DES CARRÉS ET… THALÈS 🤨
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- Опубликовано: 12 апр 2023
- 🎯 Muscle ton cerveau en faisant de ton quotidien un exercice de maths que tu sauras résoudre 💪 : hedacademy.fr
Une nouvelle aire à calculer au sein d'une figure inédite.
On insiste ici sur l'importance de diviser la difficulté pour arriver à ses fins.
A 1:49, le rire qui signifie la jubilation, l'extrême plaisir intellectuel que les mathématiques procurent, pour peu que l'on bosse et que l'on s'accroche ! En effet, les maths, c'est merveilleux mais, sauf génie particulier que je n'ai pas, ça demande du boulot ! Merci pour ces vidéos qui sont à chaque fois des "pillules de bonheur".
merci encore une fois pour cette bonne humeur communicative
Tout simplement formidable. C'est un plaisir de te suivre depuis Le Sénégal. Merci du partage.
Bravo pour cet exo! En considérant les triangles semblables, on a:
L' aire du grand triangle est (5+10)*10/2 = 75 cm².
L' aire du petit triangle est (3*3) = 9 fois plus petite, c'est à dire 75/9 = 25/3.
L' aire orange = 25 - 25/3 = 50/3.
idem
Merci pour ta vidéo, j'aime beaucoup ton contenu.
Je suis ingénieur en programmation 3d et souvent réviser les base comme ça dans de petits challenges c'est extrêmement stimulant pour moi dans processus de résolution
Merci ,toujours très instructives vos vidéos
🤩,je like comme je suis déjà abonné
Equation de la droite : y= (2/3)*x surface orange =25 - intégrale [ (2/3)*x] prise entre 0 et 5 soit 25 -(1/3)*5² =50/3
@Michel Bernard Très élégante votre démonstration
Pas mal ! La méthode est plus complexe même si le calcul de l'intégrale n'était pas si compliqué.
@@nks_flash Certes, mais on peut rester au niveau de la 3ième en disant que pour x=5 la droite y= 2x/3 coupe le petit carré à l'ordonnée (2*5/3) soit 10/3, la surface orange vaut alors 25 -[(10/3)*5/2] = 25 - (50/6) =50/3
@@michelbernard9092 Cette méthode est en effet plus accessible pour ceux qui ne savent pas encore calculer des intégrales et des primitives.
Oh que c'est compliqué ça pour moi.
Voir une équation de droite et une intégrale ici, faut être vicieux ... euhh non, matheux.
Où voir l'équation y=2×/3 ?
Ou y=(2/3)× ?
C'est si simple de faire de façon visuelle comme montré sur cette vidéo.
Il en faut pour tout les goûts. 😂
Et j'ai beau, lire et relire ta solution je ne la comprends pas.😢
NE CHERCHE PAS A M'EXPLIQUER, ce serait du temps perdu.
Désolé.
Je me suis compliqué la vie pour trouver 10/3 avec ce bon vieux Pythagore alors que le non moins vieux Thalès le donnait presque directement. Néanmoins, je ne suis pas peu fier d'être arrivé à la solution. Merci à toi !
Je connaissais le calcul de l'aire du trapèze. Ca plus Thalés et j'ai vite trouvé le résultat.
Autre méthode :
- Les triangles sont semblables
- Le rapport des côtés est de 3
Donc le rapport des aires est de 9.
Donc à partir de l'aire du grand triangle, on trouve celle du petit, etc.
C'est tellement bien expliqué
moi pour l'aire du petit triangle, je suis passé par l'aire du grand / (rapport au carré)
donc :
25 - 15 X 10 / 2 / (15/5) ²
25 - 5X3X5X2/(2X3X3)
25 - 25/3
25 X (1 - 1/3)
25 X (2/3)
50/3 = 30/3 + 18/3 + 2/3 = 16,66666666666... (pas besoin de calculatrice 🙂)
Suis prof de maths et suis parfaitement en encore avec ton approche pédagogique !
Bravo
Tu ajoutes un petit carré et tu as un grand rectangle de 10x15=150 avec une diagonale qui le découpe en 2 triangles de 75. Ce grand triangle possède une surface 3² fois plus grande que le petit triangle blanc car son coté de 15 est 3 fois plus grand que le coté de 5 du blanc.
Bref ce petit triangle blanc a une surface de 75/9 ou 25/3 et on conclut de la même façon que la vidéo.
Excellent !
Une petite intégrale , c'est sympas aussi ;) Intégré de 0 à 5 sur ( 5-10/15 x) dx
Très bien mais tu n'auras que la moitié des points ! Il manque cm² dans la réponse
Franchement j'ai grave aimé 👍
là je suis à l'aise, sans hésitation merci
Le triangle blanc et le triangle dans le grand carré sont semblables => la droite coupe le côté gauche du grand carré en deux segments qui doivent être dans un ratio 1/2 => le côté droit du triangle blanc vaut 1/3 du côté du grand carré = 2/3 du côté du petit carré => la surface du triangle blanc vaut 1/3 de la surface du petit carré => la surface verte vaut 2/3 de la surface du petit carré
Superbe démonstration
On peut calculer l'air du grand triangle A(gt) directement et par proportionnalité (au carré vu que c'est l'air) on peut calculer l'air du petit triangle A(pt) .
A(gt) = 15*10/2 = 75
A(pt) = 75 *(5/15)² = 75 * (1/3)² = 75/9 = 25/3
A(orange) = A(carré) - A(pt) = 25-25/3 = 50/3
Si l' un des côté du petit carré vaut 5 cm, ce dernier sera la base du du petit rectangle et pour trouver la hauteur du petit rectangle, il faut trouver l' air du petit carré moins l' air du petit rectangle . Exemple : base 5 vaut 4 x 1, 25 . La HT vaut 3 x 1 , 25 = 3, 75 x 5/ 2 = 9 , 375 cm², soit 3/56 ( petit rectangle) . Petit carré orange vaut 5 x 5 = 25 cm² . 25 - 9, 375 = ( 15 , 625 cm² ) partie verte, soit 5/56 ème ) Et le grand carré orange vaut 150 m², soit 48/56 ème . FG globale = 175 m² .
A l'époque j'aimais pas les exercices avec Thalès car je ne comprenait rien au truc, j'avais juste retenu qu'il fallait des droites parallèle et un vague souvenir d'une formule de proportionnalité entre les longueurs à apprendre par coeur
Et là des années... décennies... plus tard je comprends enfin à quoi ça sert! Merci prof!
C'est le problème du manque de pédagogie de la plupart des enseignants et des programmes. Ils ne sont pas conçus autour de l'application réelle au quotidien. Par exemple au Québec le théorème de Pythagore est systématiquement associé à la pratique avec la démonstration de la corde à noeuds du maçon qui lui sert à construire un angle droit.
Alors j’ai pris un chemin de traverse : j’ai calculé l’aire du trapèze (L+l)*h/2. h=L=5 => A=(25+5l)/2. J’ai utilisé Thalès mais sur le triangle du haut 😅 15/10=10/x (x étant la hauteur du triangle rectangle du haut). x=100/15 => l=(100/15)-5=(100-75)/15=5/3
Je remplace dans la formule de l’aire du trapèze : (25+(25/3))/2=100/6=50/3 😂 Bon, je suis déjà content d’avoir trouvé la réponse…
C’est pour cette raison qu’il n’y a aucun calcul pour Pythagore puisque les trois triangles sont semblables après avoir tracé la hauteur qui part de l’angle droit à l’hypoténuse. Cherchez “Pythagore sans calculs” sur la Toile. Bien à vous
Si le coin bas gauche du petit carré (s'il y avait une notation des points cela aurait été plus simple) est l'origine du repère orthonormé, l'équation de la droite inclinée serait : y=(2/3)*X. À x°=5, y°=(3/3)*5=10/3.
La suite reste la même.
Merci !
Une approche similaire, mais plus simple au niveau calcul :
Le petit triangle est aussi similaire avec le triangle supérieur du grand carré, mais avec un rapport x2.
On en déduit que le côté du grand triangle vaut 10x2/3=20/3.
La petite base b du trapèze vaut donc
b=20/3-5
La grande base B du trapèze vaut
B=5
La hauteur H du trapèze vaut
H=5
Aire Trapèze A vaut
A= (b+B)*H/2
A=(20/3-5+5)*5/2
A=20/3*5/2=10*5/3=50/3
A=50/3 unités ^2
Autre méthode pour calculer la surface du petit triangle :
Le rapport des distances (petit triangle, grand triangle) est x3, donc rapport des surfaces est x9.
Surface grand triangle 10x15/2 = 75
Surface petit triangle : 75/9 = 25/3
Le petit carré de côté a, le grand de côté A
Avec thales, on peut dire que
A/(Le côté vertical du petit triangle)=(A+a)/a
15/5=10/X
X=10/3
De là l'aire du petit triangle,
5 x 10/3 /2
50/6
25/3
L'aire du petit carré étant 5x5=25, l'aire recherchée est
25-25/3
50/3
Surface du petit carré : 25 cm²
Surface non hachurée : ½ × 5 × 5×⅔ = 25/3 cm² ≈ 8,33 cm²
Surface hachurée : 50/3 cm² ≈ 16.67 cm²
Bravo bravo...
Yesssss!!!☝️🤓👍
donc l'aire orange est égale à celle du rectangle de 5cm x 10/3 (ou 2x l'aire du petit triangle rectangle), cad 50/3
Quand on calcule la situation équivalente dans le grand carré, on retrouve la même chose : l'aire du parallélogramme est également égale à 2x celle du triangle rectangle, cad 200/3
C'est dû à quoi ? Au choix des valeurs, au théorème de Thalès, ou à autre chose ?
merci
Pas vraiment besoin ni de thales ni de triangles similaires.. on a : tanÂ=x/5=10/15 donc x=10/3 et le problème est résolu.
Parler de pente x/5=10/15 est plus simple encore.
TROUVEZ la longueur du côté du carré qui équivaut à la surface des 2 carrés ,en ne traçant qu'une seule ligne ?
Aire d'un trapèze je trouve ça plus rapide mais le résultat et la démarche est la même.
A=(petite base + grande base)*hauteur/2
Il y a de multiples façons de procéder pour arriver au résultat le professeur arrive au plus près avec 10 + 20/3 = 16,66 peut on faire plus précis , j'essaie en prolongeant le sommet du petit carré jusqu'à la diagonale du rectangle j'obtiens un grand triangle égal à la partie dont on cherche la surface + un petit triangle le côté horizontal de ce petit triangle vaut 2,5 l'autre côté se calcule facilement il est égal à 5/3 j'arrive à (37,5 - 4,16) / 2 33,34 / 2 = 16,7 on va pas se chamailler pour cela ! notez au passage qu'on a bien 10/3 + 5/3 = 15/3 = 5 pas d'erreur .
Bon alors pour ne pas faire son galérien comme le monsieur, voilà comment on torche cette petite chose.
On ressort son cours de CM1 qui nous dit que l'aire d'un trapèze est égale à (a+b).h/2 (où a et b sont les longueurs des côtés parallèles et où h est la hauteur). Ici, on a a=5, h=5 et il reste à calculer b.
Maintenant on utilise le fait que les deux triangles du bas de la figure sont en situation de Thalès. Il en ressort que (5-b)/10=5/15 donc 5-b=10/3 donc b=5/3.
On peut maintenant appliquer notre formule : l'aire vaut (5+5/3).5/2=100/6=50/3.
Voilà on a fini et le monsieur rame encore.
Tres bien
J'ai un petit défi pour vous:
Résoudre 4x²= racine carrée de (x) +3 de façon ALGÉBRIQUE. Je sais qu'en faisant essais-erreurs on obtient x=1 mais essayez de trouver une méthode ALGÉBRIQUE pour la résoudre.
Tu pose la division euclidienne de 50 par 3, 50 = 3*16+2 donc 50/3 = 16 +2/3 soit environ 16,67 cm^2
On retrouve évidement le rapport de 3 dans les surfaces (petit triangle = 1/3 de petit carré)
Faux, par 9 (3 au carré) ^^
@@samuelbenet007 je maintiens, petit triangle = 1/3 de petit carré.
l'aire du petit carré = 5 cm x 5 cm = 25 cm^2
l'aire blanche = 5 cm x (10/3) cm ÷ 2 = (25/3) cm^2
l'aire verte = l'aire du petit carré - l'aire blanche = (25 - (25/3)) cm^2 = (50/3) cm^2
A l'époque, 50 tiers divisé par 2 ça faisait direct 25 tiers. Mais beaucoup se plantaient c'est vrai.
Excellent ces petits exercices pour travailler les neurones, moi je les adore, mais ma fille de 3e à qui je les donne à faire, beaucoup moins 😁
Le “frère” de Goku était bon en math 😂
On pourra remarquer que c'est 2/3 de la surface du petit carré vu que le triangle c'est 1/3 de la surface.
Et de même pour le grand carré,
L'air du grand triangle = 1/3 de l'air du grand carré et l'air du grand trapèze = 2/3 de l'air du grand carré.
Trouvé, cependant, je pense que pour les prochains exercices, n'indiquez pas "Thalès" dans le titre pour voir si les gens y pensent.
C'est marrant, j'ai comparé le petit triangle et celui opposé par son sommet. J'avais pas vu le grand triangle de base 15.
Pareil pour moi. Les deux triangles semblables sautaient aux yeux 😅
J'avais utilisé Pythagore pour trouver le petit côté XD pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué !
Au début c'est pas vraiment deux manières différentes de trouver 10/3 parce que la première c'est exactement le raisonnement du théorème de Thalès mais sans le citer.
On peut utiliser la tangeante alpha.
Il y a une autre possibilité en utilisant le théorème de thales, le petit triangle blanc et le grand triangle orange même calcul même raisonnement ,je suis étonné que tu n'aies pas fait mention, 😮
Ta méthode nécessite une équation donc c'est pas très intéressant. Pour 90% des exercices il y a plusieurs méthodes, c'est pas forcément intéressant d'en parler sauf si l'une des méthode apporte un réel plus.
Une question : on n'apprend plus la division euclidienne à l'école ?
On ne sait plus faire 50÷3 en posant la division ?
Si si ne vous inquiétez pas, on continu de bourrer le crâne de nos gamins avec des trucs complètements inutiles qui ne leur serviront jamais ...
Parce que oui, dans la "vrai vie", il lui sera bien plus utile de savoir aproximer un résultat que d'en connaître la valeur exacte au 100millième près ...
(D'ailleurs ici le résultat n'est pas fini...)
@@Vivianus88
Je suis ingénieur et je peux vous dire que des divisions j'en ai faites, que ça m'a beaucoup servi, et que si on sait faire une division on sait aussi approximer.
Par contre, à l'école, vous auriez dû faire un peu plus attention à l'orthographe.
Oui
L'aire du carré est 3 fois plus grande que l'aire du petit triangle blanc. Est-ce un hasard que se soit justement le facteur d'agrandissement entre le petit et le grand triangle ?
C'est pas un hasard mais c'est faux! Si les longueurs sont multipliées par x (ici 3) les aires sont multipliées par x² donc 9.
Vous m'avez mal lu je pense. J'ai fait un test avec petit carré de longueur 5 et grand carré de longueur 20. Donc un agrandissement par 5 (de 5 à 25). On trouve l'aire du petit carré toujours à 25 et l'Aire du petit triangle blanc 5 * (20/5) / 2 = 10 -> Ratio 25/10=2.5 : On ne retrouve pas le facteur d'agrandissement de 5 (des deux triangles) entre les deux Aires du petit carré et du petit triangle. C'était donc un pur hasard ! Cqfd mais hier soir j'avais pas le courage :D
Application de la conséquence du théorème de Thalès et le tour est joué
Oh j'avais même pas repéré la différence de couleur. Je voyais que l'information que c'était cette aire là.
16,67
Mieux encore, 50 est presque égale à 51 or 51=17*3 donc tu t'en sortait avec ça
cm²
Ça fait des points en moins quand on oublie ;-)
Je suis passé par la droite y=2/3 x et apres pythagore et c'est bon. 25 moins l'aire du petit triangle blanc.
Ahahaha j'avais totalement oublié tales, j'ai fais de la trigo comme un con sur la miniature 💀
👍👍👍
👍👍
Thales est notre ami :)
Je dois être pervers je suis passé par la trigo ,c'est loin d'être plus simple ,mais pas vraiment plus compliqué ,bien que pas très élégant
G réussi des que g vu le titre gg😊😊
100/6.
On simplifie par 2 donc 50/3. C'est toujours bien de rendre les fractions irréductibles ;)
17 cm Carré car c'est une air
tjs les mêmes pb Thalès et Pyth lol on peut pas dire directement que c'est les 2/3 de 25? c tellement évident, intuitif!
et si le petit carré avait un côté de 7cm ... ce serait toujours aussi intuitif ?🤔
c'est quand même moche une fraction, rien ne vaut un bon nombre entier
Peux tu exposer plus en détails ta théorie sur l'esthétique des nombres ?
@@martin.68 c’est pas vraiment une théorie c’est plus une histoire de préférence, tout comme certains n’aiment pas les nombres impairs ou les nombres pas ronds, moi j’aime quand les nombres sont entiers, à la limite 1/2 ça passe mais le reste des nombres décimaux je trouve ça un peu moche, et je ne parle même pas de ce qui se trouve dans Q et dans R, tout bonnement infâme 😂
@@kazeman1698 Intéressant, tu devrais proposer une classification des nombres en fonction de leur niveau esthétique. Une sorte d'échelle de Kazeman qui serait enseignée aux futures générations 😉.
On pourrait par exemple imaginer que les termes d'un polynôme seraient ordonnés en fonction du niveau esthétique de leurs coefficients et non de leurs degrés comme c'est le cas actuellement.
@@martin.68 ça existe déjà, on appelle ça les ensembles de nombres 🙂
J'aurais fait autrement.
J'aurais défini la fonction de la droite qui traverse les carrés par une fonction f(x) = ax + b => f(x) = (2/3) x.
J'aurais ensuite calculé l'intégrale de 0 à 5 (largeur du premier carré) => 25 / 3
J'aurais ensuite soustrait cette valeur (25/3) à l'aire totale du carré (5x5 = 25) => 25 - 25/3 = 50/3
Bv