正答率1%の漸化式【難問!?】

[@torautsubo-hu6fc]

logとり、y=√((x+1)/2)とy=xのグラフから極限の推測。実験→二重根号はずし。笑えるほど解説通りやってたのに三角関数は思いつきませんでした。まだまだですね。

[@yoooooshi152]

某サークルさんのおかげで三角関数絡みの漸化式であることは意外とすぐ分かりました。
こういうのほんとたまに見かけるので覚えておいて損は無い気がしますね。

[@さくなぎ-v2p]

久々に見た！良い復習になりました☺

[@adjustment1414]

様々な分野が重なった良い問題ですね。

[@ajpadt]

（1）cos15°を求めよ
（2）本問
だったら正答率が30%ぐらいまで上がりそうですね

[@adjustment1414]

良い誘導ですね。

[@りんごあお-f9o]

@nainakiiiii1234 この動画の前提から言って難関大を目指している方では？

[@CyclesT-j5e]

値を見てcosが絡んでるって気づけない人はそもそも予想の段階で止まると思う。

[@ajpadt]

いわゆる、実験→推定→帰納法のパターンですね。（1）の誘導つければ、cosが絡むはずと意識するはずで、a1.a2の値がcosの値と関連していることに気づけば、簡単な問題でしょうね
旧帝以上の受験生を想定した難関大向けの問題ですね

[@TakuT.]

数列の漸化式で三角関数が出てくるとは思わないよねw
実験の大切さが分かって、数学のあらゆる範囲を俯瞰する姿勢も身につく良問だと思います。
感謝

[@lookN-i1l]

朝からいい勉強になった

[@Nani-ey2cl]

三角関数思いついたの気持ち良すぎぃ❤

[@西村宗一-o5f]

実験はしない人はいないと思うのですが、その後は秒殺でどうするか判断すべきですね
三角関数を思いついたら完答するべきですし、思いつかなかったら秒で諦める必要がある

[@fclfc1039]

誘導無しでこれが出るのは現実的じゃないと思います…知識問題って気持ちが…
極限と範囲だけ求めて初見は十分な気がします

[@hyuhyu4788]

この漸化式の問題でcosθnを漸化式で示させる誘導つきのは解いたことある
類題経験ないと初見で三角関数持ってくのはむずかしいよね

[@Niseitohara]

漸化式好きすぎでしょ

[@azk_d]

積分ばっかりやってたら「1足して根号が外れる…三角関数では？🤔」ってなった
やはりやるべきは積分()

[@shumaikun0716]

数列は上に有界かつ単調増加する(もしくは下に有界かつ単調減少する)時に必ず極限を持つのでこの両方を証明すると極限をαと置いて極限値を求める事が合法的に出来ますね。

[@shirapi-]

ロジスティック写像を知っていたので、半角の公式だとすぐ思いつき、比較的楽に解けましたね

[@あいすアイス-k6e]

正解率1%では差が出ないでしょう。
こんな問題が出たら解かずにスキップする判断ができるかの方が大切。

[@オヴ-q3s]

ヒカマニで似たような漸化式をみたので、飛びつくように2乗してcosの2倍角の形に変形しました

[@vacuumcarexpo]

倍角はちょいちょいありますが、半角は多少珍しめ？
この手のヤツで、ハイパボリックの倍角とかの漸化式もあるけど、誘導なしじゃキツいですね。

[@どらち-i3g]

帰納法を使わずにグラフで処理する方法があります。答案で書いて問題なかったです。⑴a(n+1)=√(1+a(n)/2
で右辺が半角公式に酷似しています。
a(n)=cosθnとおいて
半角公式を使えばルートを外せます。
⑵cosとθの関係は、y=cosxを書けばわかりますが
[0,π]の間でなければcosα=cosβ⇔α=βとはいえません。だけど今回は⑵でのグラフにより[0,π]の間にあるとしてもOKなのでそのままθnが求まり、一般項a(n)=cos[π/3×2^(n-1)]とできます。
⑶ 極限の推定
a(n+1)=y a(n)=xとみたてて
y=√(1+x)/2 のグラフを描くと
2y²-1=xのグラフの上半分。--①
y=xも合わせてかく。--②
初項1/2なのでx=1/2をひく
x=1/2と①の交点のy座標がa(2)、それをy=x対称に折り返してまたx=a(2)と①の交点のy座標をa(3)としてそれを繰り返すと、なんとn→∞でa(n)→1がすぐにわかります。(これを1/2≦a(n)

[@kto-l2f]

とりあえず実験して
a_1 = 1/2 と a_2 = √3/2 で三角関数が絡みそうと予想 → a_3 = (√6+√2)/4 がcos15°で確定 → あとは漸化式と半角公式から一般項を導出
みたいな感じで解けました。

[@とんかつ太郎-h8w]

今回の問題ではa1=1/2となっていたためa2,a3を求めることで帰納法が見えてきましたが、前に似たような問題を解いた時、-1

[@母-m6x]

いやー、いい問題だったなぁ。

[@山泥酔]

動画、ありがとうございます！、極限とって、実験して、三角関数の仮定を立てて、帰納法、で解けましたが、時間、かかりました（笑）、解けた感動よりも、本当にこれでいいのか？、と疑問でした。

[@ファースト-o1d]

一気にピースがハマった感やばいです

[@ベルヌーイ数]

サムネみて適当に式変形したら半角の公式に似てるなって思ってすぐいけた

[@mathseeker2718]

解けました。an=cosθnとおく。

[@じじい-w8w]

漸化式でcos(Θ/2)って表せるんだ・・・すげー

[@User-f9hi]

漸化式で三角関数に変換するのはなかなか思いつかない
積分だとすぐ置換出来るのになんでだろう

[@oOLLYILLLldgmp]

こんなん慣れる必要ないけどな

[@不眠症のポッチャマ]

典型パターンかそうでないかの違い。ゆえに何年後かにはこの問題も典型化するかもね

[@electromagnezone88]

cosがあるため，一応文系でも通用…と思いきや，漸化式の特性方程式の特徴をしっかり理解しないと駄目なため，理系難関向きになりそう。
limは数学IIの微積分で少し出るだけで，limの具体的な特徴は数学IIIの範囲のため。

[@hirokimorita9153]

実験は大事。
面倒でも、手を動かすと何かでる。

[@bogie5980]

cos15°は無理だー。普通覚えているものなのか？

[@よっしー-f8g]

加法定理で出せるし値見たときに気づいたりはするよね

[@rask-ck9uu]

何回も問題演習してると「自然と」頭が記憶してるようになる。

[@ojamesi8683]

漸化式で次数が下がっている時は三角関数での置換を疑うと良いことがあります。例えば、以下の漸化式も三角関数での置換によって解くことができます。
a_{n+1} = 4 a_n ( 1 - a_n )
（a_0 ∈ [0,1] ）

[@ふぃぼなっち太郎]

二項間漸化式を三項間漸化式に拡張して解いたらダメですかね？

[@土鍋カレー]

初見で三角関数まで行けるのはなかなかよな

[@りょ-z1b]

やっぱ実験推測帰納法だよなって書こうと思ったら動画に書いててやっぱそうだよなと再々確認になったわ

[@きしべろべろはん]

これ実験から予想して帰納法はokですか

[@CyclesT-j5e]

うん

[@2ima6]

お得意の大袈裟なタイトル。遠回り・深堀りが動画の趣旨だというのは分かりますが，極限の話なんて必要？
7分待ってようやく本題が来ると思ったら結局「この数見たことあるよね」で押し通すだけなのか。

[@パイオニア-o7f]

見るからに半角の公式
これに気づけないようじゃ難関大は厳しい