俄罗斯竞赛题，解方程：(x+1)(x²+1)(x³+1)=30x³

[@davidshen5916]

不如在展开前试根， T-1，T， T+2， 正好对应30=2*3*5， T-1=2， 即T=3是一个根

[@oreochen9641]

高次元建議用牛頓法跌代3-4次就能解

[@ranshen1486]

(1) 先徹底展開：前兩個括號中係數是{1,1}和{1,0,1}，所以很容易相乘得到{1,1,1,1}。第三個是{1,0,0,1}，也很容易相乘得到左側是{1,1,1,2,1,1,1}。右側是{30,0,0,0}。所以最終係數變成 {1,1,1,-28,1,1,1}。
(2) 觀察係數的對稱性，這個特徵似乎更加提示應該 除以 x³，得到
(x³ + 1/x³) + (x² + 1/x²) + (x + 1/x) - 28 = 0。
令 t = x + 1/x，則 x³ + 1/x³ = t³ - 3t 以及 x² + 1/x² = t² - 2。
之後步驟和視頻中相同。

[@ranshen1486]

更手動暴力一些的做法是：
(第一步) 同上，得到 p = {1,1,1,-28,1,1,1}
(第二步) 半猜半碰：因爲首尾係數都是1，中間1很多，但負數很少，所以分解之後每個因子的首項和末項係數最可能都是1。然後考慮可能的分解：{1次，5次}，{2次，4次}，{3次，3次}。
首先{1次，5次}最容易排除，通過綜合除法可以看出{1,1}不能整除p。
再考慮{2次，4次}情況。假定被除數係數為{1,a,1}，然後繼續用綜合除法，得到 p / {1,a,1}的常數項餘數為
-a⁴ + a³ + 2a² - 30a。
如要整除，則需要
a³ - a² - 2a + 30 = 0。（這和 t 的3次方程類似，但是不同。）
這是三次方程，終於可以解了！觀察係數符號 {+, -, -, +} 變化2次，因此必定有一個負數根，而正數根或者0個，或者2個。所以先用負數有理根嘗試：-1, -2, -3, -5, -6, ... 。帶入或者繼續用綜合除法判斷整除都可以。發現 a=-3 符合，相除之後得到
(a + 3) (a² - 4a +10) = 0.
沒有其他正數實數根。
(第三步) 回到最初的問題，用 p = {1,1,1,-28,1,1,1} 除以 {1, -3, 1}，得到商 {1, 4, 12, 4, 1}，而且餘數 1次項也是0 (前一步已經確定常數項是0）。由於這個商 與 Pascal三角第4行 {1, 4, 6, 4, 1}之差一個中間一個 6，所以商 = (x+1)⁴ + 6x²。又因爲 (x+1)⁴ 和 6x² 都是非負，而又無法同時為零，所以 {1, 4, 12, 4, 1} 部分再沒有實數解。
(第四步) 解 x² - 3x +1 = 0 得到 x = ½ (3 ± √5)。

[@齊天大聖-ho]

這可以用工程數學解嗎？

[@walterwen2975]

解方程: (x + 1)(x² + 1)(x³ + 1) = 30x³; x = ?
重複測誤法:
第一實數根;
x = 0: (0 + 1)(0 + 1)(0 + 1) = 1 > 30(0) = 0
x = 1: (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8 < 30(1) = 30; 1 > x > 0, 較近0
x = 0.35: (1.35)(1.123)(1.043) = 1.58 > 30(0.043) = 1.29; x > 0.35
x = 0.4: (1.4)(1.16)(1.064) = 1.73 < 30(0.064) = 1.92; 0.4 > x > 0.35, 較近0.4
x = 0.38: (1.38)(1.144)(1.055) = 1.67 > 30(0.043) = 1.29; 0.4 > x > 0.38, 極近0.38
x = 0.382: (1.382)(1.146)(1.056) = 1.67 > 30(0.056) ≈ 1.68; 證實
第二實數根;
x = 2: (3)(5)(9) = 135 < 30(8) = 240; x > 2
x = 3: (4)(10)(28) = 1120 > 30(27) = 810; 3 > x > 2
x = 2.6: (2.6 + 1)(2.6² + 1)(2.6³ + 1) = 518.94 < 30(2.6³) = 527.28; 3 > x > 2.6; 極近2.6
x = 2.615: (2.615 + 1)(2.615² + 1)(2.615³ + 1) = 535.02 < 30(2.615³) = 536.46
x = 2.618: (2.618 + 1)(2.618² + 1)(2.618³ + 1) = 538.29 ≈ 30(2.618³) = 538.31; 證實
缺四複數或虛數根
第二解法:
(x + 1)(x² + 1)(x³ + 1) = (x³ + x² + x + 1)(x³ + 1) = x⁶ + x⁵ + x⁴ + 2x³ + x² + x + 1 = 30x³
(x⁶ + x⁵ + x⁴ + 2x³ + x² + x + 1)/x³ = x³ + x² + x + 2 + 1/x + 1/x² + 1/x³ = 30
[x³ + 1/x³ + 3x(1/x)(x + 1/x)] + (x² + 1/x² + 2) - 2(x + 1/x)
= (x + 1/x)³ + (x + 1/x)² - 2(x + 1/x) = 30, (x + 1/x)³ + (x + 1/x)² - 2(x + 1/x) - 30 = 0
設: y = x + 1/x; (x + 1/x)³ + (x + 1/x)² + (x + 1/x) - 30 = y³ + y² - 2y - 30 = 0; y > 0
y³ - 27 + y² - 2y - 3 = (y - 3)(y² + 9) + (y - 3)(y + 1) = (y - 3)(y² + 4y + 10) = 0
y² + 4y + 10 > 0, y - 3 = 0; y = 3 = x + 1/x, x² - 3x + 1 = 0; x = (3 ± √√5)/2
x = (3 + √5)/2 = 2.618 or x = (3 - √5)/2 = 0.382
答案檢測:
(x + 1)(x² + 1)(x³ + 1) = 30x³; 重複測誤法已確認
最終答案:
x = 0.382 或 x = 2.618

[@MANTIMTIM]

這算大學的應用數學系的了吧，需要使用工程計算機

[@yuneshiwu689]

同時除x^3不會少根嗎?

[@frankchen-gd4nx]

牛頓定理要試到t=3才有根，真殘忍

[@赖皮球]

30x^3=(x^2+1)(x^4+x^3+x+1) 30=(x+1/x)(x^2+x+1/x+1/x^2) set t=x+1/x 30=t(t^2+t-2) 0=t^3+t^2-2t-30=(t^3-27)+(t^2-2t-3)=(t-3)(t^2+3t+9)+(t-3)(t+1)=(t-3)(t^2+4t+10)
实数根t=3 x^2-3x+1=0
虚数根怎么计算？

[@benjaminchang1382]

如果是比 30x^3 大很多的數假設 3000x^3 又怎麼從 t = 1, 2, 3, ........ 去試 ??? 這種題目沒甚麼實際價值啦

[@銀牌仔-x4x]

右手面的x的三次方去了哪裏？

[@frankchen-gd4nx]

試x不為0，所以能同時除以x^3

[@xiaoxiahu5414]

但他实际上除的是x,所以还是不对

[@楓-d1m]

@@xiaoxiahu5414他是除x三方啊 等號左邊是三組相乘

[@blackunknown6815]

​左邊三項都除以x,所以乘起來就是除以x^3

[@careerchiu5648]

怕你不懂 用最簡單的寫法, 1/2 *1/2 *1/2 =1/8 =1/2^3
所以x^3 跑起左邊 除3次

[@david62359]

難

[@建生何-l9g]

？？？

[@demonion001]

没看懂？挺简单的啊。

[@forright]

好难啊🤯