【計算裏技多め】誘導なしで一橋大レベルに変えてみた

[@とど-q7h]

①貫太郎式だと
a[n+1]+αb[b+1]=β(a[n]+αb[n])
を解いて
α=±√3, β=2±√3
a[n+1]±√3b[n+1]=(2±√3)(a[n]±√3b[n])
a[n]±√3b[n]=(a1±√3b1)(2±√3)^(n-1)
a[n]±√3b[n]=(2±√3)^n
②
二項展開すると
偶数項目の総和=a[n]
奇数項目の総和=√3b[n]
(2-√3)^n
は奇数項目の総和が負になるだけ

[@とど-q7h]

②
二項展開
(2±√3)^n=∑C(n,k)2＾(n-k)(±√3)^k {k=0...n}
kの偶奇を分けて考えればいいということ
α=x+yi(x,y実数)に対して共役な複素数β=x-yiを用意すると、いいことがある
α=x+√y(x,t整数,yは非平方数)に対して共役な無理数β=x-√yを用意すると、いいことがある
という肌感覚で持つべきでしょう。
一般化すると
二項展開して
αⁿ=a[n]+b[n]x特異値
βⁿ=a[n]-b[n]x特異値
a[n]=(αⁿ+βⁿ)/2
b[n]=(αⁿ-βⁿ)/2特異値

[@とど-q7h]

①貫太郎式と言っているのは？
連立2元漸化式
a[n+1]=p・a[n]+q・b[n]
b[n+1]=r・a[n]+s・b[n]
a[n],b[n]の一般項を求めよ。
をどう解くか
a[n+1]+α・b[b+1]=β(a[n]+α・b[n])
とおいて
(α,β)が求めて(α,β)が重解でなければ
(a[n],b[n])に関する連立一般項が求まる。
a[n],b[n]の一般項を求まる。
これを貫太郎式といった。
ヨビノリの「漸化式基本形全パターン解説」でも同じことを言っている。
PASSLABOの「漸化式全パターン解説」で該当記事は見つからなかった。

[@とど-q7h]

①貫太郎式と言っているのは？
連立2元漸化式
a[n+1]=p・a[n]+q・b[n]
b[n+1]=r・a[n]+s・b[n]
a[n],b[n]の一般項を求めよ。
をどう解くか
a[n+1]+α・b[b+1]=β(a[n]+α・b[n])
とおいて
(α,β)が求めて(α,β)が重解でなければ
(a[n],b[n])に関する連立一般項が求まる。
a[n],b[n]の一般項を求まる。
これを貫太郎式といった。
ヨビノリの「漸化式基本形全パターン解説」でも同じことを言っている。
PASSLABOの「漸化式全パターン解説」で該当記事は見つからなかった。

[@passlabo]

【修正追記】問題文にan,bnが整数という条件を加えました。（a1=2, b1=1となります）
ご指摘いただいた方ありがとうございます。

[@epsom2024]

自然数の数列 {a[n]},{b[n]} を (2+√3)^n=a[n]+b[n]√3 により定める。ですね？
b[n]=A*p^(n-1)+B*q^(n-1) とするほうがスマートですよ
青チャートに載っている解法の1つ

[@たくと-o2r]

これたしかプラチカで見たな

[@けんちゃん-u9e]

仮面浪人で京大総人を目指すけんちゃんです！
夏の京大実戦で、D判定でした。まだ合格圏には達していませんが、初めてE判定より上の判定が出たので、小さな成長を感じています☺
この嬉しさを自己効力感に繋げて、11月にB判定以上を叩き出します！

[@vacuumcarexpo]

コレ、頑張って計算したら、当たり前の結果しか出てこなくて徒労感がハンパないヤツだな（笑）。

[@くり-t2n]

ここから三角関数の極限を求めよとかありますよね
深い

[@なおちゃん-v5v]

ペル方程式が背景にある問題ですね。

[@roygamm]

これ授業で類題やったので簡単に解けました！

[@日常系アニメファン]

連立漸化式からの三項間漸化式ね😊ってすぐ式自体は立てられたけど、そこから計算にめっちゃ時間が掛かった😱

[@mathseeker2718]

三項間漸化式の答えは、特性方程式の解のべき乗になることを使っても良いね。

[@SELCON22]

線形結合か

[@mathematicscat]

でも正直この問題は、誘導があるからこそ「へー、凄い」ってなる問題

[@aenergy_intersteller]

このレベル帯の私大の誘導無くしたら過去問に困っても勉強できる説

[@アサイチ-z1c]

(2-√3)^nを考えたくなる問題ですね

[@aoi2467]

これなにかのアニメのシーンでノートに書かれてたんだけど思い出せなくてモヤモヤしてる

[@nightstay738]

どことなくフィボナッチ数列の一般校項に似てますね

[@salonpas1632]

ペル方程式？

[@Tohu01417]

めちゃくちゃわかりやすかったです、ありがとうございますm(__)m
これって(2+3^1/2)^nとかをさらに展開して～のような操作は必要ないのでしょうか？

[@おいしい水-h8c]

aₙ₊₁=2aₙ＋3bₙ
bₙ₊₁=aₙ＋2bₙ
下の式に𝛼をかけて式同士を足すと
aₙ₊₁＋𝛼bₙ₊₁=(2＋𝛼)aₙ＋(3＋2𝛼)bₙ
となりaₙ₊₁とbₙ₊₁の係数の比と
aₙとbₙの係数の比率が一致することを考えて比率の式を作って解くと
𝛼=±√3
そしたら等比数列ができて
足し引きするとaₙ=,bₙ=の式持っていけます。これで解いたらかなり楽にとけました〜
動画内の特性方程式の解が問題の形と同じ2＋√3になって神秘的な何かを感じました。やっぱり数学は面白いですね

[@IamReaa]

これの上位互換の問題が東京電機大で1〜3年前に出てますね

[@Show.N]

数Cに行列があった時代の受験生なので、連立漸化式が出てきたところで係数行列のn乗を求めて見たくなる

[@ぽじもん-u3j]

滋賀医でも大昔出てたなあ

[@SELCON22]

ペル方程式だ

[@azuma3520]

ペル方程式だっけ

[@たいやきの塩焼きーんん]

ちょうど学校でやったわ

[@Toitoi-258]

京産大が一橋(笑)

[@johntitor6646]

うっ頭が