Решается стандартной формулой (1/2 основания на высоту). Надо только отношение высот найти. Это чуть дольше решение, зато формула площади треугольника не забывается. Я из вершины большого треугольника провел сторону параллельно стороне маленького. Получилось 2 подобных треугольника с коэффициентом подобия 24/18 = 4/3. Получается и высоты относятся как 4 к 3. А высота "временного" треугольника общая с большим треугольником из задачи. Если взять высоту маленького треугольника за h, то площади относятся как (1/2*4/3*h*30) / (1/2*h*18) = 40/18 = 20/9
Вот уж не знаю, почему вы выделяете формулу (1/2 основания на высоту) как нечто отдельное, при том, что высота - это и есть b*sin(альфа) Лично я решил задачу через синусы, но ваш способ мне тоже понравился.
Можно было решать не используя эту формулу. Просто по следствию из обобщённой теоремы Фалеса мы знаем, что Площади 2-х треугольников с одинаковым углом относятся как произведения сторон, заключающих эти углы, то есть (24*30) /(18*18)
Получился аналогичный ответ из формулы 1/2 основания на высоту. соотношение площадей равно 30/18 от соотношения высот. А соотношение высот тоже легко посчитать. 24 к 18. И тоже получилось (24*30)/(18*18)
Проще решить задачу через формулу площади, основание умноженное на высоту. Основания треугольников известны 18 и 30, а высоты находятся в пропорции 24/18..Получим (30/18)*(24/18)=20/9.
@@SV-13 Если из вершин, находящихся вверху рисунка, провести высоты синего и черного треугольников, то получим два подобных прямоугольных треугольника (с общим углом "альфа"). Гипотенузы относятся как 18 к 24, значит, и катеты, т.е. высоты исходных треугольников, тоже.
Думал сразу решать по тригонометрической формуле, но прочитал, что решение будет очень простым, и подумал, что как часто бывает, задача для олимпиадников 7-8 классов, тригонометрию они ещё не знают и не стал решать через синус. Простого решения не нашёл =) а так через угол действительно просто, всё сокращается и дальше просто отношение известных величин высчитывается арифметически
Не помня формул просто сразу подумал, что это отношение произведений длин сторон треугольников. Потому, что площадь, это в единицах в квадрате, а квадрат из этих данных можно получить только перемножением сторон.
Что за жесть в решении? все же просто- Верхнюю точку соединяем с нижней и получаем два треугольника с одной высотой. основания разделены 18 к 12 ( 3 к 2)... правый (новый ) треугольник это 2/5 от всей площади, левый 3/5... у левого треугольника ( который также разделен на 2 части) верхнее основание разделено 18 к 6 ( 3 к 1) . т.е. треугольники разделены по площади 1/4 и 3/4... ну все - 3/4 умножаем на 3/5 - получаем 9/20... и без всякой тригонометрии.
Через синусы конечно проще получается, но даже если не вспомнить эту формулу, то задача всё равно решается. Достаточно провести отрезок из вершины большого треугольника к основанию синего треугольника. Получим две пары треугольников. При этом один из треугольников будет присутствовать в обоих парах, а значит через него можно вывести отношения двух других треугольников из этих пар. Не совсем понятно если без рисунка объяснять. Но если знать, что при одной и той же высоте отношение площадей будет равно отношению оснований, то вполне решается.
можно было и проще, пот какой-то там теореме если олин угол треугольника равен углу другого треугольника, то его площадь относятся как произведения сторон смежных, с эти углом
Есть намного более простое решение с имспользованием теоремы Менелая. Проводим высоты к основанию внизу из вершин синего и чёрного треугольников. Длины высот относятся как 24:18=4:3. Тогдв площади относятся как 4x30:3x18 = 20:9.
Если забыл площадь через синус, можно посчитать через высоту. Обозначим высоту синего за h. В трапеции сторону 12 разделим на 6+6, соединим с верхним углом чёрного треугольника (отсечём подобный синему и маленький с развёрнутым углом) и из того же верхнего угла проведём высоту g. Тогда площадь синего 18h/2, чёрного (18+6)g/2 + 6g/2 - (сумма площадей). А также 2 подобных треугольника со сторонами 18 и 24 дают отношение высот g/h=24/18. Искомое отношение = 30g/18h = 30*24/(18*18) = 20/9
@@ЭдуардПлоткин-р3л четырехугольник справа, чёрный. Он разрезается на трапециею и развёрнутый треугольник, если провести обозначенную линию. Просто в моей голове он сразу получил название своей будущей составной части. Ну ошибся. Я могу ошибаться?
Разбиваем синий треугольник на 9 треугольников (1, 3 и 5, в данном случае, идя слева направо) Следующий ряд дает нам 7. Следующий дает 9, но один треугольник отбрасывается, а оставшиеся 8 делятся на 2. Итого 7+4=11. 11+9=20. Следовательно, пропорция 20:9. Полторы минуты
Ну, буду краток... Не помню формул. Просто видим, что от изменения угла ничего не меняется. Ну и берем частный случай с углом 90°. На 2 произведения сторон треуг. делить не будем, все равно сократятся, поэтому 30*24/18*18=720/324 (сразу видим, что сумма цифр делится на 9)=80/36=20/9.
Решение значительно проще-разбить трапецию на два треугольника и представить площадь черного как сумму трех: синего и двух из трапеции. Никакой тригонометрии, только формула площади треугольника!
А что здесь решать-то? Площадь равна половине произведения сторон на синус угла между сторонами, поэтому синусы сокращаются, половины сокращаются и получаем =(18+6)*(18+12)/(18*18)=24*30/(18*18)=4*5/3*3=20/9
@@pinegogесли ответ в частном случае будет отличаться от ответа в общем случае, то тогда задача не имеет решения. А значит и нет смысла её сувать в Олимпиаду😂
@@Crotify проверить совпадание ответов ты можешь только в том случае, когда решил оба варианта. Откуда тебе знать ответ в задаче с неизвестной? Подумай хорошенько
Можно проще. Воспользуемся теоремой о отношении площадей треугольников : если угол одного треуг-ка равен углу др. треуг-ка, то площади этих треуг-ов относятся как произведение сторон, заключающих равные углы. Тогда получаем что S(чер. треуг) / S(син треуг) = ((18 + 6) * 30) : (18 * 18) и получим S(чер треуг) / S(син треуг) = 20/9.
@@reno4715 в том то и дело, что это одно и тоже А формула площади треугольника и эта теорема другая ситуация. Вторую как правило, в школах средне-статистических не проходят и не рассматривают. Вот и разница
Автор, во-первых ты больше времени потратил объясняя почему ты не используешь буквы в треугольниках чем использовал бы их и назвал. Во-вторых, как уже описали в комментариях нахождение через отношение высот треугольников решает эту задачу в уме. Синусы какие-то придумал, периметры. 1 формулу надо знать - площадь треугольника как пол основания на высоту.
Требуется определить не значение' а отношение двух величин. Не нужно лишнего никому ненужного ума и упрямства. Да просто нужно записать буквенно отношение произведения висот малого треугольника( равен 18сін@ при основании малого треугольника 9 Ед) и большого треугольника ( ( 18+6)сін@при основании15 и разделить одно произведение величин основания на висоту на другое проведения соответсвенно. Итог равен 20/9 . Не забивайте людям ерундой ихние голови сложним решением простейшего задания
АХАХ, тут вообще почти ничего не надо знать. Строим отрезок из верхней точки в нижнию, разделяющую сторону точку, получается треугольник с такой же высотой как и синий, основание в 4/3 раза больше чем у синего треугольника, значит площадь во столько же раз больше, у всего треугольника такая же высота как у полученного, а основание в 5/3 раза больше, значит площадь тоже В итоге 4/3×5/3=20/9 Хах
Обычная формула не подходит...? Основания нижние известны 30 и 18(относятся как 5/3), высоты относятся из подобия как 24/18=4/3. Все известно -> площади относятся как 20/9...
Формула по которой решает автор это частный случай обычной формулы плошади треугольника S=½ah. Просто h=с*sinа. Т.к. угол а одинаковый, sina сокращается и отношение плошадей треугольников равно отношению проищведения их сторон.
Не верится, что почти никто на Олимпиаде не решил задачу
не вериться что такое на олимпиаде давали
Возможно это олимпиада для младших классов была
они вечно пиздят -- цену набивают
@@scilidorandrey1958 там где не знают что такое синус и что есть такая формула
@@scilidorandrey1958 скорее всего нет, это просто очень слабая олимпиада для средней школы
Площади треугольников, имеющих равный угол, относятся как произведения сторон, образующих эти углы. Геометрия, 8-й класс, есть такая теорема...
Решается стандартной формулой (1/2 основания на высоту). Надо только отношение высот найти. Это чуть дольше решение, зато формула площади треугольника не забывается. Я из вершины большого треугольника провел сторону параллельно стороне маленького. Получилось 2 подобных треугольника с коэффициентом подобия 24/18 = 4/3. Получается и высоты относятся как 4 к 3. А высота "временного" треугольника общая с большим треугольником из задачи.
Если взять высоту маленького треугольника за h, то площади относятся как (1/2*4/3*h*30) / (1/2*h*18) = 40/18 = 20/9
Вот уж не знаю, почему вы выделяете формулу (1/2 основания на высоту) как нечто отдельное, при том, что высота - это и есть b*sin(альфа)
Лично я решил задачу через синусы, но ваш способ мне тоже понравился.
Абсолютно также решил. Из этого подобия находим высоту большого в долях высоты синего. И т.д.
Аналогично, только не параллельную линию проводил, а взял середину отрезка 12
Ах какая непреодолимейшая пропасть между формулами первой и третьей. Связь между ними покрыта мраком для простых смертных.
Вы же явно не простая смертная. Так что не юродствуйте.
Вот между второй и остальными действительно очевидной связи не просматривается )
Можно было решать не используя эту формулу. Просто по следствию из обобщённой теоремы Фалеса мы знаем, что Площади 2-х треугольников с одинаковым углом относятся как произведения сторон, заключающих эти углы, то есть (24*30) /(18*18)
так это тоже самое
Получился аналогичный ответ из формулы 1/2 основания на высоту. соотношение площадей равно 30/18 от соотношения высот. А соотношение высот тоже легко посчитать. 24 к 18. И тоже получилось (24*30)/(18*18)
Очень интересно.
Спасибо, господин учитель.
Проще решить задачу через формулу площади, основание умноженное на высоту. Основания треугольников известны 18 и 30, а высоты находятся в пропорции 24/18..Получим (30/18)*(24/18)=20/9.
"высоты находятся в пропорции 24/18" - из чего это следует?
Достройте высоты, получите 2 подобных треугольника,@@SV-13
@@SV-13 Если из вершин, находящихся вверху рисунка, провести высоты синего и черного треугольников, то получим два подобных прямоугольных треугольника (с общим углом "альфа"). Гипотенузы относятся как 18 к 24, значит, и катеты, т.е. высоты исходных треугольников, тоже.
Интересная задача. Спасибо.
Думал сразу решать по тригонометрической формуле, но прочитал, что решение будет очень простым, и подумал, что как часто бывает, задача для олимпиадников 7-8 классов, тригонометрию они ещё не знают и не стал решать через синус. Простого решения не нашёл =) а так через угол действительно просто, всё сокращается и дальше просто отношение известных величин высчитывается арифметически
Не помня формул просто сразу подумал, что это отношение произведений длин сторон треугольников. Потому, что площадь, это в единицах в квадрате, а квадрат из этих данных можно получить только перемножением сторон.
Я как-то сразу вспомнил эту формулу и решил за минуту задачу. Не верю, что на олимпиаде не помнят стандартных формул из школьной программы
Это скорее всего олимпиада по типу Кенгуру(непонятно почему названная олимпиадой)
Ответ 5/4
Что за жесть в решении? все же просто- Верхнюю точку соединяем с нижней и получаем два треугольника с одной высотой. основания разделены 18 к 12 ( 3 к 2)... правый (новый ) треугольник это 2/5 от всей площади, левый 3/5... у левого треугольника ( который также разделен на 2 части) верхнее основание разделено 18 к 6 ( 3 к 1) . т.е. треугольники разделены по площади 1/4 и 3/4... ну все - 3/4 умножаем на 3/5 - получаем 9/20... и без всякой тригонометрии.
Можно и без синусов решить, через площади треугольников и части достроенной трапеции
Самое простое решение, если формула площади через синус общего угла.
Через синусы конечно проще получается, но даже если не вспомнить эту формулу, то задача всё равно решается. Достаточно провести отрезок из вершины большого треугольника к основанию синего треугольника. Получим две пары треугольников. При этом один из треугольников будет присутствовать в обоих парах, а значит через него можно вывести отношения двух других треугольников из этих пар.
Не совсем понятно если без рисунка объяснять. Но если знать, что при одной и той же высоте отношение площадей будет равно отношению оснований, то вполне решается.
Также решил)
Да, через чевиану и отношение площадей решается в две строчки
можно было и проще, пот какой-то там теореме если олин угол треугольника равен углу другого треугольника, то его площадь относятся как произведения сторон смежных, с эти углом
по формуле пика прочитал мысли автора задачи и решил,легчайшая задача
Через подобие треугольников (опустив высоты синего и большого треугольников) задача решается еще проще
Но это не подобные треугольники
@@El_Mozg опустив две высоты, вы их получите. У каждого треугольника высоты будут катетами и будут соотноситься 18/24. Ну а дальше дело техники
ура!
Площади треугольников относятся как произведения сторон потому что угол равен, теорема 8 класса
Есть намного более простое решение с имспользованием теоремы Менелая. Проводим высоты к основанию внизу из вершин синего и чёрного треугольников. Длины высот относятся как 24:18=4:3. Тогдв площади относятся как 4x30:3x18 = 20:9.
Если забыл площадь через синус, можно посчитать через высоту.
Обозначим высоту синего за h. В трапеции сторону 12 разделим на 6+6, соединим с верхним углом чёрного треугольника (отсечём подобный синему и маленький с развёрнутым углом) и из того же верхнего угла проведём высоту g. Тогда площадь синего 18h/2, чёрного (18+6)g/2 + 6g/2 - (сумма площадей). А также 2 подобных треугольника со сторонами 18 и 24 дают отношение высот g/h=24/18. Искомое отношение = 30g/18h = 30*24/(18*18) = 20/9
Очень интересно
Но к сожалению ничего не понятно
Два дня искал на рисунке трапецию,которую вы упомянули.Не нашёл.
@@ЭдуардПлоткин-р3л четырехугольник справа, чёрный. Он разрезается на трапециею и развёрнутый треугольник, если провести обозначенную линию. Просто в моей голове он сразу получил название своей будущей составной части. Ну ошибся. Я могу ошибаться?
Разбиваем синий треугольник на 9 треугольников (1, 3 и 5, в данном случае, идя слева направо)
Следующий ряд дает нам 7.
Следующий дает 9, но один треугольник отбрасывается, а оставшиеся 8 делятся на 2.
Итого 7+4=11.
11+9=20.
Следовательно, пропорция 20:9.
Полторы минуты
Шикарно! Спасибо вам.
Круто. А можно просто прямой угол взять. 😏
Занятно. Чтобы решить, надо сначала почти решить, только потом будет видно, что тут собственно происходит 😂
Ну, буду краток...
Не помню формул.
Просто видим, что от изменения угла ничего не меняется.
Ну и берем частный случай с углом 90°.
На 2 произведения сторон треуг. делить не будем, все равно сократятся, поэтому 30*24/18*18=720/324 (сразу видим, что сумма цифр делится на 9)=80/36=20/9.
Решение значительно проще-разбить трапецию на два треугольника и представить площадь черного как сумму трех: синего и двух из трапеции. Никакой тригонометрии, только формула площади треугольника!
Решил в уме. Только у меня получилось 720/324. Но это одно и тоже
А что здесь решать-то? Площадь равна половине произведения сторон на синус угла между сторонами, поэтому синусы сокращаются, половины сокращаются и получаем =(18+6)*(18+12)/(18*18)=24*30/(18*18)=4*5/3*3=20/9
Олимпиадная в школе коррекции? Вообще-то, она устная.
Можно было представить, что угол между сторонами 90 градусов и решить по первой формуле
Так нельзя, это частный случай
@@pinegogесли ответ в частном случае будет отличаться от ответа в общем случае, то тогда задача не имеет решения. А значит и нет смысла её сувать в Олимпиаду😂
@@Crotify проверить совпадание ответов ты можешь только в том случае, когда решил оба варианта. Откуда тебе знать ответ в задаче с неизвестной?
Подумай хорошенько
@@pinegog Я понимаю. Я веду к тому, что если бы отношение площадей зависело бы от величины угла, то задача бы в таком виде не имела бы решения.
Можно проще. Воспользуемся теоремой о отношении площадей треугольников : если угол одного треуг-ка равен углу др. треуг-ка, то площади этих треуг-ов относятся как произведение сторон, заключающих равные углы. Тогда получаем что S(чер. треуг) / S(син треуг) = ((18 + 6) * 30) : (18 * 18) и получим S(чер треуг) / S(син треуг) = 20/9.
Теорема, выводится из этой формулы.
Ничего координально не поменялось
@@pinegog я говорю конкретно про то, что уже есть такая теорема, а не как она выводится. Зачем изобретать велосипед?
@@reno4715 велосипед в одно блин небольшое, действие?
Ты себя слышишь вообще?
@@pinegog а что же ты тогда пишешь не 3+(-5), а 3-5 ?) Действие маленькое, даже одно и тоже, а ничего кардинально не меняется)
@@reno4715 в том то и дело, что это одно и тоже
А формула площади треугольника и эта теорема другая ситуация. Вторую как правило, в школах средне-статистических не проходят и не рассматривают.
Вот и разница
почему почти никто не решил, я сразу подумал про формулу синусов
Если от размера угла альфа пропорция не меняется, то рисуем угол альфа 90 градусов и вообще не мучаемся, самое простое решение
asnwer=15cm
Так-то третья формула это и есть первая. Просто автор решил для пущей важности запутать всех, сказав, что высота не ищется
Проще. Рисуем два треугольника с углом альфа 90 градусо и получаем отношение (24*15)/(18*9)
формула площади через синус 5 сек на решение
Хорошая задача.
Это устная задача
Много не решают , потому как пробуют найти площади , а тут не нужны , нужно только их отношение
Все еще проще. Общий угол у треугольников не задан, а значит может быть любым, пусть он будет прямым
Он сократится при делении
А если альфа 0? Тогда площадь обеих ноль, а соотношение 1 к 1. В условии нет того что угол больше 0
Автор, во-первых ты больше времени потратил объясняя почему ты не используешь буквы в треугольниках чем использовал бы их и назвал. Во-вторых, как уже описали в комментариях нахождение через отношение высот треугольников решает эту задачу в уме. Синусы какие-то придумал, периметры. 1 формулу надо знать - площадь треугольника как пол основания на высоту.
Синус левого нижнего угла одинаков, поэтому при нахождении отношения площадей, он нам не нужен, он сократиться, здесь ничего олимпиадного нет
Требуется определить не значение' а отношение двух величин. Не нужно лишнего никому ненужного ума и упрямства. Да просто нужно записать буквенно отношение произведения висот малого треугольника( равен 18сін@ при основании малого треугольника 9 Ед) и большого треугольника ( ( 18+6)сін@при основании15 и разделить одно произведение величин основания на висоту на другое проведения соответсвенно. Итог равен 20/9 . Не забивайте людям ерундой ихние голови сложним решением простейшего задания
Просто начертить фигуру и подсчитать:
20:9
Но на экзамене наступает паралич разума и триумф безволия.
И это нормальное явление.
Из-за того, что авторр ролика ЛЕНТЯЙ, и не проставил БУКВЫ у вершин, комментарии крайне трудно понять и писать
Ндее, не те нынче олимпиады, если такое не могут решить...
АХАХ, тут вообще почти ничего не надо знать. Строим отрезок из верхней точки в нижнию, разделяющую сторону точку, получается треугольник с такой же высотой как и синий, основание в 4/3 раза больше чем у синего треугольника, значит площадь во столько же раз больше, у всего треугольника такая же высота как у полученного, а основание в 5/3 раза больше, значит площадь тоже
В итоге 4/3×5/3=20/9
Хах
абсолютно также решил за 1 минуту. честно говоря, вообще не ожидал от автора канала такого банального решения в лоб
Никогда через периметры площадь не искала Учусь
Прикольная задача, кстати можно найти площадь синего треугольника. Знаете как?)
И как? (Угол по прежнему неизвестен).
Никак.
Почему-й-то мне эта крамольная мысля тоже в голову закрадывалась. Товарисч прикололся.
ТРЕУГОЛЬНИК НЕ ФИКСИРОВАН.
Угол может быть любым
Обычная формула не подходит...? Основания нижние известны 30 и 18(относятся как 5/3), высоты относятся из подобия как 24/18=4/3. Все известно -> площади относятся как 20/9...
Задача примитивная,площади треугольников можно найти по двум сторонам и углу между ними
S=(1/2)*a*b*sin(gamma)
Ну, у меня получилось 20/9
И у автора видео так же получилось.
20/9 = 2,2222222...
Ролик ни о чём.
Нигде на олимпиадах не дадут такую задачу. Задача, которую решают в 8 классе в каждой школе. Название ролика - тупой байт на просмотры
А через высоту как будто нельзя также решить )))) отношение высот 24/18
Формула по которой решает автор это частный случай обычной формулы плошади треугольника S=½ah. Просто h=с*sinа.
Т.к. угол а одинаковый, sina сокращается и отношение плошадей треугольников равно отношению проищведения их сторон.