Lipschitz Stetigkeit impliziert gleichmäßige Stetigkeit

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[@thilokloos6409]

warum impliziert denn gleichmäßige stetigkeit nicht lipschitzstetigkeit? wenn man ein verhältnis zwischen epsilon und delta findet kann man doch genauso gut eine lipschitz konstante definieren, was übersehe ich?

[@algebraba2911]

Ja, grundsätzlich sind beide Stetigkeitsbegriffe globaler Natur (im Gegensatz nur "normalen" Stetigkeit). Ein sehr großer Unterschied liegt jedoch in der Art und Weise wie abgeschätzt wird. Bei Lipschitz-Stetigkeit sind die Funktionsänderungen LINEAR durch die Argumentsänderungen beschränkt. Dies ist bei gleichmäßiger Stetigkeit nicht der Fall. Dort muss lediglich ein delta angegeben werden, das nicht von einer festen Stelle abhängen darf; von Linearität keine Spur. Als Beispiel kannst du dir auch sqrt(x) auf [0,1] anschauen. Das ist gleichmäßig, aber nicht Lipschitz-Stetig, weil die Ableitung in dem Intervall unbeschränkt ist.

[@HansSchmidtVideos]

Warum auch gleich epsilon? Könnte das epsilon nicht auch kleiner oder größer Delta sein?

[@algebraba2911]

Ja, das delta hätte man nicht zwingend gleich epsilon wählen müssen. Wichtig ist letztlich nur, dass das Delta eben garantiert, dass für vorgegebenes epsilon eben die Abschätzungen der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit garantiert. Genau genommen hätte man hier auch gar nicht durch L teilen brauchen. Man hätte direkt ohne Umformungen sagen können für vorgegebenes Epsilon erfüllt jedes delta mit delta

[@HansSchmidtVideos]

@@algebraba2911 Also ist epsilon nur eine Abschätzung die hier angebracht wurde und man kann es größer wählen zum beispiel. Würde das dann was bringe, das epsilon > delta zu wählen? Oder ist es notwendig für die gleichmäßige stetigkeit?

[@algebraba2911]

@@HansSchmidtVideos Wichtig ist, dass Epsilon gar nicht von dir gewählt wird. Stell dir vor, du würdest Epsilon von einer anderen Person beliebig vorgegeben bekommen. Un nun sollst du dein Delta angeben, dass dann garantiert, dass die Abstände der Argumente klein genug sind als dass die Abstände der Funktionswerte kleiner als Epsilon sind. In einem konkreten Beweis für gleichmäßige Stetigkeit kann dieses Delta dann sehr unterschiedlich aussehen.
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