の形が真っ先に出ました(隙自語)
コメント欄が何言ってるか分からない高校三年生 勉強します
複2次式
(A^2)^2とふくにじしきとフェラーリこの3つで解いた
9:01 √2で割っているのは何故なのか、どなたか教えて頂けませんか！
どっちでもいいので気にしなくて大丈夫でつ
@@東-b8y ありがとうございます！
最後√２で割る必要ある？分母は有理数のほうがいいんじゃ
見やすさの問題かな多分問題に有理化して答えなさいみたいなのが無かったら見やすいのでも良かった気がする
全部同じやり方にもみえるw
z^4+1の因数分解は有名やね
記述なら因数分解が1番ラクそう
これ、√iとかって答えになりませんか？
その√iか、±(1+i)/2になるので、開平可能な場合は、開平しないとまずいですね。それに√の中身が実数で無いような数の定義は、高校数学の範囲では習わないはずです。
複素数でしか解きたくないレベルでクソ簡単なのよな俺はド・モルガン用に記号すら導入して速攻で解答作ってた
備忘録‘’50G【 円分方程式 z⁴＝ －1 ･･･① 】
【 重要定理 】zⁿ＝ α の解は、円を n等分する■
極形式で、 z＝ cosθ＋𝑖 sinθ と表せるから、
① ⇔ cos4θ＋𝑖 sin4θ＝ －1
⇔ 4θ＝ π＋2π・n
⇔ θ＝ π/4 ＋π/2・n ( n＝ 0, 1, 2, 3 )
⇔ z＝( 1 ± 𝑖 )/√2, (－1 ± 𝑖 )/√2 ■
自分のやった解法
解法1
z=r(cosθ+isinθ)
解法2
z^4=-1⇔z^2=±iよりz=a+biとおいて係数比較
(4乗展開するより楽)
解法3
z^4=-1⇒ z^8=1 これは複素数平面で点(1,0)から始まる正八角形の頂点
明らかに点(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)はz^4=-1を満たさないので
残りの4点が答え(おそらくこれが最速かつ美しい)
いいねー
普通にz^8=1はさむ必要なくないか？
@@焼肉定食-c8v １つの頂点が分かりやすい！
@@kaj694 いや、変わらんやろ
@@焼肉定食-c8v -1の偏角はpi
４分の1して，pi/4の単位円周上，
1/sqrt(2)+i/sqrt(2)
って汚くない？
パスラボ、マスラボ見すぎて一番最初に出てきたのが複２次式だった笑
複２次式(無理矢理因数分解)の解法も思い浮かんで良かった!!
理系やから 複素数も思い浮かんだけど、逆にz=x＋yi(x、yは実数)って考え方は浮かばんかったな〜...
思いついてもめんどいから嫌だって頭から消すよね
今回は珍しく3つとも解法思いついて嬉しい
複数の解法から一つの答えを見つける。数学って美しいな…
こういうの3通りと言われたときに、それほとんど等価やろ、と言われないくらい、全く異なるアプローチで解いて欲しい。
自分の大学の入試問題が出てるの嬉しい😆
すばるさんのおかげで大嫌いだった数学に興味を持つことができて、文系の中ではあるんですが偏差値が65まで辿り着きました。本当に感謝しかありません。
凄いですね！僕もやってやるぞという気持ちになりました。
解が一つ分かれば共役な複素数の解に持つので、(x-α)(x-α')で割ってやるという方法もあります。割る多項式はℝ係数なので筆算で案外いけます。
今回の場合はz^2=iの解を含むので、高2でも気合いで求めることが出来れば、少ない計算でなんとかなります。
I was surprised about the last solution. Thank you for making an interesting video.
最近毎日ひとつは見てますまだ初見で自力でとける問題は少ないけれど解説を聞いて毎日かしこくなってるとかんじます
僕は僕は一橋大学に行きたいので数学頑張ってますこれからもお願いします❗
面白かったです。一番シンプルな解法を見つけてやるぜ！
私の勘違いかもしれませんが、復号を使用するならば、
z=(±1±i)/√2（複号任意）
のような表現になる気がします。
高校数学の教科書で当然のような顔して書いてある 「複素数の積が０ならいずれかは０」 を自明としていいなら (z^2+i)(z^2-i)=0 の形に因数分解して解くのも一つの解法かと。
後は、２つ解法が出て３つ目が出てこなくて困った受験生はこう書くのです。「これはｚの四次方程式だから解は４つ以下だ。そして偶然、そう偶然にも、上になんか２つ解法書いたけどそれを使ったわけじゃなくて偶然にもこの４つの値が解になることを私は見つけたんだ。だからこの方程式の解はこの４つで間違いない」と。
多分一番簡単な解法
動画の3つはどれも思いつきませんでした😭
|z^4|=1より|z|=1
単位円を書いて４倍して-1になる角度は45゜
正方形を書いたら±(√2±√2i)でおわり
解法が複数あっていい問題ですね。試験では高3の方法が早いと思います。
複素平面に丸と45度の線を描いて、そこから90度回した点を描いていきます。4回回ると最初に戻るので、視覚的に4つの解で過不足ないこともわかると思います。
例題z^3.6=-1の異なる解の個数を求めよ。というような想像力や理解を問う問題も解けると思います。
複素数は世界の幅が広がって楽しい
初めて全部思いついて嬉しかった〜
高3理系で複素平面を使うとき、もう少し本質的なことを理解した上で使う様にした方が良いと思う。
複素平面上の点z=x+yi
をrとx軸からの角度θを使って、z=r(cosθ+i sinθ)と表すと、
r=√(x^2+y^2)、
x=r cosθ、
y=r sinθ (0
これは高校範囲内ですか？ギリ範囲内ならそれは趣味の部類に当たります。
複素数平面オイラーの公式を使うのであれば本質を知っておいた方が良いと思った次第です。公式丸暗記ではなく、意味を知って使うほうが応用が効くと思います。複素平面でオイラーの公式を扱っている時点ですでに高校数学の範囲をギリギリ超えているような気が致しますがいかがでしょうか？
この問題をみて最初にやった方法がまさかの別視点の裏解放でした笑
z^4=-1
⇔z^2=i
⇔z=√i
iをかけて90°回転なら
√iをかけたら45°回転になると考えられる
複素数平面上1をで45°回転させると
「sin45°+icos45°」になって計算すると
「(1/√2)+i(1/√2)」が得られる
っていう方法はいかがでしょうか。
それだとz^4=-1 の両辺の平方根をとる作業の時にz^2=iじゃなくて z^2=±iになりませんか？
プラマイナスわすれてるよ！
@@priushiroshi3249 ? どゆこと?
@@12ichinimomme30 ？
@@priushiroshi3249 ±(1/√2)±i(1/√2) という感じですかね
この型の因数分解は積分でも使うから触れておいて損はないね
この問題すごく好き
複素平面に単位円を描いて、４乗して-1になる点を探すというのが、直感的でわかりやすいのでは。
私も同じ考えです。
7:18 これ、虚数の概念を学んだ時に「虚数の虚数、すなわち４乗して－１になる数ってどうなるんかな？」って思って計算して結局ｉで表せるって分かった時めっちゃ感動したなぁ……🥰
-1を移行して
z^4 + 1=0
z^4 - i^2=0
(z^2 + i)(z^2 - i)=0
からz^2=±i
でz=√i,-√i,√-i,-√-i
という考え方をしてみましたが、解が√iはまずかったりしますか？
a+biの形で表すのが最も簡単なのではないでしょうか。iの実部が0であることを利用すればドロドロに溶けると思いますよ
@@プーリえオランダ
この答案が合ってるのか合ってないのかを教えてほしいんだと思いますよ
@@あもう-t9p 数値自体は合っていますが、書き方としては一歩足りない、ということを言ったつもりなのです。1/2と3/6は同じ数値ですが、前者のほうが良い書き方だと言える場合が多いです。実際にテスト等で問題として出された場合は、最も簡単な形で表す必要があることが多いので、そういう意味では、解としてはまずいですね。わかりづらくてすみません。
うーん懐かしいし美しい。文系で複素平面やった世代だけど、アレのおかげで苦手だったベクトルを全部複素平面に置き換えて力技で解くっていうのを本番まで含めてやることができたのを思い出す。
天才か
裏解法しか出てこなかった、、、
わいもw
me too だから難しいんだね。いろんな視点から見ないといけないから。
ぱっと思いつくのは因数分解か極形式
もう一個はなんだろ
@紙牌 その通りでした👌⭕️
言われてみれば確かに、っていう笑
この置換は計算が🦍になりがちなので、次数が低めの時や、変形がうまくいかない時の最終手段として私は使ってますね✨
自分もそれしか思いつかなかった
因数分解って言葉がでできたときに「うわあああっ」で叫んでしまったw
目からウロコですわ
複素数平面でx^2+y^2=1の円とy=±x
の交点っで求まる
今年高3でしっかり全部の解法ぱっと出てきてよかった！別解については自分で作問したことあったので^_^
高1なので間違ってたら教えて欲しいんですけどz=√iではいけないんですか？
√iの記法は高校数学の範囲では習わないはずです。どのみち√iは開平出来るので、かなりまずいですね😅
これ2乗してzの8乗にしてあげれば複素平面の単位円8等分で、4等分が1が解になるからななめのとこってすると頭の中のイメージで解ける
普通に３個と言われたらこれしか無いと
思いついた
最初に思い付いたのが複素数平面でｒ＝１の円を描いて円周上の４か所の４θ＝πになる座標の値でした
式を使わないといけないのかなぁ？
朧げながら正方形が浮かんできた
最後の解法で√2で割る必要はあるのですか？
頭の中で『zの4乗=-1だけど、zの8乗=1になる8つの複素数(正八角形になる頂点)のうち、zの4乗=1になる4つの複素数を除いた残り4つの複素数が答えになるかな？』と思いました。答案はもっとちゃんと書きますが、適当に考える時はこんな感じでやりますかねぇ
数学と全然関係なくて申し訳ないんだけど、広告が宇佐美のウルトラマンのやつで笑った
そうやんいい感じに因数分解できるやん
完全に数弱なんですが、±√iは解にならないのですか...？？
誰か叡智をば...
なりますよ。zに代入して等号が成立するならそれは解です。
√iは複素数で、具体的には(±1/√2)(1+i)です。ちゃんと動画に出てる値と一致していますね。
数学を基礎から超応用まで体系的に理解されてますね。
感心しました。文系の私でも理解できました。
√iぐらいなら既知のものとして使って良いだろうということで±√±iを整理しましたね(本質的には3番目の解法と変わりませんが)
高校範囲では複素数のルートは考えちゃいけないらしい。複素数係数で二次方程式の解の公式が使えない理由です。受験では大丈夫そうだけどテストでは減点されてしまうかも
@@大学生のわたあめてんこもり (√iを求める段階で使うが)極形式も相同条件も複素数の根号も使わずにしようとすると、z^2=±iの段階でz^2=iとz^2=-iの2式に天下り的に解を与える(z^2=iは((√2±√2i)/2)^2=iであるからこれらが解である)とかになるんですかね……ｳｰﾝﾒﾝﾄﾞｸｻｲ
@@Zab_n なぜダメだと言っているのかがわかりません。
そして実際に極表示すれば簡単にルートの計算はできるし、二次方程式を解くときには平方完成すれば減点もされないです。
@@大学生のわたあめてんこもり √a(a>0)の定義が「aの平方根のうち正であるもの」
である以上、符号がない虚数に対して平方根を考えるのは難しいからだと思いますね。
@@tmr_ssbu 今回は複素まで考えているので定義が違いますよ
例えば√ー１＝iです
z^2をxとおいてx=±i z^2=i とz^2=-i
とするのはiが√の中に入ってしまうからダメなのですか？
40年前のことだが、私は工業高校だったので
高１の時に高３理系の複素数平面で電気回路の問題を解いていました。
最後の解答でちょっと気になる点があります。せっかく分母が有利化された状態で解が得られたのにあえて分母を無理数にする意義は何でしょうか？ 分母は有利化しないと減点と習ったような気がするのですが。
有理化しないと減点になるとは限らないです。
今回の場合では√2で割ることで解がすっきりするので割ったのかと思います。
@@ringyo_kokoro 解がすっきり？
@@eggmanx100 √2で割る前と割った後だと割った後のほうが綺麗な形になると思いません？
@@ringyo_kokoro 分母にルートがあると美しくない
@@eggmanx100 価値観の違いってやつですね。
和と差の積マニアなら閃くかもしれない解法…
z^4=1の解を45度回転させた位置にある
さすがド・モアブル
寝起きで頭が冴えていたのか、問題見た瞬間θ＝π/4,3π/4,5π/4,7π/4に点が配置されてるのが見えて秒で答えられた。
そーゆーのってなんですぐわかるんですか？
@@Lucas-sd6wd 複素数の回転を意識するのが大事だと思います。
@@コロンビア-z1f 例えばどんな感じでとかあったら教えていただきたいです😓
@@Lucas-sd6wd ＠１７さんではありませんが
複素平面かじったことがあれば超基本なので見た瞬間に分かります
@@焼肉定食-c8v ありがとうございます
基本から見直してみようと思います
以下の問題も解けるようにしておいた方が良い
以下の方程式を複素数範囲で解け
x^2 + 5|x| - 6 = 0（|・|は絶対値記号）
一見簡単そうだが･･･これは数III範囲だろう･･･場合分けが面倒な問題で以外に記述が長くなる
答えは６個出てくる（±1, ±2i, ±3i）
もしアッと驚く解法が見つかったら教えて欲しい
t=x+1/xって置いてx^4=-1の両辺をx^2で割ったらt^2=2ってなるからt=+-√2
x+1/x=+-√2をそれぞれ求めたら答えが出た
さすがにz^4+1の因数分解がパッと出てくるなぁ
１の8乗根から、±1、±ｉを除いたもの。
２乗するとiか-iになる数。
i^2＝-1ということを知っていた小学生の解法
z^2×z^2＝-1
z^2をAと置くと
A^2＝-1
A＝√-1
A＝i
A＝z^2を代入
z^2＝i
z＝√i
高1です。
疑問に思ったのですが、z＝√iじゃダメなんでしょうか？
もしダメなら教えて下さい。
√iでは、どんな複素数であるか分からないし、開平出来る範囲なので、√iのままではまずいですね😅
それに√iの定義は、高校数学の範囲では習わないはずです😅
すみません！
z=√iと直感で考えたのですがこれが違う理由教えてください！
@@per3301√iを2乗したらiじゃない？
答えだけでよかったら複素数平面上に半径1、中心Oの円書いて後は円周を4等分を頭の中でやれば直接答えだせる
１つの頂点を求めないと．．．
z^4+1=0
(z^2+i)(z^2-i)=0
z=±√i
で√i=a+biとして解きましたー
複素平面も使えるようになりたいです！
√iって定義されてるんですかね…？
あ、その因数分解も出来た
見たことある問題だったんですが、3つ目の解法だけ思いつきました。
複号同順っていう文言の使い方が違う気がします。
極形式パターンしか出てこなかった。
まだまだ頭がかたいなぁ...
昨日複素数平面のとこ自習の時に勉強したわ𐤔
力ずくで複二次式で因数分解して解の公式で解きます。
っていうか、問題見た時点で気付きました！
分母をそのままでは、ダメですか。
√i はダメなんですか？
裏解法より普通に複素数平面のほうが楽では？
出題者の意図が知りたいところです！
複2次式しか思いつかんかった…
まさか、裏技が「複二次式」だとは思わなかった････💦自分はそれが一番初めに思いついたから････💦
eiπ＝z4。（x＋y）4乗＝−1。z二乗の二乗＝−1。
4次方程式の解の公式使って解きました！
最後の複号同順っているの？
この中で一番手間が掛かるのはz=x+yiと置く解法かな？
3:25しがないでやってた
4次方程式の解の公式を使いました
z^2=±iとしてから複素数平面を考えて、偏角を半分として解く。
オイラーの公式を使い、1/4乗して解く。
もう一つは？
複素数平面で-1の時はθ＝π
4乗は4倍だから1/4の所のπ/4がひとつの解
他の解は単位円に内接のπ/4をとる正方形の各点
絶対値1だしね
すみません、π/4が解であることはわかるのですが、何故正方形の各点が他の3つの解になるのか知りたいです。
@@tinydreaminglion5440 さん
例えば θ＝3/4πを4倍すると12/4πで1周とπで複素数平面の-1+0πに来ます
同様に
5/4πは20/4π=5π で2周とπ
7/4πは28/4π=7π で3周とπ
なので解になります
9/4π、11/4π､､､､､もπで解ですが
0
@@sangorouhorise2530 ご丁寧にありがとうございます。たしかにそれぞれが解として適当？なのはわかるのですが、なぜ"正方形の各点"が解になっているはずだと考えられるのかがわかりません。伝わりにくかったらすみません。
@@tinydreaminglion5440 さん
X^n=±1の時の解は複素数平面の単位円上を頂点とする正n角形の頂点を解に取る性質があります
n=5で試してみてください
裏解法と数さんのやつしか思いつかなかった
まずは大きさに変換することがげ現実世界ではじゅうようかとおもう
Z=x+yiって置き方初めて知れた
「そのニュースを見た瞬間に言葉を失ったよ」。字幕なら「即凍ったね」かな
√√−1はダメですかね？？
高1で話は全然分かりませんでした笑笑
Z⁸－１＝０ （Z⁴＋１)(Z⁴－１)＝０よって ガウス平面上の単位円周上の８分点から
Z⁴ー１＝０の根±１と±i を除いた４根がZ⁴＋１＝０の根で±(1/√2±1/√2i) おしまい
ひと目複二次式の因数分解が見えました。
手癖で複号同順って書きたくなる気持ちはわかるけどｗ
√iと√-iってだめなんですか？
どちらもだめです。開平出来る範囲なので、√の中身が実数で無いような数の定義は、高校数学の範囲では習わないはずです。
記述式で、その答えを出すと、良くて三角までしか上げられないですね。
中学生ワイ、複素数は知ってるけど高2高３の発想は出てこないのでz⁴+1の形が真っ先に出ました(隙自語)
コメント欄が何言ってるか分からない高校三年生 勉強します
複2次式
(A^2)^2とふくにじしきとフェラーリこの3つで解いた
9:01 √2で割っているのは何故なのか、どなたか教えて頂けませんか！
どっちでもいいので気にしなくて大丈夫でつ
@@東-b8y ありがとうございます！
最後√２で割る必要ある？
分母は有理数のほうがいいんじゃ
見やすさの問題かな多分
問題に有理化して答えなさいみたいなのが無かったら見やすいのでも良かった気がする
全部同じやり方にもみえるw
z^4+1の因数分解は有名やね
記述なら因数分解が1番ラクそう
これ、√iとかって答えになりませんか？
その√iか、±(1+i)/2になるので、開平可能な場合は、開平しないとまずいですね。それに√の中身が実数で無いような数の定義は、高校数学の範囲では習わないはずです。
複素数でしか解きたくないレベルでクソ簡単なのよな
俺はド・モルガン用に記号すら導入して速攻で解答作ってた