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数学ナイトキャンプの申し込みはこちらからLINEまたはメールにて！！sites.google.com/view/kawabatateppei
角出しして直角三角形は気づけませんでした。△ABI+△BCI+△BFI+△FAI=四角形ABCF2r+2r+(1/2)(4-r)+(5/2)r=10で解きました。
@@xxxxxyasuここに書くなよ。
前半は具体的長さ迄求めず345の直角三角形の4/3倍を示すだけで十分後半は解法ⅰS=ab/2=r(a+b+c)/2r=ab/(a+b+c)r=ab(a+b-c)/((a+b+c)(a+b-c))r=ab(a+b-c)/((a+b)²-c²)r=ab(a+b-c)/(a²+b²-c²+2ab)r=(a+b-c)/2解法ⅱ(a-r)+(b-r)=cr=(a+b-c)/2と代数的には同じ結論になり(4/3)(3+4-5)/2=4/3⚠追加abcは動画の△ABCの各辺と対応していません🙇余談ピタゴラス三角形の内接円の半径は整数m²+n²,2mn,m²-n²→n(m-n)
三辺の長さが3cm、4cm、5cmの直角三角形の面積が6cm²なのでS=1/2r(a+b+c)に代入すると1/2r(3+4+5)=6つまりr=1となる。この計算も覚えてると省略できるので、あとは4/3倍したものが求める長さ。計算としてはこちらの方が求めやすいですね。
私もこの方法で考えました。他は分数が出てくるようになるのでこの解き方がわかりやすいと思います。
次結局は力技ですが、範囲を絞るという整数問題の基本を踏まえて効率よく力技を使うという所でしょうか。クイズ問題なら、恐らく250円ではなく270円とかにしろで、「10円を使って残りの数が50円、100円で作れるようにしろ」と誘導が掛かります。しかし250円だと「10円を使わない」選択肢が出来るので、抜けを無くすことが重要になります。簡単な例とはいえ、これを如何に数式に表現するか、が重要。10円、50円、100円をそれぞれx, y, z枚、x, y, zいずれも≧0の整数とすると、10x+50y+100z = 250 ⇔ x+5y+10z = 25zの取れる範囲は0, 1, 2 あとは虱潰しz=0ならx+5y = 25、(x, y) = (25, 0), (20, 1), (15, 2), (10, 3), (5, 4), (0, 5)z=1ならx+5y = 15、(x, y) = (15, 0), (10, 1), (5, 2), (0, 3)z=2ならx+5y = 5、(x, y) = (5, 0), (0, 1)で12通り。あるいは、x+5y+10z = 25 ⇔ 5y+10z = 25-x ⇔ y+2z = (25 - x)/5左辺は0以上の整数なので右辺も0以上の整数。xが取れる範囲は、0, 5, 10, 15, 20, 25で、対応するy+2zはそれぞれ5, 4, 3, 2, 1, 0。あとは同様に虱潰し。
素敵なデザインのパーカーですね😉
前半と後半の2通りで解いてみました。角出しして345の直角三角形が作れるかが一番のポイントですね。
面積を使うけど相似は使わない解き方でいけそう。△ADEは皆さんご存知、3:4:5の直角三角形。台形ABCEの面積は、{(1+4)*4}/2=10。←正方形から△ADEを引いても可。円の半径をrとする。台形ABCEの4つの頂点と円の中心を直線で結ぶと4つの三角形ができる。台形ABCEの4つの辺を底辺として三角形の面積をrで表すと、底辺はそれぞれ4、4、5、1で、底辺1の三角形は高さが(4-r)、1以外の3つの三角形は高さがr。あとは、動画と同様にrで表した三角形の面積の和=10の方程式を解けば、r=4/3
EDの長さが4-1=3。さらにDAは正方形の一辺だから4。すなわち三角形EDAは辺の長さ3:4:5の直角三角形なので、そこから三角形ABFは辺の長さが三角形EDAの4/3倍の相似な三角形と言える。そこからは先生のやり方と同じ。
ECを底辺として円の中心までの三角形の高さを(4-r)とおいて、4つの三角形の面積を表す方程式を作ってrを求めました。
ということで直角三角形における内接円の半径の公式は（直角をなす二辺の和－斜辺）÷2
直角三角形ADEは 3:4:52r=4+16/3-20/3
最初のAFの長さを、辺の比でって、言ってましたが、三角形ADE（辺の比が3:4:5）と三角形ABFが、平行の錯角で相似でAB:AFが、3:5ってすぐ出ましたね。
3:4:5の三角形が出たのなら3:4:5の三角形の内接円の半径は1でこの三角形は三分の四倍なのでR＝三分の四となります
内接円の半径を求める公式は、何となく暗記していましたが、導き方は全く覚えていませんでした。証明を聞くと「何だ簡単じゃん」となりますが、なかなか身に付かないものですね。
3:4:5の三角形が出来るとは上手く出来てるもんだなあ。後、3つの三角形に分けて計算するのは良く出来てる。後半のやり方はもっと簡単だけど接線の長さが等しいとはよく覚えておこう
悩みましたが両方とも思い付きました。
なるほど面積から出すのかぁ。図形はいろんなパターンがあるから苦手
大人ナイトの方に鈴木貫太郎先生はじめ数学系RUclipsr大挙して参加しないかな・・・で、みんなで問題出し合って他の人が解くという最初の趣旨と違う企画になる(ないだろうけど）さて、次の問題力業10円玉をA、50円玉をB、100円玉をCとする。250円になる組み合わせ①25A5A=1Bだから②20A+1B③15A＋2B④10A＋3B,⑤5A+4B⑥5B10A=1Cだから⑦15A+1C⑧5A+2C2B=1Cだから（①～⑧との重複除く）⑨10A＋1B＋1C⑩5A+2B+1C⑪1B+2C⑫3B+1C答えは12通り
11:08ここ斜辺以外で計算すると０になって斜辺で計算すると値がでるわけですがいまいち理屈が分かりません。なぜ斜辺の長さでしか求められないのでしょうか？
＞ここ斜辺以外で計算すると０になってどういう式を立てられた結果そのようになったのか、示すことは可能ですか？イマイチ何をおっしゃっているかがわからなくて…。
Aから斜めの接点までをXとすると、接点からFが20/3-X。Aから縦の接点もXになるから接点からB(=r)は4-X。BF16/3=(4-X)+(20/3-X)で計算すると結果rが4/3にたどり着くのでどこを基準にしても同じ答えになると思います。どこかでケアレスミスしてるのかも知れないのでもう一度試してみてください😊
@@cafe_rumba (4-r)+r=4っていう方程式です！
数学難し・・・
@@ビビVV いやそれ方程式じゃないんですけど…。
右上の3:4:5に内接する円と、左下の大きな直角三角形に内接する円の半径は、外接する直角三角形の相似比に等しい。
先生が着てるパーカー欲しいです！どこで手に入れたんですか？メーカー等教えて下さい！
r＝(3+4-5)/2 ×4/3＝4/3
解説ありがとうございました。解き方がもう一ヶあります。r=（b＋c－a）÷２😊
台形abceに内接する円として、半径rを求めました。
2番目の方法で解きました加えて、△EDAが3:4:5の三角形なので、錯覚からの相似で△ABFの辺のも3:4:5と分かるので、BFとAFの算出が容易になると思いました図形の問題は様々なアプローチができるので面白いですが、その分難しい印象があります
円の中心的を下に下ろして4-rで良い
1/2r(a+b+c)を公式と言わないで欲しいなぁ…当たり前のことだしな。数学は暗記ではないよ。少なくとも大学院進むまでは。
1*4/3 =4/3
3:4:5の内接円の半径は1と覚えてるから瞬殺だった
オー、内接円。中学生の問題は、いつも頭の体操になっていいなー。ありがとうございました。
たのしい
パーカーのクセが。
次回のヒントとりあえず100円玉を使わない場合、1個だけ使う場合、2個使う場合に分けて考えてみる
円の接線が、中心からの推薦と直角を成すという「事実」を、真っ先に説明すべきじゃね?白板の円が、微妙に歪んでいるあたり、意地悪ささえ感じる
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角出しして直角三角形は気づけませんでした。
△ABI+△BCI+△BFI+△FAI=四角形ABCF
2r+2r+(1/2)(4-r)+(5/2)r=10
で解きました。
@@xxxxxyasu
ここに書くなよ。
前半は具体的長さ迄求めず
345の直角三角形の4/3倍を示すだけで十分
後半は
解法ⅰ
S=ab/2=r(a+b+c)/2
r=ab/(a+b+c)
r=ab(a+b-c)/((a+b+c)(a+b-c))
r=ab(a+b-c)/((a+b)²-c²)
r=ab(a+b-c)/(a²+b²-c²+2ab)
r=(a+b-c)/2
解法ⅱ
(a-r)+(b-r)=c
r=(a+b-c)/2
と代数的には同じ結論になり
(4/3)(3+4-5)/2=4/3
⚠追加
abcは動画の△ABCの各辺と対応していません🙇
余談
ピタゴラス三角形の内接円の半径は整数
m²+n²,2mn,m²-n²→n(m-n)
三辺の長さが3cm、4cm、5cmの直角三角形の面積が6cm²なのでS=1/2r(a+b+c)に代入すると
1/2r(3+4+5)=6
つまりr=1となる。この計算も覚えてると省略できるので、あとは4/3倍したものが求める長さ。計算としてはこちらの方が求めやすいですね。
私もこの方法で考えました。他は分数が出てくるようになるのでこの解き方がわかりやすいと思います。
次
結局は力技ですが、範囲を絞るという整数問題の基本を踏まえて効率よく力技を使うという所でしょうか。
クイズ問題なら、恐らく250円ではなく270円とかにしろで、「10円を使って残りの数が50円、100円で作れるようにしろ」と誘導が掛かります。
しかし250円だと「10円を使わない」選択肢が出来るので、抜けを無くすことが重要になります。
簡単な例とはいえ、これを如何に数式に表現するか、が重要。
10円、50円、100円をそれぞれx, y, z枚、x, y, zいずれも≧0の整数とすると、
10x+50y+100z = 250 ⇔ x+5y+10z = 25
zの取れる範囲は0, 1, 2 あとは虱潰し
z=0ならx+5y = 25、(x, y) = (25, 0), (20, 1), (15, 2), (10, 3), (5, 4), (0, 5)
z=1ならx+5y = 15、(x, y) = (15, 0), (10, 1), (5, 2), (0, 3)
z=2ならx+5y = 5、(x, y) = (5, 0), (0, 1)
で12通り。
あるいは、x+5y+10z = 25 ⇔ 5y+10z = 25-x ⇔ y+2z = (25 - x)/5
左辺は0以上の整数なので右辺も0以上の整数。
xが取れる範囲は、0, 5, 10, 15, 20, 25で、対応するy+2zはそれぞれ5, 4, 3, 2, 1, 0。あとは同様に虱潰し。
素敵なデザインのパーカーですね😉
前半と後半の2通りで解いてみました。
角出しして345の直角三角形が作れるかが一番のポイントですね。
面積を使うけど相似は使わない解き方でいけそう。
△ADEは皆さんご存知、3:4:5の直角三角形。
台形ABCEの面積は、{(1+4)*4}/2=10。←正方形から△ADEを引いても可。
円の半径をrとする。
台形ABCEの4つの頂点と円の中心を直線で結ぶと4つの三角形ができる。
台形ABCEの4つの辺を底辺として三角形の面積をrで表すと、底辺はそれぞれ4、4、5、1で、
底辺1の三角形は高さが(4-r)、1以外の3つの三角形は高さがr。
あとは、動画と同様にrで表した三角形の面積の和=10の方程式を解けば、r=4/3
EDの長さが4-1=3。さらにDAは正方形の一辺だから4。
すなわち三角形EDAは辺の長さ3:4:5の直角三角形なので、そこから三角形ABFは辺の長さが三角形EDAの4/3倍の相似な三角形と言える。
そこからは先生のやり方と同じ。
ECを底辺として円の中心までの三角形の高さを(4-r)とおいて、4つの三角形の面積を表す方程式を作ってrを求めました。
ということで
直角三角形における内接円の半径の公式は
（直角をなす二辺の和－斜辺）÷2
直角三角形ADEは 3:4:5
2r=4+16/3-20/3
最初のAFの長さを、辺の比でって、言ってましたが、三角形ADE（辺の比が3:4:5）と三角形ABFが、平行の錯角で相似でAB:AFが、3:5ってすぐ出ましたね。
3:4:5の三角形が出たのなら3:4:5の三角形の内接円の半径は1で
この三角形は三分の四倍なのでR＝三分の四となります
内接円の半径を求める公式は、何となく暗記していましたが、導き方は全く覚えていませんでした。
証明を聞くと「何だ簡単じゃん」となりますが、なかなか身に付かないものですね。
3:4:5の三角形が出来るとは上手く出来てるもんだなあ。後、3つの三角形に分けて計算するのは良く出来てる。後半のやり方はもっと簡単だけど接線の長さが等しいとはよく覚えておこう
悩みましたが両方とも思い付きました。
なるほど面積から出すのかぁ。図形はいろんなパターンがあるから苦手
大人ナイトの方に鈴木貫太郎先生はじめ数学系RUclipsr大挙して参加しないかな・・・で、みんなで問題出し合って他の人が解くという最初の趣旨と違う企画になる(ないだろうけど）さて、次の問題
力業
10円玉をA、50円玉をB、100円玉をCとする。
250円になる組み合わせ
①25A
5A=1Bだから
②20A+1B③15A＋2B④10A＋3B,⑤5A+4B⑥5B
10A=1Cだから
⑦15A+1C⑧5A+2C
2B=1Cだから（①～⑧との重複除く）
⑨10A＋1B＋1C⑩5A+2B+1C⑪1B+2C⑫3B+1C
答えは12通り
11:08
ここ斜辺以外で計算すると０になって斜辺で計算すると値がでるわけですがいまいち理屈が分かりません。
なぜ斜辺の長さでしか求められないのでしょうか？
＞ここ斜辺以外で計算すると０になって
どういう式を立てられた結果そのようになったのか、示すことは可能ですか？
イマイチ何をおっしゃっているかがわからなくて…。
Aから斜めの接点までをXとすると、接点からFが20/3-X。
Aから縦の接点もXになるから接点からB(=r)は4-X。
BF16/3=(4-X)+(20/3-X)で計算すると結果rが4/3にたどり着くのでどこを基準にしても同じ答えになると思います。どこかでケアレスミスしてるのかも知れないのでもう一度試してみてください😊
@@cafe_rumba
(4-r)+r=4
っていう方程式です！
数学難し・・・
@@ビビVV いやそれ方程式じゃないんですけど…。
右上の3:4:5に内接する円と、左下の大きな直角三角形に内接する円の半径は、外接する直角三角形の相似比に等しい。
先生が着てるパーカー欲しいです！どこで手に入れたんですか？メーカー等教えて下さい！
r＝(3+4-5)/2 ×4/3＝4/3
解説ありがとうございました。
解き方がもう一ヶあります。r=（b＋c－a）÷２😊
台形abceに内接する円として、半径rを求めました。
2番目の方法で解きました
加えて、△EDAが3:4:5の三角形なので、錯覚からの相似で△ABFの辺のも3:4:5と分かるので、BFとAFの算出が容易になると思いました
図形の問題は様々なアプローチができるので面白いですが、その分難しい印象があります
円の中心的を下に下ろして4-rで良い
1/2r(a+b+c)を公式と言わないで欲しいなぁ…当たり前のことだしな。
数学は暗記ではないよ。少なくとも大学院進むまでは。
1*4/3 =4/3
3:4:5の内接円の半径は1と覚えてるから瞬殺だった
オー、内接円。中学生の問題は、いつも頭の体操になっていいなー。ありがとうございました。
たのしい
パーカーのクセが。
次回のヒント
とりあえず100円玉を使わない場合、1個だけ使う場合、2個使う場合に分けて考えてみる
円の接線が、中心からの推薦と直角を成すという「事実」を、真っ先に説明すべきじゃね?
白板の円が、微妙に歪んでいるあたり、意地悪ささえ感じる