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x=y=1代入で成立する必要がある8≦c^3が必要両辺(x^4＋y^4)かけるで式変形で十分性を確認
式変形ってどのようにしますか？
式を見て真っ先に凸不等式かなぁと思いました。f(t)=t^4を考えると、t>0でf''(t)>0よりf(t)は下に凸な関数。よって点X(x,x^4), 点Y(y,y^4)について線分XYはf(t)のグラフより上側にあるため、(x+y/2)^4≦(x^4+y^4)/2(x+y)^4≦8(x^4+y^4)等号成立はx=yのとき。∴8≦c^3から2≦c
y/x＝tって置いて t≧0の範囲で1+t^4/(1+t)^4の最小値求めるかな
補題 aを実数として∀(x,y) [(x+y)^2≦a(x^2+y^2)]⇔a≧2これは式を0≦(a-2)(x^2+y^2)+(x-y)^2と変形して証明できる。(x+y) ^4≦c^2(x^2+y^2)^2≦c^3(x^4+y^4)を必ず満たすcの範囲は補題よりc≧2 (厳密にはc
相反方程式でもある。s=t+1/tで次数下げ
分数の微分は苦手だけど、s≧2において分母より分子が激しく増加するので単調増加である。つまりs=2で最小値にである。x=yが極小値
t^2で割って(t+1/t)=sとおくと2次式になってやりやすいですね
(x+y)^4をy^4でわると、どうして、あのようになるのですか？
これでコーシーシュワルツ思い出す人はすごいと思う
cが2以下という条件が出た時点で、十分性は保証されているのですか？
解答の日本語次第では問題ないと思います。（ホワイトボードのものは日本語が足らなすぎる気がする…）
不等式⇒グラフ かつ グラフ⇒不等式なので同地
一般性が失われないのでx 8/c^3 ってなるので 同様の答えが出せそう。
おなじ解法の人がいて安心した
数Iの範囲までになってると思いますx+y=kかつx=kx',y=ky'とおくと、与えられた不等式は(x'+y')⁴≦c³(x'⁴+y'⁴) と同値。故に、任意の正数x,yについて与えられた不等式が成立することは、x+y=1なる任意の正数x,yについて与えられた不等式が成立することと同値。⋯(＊)u=(x+y)², v=xy ((x-y)²≧0より、u≧4v＞0⋯①)とおくと、与えられた不等式は(c³-1)u²-4c³uv+2c³v²≧0 ⋯②と同値。ここで、u=1の場合を考える。①より、0＜v≦1/4⋯③そして、②⇔2c³(v-1)²-(c³+1)≧0⋯④ゆえに、④が③の範囲の任意のvについて成り立つ。i)c＜0のときv=1/4のとき、(④の左辺)=c³/8 -1＜0であり、不適ii)c=0のとき(④の左辺)=-c³-1＜0より、不適iii)c＞0のとき③より、(④の左辺)の最小値はc³/8 -1(v=1/4)これが常に0以上であるから、c³≧8ゆえに、c≧2以上(i)～(iii)より、u=1のもとで、c≧2これと(＊)より、求める範囲は、c≧2
相加・相乗平均でも答えでたんですけどいけるんですかね
赤掌握の1問目と全く同じ問題！
x=y=1を代入して、c≧2 が必要。逆に、c=2のとき、全ての正の数x,yに対して不等式が成り立つならば、cの最小値は2となるから、c≧2 であるみたいな解き方はありですか？
自分もその解き方だったし、それがメジャーな解き方な気がします。
すみません、その場合ってx=y=1を代入してc≧2が最小値だろうと予想してからc=2で全てのx、yが成り立つことを説明していくのでしょうか。その場合、もしxとyが別の値でより大きい最小値をとる可能性があると思っていて、そしたらさっきの説明の途中でズレが生じてまた最初から考えるハメになると思うのですがどうなのでしょうか。長文失礼しました。
@@狂乱のきのこ c=2のときに成り立たないx,yの考慮は当然する必要があります。ただ、x=y、x=0,y=(定数)のとき、最小値をとりやすい、みたいな原理があった気がします。当然、ただの原理なので成り立たない時もあります。今回はこの考え方が刺さって、cの範囲が出せた感じです
なるほど、ご返答ありがとうございます！
x^2y^2で割ってそっからさらにx/yをtにおき、さらにt+1/tをAとおけば二次関数の問題になり、1A2B範囲で解けますね。t+1/tはtが0より大きいから相加相乗使って範囲出します
文系は分数関数の微分がわからないので文系用の解き方教えてください
コーシーシュワルツの方が楽ですね
射影空間の考え方か
c>=2じゃないですか？
お、4年生の夢だ
極座標で(x, y)変数を１変数(角度)に出来るけど、その先が破綻しそう
6:48のyですが、問題に出てきたyと紛らわしいので、他の文字で言ってもらった方がありがたいです。
7:19 わかった、最大値はπだ！🧐
コーシーシュワルツで2発や！
解答でx=y の方がcの条件が厳しいってどう答案に書いたらいいですか
Y 4乗で割った時 、左辺があの形になるのはなぜですか
(x+y)/yを4回繰り返してください
昔、passlaboで東大の問題がありりましたね。文字を一つにまとめて、微分して解きました。。確か東大の問題では、コーシーシュワルツを使えば一発で解けましたね。今回もコーシーシュワルツで上手く解けるか試行錯誤しましたが、無理だったので、微分しました。
コーシーシュワルツを二度使う！！等号成立の条件も注目！
@@jichunsun2822 詳しく教えてください。
@@mathseeker2718別人ですがコーシーシュワルツの解法分かるので書いておきますねまず直接あの不等式を示すのは無理なので一旦(x^2+y^2)^2≦2(x^4+y^4)・・・①を示します(コーシーシュワルツで簡単にできます)次に(x+y)^2≦2(x^2+y^2)・・・②を示して①の左辺と②を二乗した右辺が等しくなるようにすると(x+y)^4≦4(x^2+y^2)^2≦8(x^4+y^4)となり最初の式のcと比較すればできます！
お茶の水じゃなかったっけこの問題って
動画の最初でそう言ってますよ
@@いとはさん-r7x 本当だ
人の話聞かないタイプか
x=y=1代入で成立する必要がある
8≦c^3が必要
両辺(x^4＋y^4)かける
で式変形で
十分性を確認
式変形ってどのようにしますか？
式を見て真っ先に凸不等式かなぁと思いました。
f(t)=t^4を考えると、t>0でf''(t)>0よりf(t)は下に凸な関数。
よって点X(x,x^4), 点Y(y,y^4)について線分XYはf(t)のグラフより上側にあるため、
(x+y/2)^4≦(x^4+y^4)/2
(x+y)^4≦8(x^4+y^4)
等号成立はx=yのとき。
∴8≦c^3から2≦c
y/x＝tって置いて t≧0の範囲で
1+t^4/(1+t)^4の最小値求めるかな
補題 aを実数として
∀(x,y) [(x+y)^2≦a(x^2+y^2)]⇔a≧2
これは式を0≦(a-2)(x^2+y^2)+(x-y)^2と変形して証明できる。
(x+y) ^4≦c^2(x^2+y^2)^2≦c^3(x^4+y^4)
を必ず満たすcの範囲は補題よりc≧2
(厳密にはc
相反方程式でもある。s=t+1/tで次数下げ
分数の微分は苦手だけど、s≧2において分母より分子が激しく増加するので単調増加である。つまりs=2で最小値にである。x=yが極小値
t^2で割って(t+1/t)=sとおくと2次式になってやりやすいですね
(x+y)^4をy^4でわると、どうして、あのようになるのですか？
これでコーシーシュワルツ思い出す人はすごいと思う
cが2以下という条件が出た時点で、十分性は保証されているのですか？
解答の日本語次第では問題ないと思います。（ホワイトボードのものは日本語が足らなすぎる気がする…）
不等式⇒グラフ かつ グラフ⇒不等式
なので同地
一般性が失われないのでx 8/c^3 ってなるので 同様の答えが出せそう。
おなじ解法の人がいて安心した
数Iの範囲までになってると思います
x+y=kかつx=kx',y=ky'とおくと、与えられた不等式は
(x'+y')⁴≦c³(x'⁴+y'⁴) と同値。
故に、任意の正数x,yについて与えられた不等式が成立することは、x+y=1なる任意の正数x,yについて与えられた不等式が成立することと同値。⋯(＊)
u=(x+y)², v=xy ((x-y)²≧0より、u≧4v＞0⋯①)とおくと、
与えられた不等式は
(c³-1)u²-4c³uv+2c³v²≧0 ⋯②
と同値。
ここで、u=1の場合を考える。
①より、0＜v≦1/4⋯③
そして、②⇔2c³(v-1)²-(c³+1)≧0⋯④
ゆえに、④が③の範囲の任意のvについて成り立つ。
i)c＜0のとき
v=1/4のとき、
(④の左辺)=c³/8 -1＜0
であり、不適
ii)c=0のとき
(④の左辺)=-c³-1＜0より、不適
iii)c＞0のとき
③より、(④の左辺)の最小値は
c³/8 -1(v=1/4)
これが常に0以上であるから、c³≧8
ゆえに、c≧2
以上(i)～(iii)より、u=1のもとで、c≧2
これと(＊)より、求める範囲は、c≧2
相加・相乗平均でも答えでたんですけどいけるんですかね
赤掌握の1問目と全く同じ問題！
x=y=1を代入して、
c≧2 が必要。
逆に、c=2のとき、全ての正の数x,yに対して不等式が成り立つならば、cの最小値は2となるから、
c≧2 である
みたいな解き方はありですか？
自分もその解き方だったし、それがメジャーな解き方な気がします。
すみません、その場合ってx=y=1を代入してc≧2が最小値だろうと予想してからc=2で全てのx、yが成り立つことを説明していくのでしょうか。その場合、もしxとyが別の値でより大きい最小値をとる可能性があると思っていて、そしたらさっきの説明の途中でズレが生じてまた最初から考えるハメになると思うのですがどうなのでしょうか。長文失礼しました。
@@狂乱のきのこ
c=2のときに成り立たないx,yの考慮は当然する必要があります。
ただ、x=y、x=0,y=(定数)のとき、最小値をとりやすい、みたいな原理があった気がします。当然、ただの原理なので成り立たない時もあります。
今回はこの考え方が刺さって、cの範囲が出せた感じです
なるほど、ご返答ありがとうございます！
x^2y^2で割ってそっからさらにx/yをtにおき、さらにt+1/tをAとおけば二次関数の問題になり、1A2B範囲で解けますね。
t+1/tはtが0より大きいから相加相乗使って範囲出します
文系は分数関数の微分がわからないので文系用の解き方教えてください
コーシーシュワルツの方が楽ですね
射影空間の考え方か
c>=2じゃないですか？
お、4年生の夢だ
極座標で(x, y)変数を１変数(角度)に出来るけど、その先が破綻しそう
6:48のyですが、問題に出てきたyと紛らわしいので、他の文字で言ってもらった方がありがたいです。
7:19
わかった、最大値はπだ！🧐
コーシーシュワルツで2発や！
解答でx=y の方がcの条件が厳しいってどう答案に書いたらいいですか
Y 4乗で割った時 、左辺があの形になるのはなぜですか
(x+y)/yを4回繰り返してください
昔、passlaboで東大の問題がありりましたね。
文字を一つにまとめて、微分して解きました。。確か東大の問題では
、コーシーシュワルツを使えば一発で解けましたね。今回もコーシーシュワルツで上手く解けるか試行錯誤しましたが、無理だったので、微分しました。
コーシーシュワルツを二度使う！！
等号成立の条件も注目！
@@jichunsun2822 詳しく教えてください。
@@jichunsun2822 詳しく教えてください。
@@mathseeker2718
別人ですがコーシーシュワルツの解法分かるので書いておきますね
まず直接あの不等式を示すのは無理なので
一旦(x^2+y^2)^2≦2(x^4+y^4)・・・①を示します(コーシーシュワルツで簡単にできます)
次に(x+y)^2≦2(x^2+y^2)・・・②を示して①の左辺と②を二乗した右辺が等しくなるようにすると
(x+y)^4≦4(x^2+y^2)^2≦8(x^4+y^4)となり最初の式のcと比較すればできます！
お茶の水じゃなかったっけこの問題って
動画の最初でそう言ってますよ
@@いとはさん-r7x 本当だ
人の話聞かないタイプか