極限的嚴格定義 (ε-δ definition)
HTML-код
- Опубликовано: 28 дек 2024
- 關於極限的嚴格定義，也就是ε-δ definition，可能會是我們在大學階段剛開始學微積分時，會遭遇到的一個門檻。回顧微積分的歷史，17世紀牛頓發明微積分時所用的無窮小量，一度因為在邏輯上存在矛盾於是造成學術論戰。後來的數學家為了解決這個矛盾，因而發展出所謂的嚴格定義(epsilon-delta definition)。這部影片從這個歷史脈絡切入，詳細說明什麼是極限的嚴格定義，以及如何利用ε-δ definition來證明極限問題。
视频质量真的超级不错，建议播主把视频弄一个patron，这样以后做视频就能得到大家的赞助了， 我发现如果有一个人能把一个知识完整，精确，高效的呈现出来，比大学教授这种只讲定义的方式要好上100倍（毫不夸张），希望博主能把所有难懂的理论都用这种高质量的形式呈现出来，我也非常愿意赞助播主，非常感谢～
教授剛上完這段,完全聽不懂,所以我就跑到yt上尋求幫助就找到了這部影片,把我先前的疑惑都講得很清楚,感謝教學
怎麼跟我以前很像= =
真的阿都是靠死背..原來根本就是很簡單的道理...教授的表達能力真的....
讲得真好，在中国国内网站一直找不到对极限定义的能让人理解的解释，还是RUclips的人厉害
❤️
講的很清晰明瞭，連我這個外行人都能看懂，您講的很棒
😊😊
超级容易理解！感谢你令我这个学渣有再学的机会🙂🙂🙂🙂🙂
感謝你的讚美與肯定~
感謝分享，把三種方法都解釋得很清楚
❤️
很清楚的解釋，對我幫助很大。謝謝您！👍👍👍👍👍👏👏👏👏👏from 🇺🇸
謝謝肯定 !!!
講得好清楚~很喜歡這個頻道
5:54 ɛ-δ 值觀圖解
9:07例題
在 10:33 有點不太懂，在定義上，ε 跟 δ 看起來是框出一個邊界範圍，也就是當我取ε作為y軸的誤差範圍後，δ的數值範圍其實也已經被確定下來了。
換言之，在10:33，當規範 Given ε > 0，不就已經等於鎖定住 δ 的數值。δ 會是某個大於 0 的數字，但不會剛好等於 ε，除非函數 f(x) 在我們想要取極限值的位置，是一條45度的斜直線，才會有 δ = ε 的 " 可能性 "。
既然如此，那我們怎麼能夠 choose δ = ε 呢? 一旦我們 choose δ = ε，不就代表這個被choose的新 δ，就會對應到另一個新的 ε'，而 ε' 未必會與 ε 相同。
1. 當規範 Given ε > 0，並不就已經等於鎖定住 δ 的數值，因為能夠滿足此條件的 δ 並不唯一
2. δ 會是某個大於 0 的數字，但不會剛好等於 ε 沒錯，但是就此題給的函數而言，無論在哪個地方都是一條45度的斜直線
3. 一旦我們 choose δ = ε ，代表這個被choose的新 δ，就會對應到另一個新的 ε'，這個想法與定義相背，簡單來講就定義而言只能是由 ε 來決定出 δ ！反之由 δ 來決定出 ε 的話就不是極限了，而是有限的狀態。
依各項回應~：
1. 這邊我可能表達有誤解，我的意思是當 Given ε > 0，不就同時框出以 δ 作為距離邊界(以 x = 1 做為中心)的範圍嗎? 當然距離小於 δ 的各個數值都可以滿足條件。換言之，當 Given ε > 0，不就是等於鎖定了以 δ 作為距離邊界的範圍了，意即給一個ε > 0，會得到以x=1為中心，而以" 某一個 δ "作為"最大距離"的範圍，當然在這範圍內的 δ' 都能滿足條件，但 δ 就是那個 "唯一" 的最大距離。
2. 以此題來說，確實就是45度的斜直線，所以對此題來說 δ = ε，了解了!
3. 所以我是否可以這樣理解：當 Given ε > 0，也同時決定了某個特定 δ > 0，意即要由 ε 來決定出 δ，所以 δ 要表達為 ε 的形式 δ(ε)，對此題來說就是 δ = ε。那此 δ = ε 是否就是滿足條件的最大值呢? 當然任何 δ' < δ 都可以滿足條件我可以理解~
@@iceleaf97你想的沒錯~完全正確~~
針對 "3."再補充一下: Given ε > 0，決定了某個特定 δ > 0 的原因是因為 ε 有涵蓋到函數值，而函數值是由自變數藉由一個函數關係所映射來的，故今天一旦有 ε ，就存在有一個含括到自變數的 δ
最後總結一下整個定義的邏輯:
ε>0 → x in δ>0 → f(x) in ε' → | f(x)-L | < ε
細說如下:
任意的一個線段 ε (一個包含值域的對應域在座標上的線段)
→ 藉由函數的定義必存在與之對應的自變數 x 與定義域在座標上的線段 δ
→ 藉由函數的定義對此自變數與定義域找到值域與其在座標上的線段 ε'，並且取此值域當中的f(x)
→ 將取出來的 f(x) 拿來找出一段比 ε 更小的線段，即可說明對於任意的一個線段 ε 總是存在著比他更小的線段
附帶一提有一個很核心但很公說公有理婆說婆有理的概念就是:
「一條線段上最靠近的兩個點」會比「任意給定遠近的兩個點」還要來的靠近！
其辯證的依據在於「任意給定遠近的兩個點」因為已經給定了，所以無論將這兩個點靠得再近，其距離在小，都是已知的小。
但是「一條線段上最靠近的兩個點」會因為稠密性，會因為一條線段每次只剁一半，可以永遠無止境的剁下去這種概念，因而有了小到無法被描述的這種概念，與極限當中的要多靠近有多靠近的本質上一樣。
@@user-yf9hk8he8d
感謝回應，以下幾點請教：
1. 『任意的一個線段 ε (一個包含值域的定義域在座標上的線段)』這一段的意思是『任意的一個線段 ε (一個在值域座標上的線段)』嗎? 因為你有提及 "定義域" ，所以我這有點看不太懂，與 ε 有關的不是只有值域而已嗎？而 δ 才會與定義域有關，不是嗎？
2. 關於『「一條線段上最靠近的兩個點」會比「任意給定遠近的兩個點」還要來的靠近！』先前也是卡在這個概念上，覺得定義明明就是在討論一個極限(ε跟δ都無限小的情況)，怎麼在定義的敘述上完全看不到相關的描述。
而你這句『將取出來的 f(x) 拿來找出一段比 ε 更小的線段，即可說明對於任意的一個線段 ε 總是存在著比他更小的線段』確實會有 " 總是能找到更小的 ε " 的意思，感覺就是將 "最靠近" 的含意具現化出來~
3. 另外一個想不通的是，為何就定義的設計上，是先隨意取任意 ε，而不是先從 δ 開始：
(一樣假設 ：x 要逼近 c，f(x) 極限值為 L) 為何不能改為
∀ δ > 0, ∃ ε > 0 使得 ∀ x 在 0 < | x-c | < δ, | f(x)-L | < ε
因為 δ 與 ε 不也是映射關係嗎？換言之我在定義域上以 c 為中心，隨意取 δ 作為一個範圍區間，不就也會同時在值域上取出一個 "以 L 為中心， ε 作為最大距離的範圍"。這樣一來，不也是一樣在小於 δ 的範圍內找 x'，而 | f(x')-L | = ε' < ε。這樣敘述感覺也不矛盾的樣子?
@@iceleaf97
1. 抱歉我說錯了是 "一個包含值域的『對應域』在座標上的線段"，已經更正～感謝指正～～
補充說明一下，函數的定義為：對於在定義域集合當中的任意一個自變數都可以映射到對應域這個大集合當中，而對應域當中被自變數所映射而來的這些函數值們會在對應域當中形成一個值域。簡單而言就是對應域當中存在著一堆元素，可以二分成『是函數值的元素』與『不是函數值的元素』，把『是函數值的元素』全部搜集起來就是值域，一個在對應域集合當中的小集合。
2. 與 3. 必須要一起理解
先說明 2. ，2. 的關鍵其實不是在於『總是能找到比 ε 更小的線段』而是在於比 ε 更小的線段是如何被求得的。他是透過一個點 f(x) 去割一個線段 ε ，如此割下去，無窮無盡的切割下去，因為一條線是可以被無窮無盡的劃上千萬刀永遠的一直分割下去的。
補充說明一下：
ε 跟 δ 無論再怎麼小都是有限小的情況，因為他們都是被給定的已知數，有一個重要的觀念是在數學的推論上是不會使用『無限』這種概念的，只要是可以被具體的描述出來量化出來的東西都與『無限』無關，所以當 ε 跟 δ 被寫出來做推論的時候是被當成已知數來使用，哪怕他再小，你可以把他想成就是0.000000000000....1這麼小，但還是一個已知數。
3. 因為 ε 與 δ 都是已知數，已知長度的線段，所以當我們先給出 δ 的時候就代表我們獲得一個『被界定出來已知的定義域』，因為 δ 所界定出來的那些自變數最大是誰最小是誰，隨著 δ 已知，就通通都知道了，該定義域已知就代表這個集合裡面的每個點我通通都知道，全部的點都是已知的，所以就連最靠近的兩個點也是已知的靠近，因為每個點在什麼位置我都知道，所以無論兩點再小再靠近對我而言都是已知的小，你可以把他想成就是0.000000000000....1這麼小，但還是一個已知數。
回到問題，所以當我們先給出 δ 的時候，就獲得一個已知的定義域，而定義域已知，其中被一個一個映射上去的函數值所構成的值域也是已知，因此這個被一個點一個點所構成的值域就跟已知的定義域一樣每個點在什麼位置我都知道，所以同理該值域當中無論兩點再小再靠近對我而言都是已知的小。
簡單而言從 δ 出發推導，最終只會獲得一堆已知的東西，自然就與極限無限等觀念沾不上邊
而先隨意取任意 ε 的話，雖然其所找到的 δ 是一個已知數，但是可以再藉由該已知的 δ 推導獲得一個已知的 ε' 的轉還，我們再從這個 ε' 取出 f(x) ，用此 f(x) 來切割 ε ，此時所切出來的 | f(x)-L | 就是一個未知數，因為雖然我知道 ε' 是由 δ 所推出來的一個裝著一堆點的集合(裡面每個元素與元素之間的距離都是已知的)，但是 ε' 當中的點 f(x) 與 ε 是無任何關聯性的，也就是 f(x) 只是單存的去切割 ε 這條線而已，f(x) 並不是 ε 這條線上某個被固定的點，因此 f(x) 就可以隨著去分割任意大小的 ε 。
總結：
透過 δ 出發，第一個碰到的是定義域，是自變數這種離散的東西，導致整個推導都是離散的，以至於無法用來描述『要多靠近有多靠近』『靠近到無法描述』這種抽象的稠密概念。
而透過 ε 出發，則可以透過 ε' 的轉還，將 ε 線段的連續性保留下來使用，不至於被數學的推導給僵化了
補充：連續性就是稠密性就一種永遠切不完的概念
非常清晰的教程！十分感谢！
❤️
這個講得很清楚，很感謝
❤️
真的很謝謝老師！
有圖清楚很多，感謝
很有幫助～解釋得非常清楚!
❤️
要是我教授能教這樣，該有多好。感謝教學。
感謝肯定 !!!
Very clear. Have a question that how to find the largest e or delta?
講得很清楚～非常感謝！雖然對於有變化的題目我還是轉不太過來😭
已經遭遇了,教授都沒講,感謝
感谢教学，希望今后多讲讲微积分，嘻嘻嘻
张海宁 擱心裡了⋯
講得很清楚 感謝!
謝謝支持!
5:43 開始嚴格定義
👍
真清楚
謝謝肯定 !
为什么不能表述为“对于任意的d>0，皆存在e>0 。。。。。。"？而非要e先任意呢？
太棒了！
请问这个epsilon delta definition具体来说是如何解决求导时的无穷小量替代问题的（berkely说的那个
講得太好了
😊❤️
讲的好清楚
❤️
20年前應該沒有這樣的教學？~~好像沒學過這樣的定理！~~所以看得頭昏眼花！~~
這是大一微積分才會上的課程，即使是理工學院也不一定會教這一段，就看教授上不上，如果是管理、統計、醫學系的話，應該是不會教的。
可以請問為什麼我們要找delta＝epsilon？我們會花很多心力去找多少delta=epsilon，而找出來後就是證明完成，但epsilon不是任意取的?
沒錯，這正是這個ε-δ定義的精隨所在。
注意，並非所有函數都可以找到對應的δ，也就是說，並非所有函數都存在極限值。
對於那些可以找到δ的題目(函數)來說，其數學意義是，不管你丟出多小的ε(0.0001或0.00001等等)，我都保證可以利用對應的式子找到合適的δ(可能是0.00005或0.000005等等)，使得函數值和極限值的誤差範圍在你要求的ε之下。
所以一旦找到δ(ε)，就好像找到通關密語一樣，可以以一擋百，對於潛藏的無限多的挑戰，我都保證可以迎刃而解，於是就算完成證明。希望這個解釋能讓你瞭解~
謝謝您迅速的回答，非常詳細
我有更了解了一點，例如我們列示後，利用後式去限制前式，也就是一開始的條件，來滿足我們所要求的邏輯
太好了
❤️
谢谢，很有回味的讲解和回复。
感謝🙏
還是聽不懂，若然在測驗一般是怎樣出題？
可以參考一下下方連結，共有三個範例 :
ruclips.net/video/aZWi1Aovkaw/видео.html&t
有夠讚 讚讚讚
希望可以講解夾擊定理和如何找左右極限~謝謝
@ 李采彤
關於左右極限的部分，下面的連結有談到，你可以先參考一下!
ruclips.net/video/ml0ezH8_wmY/видео.html
@@stepp.academy 謝謝您~
很清晰 推推推
感恩
謝謝教學分享 感恩
想問為啥最後面一定choose個兩個相等。若不相等呢
不一定要取相等，取delta = epsilon/2 也可以，實際上有無窮多種取法都是可以的
不好意思剛學有些部分沒明白 這麼說的話這個嚴格定義只能證明極限等於某個數但不能推導出極限等於多少嗎
對，沒錯👍～～要找出極限值，用傳統lim 的算法即可～^o^
@@stepp.academy 噢噢好的好像問了個蠢問題😓謝謝您的回覆 這部影片真的把脈絡跟定義講得很清楚 對我的幫助非常大 謝謝您
想請問一下為什麼事先給ε而不是給δ呢
而且按照ε>0的定義，常數函數豈不是沒有極限了
我徹底想通整個定義，也解決所有的疑問了，
原來一切的關鍵在於連續與離散的差別，以及ε所涵蓋到的範圍其實是對應域而非值域，至於常見的δ(ε)指的是ε與δ_max的關係
我想了一個多月，這才是真理，在此獻給有緣人
讚讚讚讚
👍
很可惜沒有字幕.....哭哭...在廁所看微積分有點尷尬...
很有味道的評論
@@stepp.academy 😄
其實真正的重點應該在於為什麼這樣定義，而不是直接闡述定義
非常棒！可以和李柏坚老师的视频结合学习 ruclips.net/video/2BZ-G8zyIkY/видео.html
啊啊啊啊啊我怎麼沒在期中考以前看到😭😭😭
讚
講得爆幹清楚
😆😆
Thanks!!!!
damn..so good
感謝肯定!
难懂欸！國高水平要先看什麼?_?
微積分以外的都可以看
@@stepp.academy請問微積分對於國中有幫助嗎
@w
國中學生不用學微積分ㄛ
所以現代人的車子飛機輪船電器就是這樣發明的
這只是補足理論嚴謹性，不影響原來極限的計算結果。
本人初一学历既然听懂了，，，wtf，
极限就是微积分的基石
👍👍
直击心灵
看完還是不懂，我沒悟性
應該是教的人責任比較大
多聽幾次吧，Stepp學院的老師已經把他講的很白話了，很少外面有老師可以講成這樣
其实就是规避无穷小的文字游戏而已，所以让人费解，因为本就是胡扯
我完全同意你的结论，其实还是要有趋近于的无穷小量，这个所谓的两个希腊字母的表达式才成立。完全是简单问题复杂化。
我他妈终于懂了....
定义都靠背
教授的表達能力真得很爛，聽得時候完全搞不懂在幹嘛
講這個的老師是鬼吧 馬上就懂⋯
❤️❤️