Читая ночью книгу "Прокаженные" доселе неизвестного мне писателя Георгия Ивановича Шилина, в какой-то момент захотелось немного переключиться и побродить по интернету. Ютуб озадачил этой задачкой😂 И вот мое решение 1) Сделаем дополнительные построения. 1.1) соединим прямой точки М и С. 1.2) продолжим сторону АD вправо, наметим точку D1 на расстоянии, равном 3 правее точки D. 2) Далее видно, что ∆-ки МВС и DCD1 равны (т.к. их катеты равны по построению и условию задачи, а углы ^МВС и ^CDD1 по 90°). 3) Но равны и ∆-ки МСК и CKD1 (по 3-м сторонам: МК=KD1=13, СК - общая сторона, МС=СD1 - следует из пункта 2)) 4) Тогда должны быть равны и СН и СD, т.к. это высоты равных ∆-ков МСК и CKD1 5) Поскольку CD - это сторона квадрата, то для того, чтобы вычислить СН, нам остается найти эту сторону квадрата. 6) А это мы можем сделать, обозначив сторону квадрата ABCD "х" и составив уравнение, основываясь на теореме Пифагора АМ^2+АК^2=МК^2 или (х-10)^2+(х-3)^2=13^2 Решая это квадратное уравнение, получим х1=15 и х2=-2 Ответ: СН=15
Я человек простой - достраиваю минимум, считаю по формулам. ) Сделал немножко построений, нашёл кучу подобий. Х тоже где-то через подобия вывел, посчитал. Потом уже сделал все выводы о равенстве углов и т.д.
Есть решение математическое без всяких хитрых поворотов. 1. Находим сторону квадрата, как сделал Валерий Казаков; 2. По теореме Пифагора находим МС из треугольника МВС и СК из треугольника СКД; 3. Принимаем МН за Y и по теореме Пифагора составляем два уравнения: первое для треугольника МНС, второе для треугольника КНС. Имеем два уравнения и два неизвестных X и Y. Откуда легко находим и Y и X.
с поворотом всегда красиво, но можно и ничего не поворачивать. Определяем также сторону квадрата, далее находим площади треугольников, окружающих искомый треугольник МСК. Суммируем их. Из площади квадрата (15*15) вычитаем полученную сумму и определяем так площадь МСК, у которого известно основание(13). Известна площадь, известно основание, следовательно, легко определяется и высота СН...
Приведу свои три решения задачи, опирающиеся на одну базу Обозначим сторону квадрата за a, тогда AK = a - 10, AM = a - 3. Тогда по теореме Пифагора в треугольнике AKM получаем, что (a - 10)^2 + (a - 3)^2 = 169. Решаем квадратное уравнение, получаем a = 15 (второй корень отрицательный, не подходит). А далее есть три пути 1) Введем ПДСК так, что A - начало системы отсчета, ось абсцисс направим вдоль AD, ось ординат направим вдоль AB. Выпишем координаты необходимых нам точек: M(0; 12), K(5; 0), C(15; 15). Уравнение прямой MK: 12x + 5y - 60 = 0. Теперь пользуемся формулой расстояния от точки до прямой. d = abs(Ax(C) + By(C) + C)/sqrt(A^2 + B^2). (x(C) и y(C) - координаты точки С). Подставляем числовые значения и получаем ответ, d = 15. Ответ: 15 2) Строим MC и KC и находим их длины по теореме Пифагора в треугольниках MBC и KDC соответственно. MC = 3sqrt(26), KC = 5sqrt(13). А далее разделение еще на два пути 2.1) Пусть MH = y, тогда KH = 13 - y. Запишем теорему Пифагора для треугольников MHC и CHK и составим из них систему, которая будет иметь вид: x^2 + y^2 = 234 (1), x^2 + (13 - y)^2 = 325 (2). Запишем уравнение-следствие вида (2) - (1), получим x^2 + (13 - y)^2 - x^2 - y^2 = 325 - 234. Уравнение примет вид (y - 13)^2 - y^2 = 91. Раскрываем скобки, получаем единственный корень y = 3. Подставляя его в любое из уравнений системы получаем, что x = 15 (второй x отрицательный, не подходит). Ответ: 15 2.2) Делаем вдох-выдох и пишем формулу Герона для треугольника MCK. p = (13 + 3sqrt(26) + 5sqrt(13))/2, тогда S = sqrt(p(p - MC)(p - KC)(p - MK)). Подставляя числовые значения, получим S = 195/2. С другой стороны, S = MK*CH/2, откуда следует, что CH = 2S/MK. Подставляя числовые значения получаем, что CH = 15. Ответ: 15
У Вас x на превью - это искомый перпендикуляр, а в решении - это сторона квадрата, путаница в буквах. А моё решение такое. Раз задача красивая, то и числа должны быть красивыми. Значит, прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 должен быть пифагоровым, а такой только один: 12; 5; 13. Проверяем: 3 + 12 = 15 и 5 + 10 = 15. В точку! А честно сторону квадрата можно легко найти, как в видео. Дальше мои 2 способа: 1. Уравнение зелёной прямой в отрезках сразу: x/5 + y/12 = 1. Приводим к нормальному виду, для чего делим на √((1/5)² + (1/12)²) = 13/60, получаем (12/13)x + (5/13)y - 60/13 = 0 Искомое расстояние - это просто левая часть при постановке сюда координат точки, из которой опущен перпендикуляр, т.е. оно равно 12•15/13 + 5•15/13 - 60/13 = = (15/13)(12 + 5 - 4) = 15/13•13 = 15 2. Соединяем концы зелёного отрезка с вершиной квадрата, получаем три прямоугольных треугольника, сумма их удвоенных площадей равна 12•5 + 3•15 + 15•10 = = 15•(4 + 3 + 10) = 15•17 Удвоенная площадь оставшегося треугольника равна удвоенной площади квадрата минус найденная сумма, т.е. 2•15² - 15•17 = 15(2•15 - 17) = 15•13. А искомый отрезок - это высота этого треугольника, который равен удвоенной площади, делённой на зелёное основание, т.е. 15•13/13 = 15.
Можно ещё просто посчитать площади треугольников и приравнять площади квадрата. И оттуда выходит Х. Правда, устно тяжеловатo трёхзначные числа на множители раскладывать, но это дело привычки.
Я нашёл АМ и АК, нашёл косинус угла АМК. АМК=ВСН, почти очевидно. Продлил КМ и СВ до пересечения. В верхнем левом углу получился крошечный треугольник подобный АМК. Из подобия нахожу недостающие стороны этого треугольника и ВС с маленьким довесочком от маленького треугольника умножаю на косинус угла, получаю 15. Корявенько конечно, но радует что вообще решил.
Радиус внешне вписанной окружности (или как там её правильно назвать) равен полуприметру треугольника, и совпадает со стороной квадрата, значит C центр этой окружности, а CH - радиус.
Решение красивое, но из равенства треугольников сразу следует и равенство их высот. Сам без построений сходу решил так: находим сторону квадрата, из нее стороны треугольника MCK, далее площадь через три стороны и находится высота. Но это больше алгебра, чем геометрия.
Спасибо. Да, для провинутых можно и так, но такого свойства в учебнике нет: у равных треугольнков все остальное равно. Более того, полно задач таких: "Докажите, что если тре-ки равны, то равны высоты, проведенные к соответствующим сторонам". Это надо учитывать.
Обозначения авторские. Сторона квадрата АВСD=15. СН перпендикулярна МК. Через т.Н проведем прямую ОР (т.О лежит на АВ, т.Р -- на СD), перпендикулярную АВ и CD, и параллельную ВС и АD.Таким образом, АМ перпендикулярна ОР, а МК перпендикулярна НС. Отсюда следует, что угол АМК = углу СНР. Точка М -- ось вращения. Повернем по часовой стрелке отрезок МК(вместе с перпендикулярным ему отрезком НС) на угол АМК до полного совмещения со стороной АВ. Точка Н лежит на АВ; т.К окажется на продолжении ВА ниже стороны АD; АК=1. Точка С'(т.С--одна из вершин квадрата, т.С' принадлежит перпендикуляру НС и совершает поворот вместе с ним) лежит на СD; НС' перпендикулярна СD; НС' параллельна ВС и АD. Х=НС'=15
Предположение что треугольник MBC = МНС ведёт и к равенству треугольников НСК и КСD по катету и гипотенузе. Тогда другой катер должен быть 10, что подтверждается равенством 3+10 = 13. Если бы оно не выполнялось, то предположение было бы неверно. Таким образом х равен стороне квадрата.
@@GeometriaValeriyKazakov это логический подход, не тавтология. Сделано предположение, которое ведет за собой ряд следствий, не противоречащим условиям задачи. Отчасти напоминает угадывание корня например кубического уравнения.
С поворотом красиво. Но если не догадался, можно в тупую решить задачу не отрываясь от т.Пифагора. Находим сторону квадрата х = 15, как в ролике. Потом находим из прямоуг. треуг. КСД КС = 5\/13, из треуг. МВС МС = \/234. Затем, рассматривая два предыдущих треугольника в паре, находим МН = 3 (НК = 10). И наконец из любого из тех же двух ттреуг. находим СН = 15.
@@ncrean66 Это значит, что вычитая из квадратов гипотенуз треугольников МСН и КСН квадраты их катетов соответственно МН и КН, обозначив один из них у а второй 13 - у, мы получаем квадрат общего катета СН. То есть мы приравниваем разницы квадратов обоих треугольников и получаем значения у. (Потом из любого из этих двух треугольников по т.Пифагора находим СН = 15).
Я не креатиф, а ученик 7-го класса ж/дорожной школы. Принимая АМ за а, тогда АК=а-7 и по пифагоре находим АМ=12, АВ=15 и АК=5. Продолжим ВС и КМ до пересечения в т Е.. из подобия МЕВ и АМК ВЕ=5/4 и ЕС=65/4. Из подобия АМК и ЕСН --- (65/4)/13=х/12. Откуда х=15. Ответ:15 Судя по равенству СН=стороне квадрата, поищу геом решение
Продолжаем свою линию :) Если ВМ+KD=MK то окружность не сомнненно каснется МК, а площадь МАК=ВМ*KD, доказано в коментарии по пршлым роликом с такой конструкцией, АК=у, АМ=у+7 , у(у+7)=60 решаем квадратное , положительный корень у=5, АD=СН=15!
Про площадь мне кажется классный и не очевидный факт. Например решите задачу: в квадрат АВСD вписана четверть окружности центром С, МК касательная , площадь МАК=30, ВМ=3 , найти KD!
С точки М проведем параллельно ВС линиию МЕ =10 . ⇒ Соединим точки К и Е где КЕ = 13 ⇒ Высота тр-ка h _КМЕ =√(МК ^2 - (0,5 МE)^2) =√ (13^2 - 5^2) = 12 ; ⇒ АВ = h _КМЕ + ВМ =12 +3 =15 ; ⇒ АК = АD - КD = 15 - 10 =5 . Размещаем начало координат в точке А(0; 0); где К(5; 0); М (0; 12); С(15; 15. Уравнение прямой КМ ⇒ (х - 0) /(0 - 5) = (у - 12) /(0 - 12) ⇒ 12х + 5 у - 60 = 0 ⇒ ; Расстояние от точки С до прямой МК СН = (Ахс +Вус - 60) / √(А ^2 + В^2) = (12*15 +5*15 - 60) / √(12 ^2 + 5^2) = 1
Пусть х - сторона квадрата, h - искомый перпендикуляр х² = 3х/2 + 10х/2 + (х-10)(х-3)/2+13h/2 х² = 13х/2 + (х²-13х+30)/2+13h/2 2х² = х² + 30 + 13h x² = 13h + 30 Так как ответ обязательно число целое (ну, раз задача красивая), элементарно подбираем ответ: 15² = 13*15 + 30 = 195 + 30 = 225 То есть х = h = 15
Наше решение САМОЕ простое! Это известный факт (я ж олимпиадный тренер, олимпиадники такие задаччи 100 раз решали). Все остальные, как правило неполные или длиннее. Цитирую: "Легко найти: МА = 12, АК = 5". Так именно это мы нашли в 1 действии, дальше поворот и устно CH=12. Откуда далее например: "... МК: 5у +12х - 60=0"? Вы можете объяснить, что такое y? Вроде понятно, что человек решает координаткой (правильно решает), но до этого ур-ния школьнику топать и топать. Не берите ничего на веру! Но верьте тренеру, он не обманет, короче не будет!
@@GeometriaValeriyKazakov Пример крайне неудачный! Я же не на экзамене. Если вы хотите видеть полное объяснение, то нет проблем, только нужно ли это? Распишите подробно свое решение, а я распишу своё. И Вы увидите, что моё будет короче. При этом я вовсе не соревнуюсь ни с кем. А на экзамене надо решать как БЫСТРЕЕ, а не как красивей или"ГЕОМЕТРИЧЕСКЕЙ". Что я всегда успешно делаю. Я просто предлагаю другой подход. Вы же не будете спорить с Фейнманом" "... главное РЕШИТЬ, неважно как"?
Решение координатным методом. Используя теорему Пифагора, находим сторону квадрата: (a-3)²+(a-10)²=13². Отсюда длина стороны квадрата равна а=15. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки (0;12) и (5;0): y=(-12/5)x+12 ----> 12x+5y-60=0 Найдем расстояние d от точки (15;15) до прямой: d=|12*15+5*15-60|:sqrt(12²+5²)=15 Ответ: 15
А предварительно просмотреть? @SB-7423 2 hours ago Легко найти: МА = 12, АК = 5. МК: 5у +12х - 60=0. Расстояние от точки С(15, 15) до этой прямой: СН = (5∙15 + 12∙15 - 60)/√(5² +12²) = 15.
Алгебраическое решение. 1) Найдем сторону квадрата через тре-ник AMK: (x-3)^2+(x-10)^2=13; x=15. 2) Заметим, что около четырех-ка KHCD можно описать окруж-ть. Из этого следует, что KD+CH=CD+HK. Если искомую высоту обозначить за x и рассмотреть прям. тре-ники MBC и MCH, то получим следующее ур-нение: 13-√(234-x^2)+15=x+10. x=15; x=3. Ответ: 15
Сначала Вы говорите что интуитивное знание BM=CH - это не математика, а гадание. Но потом Вы берете именно этот частный случай и начинаете его доказывать геометрически. Это тоже гадание, Вам могло не повезти. Есть более общее решение, не зависящее от таких предположений. После того, как мы нашли сторону квадрата, записываем уравнение о том, что сумма площадей треугольников АМК ВМС СДК МСК равна площади квадрата. Откуда и находим искомое.
Только это не гадание, а гипотеза называется в математике. Мы выдвинули гипотезу (например, при точном черетеже) и доказали, но могли не доказать. Вот Эйлер выдивнул гипотезу о многочлене простых чисел и .... ошибся.
Да, это более красивое решение. Я нашёл MH решением пары треугольников MCH и KHC (с общим катетом CH). После нахождения MH решать уже и нечего. У автора решение более красивое.
Нихрена не понял решение, если честно... Я, точно также, нашел сторону квадрата, потом нашел стороны МС(√(3^2+15^2)=√234) и КС(√(10^2+15^2)=√325), далее по формуле Герона нахожу полупериметр(p=(13+√234+√325)/2≈23,162407), и соответственно площадь(√(p*(p-13)*(p-√234)*(p-√325))≈97.5). И вот у нас есть площадь, и мы вспоминаем, что площадь треугольника это так же основание умноженное на высоту, и деленное пополам: (13*HC)/2=97.5, HC=(97.5*2)/13=15
мда... супер-решение это не про меня... но как черепаха до истины доползу... сторона кв а... (а-3)^2+(a-10)^2=169... a=15... MC^2=234...KC^2=325... MH=x... 234-x^2=325-(13-x)^2...x=3... CH=15
Слишком качественный, не соответствует массовому зрителю (учителя очень-очень слабые сейчас, а школьник смотрит тик-ток версии, он не в силах понять, где качественный контент.
![Kodak Black - Catch Fire [Official Music Video]](http://i.ytimg.com/vi/A4ch-olIuZo/mqdefault.jpg)
Да легко доказать:
Площадь квадрата равна сумме составляюших его треугольников.
225 = 3×15/2 + 5×12/2 + 10×15/2 +13x/2;
x = 195/13 = 15.
Читая ночью книгу "Прокаженные" доселе неизвестного мне писателя Георгия Ивановича Шилина, в какой-то момент захотелось немного переключиться и побродить по интернету. Ютуб озадачил этой задачкой😂 И вот мое решение
1) Сделаем дополнительные построения.
1.1) соединим прямой точки М и С.
1.2) продолжим сторону АD вправо, наметим точку D1 на расстоянии, равном 3 правее точки D.
2) Далее видно, что ∆-ки МВС и DCD1 равны (т.к. их катеты равны по построению и условию задачи, а углы ^МВС и ^CDD1 по 90°).
3) Но равны и ∆-ки МСК и CKD1 (по 3-м сторонам: МК=KD1=13, СК - общая сторона, МС=СD1 - следует из пункта 2))
4) Тогда должны быть равны и СН и СD, т.к. это высоты равных ∆-ков МСК и CKD1
5) Поскольку CD - это сторона квадрата, то для того, чтобы вычислить СН, нам остается найти эту сторону квадрата.
6) А это мы можем сделать, обозначив сторону квадрата ABCD "х" и составив уравнение, основываясь на теореме Пифагора
АМ^2+АК^2=МК^2 или
(х-10)^2+(х-3)^2=13^2
Решая это квадратное уравнение, получим х1=15 и х2=-2
Ответ: СН=15
Легко найти: МА = 12, АК = 5. МК: 5у +12х - 60=0. Расстояние от точки С(15, 15) до этой прямой: СН = (5∙15 + 12∙15 - 60)/√(5² +12²) = 15.
Спасибо.
Я человек простой - достраиваю минимум, считаю по формулам. ) Сделал немножко построений, нашёл кучу подобий. Х тоже где-то через подобия вывел, посчитал. Потом уже сделал все выводы о равенстве углов и т.д.
Есть решение математическое без всяких хитрых поворотов. 1. Находим сторону квадрата, как сделал Валерий Казаков; 2. По теореме Пифагора находим МС из треугольника МВС и СК из треугольника СКД; 3. Принимаем МН за Y и по теореме Пифагора составляем два уравнения: первое для треугольника МНС, второе для треугольника КНС. Имеем два уравнения и два неизвестных X и Y. Откуда легко находим и Y и X.
с поворотом всегда красиво, но можно и ничего не поворачивать. Определяем также сторону квадрата, далее находим площади треугольников, окружающих искомый треугольник МСК. Суммируем их. Из площади квадрата (15*15) вычитаем полученную сумму и определяем так площадь МСК, у которого известно основание(13). Известна площадь, известно основание, следовательно, легко определяется и высота СН...
В конце можно чуток подсократить: после тр. СКМ == СКМ1, сразу ясно что их высоты тоже равны.
Можно.
Несколько искусственная. Но забавная. Лайк
Вообще-то, большинство олимпиадных такие. Здесь свойство тр-ка MCK с углом 45: BM+KD=MK. А дальше можете придумывать еще и лучше, чем я.
Приведу свои три решения задачи, опирающиеся на одну базу
Обозначим сторону квадрата за a, тогда AK = a - 10, AM = a - 3. Тогда по теореме Пифагора в треугольнике AKM получаем, что (a - 10)^2 + (a - 3)^2 = 169. Решаем квадратное уравнение, получаем a = 15 (второй корень отрицательный, не подходит). А далее есть три пути
1) Введем ПДСК так, что A - начало системы отсчета, ось абсцисс направим вдоль AD, ось ординат направим вдоль AB. Выпишем координаты необходимых нам точек: M(0; 12), K(5; 0), C(15; 15). Уравнение прямой MK: 12x + 5y - 60 = 0. Теперь пользуемся формулой расстояния от точки до прямой. d = abs(Ax(C) + By(C) + C)/sqrt(A^2 + B^2). (x(C) и y(C) - координаты точки С). Подставляем числовые значения и получаем ответ, d = 15. Ответ: 15
2) Строим MC и KC и находим их длины по теореме Пифагора в треугольниках MBC и KDC соответственно. MC = 3sqrt(26), KC = 5sqrt(13). А далее разделение еще на два пути
2.1) Пусть MH = y, тогда KH = 13 - y. Запишем теорему Пифагора для треугольников MHC и CHK и составим из них систему, которая будет иметь вид: x^2 + y^2 = 234 (1), x^2 + (13 - y)^2 = 325 (2). Запишем уравнение-следствие вида (2) - (1), получим x^2 + (13 - y)^2 - x^2 - y^2 = 325 - 234. Уравнение примет вид (y - 13)^2 - y^2 = 91. Раскрываем скобки, получаем единственный корень y = 3. Подставляя его в любое из уравнений системы получаем, что x = 15 (второй x отрицательный, не подходит). Ответ: 15
2.2) Делаем вдох-выдох и пишем формулу Герона для треугольника MCK. p = (13 + 3sqrt(26) + 5sqrt(13))/2, тогда S = sqrt(p(p - MC)(p - KC)(p - MK)). Подставляя числовые значения, получим S = 195/2. С другой стороны, S = MK*CH/2, откуда следует, что CH = 2S/MK. Подставляя числовые значения получаем, что CH = 15. Ответ: 15
У Вас x на превью - это искомый перпендикуляр, а в решении - это сторона квадрата, путаница в буквах.
А моё решение такое. Раз задача красивая, то и числа должны быть красивыми. Значит, прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 должен быть пифагоровым, а такой только один: 12; 5; 13. Проверяем: 3 + 12 = 15 и 5 + 10 = 15. В точку!
А честно сторону квадрата можно легко найти, как в видео.
Дальше мои 2 способа:
1. Уравнение зелёной прямой в отрезках сразу: x/5 + y/12 = 1. Приводим к нормальному виду, для чего делим на √((1/5)² + (1/12)²) = 13/60, получаем (12/13)x + (5/13)y - 60/13 = 0
Искомое расстояние - это просто левая часть при постановке сюда координат точки, из которой опущен перпендикуляр, т.е. оно равно
12•15/13 + 5•15/13 - 60/13 =
= (15/13)(12 + 5 - 4) = 15/13•13 = 15
2. Соединяем концы зелёного отрезка с вершиной квадрата, получаем три прямоугольных треугольника, сумма их удвоенных площадей равна 12•5 + 3•15 + 15•10 =
= 15•(4 + 3 + 10) = 15•17
Удвоенная площадь оставшегося треугольника равна удвоенной площади квадрата минус найденная сумма, т.е.
2•15² - 15•17 = 15(2•15 - 17) = 15•13.
А искомый отрезок - это высота этого треугольника, который равен удвоенной площади, делённой на зелёное основание, т.е. 15•13/13 = 15.
Можно ещё просто посчитать площади треугольников и приравнять площади квадрата. И оттуда выходит Х. Правда, устно тяжеловатo трёхзначные числа на множители раскладывать, но это дело привычки.
Думаю, что вторым этапом CH проще найти из суммы площадей: S(abcd)=S(akm)+S(bmc)+S(ckd)+S(mck) Где S(mck)=1/2*(MK*HC)
Да, площадями CH короче, но классически приходится еще искать угол MCK. а его так уже не найти.
Я нашёл АМ и АК, нашёл косинус угла АМК. АМК=ВСН, почти очевидно. Продлил КМ и СВ до пересечения. В верхнем левом углу получился крошечный треугольник подобный АМК. Из подобия нахожу недостающие стороны этого треугольника и ВС с маленьким довесочком от маленького треугольника умножаю на косинус угла, получаю 15. Корявенько конечно, но радует что вообще решил.
Радиус внешне вписанной окружности (или как там её правильно назвать) равен полуприметру треугольника, и совпадает со стороной квадрата, значит C центр этой окружности, а CH - радиус.
Решение красивое, но из равенства треугольников сразу следует и равенство их высот. Сам без построений сходу решил так: находим сторону квадрата, из нее стороны треугольника MCK, далее площадь через три стороны и находится высота. Но это больше алгебра, чем геометрия.
Спасибо. Да, для провинутых можно и так, но такого свойства в учебнике нет: у равных треугольнков все остальное равно. Более того, полно задач таких: "Докажите, что если тре-ки равны, то равны высоты, проведенные к соответствующим сторонам". Это надо учитывать.
@@GeometriaValeriyKazakov А что там доказывать? Через площадь.
Продолжим СН до пересечения с АВ в точке Р, треугольники РМН, АМК и РВС подобны, вычисляем МН=3, НС=ВС =15.
Да, это отличное решение, хотя там расчет не хилый для школьника: MP=13|4, но все ок. Поздравляю.
Обозначения авторские. Сторона квадрата АВСD=15. СН перпендикулярна МК. Через т.Н проведем прямую ОР (т.О лежит на АВ, т.Р -- на СD), перпендикулярную АВ и CD, и параллельную ВС и АD.Таким образом, АМ перпендикулярна ОР, а МК перпендикулярна НС. Отсюда следует, что угол АМК = углу СНР. Точка М -- ось вращения. Повернем по часовой стрелке отрезок МК(вместе с перпендикулярным ему отрезком НС) на угол АМК до полного совмещения со стороной АВ. Точка Н лежит на АВ; т.К окажется на продолжении ВА ниже стороны АD; АК=1. Точка С'(т.С--одна из вершин квадрата, т.С' принадлежит перпендикуляру НС и совершает поворот вместе с ним) лежит на СD; НС' перпендикулярна СD; НС' параллельна ВС и АD. Х=НС'=15
Предположение что треугольник MBC = МНС ведёт и к равенству треугольников НСК и КСD по катету и гипотенузе. Тогда другой катер должен быть 10, что подтверждается равенством 3+10 = 13. Если бы оно не выполнялось, то предположение было бы неверно. Таким образом х равен стороне квадрата.
Спасибо. Но незачет. Тавтология.
@@GeometriaValeriyKazakov это логический подход, не тавтология. Сделано предположение, которое ведет за собой ряд следствий, не противоречащим условиям задачи. Отчасти напоминает угадывание корня например кубического уравнения.
С поворотом красиво. Но если не догадался, можно в тупую решить задачу не отрываясь от т.Пифагора. Находим сторону квадрата х = 15, как в ролике. Потом находим из прямоуг. треуг. КСД КС = 5\/13, из треуг. МВС МС = \/234. Затем, рассматривая два предыдущих треугольника в паре, находим МН = 3 (НК = 10). И наконец из любого из тех же двух ттреуг. находим СН = 15.
Что значит "рассматривая два предыдущих треугольника в паре" ?
@@ncrean66 Это значит, что вычитая из квадратов гипотенуз треугольников МСН и КСН квадраты их катетов соответственно МН и КН, обозначив один из них у а второй 13 - у, мы получаем квадрат общего катета СН. То есть мы приравниваем разницы квадратов обоих треугольников и получаем значения у. (Потом из любого из этих двух треугольников по т.Пифагора находим СН = 15).
@@valeraag5634 Ок, спасибо. Просто сперва использовались КСД и МВС, можно подумать, что "два предыдущих" - они же.
Я не креатиф, а ученик 7-го класса ж/дорожной школы.
Принимая АМ за а, тогда АК=а-7 и по пифагоре находим АМ=12, АВ=15 и АК=5. Продолжим ВС и КМ до пересечения в т Е.. из подобия МЕВ и АМК ВЕ=5/4 и ЕС=65/4. Из подобия АМК и ЕСН --- (65/4)/13=х/12. Откуда х=15.
Ответ:15
Судя по равенству СН=стороне квадрата, поищу геом решение
Тоже норм
Можно ещё так: AM = a, AK = b, KM = c, BM = (b+c-a)/2, AB = BC = (a+b+c)/2.
tg(
Нашел сторону квадрата, сказал что MH=x,тогда HK=13-x, CK=sqrt(325) , составил два уравнения по пифагору для СH и прировнял их
Но ваш метод красивее в разы
Продолжаем свою линию :) Если ВМ+KD=MK то окружность не сомнненно каснется МК, а площадь МАК=ВМ*KD, доказано в коментарии по пршлым роликом с такой конструкцией, АК=у, АМ=у+7 , у(у+7)=60 решаем квадратное , положительный корень у=5, АD=СН=15!
Про площадь мне кажется классный и не очевидный факт. Например решите задачу: в квадрат АВСD вписана четверть окружности центром С, МК касательная , площадь МАК=30, ВМ=3 , найти KD!
А это таки лучший канал по геометрии! Зуб даю!!!
Я тоже. Настоящих профи мало "вот и нету вожаков" (В. Высоцкий)
Мне кажется через площади на втором шаге было бы красивее
Напишите как.
@@GeometriaValeriyKazakov
S(KMC) = 1/2*MK*CH = 1/2*13*x
S(KMC) = S(ABCD) - S(BCM) - S(MAK) - S(KDC) = 15*15 - 1/2*3*15 - 1/2*12*5 - 1/2*10*15 = 225 - 22.5 - 30 - 75 = 97.5. =>
=> CH = 2 * 97.5/13 = 15.
Ответ: 15
С точки М проведем параллельно ВС линиию МЕ =10 . ⇒ Соединим точки К и Е где КЕ = 13 ⇒ Высота тр-ка h _КМЕ =√(МК ^2 - (0,5 МE)^2) =√ (13^2 - 5^2) = 12 ; ⇒ АВ = h _КМЕ + ВМ =12 +3 =15 ; ⇒ АК = АD - КD = 15 - 10 =5 . Размещаем начало координат в точке А(0; 0); где К(5; 0); М (0; 12); С(15; 15. Уравнение прямой КМ ⇒ (х - 0) /(0 - 5) = (у - 12) /(0 - 12) ⇒ 12х + 5 у - 60 = 0 ⇒ ; Расстояние от точки С до прямой МК СН = (Ахс +Вус - 60) / √(А ^2 + В^2) = (12*15 +5*15 - 60) / √(12 ^2 + 5^2) = 1
3:46 AM = 12 и AK = 5;
MK: y = 12 - 2.4x;
HC: y = 5x/12 + b;
5*15/12 + b = 15;
b = 15 - 75/12 = 15 - 6.25 = 8.75;
HC: y = 5x/12 + 8.75;
Найдем координаты точки H:
12 - 2.4x = 5x/12 + 8.75;
169x/60 = 3.25;
x = 3.25*60/169 = 15/13;
HC = (15 - 15/13)/cos(HCB) = (15*12/13)/(12/13) = 15. (!!)
Пусть х - сторона квадрата, h - искомый перпендикуляр
х² = 3х/2 + 10х/2 + (х-10)(х-3)/2+13h/2
х² = 13х/2 + (х²-13х+30)/2+13h/2
2х² = х² + 30 + 13h
x² = 13h + 30
Так как ответ обязательно число целое (ну, раз задача красивая),
элементарно подбираем ответ:
15² = 13*15 + 30 = 195 + 30 = 225
То есть х = h = 15
Сложно, но может так надо, ниже проще)
Наше решение САМОЕ простое! Это известный факт (я ж олимпиадный тренер, олимпиадники такие задаччи 100 раз решали). Все остальные, как правило неполные или длиннее. Цитирую: "Легко найти: МА = 12, АК = 5". Так именно это мы нашли в 1 действии, дальше поворот и устно CH=12. Откуда далее например: "... МК: 5у +12х - 60=0"? Вы можете объяснить, что такое y? Вроде понятно, что человек решает координаткой (правильно решает), но до этого ур-ния школьнику топать и топать. Не берите ничего на веру! Но верьте тренеру, он не обманет, короче не будет!
@@GeometriaValeriyKazakov Пример крайне неудачный! Я же не на экзамене. Если вы хотите видеть полное объяснение, то нет проблем,
только нужно ли это? Распишите подробно свое решение, а я распишу своё. И Вы увидите, что моё будет короче. При этом я вовсе не
соревнуюсь ни с кем. А на экзамене надо решать как БЫСТРЕЕ, а не как красивей или"ГЕОМЕТРИЧЕСКЕЙ". Что я всегда успешно
делаю. Я просто предлагаю другой подход. Вы же не будете спорить с Фейнманом" "... главное РЕШИТЬ, неважно как"?
Не только неудачный, но и нечестный. Не ожидал от Вас! Я понимаю, что своё всегда лучше, Вы сами этому нас учили, но не до такой же степени!
Решение координатным методом.
Используя теорему Пифагора, находим сторону квадрата: (a-3)²+(a-10)²=13². Отсюда длина стороны квадрата равна а=15.
Напишите уравнение прямой, проходящей через точки (0;12) и (5;0): y=(-12/5)x+12 ----> 12x+5y-60=0
Найдем расстояние d от точки (15;15) до прямой:
d=|12*15+5*15-60|:sqrt(12²+5²)=15
Ответ: 15
А предварительно просмотреть?
@SB-7423
2 hours ago
Легко найти: МА = 12, АК = 5. МК: 5у +12х - 60=0. Расстояние от точки С(15, 15) до этой прямой: СН = (5∙15 + 12∙15 - 60)/√(5² +12²) = 15.
Тр ВСМ равен тр СНМ.
Из этого видно что НС равно ВС
А сторону квадрата вы нашли
Алгебраическое решение.
1) Найдем сторону квадрата через тре-ник AMK:
(x-3)^2+(x-10)^2=13;
x=15.
2) Заметим, что около четырех-ка KHCD можно описать окруж-ть. Из этого следует, что KD+CH=CD+HK.
Если искомую высоту обозначить за x и рассмотреть прям. тре-ники MBC и MCH, то получим следующее ур-нение:
13-√(234-x^2)+15=x+10.
x=15;
x=3.
Ответ: 15
KD+CH=CD+HK. - это для описанного. А здесь Птолемея.
блестящее решение)
Спасибо.
(а-3)²+(а-10)²=13²;
а=15;
S=½*13*h
S=15²-½(15(10+3)+12*5);
S=15(15-17/2)=15*13/2;
h=15
CH²=KC²-(13-MH)²=
=(a²+10²)-(13-MH)²;
CH²=MC²-MH²=
=(a²+3²)-MH²;
-69+26*MH=9;
MH=78/26=3;
Треугольники равны по катету и гипотенузе.
СН=а
Сначала Вы говорите что интуитивное знание BM=CH - это не математика, а гадание. Но потом Вы берете именно этот частный случай и начинаете его доказывать геометрически. Это тоже гадание, Вам могло не повезти. Есть более общее решение, не зависящее от таких предположений. После того, как мы нашли сторону квадрата, записываем уравнение о том, что сумма площадей треугольников АМК ВМС СДК МСК равна площади квадрата. Откуда и находим искомое.
Только это не гадание, а гипотеза называется в математике. Мы выдвинули гипотезу (например, при точном черетеже) и доказали, но могли не доказать. Вот Эйлер выдивнул гипотезу о многочлене простых чисел и .... ошибся.
Да, это более красивое решение. Я нашёл MH решением пары треугольников MCH и KHC (с общим катетом CH). После нахождения MH решать уже и нечего.
У автора решение более красивое.
Вторым действием через площадь квадрата и треугольников не проще?
Напишите как, без поворота ничего не сделаете.
S ABCD - S MBC - S KCD - S AMK = S KMC
CH = S KMC *2 /MK
Супер-решение не нашёл, я по старинке, по ступенькам... Пусть АК=х, АМ=10+х-3=7+х. (7+x)^2+x^2=169. х=5. АМ=12. СК=5\/13. Теперь пусть МН=х, НК=у. МС=3\/26, сл-но,
х+у=13
(5\/13)^2--y^2=(3\/26)^2--x^2. х=МН=3, у=НК=10. СН=15
Нихрена не понял решение, если честно...
Я, точно также, нашел сторону квадрата, потом нашел стороны МС(√(3^2+15^2)=√234) и КС(√(10^2+15^2)=√325), далее по формуле Герона нахожу полупериметр(p=(13+√234+√325)/2≈23,162407), и соответственно площадь(√(p*(p-13)*(p-√234)*(p-√325))≈97.5). И вот у нас есть площадь, и мы вспоминаем, что площадь треугольника это так же основание умноженное на высоту, и деленное пополам: (13*HC)/2=97.5, HC=(97.5*2)/13=15
мда... супер-решение это не про меня... но как черепаха до истины доползу... сторона кв а... (а-3)^2+(a-10)^2=169... a=15... MC^2=234...KC^2=325... MH=x... 234-x^2=325-(13-x)^2...x=3... CH=15
Согласен с мнением зрителей - очень качественный контент. Поражаюсь почему так мало подписчиков.
очень часто бывает такое.
Слишком качественный, не соответствует массовому зрителю (учителя очень-очень слабые сейчас, а школьник смотрит тик-ток версии, он не в силах понять, где качественный контент.
@@GeometriaValeriyKazakov жестокая правда. ) Жестокий век, жестокие сердца...
Чтож. Я подумал что КН равно 13... Опять двойка.
СПАКУХА!