【俺よりすごいヤツいんの？】求む、俺より天才。～算数オリンピック問題の解法バトル～【難易度：ハードコア】
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- Опубликовано: 20 сен 2024
- 【 難易度：★★★★★ 】
2018年の算数オリンピックジュニアファイナルの問題です。
私の解法を超えるような、みなさんの解法をお待ちしております。
▼重要な解法ポイント
①30度という角度をどのように使っていくのかを考えてみましょう。
②5cmという与えられた長さをうまく活用できる方法を考えてみましょう。
③算数オリンピックあるあるですが、同じ図形をいくつか並べてみることを考えてみましょう。
むずい！超むずい！なんだこれ！
解法ポイントとして挙げましたが、なかなか解法ポイントとして紹介するにはあまりにも難しい問題となっておりますので、少々雑になっております…
正直、見た目の割にかなり難しい問題になっており私も大変苦戦しました。
（通勤電車で図形と20分以上睨めっこしてやっと気づいた…）
算数オリンピックって同じ図形を並べる解法、けっこう好きじゃないですか？
私よりも素敵な解法で解かれている方もたくさんいると思うので、どしどし解法を教えてもらえるととても助かります！
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色々な解法をみなさんに出していただいたタイミングで、ベスト解法賞を固定させていただきます！
どしどし解法をお送りいただけると嬉しいです！
自分の解き方は
まず点DからBCに対して垂線になるように線を引く。そして、その交点を点Eとして、正方形ABEDとなるようにする。
次に△DECを4つ集めて、正方形を作る。
（正方形の中に正方形ができるようにする）
そして、その正方形全体の面積は5×5=25になる。(DE+EC=5cmとなる為5²をする)
更に、内側の正方形を田の字になるように4等分にすると、そのうちの1つの正方形と正方形ABEDと等しくなる。（∠BCDが30°で∠DECが90°なので、DE:DCが1:2になるため必ず等しくなる）だから、全体の面積の25から4で割って、25/4=6.25cm²
で求めました。(語彙力なくてすみません)
一応、()の中の部分で補足をしていますが、分かりにくい部分があるのでご了承ください
コメントをいただきありがとうございます。
解法流れるように理解できましたよ！
とても素晴らしい解法ですね！△DECを四つ並べて中に正方形を作るという発想がとても面白かったです。
素敵な解法を教えていただきありがとうございます。
めっちゃ良い解法！
三平方の定理の有名な証明方法と発想が似ていますね！
すげぇ。。。わかるぞわかるぞぉぉぉぉぉぉ！ 馬鹿な俺でもこの解法はすんなり頭に入ってくる！ パズルおもしれぇ・・・・・
やっと分かった！面白くて理解しやすいね。
私は中学生でも高校生でもなく後期高齢者（女性）です。最近ボケ防止で、まなびスクエアを好んでやってます。簡単そうで難しいですが、ゲーム感覚で挑戦してます。すっかり忘れていたものばかりですが、先生の説明は短時間で解りやすく気に入ってます。これからのよろしくお願いいたします。
正方形ABEDの一辺の長さをXと置くと、台形の面積Aは
A=(5+X)×X÷2
=(5X+X^2)÷2 ・・・①
辺ECの長さは5-X、三角形CDEが30°、60°、90°の直角三角形ののため辺DCは２Xとなり、
ピタゴラスの定理より(2X)^2=X^2+(5-X)^2
4X^2=X^2+25-10X+X^2
2X^2＝25-10X
X^2＝12.5-5X
5X+X^2＝12.5 ・・・②
②を式①に代入すると
A=12.5÷2＝6.25
となり、台形の面積は6.25となる。
※丁寧に求めるなら辺DCの長さ２Xは三角形CDEを辺ECで反転させて正三角形を作っても証明しておくとよいかも。
与えられた台形を、正方形と直角三角形に分割。直角三角形を4つ使って1辺の長さが5cmの大正方形を構成する。その大正方形の内側に4つの分割後の正方形がちょうど敷き詰められる。つまり大正方形の面積は、台形4つ分の面積。大正方形の面積は5x5=25。なので台形は25/4
今頃ですが．．．偶然、同じ解法でした。最初は元の図形を組み合わせて失敗しましたが、正方形と直角三角形を分けたらうまくいきました。割と心地よい解き方でスッキリしました。
一緒の考え方でした!!スッキリしますよね
お案じ考え方ですね。図形的にもわかりやすく、答えは瞬殺です。この解き方が一番わかりやすくていいのではないでしょうか。
30°60°90°の直角三角形ってのは、合同な直角三角形で4等分にできて、
それをバラしてその小さい直角三角形の斜辺を正方形の一辺に重ねるように貼り付けていくと、一辺が2.5cmの正方形が出来るっていう。
単純明快な解答でベストと思います。これ以上の解答は考えつかないので応募はやめます
う、美しい…
すみません、「算数」でどう2.5cmを導き出すかが説明できません。
小学生に対して、4分割した直角三角形の直角を挟む2辺の和の求め方を教えてください。
@@latten531
4等分にする前の直角三角形のいちばん短い辺を底辺とした時、
底辺と高さを足した値が5cmになります。
ですから、それの底辺と高さが共に半分の直角三角形における底辺と高さの和は2.5cmになります！
@@yuuppccありがとうございます。 なるほど、そうかぁ、盲点でした。半分足す半分はやはり半分という事ですね。
5x5/4で解いたので、発想が固まっていたようです。
正方形と三角形に分割する必要はありましたがそれ以外は特に必要なく解けました
4つの四角形ABDEを正方形に並べます、正方形の各辺に三角形EDCのDC辺を付けます(DE:DCが1:2のため丁度になります)
そうすると5cmの正方形(三角形のEDとECが辺になるため)ができます、要素は■4▲4のため25/4で6.25㎠です
個人的にはこれがベストアンサーかな。並べ方を理解すると一目瞭然だし
既出かもしれませんが自分の解法です。
BとDを直線で結んで、直角二等辺三角形ABDのAをBDに平行に右上に移動すると、∠A'BD=30°を頂角、BD=BA'を等辺とする、
∠A'=∠BDA'=75°の二等辺三角形BDA'に等積変形できます。
∠BDC+∠BDA'=60+45+75=180°
なのでA'、D、Cは同一直線上にあります。
∠DBC=45°なので
∠A'BC=30+45=75°
となり、△CA'Bは頂角30°、等辺5㎝の二等辺三角形であることがわかり、面積は
5×(5/2)×(1/2)=25/4
と暗算で出ます。
今更ですが、お薦めに表示されたので、･･･。
その1
① DBを補助線で結び、それと平行で頂点Aを通る補助線を引く。
② CDを左上に延長すると同時に頂点AをCDの延長線上に移動(△ABDを等積変形)し、頂点をA'とする。
③ 直角二等辺三角形ADBの(斜辺を底辺としたときの)底辺と高さの比は2:1(△A'DBも同じ)で、∠A'DBが(45+30=)75°なので∠DA'Bも75°になる(※)。
④ 頂角が30°、等辺が5cmの二等辺三角形CA'Bの面積を求める(※)。
底辺×高さ÷2=5*(5/2)/2=6.25(cm^2)
※｢頂角が30°の二等辺三角形の面積=等辺*等辺/2｣から
その2
① Dから垂線を引きBCと接続(Eとする)し、できた直角三角形DECをコピーしてADの上に乗せる(てっぺんをFとする)。
② FからCに補助線を引くと、底辺が細長～い(底角15°)二等辺三角形DFCができる。この三角形は面積が正方形ABEDと同じである(※)。
③ 等辺が5cmの直角二等辺三角形の中に同じ面積の図形が2種類二つずつ存在し、求める面積の図形は異なる図形が一つずつなので、この直角二等辺三角形の面積の半分が該当する面積となる。
5*5/2/2=6.25(cm^2)
※ 真ん中から折りたたむと頂角が30°の二等辺三角形になる。
投稿コメントにはなかったようなので･･･(あったらごめんなさい)。
正方形を対角線で切って直角二等辺三角形に等積変形します
二種類の直角三角形を斜辺同士で張り合わせて四角形にします
これを４つ作って直角二等辺三角形の直角の部分を中心に４つ合わせると
1辺5cmの正方形ができるので面積を4で割れば答えが出ます
正方形の部分と直角三角形に分ける。
中心に田の字に正方形部分を４個配置。
周囲に直角三角形を４個一辺が5センチの正方形になるように配置。
つまり、
問題の図形４個で面積で一辺が5センチの正方形ができる。
よって一個当たりは、5×5の4分の1。
この解法がもっともシンプルな解法ですよね。三平方の定理の最もシンプルな証明法に30度60度の直角三角形をあてはめたものといえます。
いつも解りやすい解説をありがとうございます。ファンです。
この問題は１つの三角形にして5✖️2.5➗2が簡単だと思います。
ご視聴、コメントありがとうございます！！
直角三角形を４つ正方形に並べる（５ｃｍの正方形の中に３０°傾いた正方形が接する）。三角形の斜辺は短い辺（残りの正方形の１辺）の２倍なので、傾いた正方形はちょうど残りの正方形４つ分。大きな四角（５ｘ５）は問題の面積４つ分。
解いたことを忘れた鶏のように😊
AB=AD=xとおくと、
x=5-x√3=5/(1+√3)=5(√3-1)/2
台形ABCD=(x+5)x/2
=｛5(1+√3)/2｝｛5(√3-1)/2｝/2
=25/4
=6.25(cm^2)
結構難しかったです。
問題の図形を囲む5×5ｃｍの正方形の中に高さ2.5ｃｍの水平線を引く。線ＢＤに平行線を引く。線BDに平行な線をＡに接して引く。Ａに接した平行線と高さ2.5ｃｍの線の交点（Ｅ）と点Ｂに線を引く。三角形ＥＢＣは5×5cm正方形の1/4なので6.25cm2となります。 平行線を引いた時にできる２つの小さい3角形の合同を証明すると新たに作った3角形の高さが2.5cmになります。
コメントありがとうございます！
BとDを結ぶ
CDを延長する
BからBCに対して75°(ABに対して15°)でCDの延長まで結びEとする
とりあえず仮にBDを1として
△BDEはまなスク△なので面積は1/4
△ABDは◇の半分なので1/4
∴□ABCDと△BCEの面積は同じ
△BCEはまなスク△なのでBC=5cmの以下略
とりあえず同じ台形を4つ作って三角形部分の斜辺で正方形を作るように90度ずつずらして並べたら分かりやすい。
外に出っぱった小さな正方形4個
が斜辺でできる内側の正方形にすっぽり収まるので5×5/4＝6.25が視覚的にも分かる。
図を描いたら一目瞭然でした。図を描くのにちょっと手こずりましたが・・・スッキリと気持ちの良い解法ですね。
お見事です。色々解法を見ましたが、一番エレガントですね。
正三角形の半分の辺の比１：２を使うだけなので、やさしい解法ですね。
ABを軸に台形ABCDを反転させた台形（台形ABC'D'とする）を描き、ABCDと繋げます（台形 C'CDD'となる）。更に、これと同じ台形を三つ作り、C'Cを底辺とした巨大な正三角形を作るように繋ぎ合わせます。（台形C'CDD'と合同な台形三つの中に三角形CDEと合同の三角形が二つ入るような形になります）
この正三角形の面積は、
①底辺かける高さ割る2で、C'C×(5+CD)÷2=5×(5+2×AB)=25+10×AB
②台形ABCD6個分に三角形CDE2個分が合わさった形になるので、
(AD+BC)×AB÷2×6+AB×CE÷2×2=AB×AB×3+5×AB×3+AB×(5-AB)=2×AB×AB+20×AB
の二種類の書き方で表せます。この二つが同じになるので、
25+10×AB=2×AB×AB+20×AB
つまり、2×AB×AB+10×AB=25となります。
求めるべき台形の面積は、(AD+BC)×AB÷2=(AB+5)×AB÷2=(AB×AB+5×AB)÷2
これが先ほど求めた2AB×AB+10×ABの1/4なので、答えは25/4となります。
変な解き方ですが、他に似たような解法が無いので紹介させて頂きます。
いつも楽しく拝見させていただいております。丁寧で解りやすいので助かっています。ありがとうございます😊。おばぁちゃんの虎の巻というノートを作って纏めています。孫が5年生になったら渡すつもりで頑張っています。この問題ですが、2ヶ月前のこばちゃん塾の問題で同じ解法で解いているのを見かけました。
直三を4分割、正方形の周につける。その正方形1辺2.5。二乗で6.25
DからBCに垂線を下ろし、交点をEとおく
正方形ABEDの一辺の長さを○とおく
CD上に一辺の長さが○の正三角形DEFができるようにFをおく
このとき、同時に斜辺が○で30°,30°,120の二等辺三角形CEFができるが、この底辺の長さを✕とおく
なお、設問の条件より、○+✕=5
正方形ABEDと正三角形BEFを切り出し、Aを中心に0°、90°、180°、270°回転した4組を描く
このときこの図形には凹んだ部分が4つ出来るが、すべて三角形で埋める
凹んだ部分を埋めた図形はともに一辺の長さが○の正方形と正三角形と辺を共有しているため、二等辺三角形となる
このとき、2つの等しい辺に挟まれた角の大きさは360°-90°-90°-60°=120°
すなわち、二等辺三角形ECFと合同
また、正方形と正三角形と二等辺三角形に挟まれた角の大きさは360°-90°-60°-30°=180°で直線
そして、正三角形と二等辺三角形を合成した角の大きさは60°+30°=90°で直角
すなわち、この図形は一辺が○+✕=5の正方形で、その面積は5×5=25cm²
そしてこれは元々の台形を4つ分移動してできたものであるから、求めるべき台形の面積は、
25/4=6.25cm²
パズルで鮮やかに解いたつもりだけど、文章にしようとしたら難しくてダサくなったかも
. △
.◁□□
. □□▷
. ▽
やっぱり線対称より点対称が美しい
すごい。。
初見じゃ絶対こんなの思いつけない。。
もし思いつくとしたら、数学を使って答えが25/4平方センチメートルと出た後に、
「ん？25って5の2乗になってるから、それの4分の1になることを示せれば…」
という発想から、一辺が5cmの正方形を作りそれの4分の1になる理由を上手いこと探していけばこの解法も見つからんくはないかも。。。
すぐ解けそう😊
AD=5-AD√3
AD=5/(1+√3)=5(√3-1)/2
ABCD=AD｛AD(1+√3/2)｝
=AD^2(4+2√3)/4
=(25/4)(√3-1)^2(√3+1)^2/4
=(25/4)・1
=25/4(cm^2)
辺ABの延長線と辺CDの延長線の交点を点Eとし、点Dから辺BCまで垂線を引き交点を点Fとする。
辺AEの長さをaと置くと、
AB=AD=BF=√3a、FC=3aと書ける
BC=5より、(3+√3)a=5 ∴a=5/(3+√3)
また、四角形ABFD=3a^2
三角形DFC=1/2･3√3a^2
と書けるので、求めるべき面積Sは
S=1/2(6+3√3)a^2
=1/2(6+3√3)・25/(12+6√3)
=25/4
これを三平方の定理使わずに解けるのほんとにすごいと思う
DCを延長しABの延長線との交点をEとする。CE上にFC=BCとなる点Fをとる。FとBを結ぶと△FBDについて∠BFD=75°∠FDBも75°になるので△FDBは30°、75°75°の二等辺三角形となる。この三角形の高さはBDを底辺とすればBDの2分の一。また△ABDの高さもBDの2分の一。よって，△ABD＝△FBD面積。よって求める面積は△FBCの面積を求めれば良いことになる。よって5×2.5÷2＝6.25が求まる。
BDの延長線上にEをとり、∠DCE＝30°となるようにする。すると、∠BEC＝75°となる。したがって、∠EDC＝75°となる。⊿CDEは頂角が３０°の二等辺三角形になる。DEの中点をFとすると、CF⊥DEとなり、∠DCF＝15°となる。したがって、⊿FBCは斜辺が５cmの直角二等辺三角形となる。いま、ADの長さを仮に１とすると、⊿ABDの面積は1/2になる。⊿CDFの面積は⊿CDE（マナスク三角形）の面積の半分であるから、２×１×1/2×1/2＝1/2になる。したがって、三角形ABDの面積は⊿FDCの面積に等しい。すなわち、台形ABCDの面積は直角二等辺三角形FBCの面積に等しい。∴5×5÷4＝6.25平方cmになる。
菅藤先生のファンになりそうです。先生の解法はオリジナリティあふれる素晴らしい解法だと思います。
私もベスト解法賞を目指して投稿します。
先生の信者らしく、「まなびスクエア」と叫びながら、BからCDの延長線に向けて直線CDからの角度が75度になるように直線をひきます。
そうすると頂角30度の二等辺三角形ができます。その面積が求める答えです。
一瞬で答えが出ます。
なぜならばこの二等辺三角形の底辺と、Dから垂線を降ろした正方形の対角線BDで、頂角30度の二等辺三角形ができるからです。
この二等辺三角形の面積と、Dから垂線を降ろした正方形の半分の直角二等辺三角形の面積が等しくなります。
直角二等辺三角形の斜辺と同じ斜線で頂角30度の二等辺三角形を作ると面積が同じになるという定石を知っていれば一目でわかると思います。
結果として点Aを通り対角線BDに平行な線を引いて求める方と同じ計算式になりますが、2種類の「まなびスクエア」の二等辺三角形に着目
するだけで答えが出るので、こちらがシンプルだと思います。
ぜひベスト解法賞に推薦願います。
長い
三平方の定理まで封じられるとお手上げですね(汗)
算数オリンピックは三平方の定理、三角関数なども使えないように封じ込まれてますからね(汗)
コメントをいただきありがとうございます。
かなり難しいですよね、、
三平方の定理や三角関数、ルートが使えないとなるとできることが途端に少なくなるので、難易度が跳ね上がります。
点Dから、BCに対して、垂線を下し、交点を点Eとすると、△DECは30度、60度、90度の三角形。
また、直線BCを軸に△DECを回転させ、点Dに対応する点を点Fとすると△DFCは正三角形だとわかる。
よって、ＤＥ＝ＥＦより、ＣＤ＝正方形ＡＢＥＤの一辺の長さ×2であることがわかる。
ここで、正方形ＡＢＥＤを縦横2個ずつ合計四個の大きな正方形を作ることを考える。
すると、新しい正方形の一辺はもとの正方形の二倍であるから、上述の三角形ＤＥＣのＤＣと一致しており、
三角形ＤＥＣが30度、60度を角度に持つので、新しい正方形の周りにぴったりと4個合わせることができ、さらに大きな正方形を作ることができる。
ここで、今出来上がった正方形は、明らかに、一辺が5の正方形で、元々求めたい図形を4つ集めた形になっているので、求める図形の面積は
5×5÷4＝25/4㎠となる。
図形を張り合わせるところは文章力がなくてわかりずらくなっています。すいません。
やっぱり正方形になるように配置する考え方重要かもね
灘中の過去問の焼き直しの問題だと思います。この図形の４倍（正方形とその両端に正三角形）の図形の求積がオリジナルです。両端の正三角形をそれぞれ２等分して、正方形の四隅にくっつけるとひとまわり大きい正方形が作れて、一辺5cmです。問題の図形はその４分の１なので、6.25となります。
BCを軸に全体を線対称複写します。さらにBCを対角線とする正方形を書きます。Dの複写点をFとし、直線BD上のBではない正方形の頂点をGとします。
二等辺三角形BDFは正方形ABCDと面積は同じです。
△CDGと同じものがあります。それを組み合わせると！30°の頂角を持つ二等辺三角形です。
正三角形CDFをにらみ、CD＝DFなので
△BDFがその二等辺三角形と同じ面積になることがわかります。
求める答えが対角線が5cmの正方形の半分とわかります。
正方形の対角線による面積の出し方は他に譲ります(^.^)
まず、台形を正方形と直角三角形に分解させる。その後、合同な直角三角形4つを、直角が外になるようにして、正方形の形に並べる。そしたら、間に傾いた正方形の空洞が出来るが、ここの正方形は台形から分解された正方形が4つ、田の字形にぴったり入る（合同な4つの直角三角形の一番長い辺は台形から分解された正方形の一辺の2倍の長さであるため）。出来上がった正方形は、求めたい台形の4つ分になるから、5×5÷4＝6.25㎠。この考え方はどうでしょうか？
正方形と正三角形と二等辺三角形に分ける
正三角形と二等辺三角形をそれぞれニ等分し、
正方形の周りにくっつける
すると大きな正方形ができる
懐かしい。2018年、脳卒中で入院中解いたのを思い出しました。いろいろな考えがあるものですね。
1：2：√3 を使って面積が 25/4=5^2/4 と分かった。
小学生の面積の問題だから風車を使うだろうと思った。
点 D から辺 BC の下ろした垂線の足が E だから直角三角形 DEC を風車にすると
1 辺の長さが 5 の「大の正方形」ができる。「大の正方形」の中には一辺の長さが CD の「中の正方形」ができる。
30°,60°の直角三角形で60°を挟む辺の比が 1 : 2 だから CD=2DE
「中の正方形」の中に「小の正方形」ABED が 4 個入る。
つまり，直角三角形 4 個分と「小の正方形」 4 個分の和が 5^2=25 だから台形の面積は 25/4
別解 等積変換を用いた解答
25/4=5*(5/2)*(1/2) より頂角 30°の二等辺三角形の面積が思い浮かぶ。
線分 CD の延長線上に CP=CB となる点 P をとる。
∠CPB=75°,∠PDB=45°+30°=75°より △PBD は BP=PD , ∠PBD=30°の二等辺三角形
2 点 A , P から線分 BD に下ろした垂線の足をそれぞれ Q , R とすると
AQ=(1/2)*BD , PR=(1/2)*BP=(1/2)*BD より AP∥BD よって △ABD=△PBD (等積変換)
台形ABCD=△BCP=5*(5/2)*(1/2)=25/4
正方形1つに正三角形2つがくっついている有名問題のアレンジだとわかってしまえば
「あーまたか、5×5÷4でしょ」と瞬殺ですよね。
有名すぎるから解法はすでに出尽くされているような気がします。
私は三角形を分割移動して1辺5cmの正方形を作るほうが好きですが。
ん⁉️ 受験算数を教える講師…だと思っていたが⁉️😅 ＞うp主は違うのか？
受験算数であれば【速く、説得力のある解法】がベストなんだが⁉️🤔
BDに補助線を引き、直角二等辺三角形ABDのAを斜め右上に移動し、ADCが直線になるように等積変形すると、ABDは75°75°30°のまなびスクエア三角形が出来ますね（ADBの角度はDBCの45°とDCBの30°の外角の定理を利用して75°になり、また三角形ABDの底辺BDに対しての高さは、変形前の直角二等辺三角形の特性によりBDの半分になるので、等積変形しても高さは変わらず、75°があってかつ底辺の半分が高さだと知ったら鋭角ABDは30°と分かり、残りのBADは75°で、まなびスクエア三角形と分かる）。すると変形後、求めたい三角形ABCの面積は75°75°30°のお馴染みのまなびスクエア三角形になるので、5×2.5÷2＝6.25㎠になります。
↓これの解き方その1です。
ruclips.net/video/6K8hqjg-tZs/видео.html
私も先生とほぼ同じ解法でしたが、私は△FBCだけで考えました。△FDCは頂角150°の二等辺三角形なので、ABを1とすると、FD=2なので、△FDC=2×1÷2=1となり、□ABEDの面積=△FDCの面積であることが分かります。よって、求める面積=△FBCの面積÷2というやり方です。
他にも、□ABEDを4個くっつけて正方形をつくり、その周りの4辺に△CDEを1つずつ張り合わせていき、1辺5cmの正方形を作るという方法も思いつきました。これなら、求める面積=1辺5cmの正方形の面積÷4で、一発です。(てっきり先生はこちらのやり方かなと思いました。)
こちらの動画チャンネルのおかげで、最近脳みそも柔らかくなってきたような気がします。これからも面白い問題解説、よろしくお願いしますね。
中心角90°のおうぎ形OABをかきます。おうぎ形の弧ABを3等分する点をC，Dとすると，求める図形はA，B，C，Dを頂点とする台形の半分だから，簡単に面積を求められます。
アンチでは無いんですけど…
青の三角形の高さを求める時に、実質ピタゴラスの定理使ってる気がするのですが、気のせいでしょうか。
ピタゴラスの定理を完全に使わずに解く方法考えてみます…。
直角二等辺三角形の長辺を共通に持つ等積変形された三角形を考えた時、この三角形の一つの角度が75度であれば、この三角形が二等辺三角形であることが証明できれば、簡単に解けると思います。で、考えたてみたのですが、私には証明できる頭がありませんでした。
すごい、賢い
辺の長さ×辺の長さ÷４の関係性があるのは直感として見抜けないなぁ
でっかい四角形の四分の一になってるんですね
これはおもしろい
5cm四方を問題図のDCEの三角形を90度づつ回転しながら４隅にはめて（三平方の定理の図形証明の図[斜辺の平方]）真ん中の正方形４分割すればいいだけでは
まなびスクエア三角形の斜辺と同じ面積の正方形の一辺の長さが２対１……なんだけど黒板の図だとどう見ても２対1に見えない
図が不正確だと気づきの機会が減ってしまうなあと感じました
問題を解くときはなるべく正確に作図したほうがテストで良い点取れるようになるのかな
私はとてつもなく画期的な解法を思いついたが、それを書くには眠すぎる
もうすぐ5時…
DからBCに垂線を引き交点をE,BEの中点をM,EからDCに垂線を引き交点をF,ECの中点をG,GからBCに垂線を引き交点をHとすると
DE=EH=HC
正方形ABEDを△EFH,EGD,CGDで正方形になるように囲うと
出来た正方形の一辺はME+EGなので5/2cm
よって25/4cm²
いいの出来た
私はまずBDに線を引いて直角二等辺三角形ABDと三角形BCDが出来るので....
直角二等辺三角形と30度75度75度の二等辺三角形の面積は小学5年の等積変更で同じとわかっているのでDCから伸ばしてやって作った大きな二等辺三角形を作ると....
底辺5cm高さ2.5cmの直角二等辺三角形にできるので5✕2.5÷2=6.5ですね
∠BDCの角度105度だがら、三角形ABDを底辺をBDとしてマナビスクエアに等積変形すればなんとかなるってのがあるけど、等積変形は算数に入ってるか微妙なんですよね。
補助線を引いて単独で75゜75゜30゜の三角形を作り出そうとしたけど角度を導き出す公式が出せませんでした。
👏👏👏👏まなびスクエアの三角形😂😂😂😂🎉🎉🎉🎉他の解法が頭に入りません。
青三角と赤正方形が同面積だというのが判ると、すんなり解けますね。
コメントをいただきありがとうございます。
そうなのですよね。
要はそこの面積が同じということさえわかってしまえば、あとは何でもない問題になりますよね。
1:√3のやり方で2分で解けたんですけど、これ苦戦ですかね。
コメントをいただきありがとうございます。
ルートの入った数を有理化して解く解法ですね。数学的な解き方の一番スマートでオーソドックスな考え方だと思います！
変形して
5×5÷4＝25/4
の解き方の方が綺麗
7:41学びスクエア三角形!!!
まず4倍して大きい正方形1個と正三角形2つのよくある形にした上で、
1 切り貼りして正方形分割に持っていくパターン
2 上下に正三角形を2つ付け加えて、等積変形して対角線で求積するパターン
を知ってますが、慣れれば2の方がしっくりくる。
小学生の息子が通う塾で出されてましたのでその際に私もマスターしてしまいました。
先生(天才)を越えました！先生が折り返して正方形を作る前の図形の両端を結んだ直角二等辺三角形の面積は12.5。斜辺の下に頂角15度の直角三角形が2つ見えてくる。正方形の一辺をaとすると、受験算数の常識でその面積は2a×2a×1/8×2=a×aこれは正方形１個分の面積。よって求める答えは12.5÷2=
6.25。天才推しの３０度の二等辺三角形より、頂角15度の直角三角形。めでたし、めでたし。
三角形だけどスクエアの強引さに爆笑しました。
もっとスマートな解き方があるのはわかるのですが、回りくどくとも
オリジナリティとパズル的な解き方に重きを置き、以下の解法で導いてみました。
(長くなってしまったので説明を簡略化してる個所があります)
ABを軸にABCDを左右反転させた図形ABC'D'を描く。(D'C'CDの等脚台形ができる形)
CD’を斜辺とする直角二等辺三角形CD’Eを描く。この時の点EはDより上側に来るようにする。
等脚台形D’C'CDの面積と△CD’Eの面積は等しいことを以下から導き、
△CD'Eの面積を1/2にすることでABCDの面積を求める。・・・(※1)
●等脚台形D’C'CDの面積と△CD’Eの面積が等しいことを導くまで
以下のことより△ECD≡△EDD'となる。・・・(※2)
・EC=ED’(△CD’Eは直角二等辺三角形のため)
・CD=D'D(DからBCに垂線を下した時の交点をFとするとAD＝DF、2DF=CDとなるため)・・・(※3)
・EDを共有
△D'C'Bと△D'BCはC'B=BC且つ高さが同じなため面積が等しいと言える。・・・(※4)
∠C'D'B=∠C'D'D-∠BD'A＝150°-45°=105°・・・(※5)
∠D'DE=∠CDE=(360°-∠CDD’)/2=(360°-150°)/2=105°・・・(※6)
以下のことから△D'C'B≡△DD'Eとなる・・・(※7)
・C'D'=D'D(※3より)
・∠D'C'B=∠DD'E=30°(∠DD'E=∠ED'C-∠DD'C=45°-(180°-150°)/2=30°より)
・∠C'D'B＝∠D'DE＝105°(※5、※6より)
(※2)(※4)(※7)より△D'CB+△D'BC'の面積は△ECD+△EDD'の面積と等しいと言え、
D’C'CDの面積＝△DCD'+△D'CB+△D'BC'=△DCD'+△ECD+△EDD'=△CD'Eの面積と言える。
∠BD'C=∠BD'D-∠CD'D=45°-15°=30°
△BD'Cと△D'C'Cは∠BD'C=∠D'C'B=30°、∠D'CC'を共有することから△BD'C∽△D'C'Cとなる。
このことから、BC:D'C=D'C:C'Cとなるので、これにBC=5、CC'=10の値を入れると
5:D'C=D'C:10となり、D'C＾2=5*10=50となる。・・・(※8)
D'Cの中点をMとすると、△ED'Mは直角二等辺三角形になることからME=D'C*1/2となる。
これにより、△CD'Eの面積＝D'C*ME*1/2=D'C*(D'C*1/2)*1/2=D'C＾2*1/4
(※8)より△CD'Eの面積＝50/4となる。
(※1)よりABCDの面積は△CD'Eの1/2であるため、ABCDの面積=50/8=6.25となる。
今更ですが、△CD’Eの面積を求める所をもっと簡略化できることに気づきました。
∠C’D'C+∠CD'E=180°になることから、△EC'Cは30°60°90°の直角三角形であることが分かります。
そのためC'C=EC*2になり、EC=5となることから、△CD'Eの面積=EC^2*1/2=25/2と導けます。
後はこれを半分にすればABCDの面積を求められますね。
この図形というか形限定なら、最終的に底辺＾２÷４という計算で解ける。というこの解法以上に簡単な解法は無いんでしょうね。何しろ底辺の長さ以外は固定の数字で尚且つ計算も難しくない。
04:00 画面、上から左下に飛ぶのはオーブ？
自分の解き方は
対角線BDを引いて
点Aを通り対角線BDに平行な線を引いて、その平行な線と辺CDの延長線の交点結んで
30度なので高さは5の半分の2.5になって
5×2.5÷2=6.25
コメントをいただきありがとうございます。
等積変形での求め方をされているとのこと、他のRUclipsの動画での解説やWebサイトでの解説で拝見しました！
一番スマートな解法かもしれません！
@@manavisquare あ、定番の解き方だったんですね
確かに、青い二等辺三角形は、赤いスクエアでした。
この問題に関しては、Stardy -河野玄斗さんの解法のほうが分かりやすい。それと解説もこの人は冗長で分かりにくい。河野さんのほうが説明が上手。他の問題は分からないが。
天才だー
ご視聴ありがとうございます！またいつでも遊びにいらしてくださいね！
BDを延長し、BCを斜辺とする直角二等辺三角形BCFを描くと、ABDとFCDの面積が同じになります。
つまり、BCFの面積が答えになります。
コメントをいただきありがとうございます。
ABDとFCDの面積が同じになるところの考え方が素敵だと思いました。ABDとFCDの面積が同じになることの道筋はどうやって立てられたのでしょうか？
@@manavisquare
えっと、
FCDは、辺CDはADの2倍で、CDに対する高さは ADの半分になっている、でしょうか。
ビデオでもあったように、CDはADの２倍の長さで、
角DCFは15度なんだけど、CFで折り返してその2倍の30度の二等辺三角形は正方形と同じ面積なので
CDFの面積はその半分＝正方形の半分のADBの面積
といったところです。
平方根とか三角関数使えば解けるけど、算数だけってのはしんどすぎました
コメントをいただきありがとうございます。
この問題、算数という制約の中ですとかなり手こずりますよね、、
算数オリンピックらしい問題だなと思いました。
四角形ABCDを4つ使って頑張れば正方形できるしそれを4分割すればできるかな？とか思ったら結果的にそうなってて草
申し訳ないんだけど、あなたよりすごい人相当いると思いますよ。
あまりにも算数問題の歴史というか蓄積が少なすぎる
河野玄斗さんもこの問題やってた気がする
DBに補助線を引いて加法定理と正弦定理で三角形2つの面積を足すことしか思いつかなかった私を許してください(´；ω；｀)
学びトライアングルに改名するのです
√ を使えないんじゃ手が出ません
作図上c dの長さ異常に短い
面白いから見に来ました、同じような解説者・こばちゃん塾の方が、数種類の解答を投稿してたの見ました
その方が、ここのリンクを載せてました
動画初見では、途中からついて行けず｢何やってるの？？？｣状態でした。
今3回目の視聴を終えましたが う～んこんなもんなのかなあ・・・ と、まだ理解出来切れてません。
他の方のコメントにあった、同じ台形を4つ用いて正方形・・・・という説明に至っては「え？どういうこと＠ｗ＠；」
イメージがわきません。誰か助けてください
あまりにしつこいんで
チャンネル登録しますねw
ありがとうございますw
さすがに連発し過ぎました、、
ピタゴラスの定理を使って、ごり押しで 25/4 ㎠ を出してから、5 ㎝ と 25/4 ㎠ を見て、
（´-`）.｡oO（あっ…これは問題の台形を４つを組み合わせると、一辺の長さ5cmの正方形が出来たんやろうなぁ…）
であとは、問題の台形を変形して、２直角四角形を無理やりつっくって、完
ザ・エンドってね
全部比率のまま
正方形1:1
三角1:2:√3
で面積出した後に5/（1+√3）を2回かけて巨大化させたら分数が綺麗に消費できました
悔しいんでもっとかっこいい解答探し出します！笑
コメントをいただきありがとうございます。
私の解法も正直まだまだ甘いところもあると思うので、ぜひ面白い解法が思いつかれたら教えてください！笑
とりあえず、学びスクエアが２つくっつくとスクエアになることは理解できました(笑)。
あと、この動画で英語はどうでもいいことも分かりました(笑)。
そして、自分はまだまだ学びスクエア要素が足りないことも……。
５×５までは思いついたんですが……精進が足りない……(~_~;)
コメントをいただきありがとうございます。
確かにまなびスクエアが2つくっつくとスクエアになりますね！(まじでどうでもいいことですが、、笑)
この問題の難易度高いですよねー
私もすごく苦労しました、、
学びスクエアのとこくどすぎてブラバした
文字編集しないで噛んだところ編集してあげてw
答え 7 cm^2
ルート使って正方形と30°60°の直角三角形に分けて5cmを1:√3に分ける方法しか思いつかなかったから負けました
コメントをいただきありがとうございます。
1:√3に分けてもちょっと計算面倒くさくなりますよね！
力技ならではのやり方だと思います。
この図形って四つ組み合わせると、正方形と正三角形二つの図形になるんじゃないですか？
ってことは、ruclips.net/video/NlGrhgvH3KQ/видео.html の動画にある解法で、４分割すればいいのでは？
間違ってるかな？
コメントをいただきありがとうございます。
いただいた解法で間違いないです！
こちらの解法、とても綺麗ですね。
参考にさせていただきます！
これに賛成します！
ギブアップです
算数の知識じゃ難しいね
√とか使えば力業ですんなり解けたけどやっぱきもちくない
25/4
5×5/2×1/2で瞬殺たろ笑
もっと簡単にできます。
正方形を三角形の斜面の2対1の上部に乗せて回転すれば、５ｃｍの正方形ができます。
算数では解けませんでした．三平方の定理も平方根も使いました．
台形の高さ＝x としますと，5=x+√3x より，x=5/(√3+1)．
後は台形の面積＝(上底＋下底)×高さ÷２で，答えは25/4＝6.25cm^2 です．
面白くない解法でした．
BDの延長線上にEをとり、∠DCE＝30°となるようにする。すると、∠BEC＝75°となる。したがって、∠EDC＝75°となる。⊿CDEは頂角が３０°の二等辺三角形になる。DEの中点をFとすると、CF⊥DEとなり、∠DCF＝15°となる。したがって、⊿FBCは斜辺が５cmの直角二等辺三角形となる。いま、ADの長さを仮に１とすると、⊿ABDの面積は1/2になる。⊿CDFの面積は⊿CDE（マナスク三角形）の面積の半分であるから、２×１×1/2×1/2＝1/2になる。したがって、三角形ABDの面積は⊿FDCの面積に等しい。すなわち、台形ABCDの面積は直角二等辺三角形FBCの面積に等しい。∴5×5÷4＝6.25平方cmになる。