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見る前に解く[a/a]+b=1+bであり、n>aなるnについて[a/n]+b=bであるため、1+b,bが共に素数であることが必要。よってb=2a≧4のとき[a/n]+2=2+2=4となるnが存在するため、a≦3で考える。a=1のとき、[1/1]+2=3でありn>1なるnに対して[1/n]+2=2であるため適する。a=2のとき、[2/1]+2=4より不適。a=3のとき、[3/1]+2=5,[3/2]+2=3,[3/3]+2=3でありn>3なるnに対して[3/n]+2=2であるため適する。∴(a,b)=(1,2),(3,2)
処理しやすいようなものを考えて、必要条件から絞っていきたい。そこで、ガウス記号を処理した後に文字がbの1文字だけになるような都合の良いnを考えてあげよう。すると、n=aとn>aが思いつく(n=aのとき[a/n]=1,n>aのとき[a/n]=0となるため都合が良い)
a が 5 以上の奇数のとき 2 以上の整数 k を用いて a=2k+1 と表せる。f(k)=[(2k+1)/k]+2=[2+1/k]+2=2+2=4 これは素数でない。よって不適
今日も良問ですね❤❤
何故だかわからないけど定期的にここの動画を見たくなってしまう
うわあこれ答えは代入をしてるとわかるけど追い詰め方が楽しめる問題だな答え見るの早過ぎて後悔した
いい問題やっー
(a,b)=(1,2) はすぐ見つかった f(n)=[a/n]+2 a が 5 以上の奇数のとき，2 以上の整数 k を用いて a=2k+1 とおける(a-1)/2=k より f((a-1)/2)=[(2k+1)/k]+2=[2+1/k]+2=2+2=4 となり不適
9:37 ここからのことですが、前段階でaが奇数と分かっているのでa=2k+1(k≧2)と置く。そうすると、f(n)=[2k+1/n]+2と書ける。nは任意なのでn=kのとき、f(n)=[2+1/k]+2=4となり素数とならない。この方が不等式評価を使わなくてもa≧5のときにaが存在しないことを簡単に示せる気がしたのですが何か間違えている所がありますでしょうか？
OKっぽいですk=(a-1)/2なので動画と同じ方針になりますし、不等式評価も行われています（∵0≦1/k＜1より、2≦2+1/k＜3、∴ [2+1/k] = 2）
nが大きくなると区間[2n,3n)と区間[2(n+1),3(n+1))が重なってそう？なので差を取ってみると3n-2(n+1)=n-2であるから任意のn≥2に対して2n
超絶良問ですね
n=(a-1)/2を見つけられなかったけど、a≧7の時a/2-a/3が1より必ず大きくなり、f(n)=4となる自然数が必ず存在するのでa=5の時だけ別で考えて、a≧5の時f(n)=4を満たす自然数が少なくとも一つ存在する、と証明してもいけそうですね。
b=2, aは奇数(動画同様)aは奇数なのでa=1、またはa=2n+1 をみたす自然数nが存在するi) a=1のときf(n)=[1/n]+2n=1⇒f(n)=1+2=3n>1⇒f(n)=0+2=2⇒a=1ならばf(n)は素数となるii) a=2n+1のときf(n)=[2+1/n]+2n=1⇒f(n)=3+2=5n>1⇒f(n)=2+2=4⇒a=3のみf(n)は素数となるよって(a,b)=(1,2),(3,5)
答え自体はすぐ出るから、記述力が試される問題だと思った
a=2k+1とおくf(k)=[(2k+1)/k]+2=[2+1/k]+2k>1なら=4よってa≧5は不適
(1,2)のみかと思ったら、(3,2)もか。
aを2nと3nを挟んだ時に、n＞=2の時必ず間にある自然数が存在してしまうという記述じゃ弱いですかね
自分はまず素数が3つ以上連続で現れることはない、つまり［2/a］は連続する3整数(0,1,2とか1,2,3)を取りうることはないって考えて、n≧ 4のときを除外しました
今日中間試験の最終問題で阪大の40000 Σ 1/√n の整数部分 nを求める問題が出ましたが、パスラボさんのおかげで解くことができました。これからも応援します👍
おはようございmath
整数を出題範囲に書いてないとこが整数出すのかが分からない正直、ユーグリッドを除けば整数問題って他の範囲と被ってることも多いし、数列でついでに出題されることもあるし
見る前に解く
[a/a]+b=1+bであり、n>aなるnについて[a/n]+b=bであるため、1+b,bが共に素数であることが必要。よってb=2
a≧4のとき[a/n]+2=2+2=4となるnが存在するため、a≦3で考える。
a=1のとき、[1/1]+2=3でありn>1なるnに対して[1/n]+2=2であるため適する。
a=2のとき、[2/1]+2=4より不適。
a=3のとき、[3/1]+2=5,[3/2]+2=3,[3/3]+2=3でありn>3なるnに対して[3/n]+2=2であるため適する。
∴(a,b)=(1,2),(3,2)
処理しやすいようなものを考えて、必要条件から絞っていきたい。そこで、ガウス記号を処理した後に文字がbの1文字だけになるような都合の良いnを考えてあげよう。すると、n=aとn>aが思いつく(n=aのとき[a/n]=1,n>aのとき[a/n]=0となるため都合が良い)
a が 5 以上の奇数のとき 2 以上の整数 k を用いて a=2k+1 と表せる。
f(k)=[(2k+1)/k]+2=[2+1/k]+2=2+2=4 これは素数でない。よって不適
今日も良問ですね❤❤
何故だかわからないけど定期的にここの動画を見たくなってしまう
うわあ
これ答えは代入をしてるとわかるけど
追い詰め方が楽しめる問題だな
答え見るの早過ぎて後悔した
いい問題やっー
(a,b)=(1,2) はすぐ見つかった f(n)=[a/n]+2
a が 5 以上の奇数のとき，2 以上の整数 k を用いて a=2k+1 とおける
(a-1)/2=k より f((a-1)/2)=[(2k+1)/k]+2=[2+1/k]+2=2+2=4 となり不適
9:37 ここからのことですが、前段階でaが奇数と分かっているのでa=2k+1(k≧2)と置く。そうすると、
f(n)=[2k+1/n]+2と書ける。nは任意なのでn=kのとき、
f(n)=[2+1/k]+2=4となり素数とならない。この方が不等式評価を使わなくてもa≧5のときにaが存在しないことを簡単に示せる気がしたのですが何か間違えている所がありますでしょうか？
OKっぽいです
k=(a-1)/2なので動画と同じ方針になりますし、不等式評価も行われています
（∵0≦1/k＜1より、2≦2+1/k＜3、∴ [2+1/k] = 2）
nが大きくなると区間[2n,3n)と区間[2(n+1),3(n+1))が重なってそう？なので差を取ってみると3n-2(n+1)=n-2であるから任意のn≥2に対して2n
超絶良問ですね
n=(a-1)/2を見つけられなかったけど、a≧7の時a/2-a/3が1より必ず大きくなり、f(n)=4となる自然数が必ず存在するのでa=5の時だけ別で考えて、a≧5の時f(n)=4を満たす自然数が少なくとも一つ存在する、と証明してもいけそうですね。
b=2, aは奇数(動画同様)
aは奇数なのでa=1、またはa=2n+1 をみたす自然数nが存在する
i) a=1のとき
f(n)=[1/n]+2
n=1⇒f(n)=1+2=3
n>1⇒f(n)=0+2=2
⇒a=1ならばf(n)は素数となる
ii) a=2n+1のとき
f(n)=[2+1/n]+2
n=1⇒f(n)=3+2=5
n>1⇒f(n)=2+2=4
⇒a=3のみf(n)は素数となる
よって
(a,b)=(1,2),(3,5)
答え自体はすぐ出るから、記述力が試される問題だと思った
a=2k+1とおく
f(k)
=[(2k+1)/k]+2
=[2+1/k]+2
k>1なら
=4
よってa≧5は不適
(1,2)のみかと思ったら、(3,2)もか。
aを2nと3nを挟んだ時に、n＞=2の時必ず間にある自然数が存在してしまう
という記述じゃ弱いですかね
自分はまず素数が3つ以上連続で現れることはない、つまり［2/a］は連続する3整数(0,1,2とか1,2,3)を取りうることはないって考えて、n≧ 4のときを除外しました
今日中間試験の最終問題で阪大の
40000
Σ 1/√n の整数部分
n
を求める問題が出ましたが、パスラボさんのおかげで解くことができました。
これからも応援します👍
おはようございmath
整数を出題範囲に書いてないとこが整数出すのかが分からない
正直、ユーグリッドを除けば整数問題って他の範囲と被ってることも多いし、数列でついでに出題されることもあるし