Resolvi de cabeça essa questão, talvez eu seja um gênio, e por sinal eu cheguei em duas respostas... 27 igual a vc, mas TB cheguei em x = 1,151, mas isso fazendo de cabeça e sem técnica alguma... Apenas pensando que se o número fosse próximo o suficiente de 1 uma hora os 2 dariam um valor semelhante, imaginei que esse valor após a elevação daria entre 3.3 e 3.7, aí 1.151 ambos os lados dão 3.54, sendo uma possível resposta para x
@@danielreis2105per rendersi conto che c'è una seconda soluzione quella che tu hai individuato... Basta graficare ambo i membri a mano... Ti rendi subito conto che c'è una soluzione subito dopo x=1 e poi ce ne deve essere un'altra per forza perché l'esponenziale vince sempre su una potenza... x=27 Il professore ha omesso una soluzione non va mica tanto bene 😡 Io non conosco il portoghese però mi sembra di non aver sentito una seconda soluzione
percebo que esse tipo de solução só funciona em um caso da base de um lado ser múltipla da potência de um outro lado. Caso Não sejam multiplos o que fazer?
O mais interessante da matemática é ser exata, mas não engessada. Mesmo com todos os conceitos, regras e fórmulas, a criatividade é muito bem-vinda e frequentemente necessária.
Eu acho sacanagem questão aue tem que ser criativo. Tinha que ser vetado esse tipo de questão. Ou você sabe ou não sabe. Criatividade é uma coisa. Matemática é outra.
@@hugoleonardo7961 Em uma prova, talvez até possa ser. Porém, sabe-se porque, em algum momento, alguém foi criativo e resolveu um problema. Não é possível dissociar criatividade e matemática. Se fosse assim, teríamos evoluído muito pouco e ainda estaríamos contando dedos.
ou usando a função de lambert w (W) para W(x), temos um conjunto de soluções para a equação x = W(x) e^(W(x)) para qualquer x se 3^x é igual a x^9 ln(3^x) = ln(x^9) x ln(3) = 9 ln(x) é possível colocá-la como: 1 = x e^(-(x ln(3)/9) utilizaremos u = -((ln(3)x)/9) vamos colocar x como -(9u)/(ln(3)) 1 = (-(9u)/ln(3)) e^u em forma de lambert w: u e^u = -(ln(3))/9 resolvendo: u = -3ln(3), u = W0(-ln(3)/9) já que W0(x) é dado para um trecho -1 ≤ W(x) substituindo -(ln(3)x)/9 = -3ln(3) x/27 = 1 ∴ x = 27 ou, com x = -9(W0(-(ln(3))/9))/ln(3) x também pode ser 1.1508248...
Eu também havia percebido que este é um típico exercício para ser resolvido por W de Lambert, mas eu valorizo a solução dele, pois apresentou uma maneira didática de introduzir rearranjos muitos parecidos com os que seriam aplicados numa solução típica (W de Lambert). A solução dele pode ser comprendida inclusive por pessoas que não conhecem a função W. Talvez fosse interessante utlizar essa solução com um caso particular para introduzir o conceito de W de Lambert para alunos que ainda não a conhecem, mas como sempre, os videos de YoutTube precisam ser curtos e ele acabou mostrando um caso particular sem mostrar uma possivel generalização do problema: (a^X = X^b). isso, é claro, terminaria em X = -b W(-ln(a)/b) / ln(a). Numa aula de 45 minutos, provalvemente ele chegaria até esta forma generalizada, mas para uma introdução de 10 minuto no RUclips, ja ficou muito bom.
n^x = x^(n^(n-1)) Para qualquer número real n maior que zero, a igualdade proposta pode ser resolvida por este método. 2^x = x^2 , solução x=2 3^x = x^9 , solução x=27 4^x=x^64 , solução x=256 (esse pode ser escrito também no formato: 2^x = x^32)
Interessante saber que a solução nesse tipo de equação vai ser a base do lado esquerdo multiplicado pelo expoente do lado direito. Inclusive 2^x = x^2, a resposta 2 não é a única resposta correta, porque 4 também é uma resposta certa usando justamente o conceito que a base do número da esquerda, pode ser multiplicado pelo expoente da direita. 2^4 = 16 e 4^2 = 16
Ti sei scordato, come il professore nel video, che la soluzione dell'equazione non è unica Ma ce ne sono due. Purtroppo la prima non è facilmente esprimibile
@@thiagoquintella09 Na verdade, a equação 2^X = X^2 possui três soluções. As raízes 2 e 4 são as mais óbvias, mas existe uma terceira raiz para esta equação que é mais complicada de encontrar. Para ter uma noção visual das raízes, sugiro traçar as curvas de ambas as equações e observar que elas se cruzam em três pontos, sendo 2 positivos e 1 negativo. É esse ponto negativo que é o “pulo do gato” para a solução.
@@alexandrecharlesnunez9619 Tem razão. Fiz o gráfico das duas equações e tem uma outra raiz na área do X negativo e Y positivo no segundo quadrante quando a parábola X^2 corta a equação exponencial 2^X. O valor dessa terceira raíz é bem próximo de -0,7666 fazendo a conta na calculadora por tentativa e erro. Seria interessante alguém fazer de forma algébrica os cálculos pra chegar ao valor dessa terceira raiz. Alguém se candidata?
COMO É BELA A MATEMÁTICA !!! PRINCIPALMENTE QUANDO TRANSMITIDA COM ESSA DIDÁTICA, COM ESSA CLAREZA !!! PARABÉNS, MESTRE.!!! SOU ENGENHEIRO CIVIL E, PORTANTO, UM USUÁRIO DE PARTE DESSA CIÊNCIA. APRECIO QUESTÕES COM ESSE GRAU DE COMPLEXIDADE...
Para quem estiver muito curioso, 3 elevado a 27 resulta em 7.625.597.484.987, que, por sua vez, é exatamente igual a 27 elevado a 9. Parabéns pela brilhante solução, professor!
Olá! Essa raiz é possível de achar usando a Função W de Lambert, primeiro é preciso fazer algumas transformações na expressão com logaritmos naturais e alguns outros ajustes para enfim usar a função W, isolar o "x" e encontrar a solução. Cuja é uma expressão que possui um valor aproximado de 1,15 conforme tens citado.
Olá, tbm iniciei graficamente, mas usei as funções f(x)=3^x e g(x)=x^9. Assim é fácil ver que vai ter uma solução entre 1 e 2. Como a função exponencial cresce mais que a polinomial, conclui, após esboçar do gráfico a mão, que haveria uma segunda raiz.
No caso, o professor supus soluções nos números inteiros, você ampliou pros reais. Se considerarmos soluções no conjunto dos números Complexos, tem 9 raízes.
Te acho incrível , quando você resolve analiticamente algebricamente e trigonometricamente. JÁ DEI AULA DE FÍSICA MATEMÁTICA NA UFMG POR ISSO VOCÊ SABE MUITO. TEM MUITAS PESSOAS QUE NÃO USA OS CONCEITOS FAZ AS PESSOAS DECORAR EM MATEMÁTICA
@@carlsonclaudioferreirapinh3762 dispongo di una dimostrazione elegante e breve per questo... Ma qui non ci sta tutta. Basta che tu ti faccia il grafico di ambo le funzioni: i punti di intersezione devono essere due... Perché l'esponenziale va all'infinito più rapidamente di x⁹
Eu não acho que houve solucao algebrica nesse caso. Foi numerica. Até porque foi escolhido por acaso elevar ao cubo e a 1/3 em dado momento. E esse eu escolhesse por exemplo elevar a 5 e 1/5? Porque foi escolhido um em detrimento de outro? Ou seja, foi ESCOLHIDO um número ao qual daria para solucionar algebricamente. É sobre isso que se trata a disciplina Cálculo Numérico. Melhor ainda: como resolver a equação 4^5 = 1/X, que é semelhante? Aí precisa de solução numérica, tentativa e erro e procurando aproximações. Além do mais que essa equação pressupõe outra solução, como o rapaz que fala Italiano bem explicou. x é aproximadamente igual a 1,15082 x = 27. Duas solucoes reais.
É preciso ter muita visão de raciocínio para conseguir desvendar o valor dessa incógnita na equação. Por isso que sempre gostei dessa matéria. Exige muita linha de raciocínio e não podemos errar em nenhum momento. Excelente explicação.
A função y = 3^x - x^9 possui 2 zeros reais. Logo a equação 3^x=x^9 também possui duas raízes reais. Faça a transformação na equação e utilize a função W de Lambert w(xe^x)=x e W(xlnx)=x que você determina a outra raiz da equação.
@@joaopedroandsan2172devido à mediocridade do atual ensino médio. Além disso, não hada de difícil ou "complexo" (Matemática é simples) na função de Lambert: é literalmente Álgebra! Se o aluno consegue fazer o que o professor do vídeo fez, uma simples manipulação algébrica não é nada para ele.
@@joaopedroandsan2172não é tão simples devido à mediocridade do sistema de ensino. Além de que Matemática é simples por si só... Só precisa ter o racicínio lógico de um chimpanzé para resolver essa questão. Se alguém não consegue resolver, não é porque é difícil ou complexo, é porque teve a sua inteligência subestimada pelos seus professores incompetentes.
@@joaopedroandsan2172não é tão "simples" devido à mediocridade do sistema de ensino. Se alguém não consegue resolver, não é porque é difícil, é porque teve a sua inteligência subestimada por professores incompetentes.
Eu leciono também há muitos anos, somente à noite, pois durante o dia tenho outra profissão fora do magistério. Sou Físico e Engenheiro formado pelo ITA. Eu sempre gosto de assistir aos vídeos deste colega pois é uma didática encantadora. Parabéns professor e que seu canal possa crescer mais! Para passar no ITA foi fácil não! Me formar foi pior ainda! Eu, quando me preparei, estudei assim, mesmo porquê a prova do ITA sempre foi firme! Em frente mestre!
Nada como uma boa manipulação. Perfeito. Caso tenham curiosidade, se me permitem, vejam os vídeos "Equações Exponenciais de Dois Níveis" (dois níveis porque o "x" aparece na linha e no expoente) Obrigado.
X = 27 1) Extraio a raiz nona de ambos os lados da equação, ficando que: X = (3^X)^1/9 X = 3^X/9 Tá morta, X = 28 , ficando 27 = 3³ 27 = 27 Bingo ! Dois minutos para resolver, claro que envolve conhecer a matéria e ter uma mente lógica!
Na minha opinião, o problema dessa solução é que ela depende de uma etapa que é basicamente um chute. Então seria mais proveitoso esboçar um gráfico com as funções y=3^x e y=x^3 e ver como elas se comportam pra tentar chutar de maneira mais assertiva em que ponto as duas funções se cruzam
Silêncio! Estou estudando a manipulação de runas mágicas com o maior mago de nossa sociedade contemporânea (Ele conseguiu fazer o impossível através das artes arcanas ensinadas nas Academias da Ordem Superior)
Parabéns, Professor. A matemática está em todas as minhas atividades, então ver alguém utilizar tão bem o conhecimento de exatas com criatividade, paciência e clareza, é extremamente gratificante. Mais uma vez, parabéns!
uma solução mais direta seria, possivelmente, chamar x=3^y. Afirmamos que y=3. De fato, substituindo na equação teremos: 3^{3^y}=3^x=(3^y)^9=3^{9y}. Daí 3^y=9y. Daí, 3^{y-2}=y, d'onde y=3, concluindo o afirmado.
Linda resolução! Muito elegante! A Matemática é realmente fascinante! Mas soou estranho ouvir "3 na x" e "x na nona". Sei que se trata da elisão da palavra "potência". A Matemática, contudo é perfeita!
É... a Matemática é simplesmente apaixonante! É bela, é elegante, e traz o infinito de possibilidades, para pessoas que existem e se vão num átimo de tempo! Não tem como não amar e não se apaixonar por Matemática! Obrigado pelo vídeo, Professor!!
Outra forma de solucionar: Tendo uma potência de 3 a esquerda, tem-se que a direita também da igualdade também tem de ser uma potência de 3. Logo, pode-se substituir: x = 3^k Substituindo x por 3^k na igualdade original: 3^(3^k) = (3^k)^9 = 3^(9k) Tendo-se a mesma base, iguala-se os expoentes, obtendo -se: 3^k = 9k 3^(k-2) = k Novamente, observando que k tem de ser potência de 3 e maior que 1, verifica-se que k=3 Ou seja x = 3^3 = 27
Para ( x ) = (3 elevado a k) ==> [ 9k = 3 elevado a k ] É só isso ? E se a base não fosse 3 ? A sua solução é mais específica. E a do professor, mais abrangente. 🤔
Muito bom, professor! Pensando em soluções inteiras poderíamos generalizar a equação 3^x =x^9 para p^x =x^q então dá para mostrar que para um particular n, se p^n=q.n, uma das soluções seria p^n (ou qn) No caso mostrado, p=3 q=9 o n seria 3 e uma das soluções é 3^3 = 9.3 = 27 Poderia-se então bolar outras questões "impossíveis", nesta mesma linha de achar a solução inteira: 1) 2^x=x^4 (resultando em x=16) 2) 27^x = x^9 (resultando em x=3) 3) 6^x=x^18 (resultando em x=36) 4) 2^x=x^32 (resultando em x=256) 5) 5^x=x^625 (resultando em x=3125) 6) 9^x=x^243 (resultando em x=729) 7) 216^x=x^54 (resultando em x=36)
Depois de assistir o vídeo, cheguei a uma conclusão que é a seguinte: Quando estamos nessa situação, multiplicamos a base pelo expoente do outro membro, logo 9x3=27 Outro caso seria, 2^x = x^4 Isso seria igual a 2x4 = 8 Peço que verifique a minha teoria professor 😁😁😁
Não consegui chegar a uma resolução para essa questão, cheguei a recorrer ao calculo iterativo, mas não bateu com os resultados apresentados. Brilhante exposição, obrigado pela aula Professor!
Os argumentos são técnicos e objetivo; acrescente -se a criatividade na solução do desafio. Parabéns, teacher !!! Como é fascinante e surpreendente a infinita matemática??? o caminho é este : sempre há 1 prof.
Usando logaritmos, acho que fica mais fácil: 3ˆx = xˆ9 => log (3ˆx) = log (xˆ9) => x.log 3 = 9.log x => x/logx = 9/log3 . A partir daqui, temos que igualar, no segundo membro, o numerador e o logaritmando do denominador, e não é muito difícil perceber que podemos fazer isso multiplicando por 3 ambas as partes da fração do segundo membro da equação. Assim, x/log x = 3.9 / 3 . log 3 => x/log x = 27/log (3ˆ3) => x/log x = 27/log 27. Portanto, x = 27.
Se apelar para o logaritmo, encontramos outra raiz dessa equação que é aproximadamente 1,15082 3^1,15082 ≈ 3,54 1,15082^9 ≈ 3,54 Mas sem dúvidas, a raiz = 27 é muito mais bela.
Parabéns pela solução, muito criativa! No final, tem que ter um cuidado, pois a função f(x)=x^(1/x) não é injetora, mas o valor 27^1/27 é atingido uma única vez, legitimando a solução, mas pode induzir um estudante a acreditar que isso sempre funciona…
Muito obrigado pelo exemplo didático. Eu vi que essas funções têm um comportamento bem interessante. Na "força bruta", achei uma raiz utilizando a função W de Lambert. x = 1/e^LambertW(-ln(3)/9) x ~= 1.1508248213011063676186124461618725742688059797691999714210381606 O curioso é que as funções 3^x e x^9 se "encontram" novamente em x = 27.
Tive que jogar na calculadora pra verificar! Fantástico!! Pra comparar eu joguei a equação pra uma IA resolver e ela tirou uma 'aproximadamente 3,5' nada a ver! Ótima explicação e execução!
Minha dúvida é por que x^x = x possui duas soluções: 1 e -1. A menos que esse seja um tipo diferente de igualdade, ao qual não se aplica a regra da similitude. Obrigado e parabéns pela resolução da equação proposta! Jamais chegaria a uma maneira de resolvê-la.
Oi, pela derivada de f(x)=x^(1/x) sabemos que se trata de uma função crescente em ]0, e[ e decrescente com assíntota horizontal 1 em ]e, ∞[, donde para todo a>e, existe b, 1
O aluno que conseguiu resolver essa equação sem copiar de nenhum lugar, merece um troféu 🏆. Nunca imaginei que o resultado seria 27. Aliás, nem sei quanto dá 3^27 e tb não sei quanto é 27^9.
Analogias com o Leite Vamos imaginar que temos dois recipientes que medem a quantidade de leite de maneiras diferentes: 1. *Primeiro Recipiente (Polinomial):* - A quantidade de leite segue a equação x^9. - Exemplo: - Se você tem 1 litro, o volume é 1^9 = 1 litro. - Se você tem 2 litros, o volume é 2^9 = 512 litros. A quantidade cresce muito rapidamente! 2. *Segundo Recipiente (Exponencial):* - A quantidade de leite é dada pela fórmula 3^x. - Exemplo: - Se você começa com 1 litro, é 3^1 = 3 litros. - Se você tem 2 litros, é 3^2 = 9 litros. A quantidade cresce exponencialmente mais rápido! Objetivo: Encontrar quando a quantidade de leite nos dois recipientes é igual: [x^9 = 3^x.] *Quando os Copos se Igualam*: - *Recipiente 1 (Polinomial)*: Copo com leite onde a quantidade cresce conforme x^9. Se você coloca 1 litro, é 1^9 = 1. Se coloca 2 litros, é 2^9 = 512. Cresce muito rápido! - *Recipiente 2 (Exponencial)*: Copo onde a quantidade é dada por 3^x. Se começa com 1 litro, é 3^1 = 3. Se coloca 2 litros, é 3^2 = 9. Cresce exponencialmente rápido! Conclusão: Após observar as taxas de crescimento, concluímos que os volumes se igualam exatamente quando: x = 27. Porque: 27^9 = 3^27 A solução para essa equação é quando os volumes de leite nos dois recipientes são iguais, e isso acontece exatamente quando x = 27. E como já foi falado aí nos comentários, A matemática é uma linguagem poderosa e universal, permitindo a descrição e compreensão do mundo natural, da ciência e da tecnologia.
Tem um problema: 27 não é a ÚNICA solução. Para x=1: 3^x = 3 e x^9= 1. Para x=2: 3^x = 9 e x^9 = 512. Como x^9 "ultrapassou" 3^x nesse intervalo e as duas funções são contínuas, isso implica que existe outra solução entre 1 e 2. Não acho que seja possível descobrir o número por manipulação algébrica, só por cálculo numérico mesmo.
uma forma simples de pensar pode ser a seguinte, se 3 elevado a x é igual a x elevado a 9, sabendo que 3 elevado a x só deterá de fatores 3, então x elevado a 9 só deterá de fatores 3, portanto, basta colocar potencias de 3 no lugar do x, pois assim o x no segundo membro da equação so deterá de fatores 3, é fácil perceber que x difere de 3 e 9 após os devidos testes, e assim, em menos de um minuto, é possivel chegar a x = 27
Acho q devem existir outras soluções possíveis mas existe algum meio mais fácil de encontrar todas elas? Pq tentar transformar a constante em base elevado ao inverso da base parece algo bem difícil de ser feito em uma tentativa de encontrar multiplas raises
Pra encontrar um valor inteiro... Neste caso... Da pra fazer por tentativas... Levando em consideração que a equação deve ter a mesma base .. no caso um multiplo de 3^n Dai é só substituir por tentativas... Na terceira chegamos na sua resposta. Já que 3^x =x^9 Teriamos na primeira substituição 3^3 =3^9 ( oque é falso) Na segunda 3^9 =9^9 3^9 = 3^18 ( que é falso) Na terceira 3^27 = 27^9 3^27= (3^3)^9 3^27 = 3^27 ( Que é verdadeira) Dando uma das soluções x=27 Note que foram escolhidos os valores da potência de base 3 na forma 3^n =x ou seja na primeira tentativa foi substituído 3^1 que é 3 Na segunda 3^2 que é 9 Na terceira 3^3 que é 27 Não é a melhor forma, mas neste caso chegamos ao mesmo resultado ( o do vídeo)
Olá, professor. Eu sou o José. Escrevo de Angola. Sei que não é o comentário correto para essa aula, contudo, estou a precisar de ajuda. Se possível gravem, por favor, um vídeo, resolvendo as derivadas parciais da função F(x,y)=ln(x²+y²) pela definição. Agradeceria.
Antes de ver o vídeo, tentei achar a raiz (ou as raízes). Não vislumbrei a brilhante solução apresentada no vídeo e acabei apelando para o método de Newton-Raphson, encontrando assim duas raízes: 1,150824821 e 27,000000000. Depois fui olhar com calma a função y=x^(1/x) e descobri que fora os limites do domínio x>0, não tem um ponto de mínimo e tem apenas um ponto de máximo para x=e, tende a zero quando x se aproxima de zero e tende a 1 quando x cresce ao infinito. Fica então fácil concluir que são duas as raízes. Não consegui chegar a uma expressão para a primeira raiz.
O mais bonito da matemática é tornar situações impossíveis a possíveis. O raciocínio lógico é a base para que o exposto acima se cumpra. Está o Professor pela criatividade.
Alguns detalhes importantes que não foram mencionados. Primeiro que x=0 não é uma solução da equação e, portanto, pode escrever 1/x na revolução. Mais que isso, x>0 porque, do contrário, sendo x negativo, x⁹ seria negativo, enquanto que 3^x seria positivo (expoencial é sempre positiva), isto é, teríamos uma igualdade entre dois números com sinais diferentes, o que é um absurdo. Logo, isso prova que o x que satisfizer a equação deverá ser positivo. Pra finalizar, no último passo, deixo uma pergunta (não é difícil): a função x^{1/x} é injetora e, se sim, porquê?
eu vi a thumb do video e nao ia clicar para assistir, mas fiquei curioso e joguei a equacao no photomath. Ele nao conseguiu resolver e só plotou os graficos das duas funcoes e isso me fez voltar pra assistir o video e ver se tinha solução. Sensacional, uma solução muito criativa, bonita e bem explicada!
Essa solução se aplica a quaisquer valores da equação? 27 é 3 (da esquerda) vezes o 9 (da direita). Fossem quaisquer valores nos lugares deles, mantendo a estrutura, bastaria multiplicá-los?
Muito interessante. Parabéns professor. Fui conferir na calculadora, como é um número muito grande elevado a 12 potência, deu uma diferença de 150 unidades.
Eu gostei muito da 'Mágica' dos expoentes, mas eu apresentaria outra solução um pouco mais 'visível' para os meus alunos. A equação pode ser transformada em um sistema em que x = 3^k, k real. Depois de algumas manipulações mais diretas o valor x = 3 aparece por meio da tentativa-erro. Mesmo assim, parabéns pela solução elegante, muito elegante.
Eu gostaria de um dia ter essa "criatividade". A colinha da direita não tinha nenhum conceito/fórmula que fosse desconhecido(a) para mim. Mas a aplicação desses conceitos da forma correta requer, na minha humilde opinião, um incrível nível de mente e raciocínio treinados. Parabéns, professor!
Muito interessante, a equação também pode ser manipulada para usarmos a função Lambert ou analisar os pontos onde 3^x e x^9 intersectam (x = 27 é bem difícil de se observar por gráfico, por isso, percebe-se primeiro no seguinte caso) Nesse caso, x seria igual a e^-W(-ln(3)*e^(-2*ln(3))), que em sua forma decimal é aproximadamente 1,151, mas testem numa calculadora que tenha a função lambert pra mais exatidão, recomendo a wolfram alpha
Parabéns professor! Eu gostaria se possível voce mostrar como se faz este cálculo (como monta e como resolve, eu não quero só a resposta. eu quero os cálculos que chegam a resposta). Um fazendeiro deu R$ 100.000,00 para seu gerente comprar exatamente 100 cabeças de gado. O boi custa R$ 10.000,00, a vaca R$ 5.000,00 e o bezerro R$ 500,00. Pergunta: Quantas cabeças de cada ele terá que comprar com os R$ 100.000,00 para levar as 100 cabeças de gado para o patrão? Eu não quero só a reposta por que eu sei quantas de cada , só não sei como montar este problema. Eu resolvi por aproximação, mas gostaria de saber se tem como montar e resolver sem ser por aproximação
Barbaridade. Me caiu os butiá do bolso, e acho que ainda caiu os butiá que tinha no butiazeiro. Eu acho que nunca vi um problema assim, mas foi muito elegante a resolução. O legal é que tu forçou o resultado pra dar certo. Outra coisa massa foi ver o espelhamento de propriedades. Saca quando tu tens uma fração igual a outra, tipo "A/B = a/b", os denominadores pulam a cerca e tu reescreve "Ab = aB"?, Pois é, tu fez a mesma coisa com os expoentes da equação original. Embora essa propriedade seja muito conhecida, eu acho que nunca vi ela sendo aplicada em equação exponencial como tu aplicou. Por coisas assim que ainda me dá vontade de voltar à faculdade e fazer matemática.
Na verdade tem mais soluções e resolve-se pela função de Lambert W: A função de Lambert W diz que W(@.e^@) = @ ; agora precisamos transformar esta equação de modo a ser resolvida por lambert: 3^x = x^9 (aplicando ln nos dois lados) ln(3^x) = ln(x^9) -> x.ln3 = 9.ln x (passando o 9 dividindo) x.ln3/9 = ln x (trazendo a base e para os dois lados) e^(x.ln3/9) = e^lnx = x (passando o termo da esquerda para a direita) 1 = x.e^(-x.ln3/9) = 1 (multiplicando os dois lados por - ln3/9) -x.ln3/9.e^(-x.ln3/9) = -ln3/9 Assim temos que -x.ln3/9 = W(-ln3/9) logo: x = - 9.W(-ln3/9)/ln3 Com isso, soluções reais achamos duas: x ~ 1.15082 e x = 27
Eu só dividi o 9 da potecia de um lado por 3 que é a base do outro lado, o resultado foi 3. Ai elevei 3 da base esquerda ao "nivel 3", do valor da divisão, ficando então 3³, o que da 27... Bem mais simples, um método completamente sem sentido, mas deu certo, já dizia o Patolino "podem questionar meus métodos, mas não meus resultados"... kkkkk
Olá professor, segue uma ideia legal tbm observando os seguintes pontos: vc devia ter dito que estamos procurando soluções inteiras, caso contrário estão faltando soluções em sua resolução. A partir disso, temos que se existe solução, então x é uma potência de 3. Deixo a cargo de vcs pensarem nisso... Portanto x= 3^k para algum k Substituindo na equação obteremos 3^3^k = (3^k)^9 = 3^9k Portanto 3^k= 9k 3^(k-2) = k Logo k = 3 Finalmente x=3^3= 27 Nota: O último passo ali parece "roubar" chutando o 3, mas a exponencial cresce muito rápido dps do 3 e qualquer número menor que 3 o não seria inteiro.
De onde veio a decisão de escolher o número 3? De elevar ao cubo e depois novamente a 1/3? Sem dúvidas essa é a sacada genial para se resolver o problema, mas de onde vem a ideia de experimentar fazer exatamente isso?
minha resolução antes de assistir ao video: primeiro: x é um numero composto apenas por fatores 3, ou seja ele é um 3 elevado a N; segundo: (3 elevado a N) elevado a 9 = 3 elevado a (9n); terceiro: 3 elevado a 3 elevado a n = 3 elevado a 9n, com as bases igualadas cortamos-as; quarto: 3 elevado a n = 9n; solução da equação: n = 3; x = 3 elevado a 3; x = 27;
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Resolvi de cabeça essa questão, talvez eu seja um gênio, e por sinal eu cheguei em duas respostas... 27 igual a vc, mas TB cheguei em x = 1,151, mas isso fazendo de cabeça e sem técnica alguma... Apenas pensando que se o número fosse próximo o suficiente de 1 uma hora os 2 dariam um valor semelhante, imaginei que esse valor após a elevação daria entre 3.3 e 3.7, aí 1.151 ambos os lados dão 3.54, sendo uma possível resposta para x
Obrigado por não passar 30 minutos fazendo contas pra no fim do inverter a ordem da equação e chegar a x^9 = 3^x
@@danielreis2105per rendersi conto che c'è una seconda soluzione quella che tu hai individuato... Basta graficare ambo i membri a mano... Ti rendi subito conto che c'è una soluzione subito dopo x=1 e poi ce ne deve essere un'altra per forza perché l'esponenziale vince sempre su una potenza... x=27
Il professore ha omesso una soluzione non va mica tanto bene 😡
Io non conosco il portoghese però mi sembra di non aver sentito una seconda soluzione
Professore lei si è dimenticato una delle due soluzioni
percebo que esse tipo de solução só funciona em um caso da base de um lado ser múltipla da potência de um outro lado. Caso Não sejam multiplos o que fazer?
Merece o prêmio Nobel de didática matematica
O mais interessante da matemática é ser exata, mas não engessada. Mesmo com todos os conceitos, regras e fórmulas, a criatividade é muito bem-vinda e frequentemente necessária.
só existir nesse universo, pra mim já é uma honra
Eu acho sacanagem questão aue tem que ser criativo. Tinha que ser vetado esse tipo de questão. Ou você sabe ou não sabe. Criatividade é uma coisa. Matemática é outra.
@@hugoleonardo7961 Em uma prova, talvez até possa ser. Porém, sabe-se porque, em algum momento, alguém foi criativo e resolveu um problema. Não é possível dissociar criatividade e matemática. Se fosse assim, teríamos evoluído muito pouco e ainda estaríamos contando dedos.
De minha parte acho interessante e importante a CRIATIVIDADE.
É uma linguagem, e da pra ser usada dentro dos parâmetros que foi criada. Tipo a linguagem de programação.
ou usando a função de lambert w (W)
para W(x), temos um conjunto de soluções para a equação x = W(x) e^(W(x))
para qualquer x
se 3^x é igual a x^9
ln(3^x) = ln(x^9)
x ln(3) = 9 ln(x)
é possível colocá-la como:
1 = x e^(-(x ln(3)/9)
utilizaremos u = -((ln(3)x)/9)
vamos colocar x como -(9u)/(ln(3))
1 = (-(9u)/ln(3)) e^u
em forma de lambert w:
u e^u = -(ln(3))/9
resolvendo: u = -3ln(3), u = W0(-ln(3)/9)
já que W0(x) é dado para um trecho -1 ≤ W(x)
substituindo
-(ln(3)x)/9 = -3ln(3)
x/27 = 1
∴ x = 27
ou, com x = -9(W0(-(ln(3))/9))/ln(3)
x também pode ser 1.1508248...
Eu também havia percebido que este é um típico exercício para ser resolvido por W de Lambert, mas eu valorizo a solução dele, pois apresentou uma maneira didática de introduzir rearranjos muitos parecidos com os que seriam aplicados numa solução típica (W de Lambert). A solução dele pode ser comprendida inclusive por pessoas que não conhecem a função W.
Talvez fosse interessante utlizar essa solução com um caso particular para introduzir o conceito de W de Lambert para alunos que ainda não a conhecem, mas como sempre, os videos de YoutTube precisam ser curtos e ele acabou mostrando um caso particular sem mostrar uma possivel generalização do problema: (a^X = X^b). isso, é claro, terminaria em X = -b W(-ln(a)/b) / ln(a). Numa aula de 45 minutos, provalvemente ele chegaria até esta forma generalizada, mas para uma introdução de 10 minuto no RUclips, ja ficou muito bom.
PERFEITAMENTE!
Essa equação tá ficando bem famosa hein
Matemática à noite para relaxar?
Cabuloso é nois 💙💙
Irmão, fui fazer questão e até agora estou acordado
@@evandroaraujo3044 4 da manhã fazendo uma questão de matemática é fd kkkkk
Não, é para te deixar pensando até o outro dia😂
Pra sonhar com "números irreais".😂
n^x = x^(n^(n-1)) Para qualquer número real n maior que zero, a igualdade proposta pode ser resolvida por este método.
2^x = x^2 , solução x=2
3^x = x^9 , solução x=27
4^x=x^64 , solução x=256 (esse pode ser escrito também no formato: 2^x = x^32)
Interessante saber que a solução nesse tipo de equação vai ser a base do lado esquerdo multiplicado pelo expoente do lado direito. Inclusive 2^x = x^2, a resposta 2 não é a única resposta correta, porque 4 também é uma resposta certa usando justamente o conceito que a base do número da esquerda, pode ser multiplicado pelo expoente da direita. 2^4 = 16 e 4^2 = 16
Olha o AGREGADOR que loucura de dedução lógica dele. Agora inventou um método JOÃO DE DEUS, escreveu não leu o PAU COMEU. kkkkkkkkkkkkk
Ti sei scordato, come il professore nel video, che la soluzione dell'equazione non è unica Ma ce ne sono due. Purtroppo la prima non è facilmente esprimibile
@@thiagoquintella09 Na verdade, a equação 2^X = X^2 possui três soluções. As raízes 2 e 4 são as mais óbvias, mas existe uma terceira raiz para esta equação que é mais complicada de encontrar. Para ter uma noção visual das raízes, sugiro traçar as curvas de ambas as equações e observar que elas se cruzam em três pontos, sendo 2 positivos e 1 negativo. É esse ponto negativo que é o “pulo do gato” para a solução.
@@alexandrecharlesnunez9619 Tem razão. Fiz o gráfico das duas equações e tem uma outra raiz na área do X negativo e Y positivo no segundo quadrante quando a parábola X^2 corta a equação exponencial 2^X. O valor dessa terceira raíz é bem próximo de -0,7666 fazendo a conta na calculadora por tentativa e erro. Seria interessante alguém fazer de forma algébrica os cálculos pra chegar ao valor dessa terceira raiz. Alguém se candidata?
COMO É BELA A MATEMÁTICA !!! PRINCIPALMENTE QUANDO TRANSMITIDA COM ESSA DIDÁTICA, COM ESSA CLAREZA !!! PARABÉNS, MESTRE.!!! SOU ENGENHEIRO CIVIL E, PORTANTO, UM USUÁRIO DE PARTE DESSA CIÊNCIA. APRECIO QUESTÕES COM ESSE GRAU DE COMPLEXIDADE...
Isso não é uma aula, é um espetáculo! Parabéns!
Muito obrigado! 😃🙏
Para quem estiver muito curioso, 3 elevado a 27 resulta em 7.625.597.484.987, que, por sua vez, é exatamente igual a 27 elevado a 9.
Parabéns pela brilhante solução, professor!
Caramba, 7 trilhões :O
Caramba, 7 trilhões :O
Caralho 27x27x27 da 7 trilhões garaiiii
@@alexandryhvs8734 27 vezes 27, só que 9 vezes, não apenas 3.
Ma purtroppo ne manca una. Manca una soluzione
Olá, professor, parabéns pela resolução. A princípio, minha primeira abordagem foi considerar a função f(x)=3^x-x^9, observando que f(1)>0 e f(2)
Olá! Essa raiz é possível de achar usando a Função W de Lambert, primeiro é preciso fazer algumas transformações na expressão com logaritmos naturais e alguns outros ajustes para enfim usar a função W, isolar o "x" e encontrar a solução. Cuja é uma expressão que possui um valor aproximado de 1,15 conforme tens citado.
Olá, tbm iniciei graficamente, mas usei as funções f(x)=3^x e g(x)=x^9. Assim é fácil ver que vai ter uma solução entre 1 e 2. Como a função exponencial cresce mais que a polinomial, conclui, após esboçar do gráfico a mão, que haveria uma segunda raiz.
Cara faz assim: elimina o X em um dos membros elevando ambos a 1/X. Depois é só substituir X por valores maiores que 9 até achar 3 😋
Cara meteu logo um método interativo linear no bagulho
No caso, o professor supus soluções nos números inteiros, você ampliou pros reais. Se considerarmos soluções no conjunto dos números Complexos, tem 9 raízes.
Te acho incrível , quando você resolve analiticamente algebricamente e trigonometricamente. JÁ DEI AULA DE FÍSICA MATEMÁTICA NA UFMG POR ISSO VOCÊ SABE MUITO. TEM MUITAS PESSOAS QUE NÃO USA OS CONCEITOS FAZ AS PESSOAS DECORAR EM MATEMÁTICA
Purtroppo si è dimenticato una soluzione... Le soluzioni sono due
Sigo aprendendo todo dia! Muito obrigado! 😃🙏
@@claudpiro6469 qual a outra solução?
@@carlsonclaudioferreirapinh3762 dispongo di una dimostrazione elegante e breve per questo... Ma qui non ci sta tutta.
Basta che tu ti faccia il grafico di ambo le funzioni: i punti di intersezione devono essere due... Perché l'esponenziale va all'infinito più rapidamente di x⁹
Eu não acho que houve solucao algebrica nesse caso. Foi numerica. Até porque foi escolhido por acaso elevar ao cubo e a 1/3 em dado momento. E esse eu escolhesse por exemplo elevar a 5 e 1/5? Porque foi escolhido um em detrimento de outro? Ou seja, foi ESCOLHIDO um número ao qual daria para solucionar algebricamente. É sobre isso que se trata a disciplina Cálculo Numérico.
Melhor ainda: como resolver a equação 4^5 = 1/X, que é semelhante? Aí precisa de solução numérica, tentativa e erro e procurando aproximações.
Além do mais que essa equação pressupõe outra solução, como o rapaz que fala Italiano bem explicou.
x é aproximadamente igual a 1,15082
x = 27.
Duas solucoes reais.
As "elucubrações" matemáticas são simplesmente fantásticas! Parabéns por demonstrar de maneira clara e objetiva tal raciocínio!
É preciso ter muita visão de raciocínio para conseguir desvendar o valor dessa incógnita na equação. Por isso que sempre gostei dessa matéria. Exige muita linha de raciocínio e não podemos errar em nenhum momento. Excelente explicação.
Isso é pra quem tem nada pra fazer: ficar "brincando" com números. Claro que estou brincando. "A Matemática é a melhor de todas". E sempre será.
Verdade tem tempo disponível por que quem é ativo demais não tempo de pensar muito apenas executa coisa já prontas
osh
A função y = 3^x - x^9 possui 2 zeros reais. Logo a equação 3^x=x^9 também possui duas raízes reais. Faça a transformação na equação e utilize a função W de Lambert w(xe^x)=x e W(xlnx)=x que você determina a outra raiz da equação.
Mas isso só se aprende no ensino superior
@@joaopedroandsan2172devido à mediocridade do atual ensino médio. Além disso, não hada de difícil ou "complexo" (Matemática é simples) na função de Lambert: é literalmente Álgebra! Se o aluno consegue fazer o que o professor do vídeo fez, uma simples manipulação algébrica não é nada para ele.
@@megachonker4173 cara, a álgebra demonstrada no vídeo não é tão simples quanto você pensa. Voce ta completamente desconexo da realidade
@@joaopedroandsan2172não é tão simples devido à mediocridade do sistema de ensino. Além de que Matemática é simples por si só... Só precisa ter o racicínio lógico de um chimpanzé para resolver essa questão. Se alguém não consegue resolver, não é porque é difícil ou complexo, é porque teve a sua inteligência subestimada pelos seus professores incompetentes.
@@joaopedroandsan2172não é tão "simples" devido à mediocridade do sistema de ensino. Se alguém não consegue resolver, não é porque é difícil, é porque teve a sua inteligência subestimada por professores incompetentes.
A matemática é a melhor! Sempre surpreendendo, é muito bom estudar matemática antes de dormir
Simm
Ué 3⁰ = 0⁹
@@lorransouza561 3⁰=1 e 0⁹=0
😐@@lorransouza561
@@lorransouza561 3⁰≠0⁹
Eu leciono também há muitos anos, somente à noite, pois durante o dia tenho outra profissão fora do magistério. Sou Físico e Engenheiro formado pelo ITA. Eu sempre gosto de assistir aos vídeos deste colega pois é uma didática encantadora. Parabéns professor e que seu canal possa crescer mais! Para passar no ITA foi fácil não! Me formar foi pior ainda! Eu, quando me preparei, estudei assim, mesmo porquê a prova do ITA sempre foi firme! Em frente mestre!
Nada como uma boa manipulação. Perfeito. Caso tenham curiosidade, se me permitem, vejam os vídeos "Equações Exponenciais de Dois Níveis" (dois níveis porque o "x" aparece na linha e no expoente) Obrigado.
Quando estiver em depressão ,com certeza irei ver os vídeos "Equações Exponenciais de Dois Níveis!
@@armandoabraaomoraes3981 Espero de coração que você nunca os veja. hehe
X = 27
1) Extraio a raiz nona de ambos os lados da equação, ficando que:
X = (3^X)^1/9
X = 3^X/9
Tá morta, X = 28 , ficando 27 = 3³
27 = 27
Bingo !
Dois minutos para resolver, claro que envolve conhecer a matéria e ter uma mente lógica!
Fiquei curioso como você resolveria esse problema sem recorrer à W de Lambert, gostei bastante da sutileza da solução! Muito legal mesmo!
Na minha opinião, o problema dessa solução é que ela depende de uma etapa que é basicamente um chute. Então seria mais proveitoso esboçar um gráfico com as funções y=3^x e y=x^3 e ver como elas se comportam pra tentar chutar de maneira mais assertiva em que ponto as duas funções se cruzam
A imaginação é muito importante. E de mãos dadas com o conhecimento pode promover soluções surpreedentes como a apresentada neste vídeo.
Dá para fazer de maneira bem menos rebuscada. Seja x=3^a, vê-se logo que 3^a=9a => a=log3(9)+log3(a)=> a=2+log3(a). Facilmente se vê que a=3 => x=27
Silêncio! Estou estudando a manipulação de runas mágicas com o maior mago de nossa sociedade contemporânea (Ele conseguiu fazer o impossível através das artes arcanas ensinadas nas Academias da Ordem Superior)
😁😁😁😁😁
Cala a boca
Parabéns, Professor. A matemática está em todas as minhas atividades, então ver alguém utilizar tão bem o conhecimento de exatas com criatividade, paciência e clareza, é extremamente gratificante. Mais uma vez, parabéns!
daora essa final kkk
eu fiquei curioso pra ver como ele iria resolver isso...
e fico feliz que acabaram as lives de previsão de jogos da lotérica.
Não tem como. A Matemática é sim a melhor de todas!
Meu Deus, o cara é um bruxo, nem o photomath resolve essa equação
Wolfram Alpha também se enrolou com essa.
Mas o symbolab sim
Gauth também conseguiu resolver
Peccato che si sia dimenticato una di due soluzioni
Além de notável em matemática, é um excelente comunicador! Didática nota mil!!!!!
Aí vem o Khaby e faz 3x9=27...
É por isso que eu adoro a matemática, até pq ela é a melhor de todas
Joga na mão do pai que até o pi vira número exato,não tem questão que não trema na base ao me ver 🥶🥶
Não tem jeito, questão falou pra considerar pi 3,14 eu já boto igual 22/7 e do ridada
335/113 @@faltandofuncoes
355/113 @@Casagrande30
@@faltandofuncoeskkkkkkm boa
Tmj mano
A matemática não para de me surpreender. Gostei da didática. Parabéns.
Esse é o mago da matemática 🤔👍🏻👏🏻👏🏻
X= 27 👍🏻
uma solução mais direta seria, possivelmente, chamar x=3^y. Afirmamos que y=3. De fato,
substituindo na equação teremos:
3^{3^y}=3^x=(3^y)^9=3^{9y}. Daí 3^y=9y. Daí, 3^{y-2}=y, d'onde y=3, concluindo o afirmado.
Linda resolução! Muito elegante! A Matemática é realmente fascinante!
Mas soou estranho ouvir "3 na x" e "x na nona". Sei que se trata da elisão da palavra "potência". A Matemática, contudo é perfeita!
A galera do sul fala bastante dessa maneira.
@@paulonobremat Foi o que imaginei.
Valeu!
@@paulonobremat pera, esse jeito de falar é daqui do sul? achei que todo mundo falava assim
@@mamabrielSou carioca e também estranhei essa forma de falar, que nunca ouvi.
Aqui no Ceará é bastante comum utilizar tal elisão, sempre a vejo em diferentes níveis de ensino, tanto médio, quanto superior.
Vc tem muita didática, professor. Fala com clareza, raciocina em linha reta e prende a atenção do ouvinte.
Nota dez.
É... a Matemática é simplesmente apaixonante! É bela, é elegante, e traz o infinito de possibilidades, para pessoas que existem e se vão num átimo de tempo! Não tem como não amar e não se apaixonar por Matemática! Obrigado pelo vídeo, Professor!!
Que lindo. Álgebra é uma forma de arte. Obrigado professor.
Sou engenheiro, ainda na ativa, há 50 anos e vibro com a matemática
Outra forma de solucionar:
Tendo uma potência de 3 a esquerda, tem-se que a direita também da igualdade também tem de ser uma potência de 3. Logo, pode-se substituir:
x = 3^k
Substituindo x por 3^k na igualdade original:
3^(3^k) = (3^k)^9 = 3^(9k)
Tendo-se a mesma base, iguala-se os expoentes, obtendo -se:
3^k = 9k
3^(k-2) = k
Novamente, observando que k tem de ser potência de 3 e maior que 1, verifica-se que
k=3
Ou seja
x = 3^3 = 27
Para ( x ) = (3 elevado a k) ==> [ 9k = 3 elevado a k ] É só isso ? E se a base não fosse 3 ? A sua solução é mais específica. E a do professor, mais abrangente. 🤔
@@emersonpereira1645 se a base não fosse três, a solução é aplicável a qualquer base N de potência.
Prof. Muito bom! Vc não sabe o quanto aprendo e apreendo contigo. Grato Mesmo!
É sempre um prazer ajudar! 😃👍
Muito bom, professor!
Pensando em soluções inteiras poderíamos generalizar a equação 3^x =x^9 para
p^x =x^q
então dá para mostrar que para um particular n, se p^n=q.n, uma das soluções seria p^n (ou qn)
No caso mostrado, p=3 q=9 o n seria 3 e uma das soluções é 3^3 = 9.3 = 27
Poderia-se então bolar outras questões "impossíveis", nesta mesma linha de achar a solução inteira:
1) 2^x=x^4 (resultando em x=16)
2) 27^x = x^9 (resultando em x=3)
3) 6^x=x^18 (resultando em x=36)
4) 2^x=x^32 (resultando em x=256)
5) 5^x=x^625 (resultando em x=3125)
6) 9^x=x^243 (resultando em x=729)
7) 216^x=x^54 (resultando em x=36)
Matemática é arte! O resto é fazer conta...
felipe guisoli? o homem do cafezin com pão de queijo?
@@pedropaixao9107 o brabo
Frase foda
Diga que vc é fã do universo narrado sem dizer que é do universo narrado
Depois de assistir o vídeo, cheguei a uma conclusão que é a seguinte:
Quando estamos nessa situação, multiplicamos a base pelo expoente do outro membro, logo 9x3=27
Outro caso seria, 2^x = x^4
Isso seria igual a 2x4 = 8
Peço que verifique a minha teoria professor 😁😁😁
Assistindo essa maravilha às 1:53 da manhã de domingo 🦖🤝
@@novusordoindividualis digo o msm
Não consegui chegar a uma resolução para essa questão, cheguei a recorrer ao calculo iterativo, mas não bateu com os resultados apresentados. Brilhante exposição, obrigado pela aula Professor!
Matematica tem que ser o maior malandro pra achar os resultados kkkkkk
Os argumentos são técnicos e objetivo; acrescente -se a criatividade na solução do desafio. Parabéns, teacher !!!
Como é fascinante e surpreendente a infinita matemática??? o caminho é este : sempre há 1 prof.
Cinema!
Por isso que eu amo matemática, até o sem sentido tem sentido no final, até aplaudi quando ele chegou no 27
this is absolut cinema
Muito obrigado! 😃🙏
thank you sir, i am from india & i watched your teaching first time, i just followed your writings & i understood it
🙏
without knowing your language
Usando logaritmos, acho que fica mais fácil: 3ˆx = xˆ9 => log (3ˆx) = log (xˆ9) => x.log 3 = 9.log x => x/logx = 9/log3 . A partir daqui, temos que igualar, no segundo membro, o numerador e o logaritmando do denominador, e não é muito difícil perceber que podemos fazer isso multiplicando por 3 ambas as partes da fração do segundo membro da equação. Assim, x/log x = 3.9 / 3 . log 3 => x/log x = 27/log (3ˆ3) => x/log x = 27/log 27. Portanto, x = 27.
Se apelar para o logaritmo, encontramos outra raiz dessa equação que é aproximadamente 1,15082
3^1,15082 ≈ 3,54
1,15082^9 ≈ 3,54
Mas sem dúvidas, a raiz = 27 é muito mais bela.
Parabéns pela solução, muito criativa! No final, tem que ter um cuidado, pois a função f(x)=x^(1/x) não é injetora, mas o valor 27^1/27 é atingido uma única vez, legitimando a solução, mas pode induzir um estudante a acreditar que isso sempre funciona…
Muito obrigado pelo exemplo didático.
Eu vi que essas funções têm um comportamento bem interessante. Na "força bruta", achei uma raiz utilizando a função W de Lambert.
x = 1/e^LambertW(-ln(3)/9)
x ~= 1.1508248213011063676186124461618725742688059797691999714210381606
O curioso é que as funções 3^x e x^9 se "encontram" novamente em x = 27.
Tive que jogar na calculadora pra verificar! Fantástico!! Pra comparar eu joguei a equação pra uma IA resolver e ela tirou uma 'aproximadamente 3,5' nada a ver! Ótima explicação e execução!
Minha dúvida é por que x^x = x possui duas soluções: 1 e -1.
A menos que esse seja um tipo diferente de igualdade, ao qual não se aplica a regra da similitude.
Obrigado e parabéns pela resolução da equação proposta! Jamais chegaria a uma maneira de resolvê-la.
Oi, pela derivada de f(x)=x^(1/x) sabemos que se trata de uma função crescente em ]0, e[ e decrescente com assíntota horizontal 1 em ]e, ∞[, donde para todo a>e, existe b, 1
O aluno que conseguiu resolver essa equação sem copiar de nenhum lugar, merece um troféu 🏆. Nunca imaginei que o resultado seria 27. Aliás, nem sei quanto dá 3^27 e tb não sei quanto é 27^9.
Analogias com o Leite
Vamos imaginar que temos dois recipientes que medem a quantidade de leite de maneiras diferentes:
1. *Primeiro Recipiente (Polinomial):*
- A quantidade de leite segue a equação x^9.
- Exemplo:
- Se você tem 1 litro, o volume é 1^9 = 1 litro.
- Se você tem 2 litros, o volume é 2^9 = 512 litros. A quantidade cresce muito rapidamente!
2. *Segundo Recipiente (Exponencial):*
- A quantidade de leite é dada pela fórmula 3^x.
- Exemplo:
- Se você começa com 1 litro, é 3^1 = 3 litros.
- Se você tem 2 litros, é 3^2 = 9 litros. A quantidade cresce exponencialmente mais rápido!
Objetivo: Encontrar quando a quantidade de leite nos dois recipientes é igual:
[x^9 = 3^x.]
*Quando os Copos se Igualam*:
- *Recipiente 1 (Polinomial)*: Copo com leite onde a quantidade cresce conforme x^9. Se você coloca 1 litro, é 1^9 = 1. Se coloca 2 litros, é 2^9 = 512. Cresce muito rápido!
- *Recipiente 2 (Exponencial)*: Copo onde a quantidade é dada por 3^x. Se começa com 1 litro, é 3^1 = 3. Se coloca 2 litros, é 3^2 = 9. Cresce exponencialmente rápido!
Conclusão: Após observar as taxas de crescimento, concluímos que os volumes se igualam exatamente quando:
x = 27.
Porque:
27^9 = 3^27
A solução para essa equação é quando os volumes de leite nos dois recipientes são iguais, e isso acontece exatamente quando x = 27. E como já foi falado aí nos comentários, A matemática é uma linguagem poderosa e universal, permitindo a descrição e compreensão do mundo natural, da ciência e da tecnologia.
Muito bom! Fazia tempo que não me divertia tanto!
Muito obrigado por sua generosidade! 😃🙏
Tem um problema: 27 não é a ÚNICA solução.
Para x=1: 3^x = 3 e x^9= 1.
Para x=2: 3^x = 9 e x^9 = 512.
Como x^9 "ultrapassou" 3^x nesse intervalo e as duas funções são contínuas, isso implica que existe outra solução entre 1 e 2. Não acho que seja possível descobrir o número por manipulação algébrica, só por cálculo numérico mesmo.
Opa amigo, é possível utilizando a função W de Lambert, recomendo procurar por vídeos de equações deste tipo que usem essa função.
O maluco é brabo. Parabéns pela solução professor
uma forma simples de pensar pode ser a seguinte, se 3 elevado a x é igual a x elevado a 9, sabendo que 3 elevado a x só deterá de fatores 3, então x elevado a 9 só deterá de fatores 3, portanto, basta colocar potencias de 3 no lugar do x, pois assim o x no segundo membro da equação so deterá de fatores 3, é fácil perceber que x difere de 3 e 9 após os devidos testes, e assim, em menos de um minuto, é possivel chegar a x = 27
Inscrito, com certeza!!! Mta sagacidade para resolver, parabéns professor
Acho q devem existir outras soluções possíveis mas existe algum meio mais fácil de encontrar todas elas? Pq tentar transformar a constante em base elevado ao inverso da base parece algo bem difícil de ser feito em uma tentativa de encontrar multiplas raises
Matemática é simplesmente linda, parabéns professor!! Belíssima resolução.
Pra encontrar um valor inteiro...
Neste caso... Da pra fazer por tentativas...
Levando em consideração que a equação deve ter a mesma base .. no caso um multiplo de 3^n
Dai é só substituir por tentativas... Na terceira chegamos na sua resposta.
Já que 3^x =x^9
Teriamos na primeira substituição
3^3 =3^9 ( oque é falso)
Na segunda
3^9 =9^9 3^9 = 3^18 ( que é falso)
Na terceira
3^27 = 27^9 3^27= (3^3)^9 3^27 = 3^27
( Que é verdadeira)
Dando uma das soluções x=27
Note que foram escolhidos os valores da potência de base 3 na forma 3^n =x ou seja na primeira tentativa foi substituído 3^1 que é 3
Na segunda 3^2 que é 9
Na terceira 3^3 que é 27
Não é a melhor forma, mas neste caso chegamos ao mesmo resultado ( o do vídeo)
Excelente didática. Parabéns professor!!!!
A Matemática sempre surpreende, muito bacana essa aula ❤
Olá, professor. Eu sou o José. Escrevo de Angola.
Sei que não é o comentário correto para essa aula, contudo, estou a precisar de ajuda. Se possível gravem, por favor, um vídeo, resolvendo as derivadas parciais da função F(x,y)=ln(x²+y²) pela definição.
Agradeceria.
MEUS PARABÉNS EU ACOMPANHO VOCÊ É O MELHOR PROFESSOR AÍ DA TURMA E DA INTERNET .
Muita gentileza sua, mas há inúmeros professores altamente talentosos compartilhando conteúdo na Internet - ainda bem! 👏👏👏
Antes de ver o vídeo, tentei achar a raiz (ou as raízes). Não vislumbrei a brilhante solução apresentada no vídeo e acabei apelando para o método de Newton-Raphson, encontrando assim duas raízes: 1,150824821 e 27,000000000. Depois fui olhar com calma a função y=x^(1/x) e descobri que fora os limites do domínio x>0, não tem um ponto de mínimo e tem apenas um ponto de máximo para x=e, tende a zero quando x se aproxima de zero e tende a 1 quando x cresce ao infinito. Fica então fácil concluir que são duas as raízes. Não consegui chegar a uma expressão para a primeira raiz.
Sensacional, claro, depois da solução.
O mais bonito da matemática é tornar situações impossíveis a possíveis.
O raciocínio lógico é a base para que o exposto acima se cumpra.
Está o Professor pela criatividade.
Alguns detalhes importantes que não foram mencionados. Primeiro que x=0 não é uma solução da equação e, portanto, pode escrever 1/x na revolução. Mais que isso, x>0 porque, do contrário, sendo x negativo, x⁹ seria negativo, enquanto que 3^x seria positivo (expoencial é sempre positiva), isto é, teríamos uma igualdade entre dois números com sinais diferentes, o que é um absurdo. Logo, isso prova que o x que satisfizer a equação deverá ser positivo. Pra finalizar, no último passo, deixo uma pergunta (não é difícil): a função x^{1/x} é injetora e, se sim, porquê?
eu vi a thumb do video e nao ia clicar para assistir, mas fiquei curioso e joguei a equacao no photomath. Ele nao conseguiu resolver e só plotou os graficos das duas funcoes e isso me fez voltar pra assistir o video e ver se tinha solução. Sensacional, uma solução muito criativa, bonita e bem explicada!
Meu Deus 😱 que didática incrível. Aa 2hrs da manha eu passei 9 minutos fixado assistindo uma questão. Parabéns ao professor 🎈🎉
Sempre acompanhando... à partir de Angola!!!
Essa solução se aplica a quaisquer valores da equação? 27 é 3 (da esquerda) vezes o 9 (da direita). Fossem quaisquer valores nos lugares deles, mantendo a estrutura, bastaria multiplicá-los?
Cara assistir umas três vezes, não for falta de entendimento. E sim, pela beleza da arte! Fantástico...
Por essa ganhou um inscrito!
Excelente!
Parabéns!
Muito interessante. Parabéns professor. Fui conferir na calculadora, como é um número muito grande elevado a 12 potência, deu uma diferença de 150 unidades.
Eu gostei muito da 'Mágica' dos expoentes, mas eu apresentaria outra solução um pouco mais 'visível' para os meus alunos. A equação pode ser transformada em um sistema em que x = 3^k, k real. Depois de algumas manipulações mais diretas o valor x = 3 aparece por meio da tentativa-erro. Mesmo assim, parabéns pela solução elegante, muito elegante.
Eu gostaria de um dia ter essa "criatividade". A colinha da direita não tinha nenhum conceito/fórmula que fosse desconhecido(a) para mim. Mas a aplicação desses conceitos da forma correta requer, na minha humilde opinião, um incrível nível de mente e raciocínio treinados.
Parabéns, professor!
Não posso deixar de dizer que gosto muito dos seus vídeos. A sua explicação é muito clara.
Muito interessante, a equação também pode ser manipulada para usarmos a função Lambert ou analisar os pontos onde 3^x e x^9 intersectam (x = 27 é bem difícil de se observar por gráfico, por isso, percebe-se primeiro no seguinte caso)
Nesse caso, x seria igual a e^-W(-ln(3)*e^(-2*ln(3))), que em sua forma decimal é aproximadamente 1,151, mas testem numa calculadora que tenha a função lambert pra mais exatidão, recomendo a wolfram alpha
Utilizando o Desmos, para ver o grafico, o ponto 1.151... faz interseção
Parabéns professor! Eu gostaria se possível voce mostrar como se faz este cálculo (como monta e como resolve, eu não quero só a resposta. eu quero os cálculos que chegam a resposta). Um fazendeiro deu R$ 100.000,00 para seu gerente comprar exatamente 100 cabeças de gado. O boi custa R$ 10.000,00, a vaca R$ 5.000,00 e o bezerro R$ 500,00. Pergunta: Quantas cabeças de cada ele terá que comprar com os R$ 100.000,00 para levar as 100 cabeças de gado para o patrão? Eu não quero só a reposta por que eu sei quantas de cada , só não sei como montar este problema. Eu resolvi por aproximação, mas gostaria de saber se tem como montar e resolver sem ser por aproximação
Barbaridade. Me caiu os butiá do bolso, e acho que ainda caiu os butiá que tinha no butiazeiro. Eu acho que nunca vi um problema assim, mas foi muito elegante a resolução. O legal é que tu forçou o resultado pra dar certo. Outra coisa massa foi ver o espelhamento de propriedades. Saca quando tu tens uma fração igual a outra, tipo "A/B = a/b", os denominadores pulam a cerca e tu reescreve "Ab = aB"?, Pois é, tu fez a mesma coisa com os expoentes da equação original. Embora essa propriedade seja muito conhecida, eu acho que nunca vi ela sendo aplicada em equação exponencial como tu aplicou. Por coisas assim que ainda me dá vontade de voltar à faculdade e fazer matemática.
Na verdade tem mais soluções e resolve-se pela função de Lambert W:
A função de Lambert W diz que W(@.e^@) = @ ; agora precisamos transformar esta equação de modo a ser resolvida por lambert:
3^x = x^9 (aplicando ln nos dois lados)
ln(3^x) = ln(x^9) -> x.ln3 = 9.ln x (passando o 9 dividindo)
x.ln3/9 = ln x (trazendo a base e para os dois lados)
e^(x.ln3/9) = e^lnx = x (passando o termo da esquerda para a direita)
1 = x.e^(-x.ln3/9) = 1 (multiplicando os dois lados por - ln3/9)
-x.ln3/9.e^(-x.ln3/9) = -ln3/9
Assim temos que -x.ln3/9 = W(-ln3/9) logo:
x = - 9.W(-ln3/9)/ln3
Com isso, soluções reais achamos duas:
x ~ 1.15082 e x = 27
Genial! O que, no meu tempo de faculdade, se chamaria de "solução elegante"
Eu só dividi o 9 da potecia de um lado por 3 que é a base do outro lado, o resultado foi 3. Ai elevei 3 da base esquerda ao "nivel 3", do valor da divisão, ficando então 3³, o que da 27... Bem mais simples, um método completamente sem sentido, mas deu certo, já dizia o Patolino "podem questionar meus métodos, mas não meus resultados"... kkkkk
Olá professor, segue uma ideia legal tbm observando os seguintes pontos: vc devia ter dito que estamos procurando soluções inteiras, caso contrário estão faltando soluções em sua resolução. A partir disso, temos que se existe solução, então x é uma potência de 3. Deixo a cargo de vcs pensarem nisso...
Portanto x= 3^k para algum k
Substituindo na equação obteremos 3^3^k = (3^k)^9 = 3^9k
Portanto 3^k= 9k
3^(k-2) = k
Logo k = 3
Finalmente x=3^3= 27
Nota: O último passo ali parece "roubar" chutando o 3, mas a exponencial cresce muito rápido dps do 3 e qualquer número menor que 3 o não seria inteiro.
Professor, muito interessante essa resolução! Mas eu estava pensando aqui. Não poderíamos usar logarítimo para resolver essa questão também?
De onde veio a decisão de escolher o número 3? De elevar ao cubo e depois novamente a 1/3?
Sem dúvidas essa é a sacada genial para se resolver o problema, mas de onde vem a ideia de experimentar fazer exatamente isso?
minha resolução antes de assistir ao video:
primeiro: x é um numero composto apenas por fatores 3, ou seja ele é um 3 elevado a N;
segundo: (3 elevado a N) elevado a 9 = 3 elevado a (9n);
terceiro: 3 elevado a 3 elevado a n = 3 elevado a 9n, com as bases igualadas cortamos-as;
quarto: 3 elevado a n = 9n;
solução da equação: n = 3;
x = 3 elevado a 3;
x = 27;
Há uma resposta entre x=1 e x=2. Veja que se F1(x)=3^x e F2(x)=x^9 , podemos ver que F2 ultrapassa F1 neste intervalo entre 1 e 2.
Fantástico! Excelente didática!!! Parabéns!!!
Excelente explanação! Parabéns!!!!
Eu amo o fato que eu consegui entender perfeitamente sem nenhum momento dúvida.