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わかりづらい因数分解は10進数に変換して素因数分解する方法も。100000-10000-1=89999=300^2-1=301*299=7*43*13*23=91*989=(100-10+1)(1000-10-1)
上手い❕(笑)
ほう。
すごく面白い発想
なるほど！勉強になります！
同じようにやりましたが、詰めの部分で先生のようには論理的にはできませんでした。今日もありがとうございました。
自分はこの手の因数分解によくある手法で 与式に +x³−x³ してやる。x⁵-x⁴+x³-(x³+1)＝x³(x²-x+1)−(x+1)(x²-ｘ+1)＝(x³-x-1)(x²-x+1)で因数分解しました。動画の方法は考えもしませんでした。複素平面好きな貫太郎先生らしい解き方。本日も勉強になりました。ありがとうございました。
河野玄人さんがこんな事をいってました。「この手の式の因数分解は大体、x^2±x±1で割りきれる、その中でもオール正のもので割り切れることが最多、相反方程式なら99%オール正の2時式で割り切れる」と。今回は2手目で割り切れました。
思いついた方法は以下の３つ因数定理を利用して𝑓(𝑥)＝𝑥⁵－𝑥⁴－1 は, 𝑓(-𝜔)＝𝑓(-𝜔²)＝0 より, (𝑥＋𝜔)(𝑥＋𝜔²)＝𝑥²－𝑥＋1 を因数にもつことから解く方法.間の抜けている次数を穴埋めして𝑓(𝑥)＝𝑥⁵－𝑥⁴＋𝑥³－𝑥³＋𝑥²－𝑥²＋𝑥－𝑥－1＝(𝑥⁵－𝑥⁴＋𝑥³)－(𝑥³－𝑥²＋𝑥)－(𝑥²－𝑥＋1) として解く方法.簡単な一次式を掛けて(𝑥＋1)𝑓(𝑥)＝𝑥⁶－𝑥⁴－𝑥－1＝(𝑥³＋1)(𝑥³－1)－𝑥(𝑥³＋1)＝(𝑥³＋1)(𝑥³－𝑥－1) より解く方法.まだまだいっぱい解く方法があるんでしょうね.
間（ま）の抜けてるワシは、な〜んも考えずに２つ目で解いたデ…
どうやってそんな綺麗に数式打ったんですか、？
うまくいかないと思ったらだいたい±ωか±iを入れることが多い感じ
f(-1) = -3 ≡ 0 mod 3なので－1の３乗根の原始多項式である、x² - x + 1で割れる可能性がある
土曜日がベートーヴェンの誕生日 いろいろ考えて、詰めきれませんでした。いろんな解法があるものですね。どうも、ありがとうございました。 Peanutsのマンガで。
ふーーむ感心しきり
x^3を足して引いてあげるとx^5-x^4+x^3-x^3-1これで因数分解が一番簡単ですかね
ワシはx^3-x^2+xを"貸し借り"したけど、確かにどうせ返す（返してもらう）んやったらマル〈お金〉も項も少ない方がエエもんねぇ…「数学は計画的に！」やねw（すんまへん。関西人の経済学士やさかい…）
まぁこれやな
@@TokyoOribia さんの口から、「まぁこれやな」って!? 私がよく引用する森毅さんも、生前おっしゃってました。「ワイは江戸っ子やでぇ…」ってw
お、スゴい❗「イイネ」が30越え❗珍しい❗
x^5-x^4=1からx=1/2-√3i/2が答えであることがわかりますね。複素平面をかんがえますと。 √を消せばx^2-x+1が因数になることがわかります。
詰め方が面白い考察でした！お行儀のよい公式だけではなく、こういう組み立て方ができると楽しいですな。
最近、とりあえず因数定理で1または-1の虚数解を代入してみることにしてる。
±1の3乗根を意識できたのでできました
与式の5解をa,b,c,d,eとして、d=-ω,e=-ω²に気づいた場合 a+b+c+d+e=1 abcde=1 abcd+abce+abde+acde+bcde =0からa+b+c=0, abc=1, ab+bc+ca=-1 を求めることも一応できますね。
この手の因数分解問題は、以前数検1級の1次によく出されていましたね。最近はあまり出されていない（ネタバレしたから？）ようですが。
f(x)=x^5-x^4-1と置くとf(-ω)=(-ω)^5-(-ω)^4-1 ＝-ω^5-ω^4-1 =-ω^2-ω-1 =0よりf(x)はx^2-x+1で割り切れf(x)=(x^2-x+1)(x^3-x-1)x^3-x-1もωまたは-ωを代入すると0になるかと思ったけどうまくいかなかったので上の式で終わりました。分数は割り切れないのが普通で因数分解もできないのが普通ですね。
最後、整式で割る方が楽。
定数項を±１の2パターンで係数比較で解答を出しましたが，奥深いな．「１」や「-1」の3乗根の話は今回OKですが，当てはまらない問題もあるので注意ですね．
因数定理で0になる整数がなかったら、「1次の」整数係数をもたないといえる(メモ)
3次方程式には少なくとも1つの実数解がある(3つ実数or1つ実数と2つの共役な複素数(虚数解))
2次の因数に x^2+ax±1 があることから, 与式は (t, 1/t) または (t, -1/t) 型の解のペアをもつ. これらの解のペアは x→±1/x の変数変換でおたがいにうつりあうので, x^5+x-1 と x^5+x+1 のどちらか一方は与式と共通の2次の因数をもっている.ユークリッドの互除法を使うと, x^5+x-1 と与式は共通因数 x^2-x+1 でともにわりきれることから, 与式は (x^2-x+1)(x^3+x-1) と分解されることがわかる.
思いつきましたのでα^3=-1 を満たす複素数を α とすると、これはα^3+1=0 ⇄ (α+1)(α^2-α+1)=0の解でありf(x)=x^5-x^4-1 としたときf(α)=α^5-α^4-1=-α^2+α-1=0このことから f(x) は x^2-x+1 を因数にもつことがわかるから、f(x)=(x^2-x+1)(x^3-x-1)
もうこの手のは暗算でできてしまう
ヨシッ❗紙吉。何かいい方法ないかなぁと色々考えちゃったせいで意外と手こずり半劇場。コリャ、真面目にやるしかないか？と思い、定数項以外のxの次数の3の剰余が2と1なのに着目して、－ωを使って因数定理。3次式の方に有理数解がない事を確認して終わり。
答えはでたが、動画のような縦横無尽なアプローチが出ず。
この問題、複素数認めちゃったらなんでもあり…という典型的な問題ですねぇ…整数係数だから分数もあり…で、平方完成の形に持ち込めそうかちょっと考えてみたが、なんかスッキリしない…で、視聴してみたら、結構奥がが深かった…大学入試シーズン突入前に視聴しておくべきいい動画。
与式にx=3を代入するとその値は161=7*23となるので、これだけで(x³-x-1)の項の存在を予想できます。
“因数分解できるかどうかの判定に10をぶっ込んでみる”というのはよくやるんやけど、数字はなんでもエエんやねぇ
"なんでもエエ"なんて、ちょっとぞんざいな言い方で失礼しました。代入した結果が、（素数）×（素数）というシンプルな形になるところが"肝"なのでしょうね、きっと。
@@HachiKaduki0501そうですね、約数の少ない値を探して色々代入してみる感じです。今回の問題は-ωを入れれば一発ですが、思いつかなければ±iなどでも良いです。変数が2つ以上の場合も強力です。
｢洗濯し 数学学ぶ 楽しさよ｣ ｢味楽し 因数分解 奥深さ｣ 明快な解説に感謝します。
解けました〜😊結果わかっちゃってたから遊ぶけど、α^6-1=(α-1)(α^5+α^4+α^3+α^2+α+1) ..(1)α^3=1とするとα^2+α+1=0でもあるから(1)=(α-1)(α^5+α^4+(α^3)+(α^2+α+1))=(α-1)(α^5+α^4+1) ..(2)(2)でβ=-αとするとα^6-1=β^6-1=(-β-1)(-β^5+β^4+1)=(β+1)(β^5-β^4-1)ここまで書けば、わかるざんしょ？
わかりやすいです 😮
@@智之-u1r さんありがとうございマース！😘
結局のところ(x^3 + ax^2 + bx - 1){x^2 - (a + 1)x + 1}の形となるって話なのでまず，展開してx^3の係数を見ると - a^2 - a + b + 1 = 0⇔ a^2 + a - b - 1 = 0でこれをaの2次方程式とみなして判別式を考えるとD = 1 + 4(b + 1) = m^2(mは非負整数)となるのでm^2 = 4b + 5 ①次にx^2の係数を見ると - b(a + 1) + a - 1 = 0⇔ (a + 1)(b - 1) = - 2 ②①，②を同時に満たすbの値は- 1しかなく，その時のaの値は0なので(x^3 + ax^2 + bx - 1){x^2 - (a + 1)x + 1} = (x^3 - x - 1)(x^2 - x + 1)としました。
Nice❗️
@@智之-u1r さんありがとうございます！！
わかりづらい因数分解は10進数に変換して素因数分解する方法も。
100000-10000-1=89999=300^2-1=301*299=7*43*13*23=91*989=(100-10+1)(1000-10-1)
上手い❕(笑)
ほう。
すごく面白い発想
なるほど！勉強になります！
同じようにやりましたが、詰めの部分で先生のようには論理的にはできませんでした。今日もありがとうございました。
自分はこの手の因数分解によくある手法で 与式に +x³−x³ してやる。
x⁵-x⁴+x³-(x³+1)＝x³(x²-x+1)−(x+1)(x²-ｘ+1)＝(x³-x-1)(x²-x+1)
で因数分解しました。
動画の方法は考えもしませんでした。
複素平面好きな貫太郎先生らしい解き方。
本日も勉強になりました。ありがとうございました。
河野玄人さんがこんな事をいってました。「この手の式の因数分解は大体、x^2±x±1で割りきれる、
その中でもオール正のもので割り切れることが最多、相反方程式なら99%
オール正の2時式で割り切れる」と。今回は2手目で割り切れました。
思いついた方法は以下の３つ
因数定理を利用して
𝑓(𝑥)＝𝑥⁵－𝑥⁴－1 は, 𝑓(-𝜔)＝𝑓(-𝜔²)＝0 より, (𝑥＋𝜔)(𝑥＋𝜔²)＝𝑥²－𝑥＋1 を因数にもつことから解く方法.
間の抜けている次数を穴埋めして
𝑓(𝑥)＝𝑥⁵－𝑥⁴＋𝑥³－𝑥³＋𝑥²－𝑥²＋𝑥－𝑥－1＝(𝑥⁵－𝑥⁴＋𝑥³)－(𝑥³－𝑥²＋𝑥)－(𝑥²－𝑥＋1) として解く方法.
簡単な一次式を掛けて
(𝑥＋1)𝑓(𝑥)＝𝑥⁶－𝑥⁴－𝑥－1＝(𝑥³＋1)(𝑥³－1)－𝑥(𝑥³＋1)＝(𝑥³＋1)(𝑥³－𝑥－1) より解く方法.
まだまだいっぱい解く方法があるんでしょうね.
間（ま）の抜けてるワシは、な〜んも考えずに２つ目で解いたデ…
どうやってそんな綺麗に数式打ったんですか、？
うまくいかないと思ったらだいたい±ωか±iを入れることが多い感じ
f(-1) = -3 ≡ 0 mod 3なので
－1の３乗根の原始多項式である、x² - x + 1で割れる可能性がある
土曜日がベートーヴェンの誕生日
いろいろ考えて、詰めきれませんでした。いろんな解法があるものですね。どうも、ありがとうございました。
Peanutsのマンガで。
ふーーむ
感心しきり
x^3を足して引いてあげると
x^5-x^4+x^3-x^3-1
これで因数分解が一番簡単ですかね
ワシはx^3-x^2+xを"貸し借り"したけど、確かにどうせ返す（返してもらう）んやったらマル〈お金〉も項も少ない方がエエもんねぇ…
「数学は計画的に！」やねw
（すんまへん。関西人の経済学士やさかい…）
まぁこれやな
@@TokyoOribia さんの口から、「まぁこれやな」って!?
私がよく引用する森毅さんも、生前おっしゃってました。「ワイは江戸っ子やでぇ…」ってw
お、スゴい❗「イイネ」が30越え❗珍しい❗
x^5-x^4=1からx=1/2-√3i/2が答えであることがわかりますね。複素平面をかんがえますと。
√を消せばx^2-x+1が因数になることがわかります。
詰め方が面白い考察でした！お行儀のよい公式だけではなく、こういう組み立て方ができると楽しいですな。
最近、とりあえず因数定理で1または-1の虚数解を代入してみることにしてる。
±1の3乗根を意識できたのでできました
与式の5解をa,b,c,d,eとして、d=-ω,e=-ω²に気づいた場合
a+b+c+d+e=1
abcde=1
abcd+abce+abde+acde+bcde =0
からa+b+c=0, abc=1, ab+bc+ca=-1 を求めることも一応できますね。
この手の因数分解問題は、以前数検1級の1次によく出されていましたね。最近はあまり出されていない（ネタバレしたから？）ようですが。
f(x)=x^5-x^4-1と置くと
f(-ω)=(-ω)^5-(-ω)^4-1
＝-ω^5-ω^4-1
=-ω^2-ω-1
=0よりf(x)はx^2-x+1で割り切れ
f(x)=(x^2-x+1)(x^3-x-1)
x^3-x-1もωまたは-ωを代入すると0になるかと
思ったけどうまくいかなかったので
上の式で終わりました。
分数は割り切れないのが普通で
因数分解もできないのが普通ですね。
最後、整式で割る方が楽。
定数項を±１の2パターンで係数比較で解答を出しましたが，奥深いな．
「１」や「-1」の3乗根の話は今回OKですが，当てはまらない問題もあるので注意ですね．
因数定理で0になる整数がなかったら、「1次の」整数係数をもたないといえる(メモ)
3次方程式には少なくとも1つの実数解がある(3つ実数or1つ実数と2つの共役な複素数(虚数解))
2次の因数に x^2+ax±1 があることから, 与式は (t, 1/t) または (t, -1/t) 型の解のペアをもつ. これらの解のペアは x→±1/x の変数変換でおたがいにうつりあうので, x^5+x-1 と x^5+x+1 のどちらか一方は与式と共通の2次の因数をもっている.
ユークリッドの互除法を使うと, x^5+x-1 と与式は共通因数 x^2-x+1 でともにわりきれることから, 与式は (x^2-x+1)(x^3+x-1) と分解されることがわかる.
思いつきましたので
α^3=-1 を満たす複素数を α とすると、これは
α^3+1=0 ⇄ (α+1)(α^2-α+1)=0
の解であり
f(x)=x^5-x^4-1
としたとき
f(α)=α^5-α^4-1=-α^2+α-1=0
このことから f(x) は x^2-x+1 を因数にもつことがわかるから、
f(x)=(x^2-x+1)(x^3-x-1)
もうこの手のは暗算でできてしまう
ヨシッ❗
紙吉。
何かいい方法ないかなぁと色々考えちゃったせいで意外と手こずり半劇場。
コリャ、真面目にやるしかないか？と思い、定数項以外のxの次数の3の剰余が2と1なのに着目して、－ωを使って因数定理。3次式の方に有理数解がない事を確認して終わり。
答えはでたが、動画のような縦横無尽なアプローチが出ず。
この問題、複素数認めちゃったらなんでもあり…という典型的な問題ですねぇ…
整数係数だから分数もあり…で、平方完成の形に持ち込めそうかちょっと考えてみたが、なんかスッキリしない…
で、視聴してみたら、結構奥がが深かった…
大学入試シーズン突入前に視聴しておくべきいい動画。
与式にx=3を代入するとその値は161=7*23となるので、これだけで(x³-x-1)の項の存在を予想できます。
“因数分解できるかどうかの判定に10をぶっ込んでみる”というのはよくやるんやけど、数字はなんでもエエんやねぇ
"なんでもエエ"なんて、ちょっとぞんざいな言い方で失礼しました。
代入した結果が、（素数）×（素数）というシンプルな形になるところが"肝"なのでしょうね、きっと。
@@HachiKaduki0501そうですね、約数の少ない値を探して色々代入してみる感じです。今回の問題は-ωを入れれば一発ですが、思いつかなければ±iなどでも良いです。変数が2つ以上の場合も強力です。
｢洗濯し 数学学ぶ 楽しさよ｣ ｢味楽し 因数分解 奥深さ｣ 明快な解説に感謝します。
解けました〜😊
結果わかっちゃってたから遊ぶけど、
α^6-1=(α-1)(α^5+α^4+α^3+α^2+α+1) ..(1)
α^3=1とするとα^2+α+1=0でもあるから
(1)=(α-1)(α^5+α^4+(α^3)+(α^2+α+1))
=(α-1)(α^5+α^4+1) ..(2)
(2)でβ=-αとすると
α^6-1=β^6-1=(-β-1)(-β^5+β^4+1)
=(β+1)(β^5-β^4-1)
ここまで書けば、わかるざんしょ？
わかりやすいです 😮
@@智之-u1r さん
ありがとうございマース！😘
結局のところ
(x^3 + ax^2 + bx - 1){x^2 - (a + 1)x + 1}
の形となるって話なので
まず，展開してx^3の係数を見ると
- a^2 - a + b + 1 = 0
⇔ a^2 + a - b - 1 = 0
でこれをaの2次方程式とみなして判別式を考えると
D = 1 + 4(b + 1) = m^2(mは非負整数)
となるので
m^2 = 4b + 5 ①
次にx^2の係数を見ると
- b(a + 1) + a - 1 = 0
⇔ (a + 1)(b - 1) = - 2 ②
①，②を同時に満たすbの値は- 1しかなく，その時のaの値は0なので
(x^3 + ax^2 + bx - 1){x^2 - (a + 1)x + 1} = (x^3 - x - 1)(x^2 - x + 1)
としました。
Nice❗️
@@智之-u1r さん
ありがとうございます！！