どっちがでかい

[@kantaro1966]

資産２倍になる７２の法則とは？
ruclips.net/video/KuaJCmW3xRQ/видео.html

[@KT-tb7xm]

左側の数の2項展開の1項目と6項目の和を力技で考えました。
(1 + 0.11)^111
> 1 + C[111 , 5] * 0.11^5
> 111*110*109*108*107/120 * {1.1 * 10^( - 1)}^5
> 111*110*109*108*107/120 * 1.61051 * 10^( - 5)
> 0.9 * 10^8 * 1.61051 * 10^( - 5)
> 10^3 * 1.449459
= 1449.459

[@ironia006]

(1+0.11)^111を二項展開で第4項まで計算して比較しました

[@kiss_off]

途中の計算に間違いがありましたので取り消します。すみませんでした…。
いつもの常用対数の範囲から証明する方法で。
111log1.11 vs log1111
3

[@Kansyoku]

結構力技でしたね
x^y VS y^x
の問題のようなエレガントな解き方があるのかと

[@ハンドルネーム-r1l]

7乗の時点で2越えるので2^15よりは大きいことはすぐわかりますね

[@sangorouhorise2530]

年利11%とは　　「先生も悪よのう」「へっへ利息制限法はこえてません」

[@vacuumcarexpo]

利子が年利11％の口座に1円を111年間預けるといくらになるでしょう？ただし、毎年1円未満の端数は切り捨てとします。

[@PC三太郎]

1.11^7>2 はきちんと示さないと使えない（示せば使えます。）ので、後半の 1.11^{10}>2 を示して使う方が無難ですね。
あと1.11^{111} が1111に比べて明らかに大きな数ということからして、シャープではない評価でも対処できそうだとつかめました。

[@no_darts_no_life]

1.11^111はもはや11111より大きい。指数の力‥恐るべし
(解答)
1.11^111=1.11^4・27×1.11^3
=(1.11^4)^27×1.11^3
>1.5^27
=(1.5^2)^13×1.5
=(2.25)^13×1.5
>2^11
=2028
>1111

[@mips70831]

おっしゃるとおり、1.11^111　ぐらいなら、iPhone を横にして関数電卓モードにすればすぐ出てくる。
で、実際に計算すると相当大きさに開きがあることもわかる。
ということは左側を小さめに見積もってざっくりと計算しても示せそう。
ということで、72の法則は思いつきませんでしたが、1.11は多少丸めながら計算しても8乗すると2を超える
111÷8=13.7･･･
1.11^111＞2^11＝2048＞1111
とやったのと。
そもそも1.11^111　は小数があるから計算しにくい。
ということで両者を100^111倍する
左側は　1.11^111×100^111＝111^111
右側は　1111×100^111＝1111×10^222
　　　　　　　　　　 ＝(10^3+10^2+10+1)×10^222
　　　　　　　　　　 ＝10^225+10^224+10^223+10^222　　･･･（1）
111^111>(100+10)^111=(10^2+10)^111=10^222+₁₁₁C₁10^221+₁₁₁C₂10^220+･･･
ここに出てくる2項係数はかなり大きな数なので、10^n 単位で小さめに見積もってやって何項か計算すると（1）を上回ることは分かる
ということでも示してみました。
本日も勉強になりました。ありがとうございました。

[@みふゆもあ]

解けました〜😊
圧倒的に左が大きいのだから、ゆるゆるな評価でオッケー！
パスカルの三角形を10段まで書いて
1.1^10>2.59 がわかりましたので、
1.11^111>(1.1^10)^11>2.59^11>(5/2)^11=48828125/2048=23841.8...>1111
パオ〜ン！🐘

[@kiss_off]

解き直しました。
111log1.11>log1111
← 111log(11/10)>log(11^3)
← 111(log11-1)-3log11>0
← 108log11>111
← log11>111/108
最後の不等式が証明できれば良い。
log11は概算で1.04くらいはわかっているけれど、上の不等式を示すためにはけっこうな桁数の計算が必要になるので
log121>log120=2log2+log3+1 ..(1)
ここで
2^10=1024>10^3 から log2>3/10
3^21=10460353203>10^10 から log3>10/21
これらを用いて (1) は
log121>2×(3/10)+(10/21)+1=218/105
∴ log11>109/105=1.038...>111/108=1.027...
これで 1.11^111>1111 が示されました。

[@kiss_off]

右を一桁増やしたのも同じように。
111log1.11>log11111
← 111log(11/10)>(log121×100)
← log11>113/109=1.036...
log11>1.038... は先のコメントで示されているので、これで 1.11^111>11111

[@yamachanhangyo]

この問題、対数かな～～それとも二項展開かな～～と迷う問題ですなｗ
対数なら底を10にしたいが、どうにも小数が邪魔。
じゃあ二項展開なら1+0.11…を考えてみたけど、こんどは1111をうまく小さくするにはどうするんだろう？…というところで視聴。
11をうまく使えばやれそうだが…と思ったら、意外と？素直な問題だったｗ
もし実際の入試で出たら、色々迷った挙句に…というパターンになりそう。

[@nonchinkan1]

またまた72の法則がでるとは、勉強になりました。

[@とど-q7h]

72の証明は難しいが100は簡単である
(1+a/100)^nが2以上になるnを雑に探す
(1+a/100)^n>1+na/100
na/100=1
n=100/aを切り上げたものであれば2以上が数学的に保証される
1.11¹⁰>2
(1.11¹⁰)¹¹>2¹¹=2048>1111

[@jhmt]

底を１．１１にして対数とったら１１１ｖｓ４になってあれ～って悩みました。間違ってるのかなって。

[@Kansyoku]

右辺が4にはならないです！
1.11^4≠1111なので！

[@maddux2007]

やはり、こういうふうに尋ねられたときは、態度のデカい方を選ぶのがよろしいとされてますね。

[@ergosum4620]

二項定理を利用して, その第 6 項のみの大きさを評価しました.
1.11¹¹¹＝(1＋11/100)¹¹¹＝∑[r=0,111]₁₁₁Ｃᵣ(11/100)ʳ > ₁₁₁Ｃ₅(11/100)⁵ > 11⁵/5!＝11･(11/2)(11/5)･(11/3)(11/4)＝11･(121/10)･(121/12) > 11･12･10＝1320 > 1111

[@negicalcio2344]

息子がパスカルの三角形使って、
1.1の8乗で2を超えるから、
(1.1の8乗)の13乗と2の13乗で比べて、
1.1の104乗 ＞ 8192 だから・・・
というふうに解きました。
ちなみに小２です。先日数検３級に合格しました。数年後、有名になると思います。
父として負けないように頑張ります。

[@randomokeke]

111,111でいい勝負なのかー。
２%昇給で5年で１割です！て言われて、は？もっとだろ！と思ったら1.104であながち間違ってなくてちぇ、と思ったことがある。

[@vacuumcarexpo]

例によって、また、ポン吉郎ですわ。真面目に書くとポン吉郎❗

[@石川洋臣]

外食は子ども食堂月一度
　きのうは二項展開で行きづまり、けさ、対数で行けました。111¹¹¹×10⁻²²²で、333桁の右から222個目に小数点が付くから、はるかに1.11¹¹¹のほうがでかい。どうでしようか。どうも、お粗末でした。ありがとうございました。
　300円、お土産付き。

[@中村吉郎]

｢五月雨(さみだれ)に　貯金すれば　財をなす｣ ｢数学に　反射神経　必要だ｣　明快な解説に感謝します。

[@kosei-kshmt]

秋雨に　浪費すれば　貧をなす
m(_ _)m

[@中村吉郎]

​@@kosei-kshmt様　貴殿の見事な名句を、味わさせて頂きました。感謝申し上げます。