UNI KLAUSUR Stetigkeit von Funktion mehrerer Variablen prüfen + Abschätzung beweisen |1-cos(t)|≤|t|
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- Опубликовано: 21 июл 2024
- Klausuraufgabe Analysis, 2022 Frühjahr Teil 1 Aufgabe 5, Staatsexamen Lehramt Bayern. In dieser Aufgabe soll die Abschätzung |1-cos(t)|≤|t| bewiesen werden und die Stetigkeit einer Funktion mit mehreren Variablen im Punkt (0,0) überprüft werden.
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Inhalt:
0:00 Aufgabenstellung
0:39 (a) Abschätzung |1-cos(t)|≤|t| beweisen
10:07 (b) Funktion f(x,y) auf Stetigkeit untersuchen in (0,0)
21:53 Outro
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
Super Video! Drei kleine Anmerkungen:
1. Polarkoordinaten-Transformationen (oder wie hier eine etwas manipulierte) sind nur dann äquivalent zu der Operation (x,y) \to 0, falls man \lim_{r \to 0} \sup_{\phi \in [0, 2\pi[ } A(...) betrachtet. Also wichtig ist hierbei niemals den punktweisen Grenzwert in in \phi zu betrachten. Das ist quasi ein Beispiel dafür, dass es im mehrdimensionalen unendlich viele Richtungen gibt und weswegen auch die partielle Differenzierbarkeit nicht die totale impliziert usw.. Das funktioniert hier eben weil das \phi im Nenner verschwindet und im Zähler durch die beschränkten Funktionen gleichmäßig beschränkt werden kann. Das hast du aber nicht so genau angesprochen, sodass manche vielleicht in Aufgaben verleitet werden, so zu rechnen und damit eine Stetigkeit zu "zeigen", die nicht da ist, da es Folgen gibt, die wie eine Spirale auf die 0 zulaufen und eine nicht-Stetigkeit liefern. Das ist aber schon diffizil und wurde auch von Übungsgruppenleitern schon falsch gemacht. Nur merken, dass du hinter dem $lim r \to 0$ noch ein $\sup \phi \in [0,2\pi[$ schreiben musst.
2. Dieser ganzen Sache hättest du entgehen können, wenn du $x^2+y^4 \geq x^2$ genutzt hättest, was sofort zu
|x^3 y^3|/(x^2+y^4)
Super Zusammenfassung, vielen Dank!! Dass sich das phi aus dem Nenner auslöschen muss, weil es sonst nicht funktioniert im Allgemeinen hatte ich mehrfach genannt, aber explizit das Supremum anzusprechen, könnte vlt wirklich einigen Schusselfehlern vorbeugen. Ich kenne das Problem, bin früher selbst drauf reingefallen haha. Die Abschätzung x^2+y^4≥x^2 find ich aber ziemlich sexy an der Stelle hier, auch wenn es leider nicht allgemein bei solcher Art Aufgaben hilft. Aber stärksten find ich aber deine Idee die Ungleichung mit dem MWS zu beweisen. Denke ich noch mal drüber nach und mache evtl. ein eigenes Video dazu. Danke für das geniale Feedback!! 😊
@@MathePeter Das Video fände ich auch sehr interessant! :)
@@MathePeter Gerne, du leistest einfach einen super Beitrag zur Mathe Community! VIelen Dank dafür :-).
Viele Dank, sehr gutes video.
Gibt es auch ein häufig nutzbares Verfahren, wie die Polarkoordinaten für den fall das man drei variablen hat ?
Du könntest bei 3 Variablen Kugelkoordinaten versuchen
Vielen Dank für deine Videos und deine super hilfreichen Tipps! Gibt es so einen schnellen "Trick" für die Bestimmung der Stetigkeit anhand der Exponenten zufällig auch für Funktionen mit drei Variablen?
Mit Sicherheit. Nur darüber hab ich mir noch nie Gedanken gemacht 🙈
@@MathePeter am Montag sind die HöMa3 Klausuren der RWTH, vielleicht schaffst du es bis dahin ja😂🙈
Wahrscheinlich nicht prüfungsrelevant 😂
@@MathePeter Leider ja...also nicht der Trick an sich, aber die Stetigkeit mit drei Variablen, und würde natürlich schön viel Zeit sparen, wenn es da ebenfalls so eine kleine Abkürzung geben würde😁 Aber alles gut. Danke für deine tollen Videos, die retten mir mal wieder meinen unvorbereiteten Hintern ❤🩹
ich habe gerade ein gegenbeispiel zu der Stetigkeit mit den Polarkoordinaten gefunden. x^2*y / (x^4 +y^2) ist mit Polarkoordinaten stetig. Aber mit Folgenkriterium wenn man die folge (1/n,1/n^2) nimmt unstetig. meine interpretation ist, dass das kriterium mit den polarkoordinaten nur gilt wenn man die stetigkeit entlang einer geraden prüft. Aber wenn man krumme wege geht dann gilt es nicht mehr
Das war ne richtig geile Aufgabe.
Kann man mit Polarkoordinaten auch Unstetigkeit beweisen? Also wenn im Nenner ein r übrig bleibt und das somit gegen unendlichen gehen würde?
liebe grüße
Nein, im Fall der Unstetigkeit beweist du sie mit den Folgen x_n=1/n^(1/gamma) und y_n=1/n^(1/delta) und berechnest den Grenzwert n gegen unendlich. Das wird dann zeigen, dass f(0,0)≠lim f(x_n,y_n). Aber wie gesagt nur im Fall der Unstetigkeit. Falls die Funktion stetig ist, kannst du hier Polarkoordinaten nehmen. Oder eine andere Abschätzung, auf die einige hier auch schon gekommen sind :)
@@MathePeter Dankeschön!
21:00 hätte man bei dem Limes streng genommen nicht den Betrag mitnehmen müssen?
Ja hätte man, ändert aber nichts :)
14:20 bei mir studium haben die das Sandwich-Theorem genannt😂
Sandwich-Theorem, Polizistenregel, Einschnürungssatz, ... Alles das gleiche 😂
Servus Peter und Community, eine Frage zu der Polar-Substitution: Wieso darf man das "y^4=r^2*sin^2(x)" nutzen? X/Y=r*cos/sin(x) ist soweit klar, auch x^2=r^2*cos^2(x) [aus (x)^2=(r*sin(x))^2] ist verständlich. Wieso y^4 und y^7 ebenfalls mit r^2*sin^2(x) ersetzt werden dürfen eher weniger. Ich werde mir dazu mal was suchen aber evtl. ist die Community schneller mit der Antwort oder genauer :D. Gruß an alle o/
Nutzen darfst du das, weil du die Substitution genauso wählst. Kannst ja substituieren, was du willst. Ich versteh nicht ganz die Frage 😅
@@MathePeter Ah, passt. Dachte du nutzt eine spezielle Regel oder so. Habe es dann auch auf zwei Varianten versucht zu lösen und hat ebenfalls geklappt. Abschätzen ging sogar schneller durch die y^4 aber auch die Substitution ist ein guter Ansatz :D
Mit der Abschätzung ist mir erst zu spät aufgefallen 😂
@@MathePeter Das war in meinem fall sogar gut, denn mit der Polarttansformation war ich noch nicht so ganz vertraut aber durch das Video verstehe ich es jetzt viel besser, das Video kam passend zu meiner Prüfung am Dienstag 😂
man hätte auch y^4 im nenner weglassen können um nach oben abzuschätzen 😉
Stimmt, viel einfacher. Danke dir ;)
@@MathePeter Wieso genau dürfte ich das y^4 weglassen ? Wann darf ich denn einfach Sachen weglassen und wann nicht ?
@@niklas4628 um nach oben abzuschätzen, kannst du positives im Zähler verstärken und positives im Nenner verringern/weglassen
@@laurisum6481genau, das ist anders ausgedrückt dann einfach eine weitere Funktion, die noch größer ist, aber gegen 0 geht
@@laurisum6481Nein, ich glaub, das kannst du nicht machen. Wenn du im Intervall |y| = [0;1] bist, dann ist 1/y^4 >= 1
Gibt es ein Einführungsvideo zu diesem Thema?
Ich hab mal einen Livestream zu dem Thema gemacht: ruclips.net/user/livex5fMlYeGhVU
Eine vielleicht blöde Frage: ich schätze bspw. immer |sin(kx)|
Wenn dort wirklich nur der cos gestanden hätte, dann könntest du so abschätzen, bei |1-cos(...)| würdest du hier mit 2 nach oben abschätzen. In beiden Fällen kannst du aber nicht die Stetigkeit zeigen. Beweis: Wähle in diesen Szenarien die Folge (xn, yn) = (1/wurzel(n), 1/4.wurzel(n)).
@@MathePeter ah, DANKE :)
Wie könnte man den an so eine Aufgabe herangehen, wenn man keinen Punkt gegeben hat in dem man Stetigkeit überprüfen soll, sondern alle Punkte (x,y,z) bestimmen soll in denen f(x,y,z) stetig ist?
In dem Fall würd ich nur die Punkte anschauen, in denen Unstetigkeit vorliegen kann. Wie hier der Nullpunkt. Wenn die Funktion dort stetig ist, dann ist sie überall stetig.
Könnte ich am Ende, um die Stetigkeit zu zeigen, x=y setzen, da sie ja beide eigentlich sowieso gleiche Werte haben bzw. danach streben. Dadurch müsste man ja überhaupt keine Polarkoordinaten einsetzten. Ist dies valide?
wäre die abschätzung nicht leichter, wenn man einfach durch teilen den Betrag mit cos auf die andere Seite bringt sodass 0=< |t| / |1-cos(t)| steht? Und dann einfach abschätzen, dass der Bruch am kleinsten wird, wenn der Nenner am größten ist also |t| / |1-cos(t)| >= |t| / |1- (-1)| = |t| / 2 und wenn das >0 ist, dann ist die Ungleichung schon bewiesen oder? Das kam mir so viel leichter und schneller vor
Wenn du |1-cos(t)| ≤ |t| beweisen sollst und durch die linke Seite teilst, bleibt immer noch 1 ≤ |t| / |1-cos(t)| über, was bewiesen werden soll. Zu zeigen, dass Beträge größer gleich Null sind, folgt aus der Definition, das ist aber nicht die Aufgabe.
@@MathePeter Oh da war dann ein Leichtsinnsfehler drinnen bei mir 😅😂
Aber die Ungleichung geht tatsächlich einfacher und schneller zu beweise mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung.
@@MathePeter Stimmt, dass hatte ich hier auch in einem anderen Kommentar gelesen. Vielleicht machst du ja auch in Zukunft ein Video dazu oder?
Ja das kommt auch noch demnächst :)
10/10
Was ist wenn das Ergebnis des Limes nicht mehr von r abhängig ist ?
Wenn r gegen Null geht, dann darf ja auch kein r mehr vorkommen. Weil ist ja zu "Null" geworden. Oder wie genau meinst du das?
@@MathePeterwenn man zeigen soll ob f in (0,0) stetig ist und man am Schluss nachdem man x und y in Polarkoordinaten umgeschrieben hat sich das r raus kürzt.
Heißt wenn man am Schluss lim r->0 von z.b cos(a)*sin(a) stehen hat. Also der limes nicht gegen null geht.
Ist die Funktion dann in (0,0) stetig oder nicht ?
Weil für bestimmte Werte von dem Winkel würde null raus kommen. Spielt dabei der Winkel eine Rolle oder nicht ?
Ja auf jeden Fall spielt der Winkel eine Rolle! Wenn es noch Winkel gibt, für die der Greenzwert nicht Null ist, dann ist die Funktion unstetig. Denn dann hast du ja eine Richtung gefunden, aus der man sich dem Punkt annähern kann und es einen Sprung gibt.
@@MathePeter super, Dankeschön