Daniel für kurze, knackige Videos, wenn man nur wissen will wie etwas geht. Peter für etwas längere Videos mit Background um zu verstehen warum man etwas überhaupt braucht. Zusammen schleift ihr mich durch die Wirtschaftsmathe-Kurse an der Uni. Ich kann gar nicht ausdrücken wie dankbar ich dafür bin.
einfach unglaublich von dir wie du den Zusammenhang zwischen gradient und hesse-matrix in nur 15min so anschaulich und umfangreich zu gleich dargestellt hast. Du rettest mein Studium damit. danke!
Du bist echt mein Lebensretter ich bin so froh dich gefunden zu habe. Kleine Liebeserklärung 😂 Höre bitte nicht auf mit den Videos Sie helfen enorm und sind bis jetzt für mich die besten Videos die ich im Internet finden kann !!!!!!
Hey Nawid, alle kritischen Punkte sind automatisch lokal. Ob sie aber zusätzlich auch global sind, das ist nicht immer klar. Es gibt viele "Tricks". Dass es keine globalen sind, ist meist leicht nachzuweisen, indem man sich eine Achse auswählt, entlang der man größere und kleinere Werte findet. Oder man argumentiert über eine kompakte Menge, wenn eine vorliegt. Dafür gibts aber kein allgemeines Schema, sondern man muss kreativ überlegen.
Wenn man am Ende nicht x=0, sondern y=0 setzt haben wir eine Parabel und und somit einen Tiefpunkt. Verstehe nicht so ganz warum das jetzt ausschließlich auf einen Sattelpunkt schließen lassen sollte. Wie immer ein sehr schönes Video und vielleicht habe ich ja auch einen Denkfehler :)
Das wäre dann ein Tiefpunkt bzgl y. Aber wenn du jetzt von dort aus in x-Richtung schaust, dann werden die Funktionswerte beliebig klein/groß. Darum Sattelpunkt.
@@MathePeter also überlegt man sich am besten beide Fälle, also einmal x=0 und einmal y=0 und schaut was mit dem Rest passiert. In diesem Fall bekommt man dann ein Minimum von der Parabel und ein Sattelpunkt von -x^3 und da es nicht beides gleichzeitig sein kann muss es ein Sattelpunkt sein? stimmt meine Überlegung?
Ich verstehe noch nicht so ganz warum bei dem Fall det(H) =+ man sich aussuchen kann ob man a oder! c betrachtet, weil wenn einer der Werte positiv ist und der andere negativ könnte ich mir ja aussuchen ob die Matrix positiv definit oder negativ definit ist.
Wenn det(H) = + ist, dann sind a und c entweder beide positiv oder beide negativ. Hätten sie unterschiedliche Vorzeichen, wenn wäre det(H) negativ gewesen und H wäre indefinit.
Was geschieht, wenn beim Ausrechnen der determinante, diese groesser 0 ist, jedoch a negativ und c positiv in der Hessematrix oder andersherum. Was kann man dann schlussfolgern. Wenn a/c positiv ist so ist die Matrix positiv definit und ist a/c negativ so ist die Matrix negativ definit. Meine frage ist, wenn es eine Kombination aus beiden gibt, wie vorher erklärt. A positiv und C negativ oder andersrum
Dieser Fall ist nicht möglich. Wenn bei einer symmetrischen 2x2 Matrix a und c unterschiedliche Vorzeichen haben, dann ist die Determinante automatisch negativ.
Wie sieht das schema bei einer 3x3 Matrix aus? Hätte man dann eine 3x3 Hessematrix mit a b c b d e c e f und würde dann bei 2. Schritt gucken ob a, d oder f positiv oder negativ sind und der rest bleibt gleich wie dus im video gezeigt hast?
könnte man auch bei dem Beispiel über die dritte Ableitung der Hesse-Matrix "fxxx" entscheiden, ob es ein Minimum oder ein Sattelpunkt ist? Sofern die fxxx ungleich Null ist, hat man ja nen Sattelpunkt, oder nicht?
Hallo Peter, super Videos! Ist die Funktion konvex oder konkav oder gar nichts, wenn die Hessematrix eine Nullmatrix ist? Oder was kann man dann für eine Aussage treffen?
Wenn die Nullmatrix überall die Nullmatrix ist, hast du eine lineare Funktion, dann ist die Funktion sowohl konvex, als auch konkav. Wenn sie nur in einem bestimmen Punkt die Nullmatrix ist, dann solltest du eine dritte Ableitung untersuchen. Wenn du eine der dritten Ableitungen ungleich Null ist, hast du einen Sattelpunkt. Wenn auch die alle Null sind, dann untersuche die Konvexität und die Konkavität der Funktion: ruclips.net/video/MrWBKgqWBBU/видео.html
Hei kurze Frage: du begründest den Sattelpunkt damit, dass, wenn man y=0 wählt, nur noch eine Funktion mit Sattelpunkt in x= 0 übrig bleibt. Wählt man aber x=0 bleibt noch y^2 und diese Funktion hat ein Minimum bei y=0... kann dann (0,0) nicht auch ein Minimum sein?
Minimum wäre es nur dann, wenn es der tiefste Punkt in jede Richtung ist. In y-Richtung stimmt das zwar, aber nicht in x-Richtung. Es gibt in unmittelbarer Umgebung Funktionswerte, die sowohl größer als auch kleiner sind. Darum ist es ein Sattelpunkt.
OMG was ein gutes Video, ich hab aber noch eine Frage, wenn ich jetzt 0 als Eigenvektor rausbekomme, nachdem die Determinante der Hessematrix 0 ist, handelt es sich dann um einen SP? Grüße und DANKE
@@MathePeter Ja stimmt, ich hab aber noch nicht verstanden, wie kommt rechnerisch darauf wenn man über die Eigenwerte auf semidefinit kommt, ob es sich um ein SP oder HP/TP handelt, außer durch logisches denken wie in dem Beispiel. Du hast auch darauf hingewiesen das man dann meistens ein SP hat aber vlt. gibt es da eine einfache rechnerische Lösung um drauf zu kommen. Beim nachrechnen hatte ich eben genau das Problem. Danke schonmal für die schnelle Antwort und Grüße :D
Nein es gibt da leider keine einfache Rechnung. Du musst in diesem Fall immer logisch drüber nachdenken. Es gibt auch kein Schema, dem du folgen kannst. Es kann von Aufgabe zu Aufgabe verschieden sein und du musst unzählige Strategien ausprobieren. Manchmal dir sogar eine eigene Methode für eine spezielle Aufgabe herleiten.
Hallo, ich habe mal eineFragen. Funktioniert das mit der Determinante auch für Abbildungen mit mehr als 2 Variablen? Der Titel wirkt so als wäre es exklusiv für 2 Variablen.
Diese spezielle Übersicht gilt nur für den Fall von 2 Variablen. Bei mehr Variablen wird die Übersicht größer, dann lässt sich aber die semi-Definitheit nicht mehr über die Determinante bestimmen. Bei n≥3 Variablen brauchst du für eine eindeutige Aussage die Eigenwerte der Hessematrix.
Erstmal super video✌️😇 vielen Dank :) Aber noch kurz ne Frage, bei uns im Skript steht, ist die Determinante positiv, so folgt direkt positive definitheit auch wenn die hauptdiagonale negativ ist... Und haben a und c die gleichen Vorzeichen weil die Matrix ja symmetrisch ist, und man somit ja immer was abzieht bei 2 Kreuz 2, weshalb um eine positive Determinante zu haben, a mal c Positiv sein muss? Liebe Grüße
Im Skript gibts auch öfter mal Schreibfehler. Schönes Gegenbeispiel liefert die Einheitsmatrix. E ist positiv definit, damit ist -E negativ definit, kann man auch sehen, weil bei Diagonalmatrizen die Eigenwerte auf der Hauptdiagonale stehen. Beide Matrizen haben trotzdem die Determinante 1, obwohl sie verschieden definit sind.
Hey kurze Frage: hast du denn schon ein Video hochgeladen wo du ein Beispiel durchmachst wo die Matrix pos/neg semidefinit ist und die Stelle kein SP ist? Würd mich interessieren:)
Hab noch kein Video dazu hochgeladen mit diesen speziellen Keywords, aber ich habe schon Videos über Definitheit und anderen über das Krümmungsverhalten von Funktionen mit mehreren Variablen gemacht. Wenn eine Funktion also kritische Punkte hat und überall konvex ist, dann ist jeder Extremwert ein globales Minimum. Beispiel: f(x,y,z)=x^2+y^2+9z^2+2xy+6xz+6yz
Wenn die Eigenwerte einer 2x2 Matrix negativ sind dann ist die Matrix negativ definit. Und da die Determiante einer Matrix immer gleich dem Produkt der Eigenwerte ist, ist die Determinante in diesem Fall positiv.
Du sagst wenn a oder c positiv oder negativ sind ist es entweder Pos. Semi. Def oder Neg. Semi Def. in deinem Beispiel ist aber der A Wert negativ und der C Wert positiv und du nimmst einfach den C Wert, warum nimmst du nicht den negativen A wert und sagst es ist Neg. Semi Def.? LG
Wenn du den ausgerechneten kritischen Punkt in die Hessematrix einsetzt, hast du H(0,0) = ( 0 0 ), dabei ist a=0 und c=2. Das heißt a ist nicht negativ, sondern Null. Darum nehm ich den c-Wert. ( 0 2 )
Was du in dem Video jetzt nicht gesagt hast, aber bei solchen semi-definitheiten wie im Beispiel in dem Video könnte man doch dann die krasseren Kriterien noch ranziehen wie die Geränderte Hessematrix oder das Ding mit der Quadratischen Form, oder? :D
Dann ist die Matrix indefinit. Außer bei der Nullmatrix, da entscheidet eine der dritten Ableitungen, ob es ein Sattelpunkt ist. Andernfalls hiermit nicht bestimmbar. Hier mal 5 coole Tricks, um die Definitheit zu prüfen: ruclips.net/video/LTYjhscncVI/видео.html
Die Übersicht gilt nur für 2x2 Matrizen. Ab 3x3 Matrizen brauchst du die Eigenwerte für eine Eindeutige Aussage. Oft kannst du aber auch einen genialen Trick benutzen, um sofort die Definitheit abzulesen, ohne irgendwelche Rechnungen: ruclips.net/video/LTYjhscncVI/видео.html
Daniel+Peter=Studium gerettet ❤️
Daniel für kurze, knackige Videos, wenn man nur wissen will wie etwas geht. Peter für etwas längere Videos mit Background um zu verstehen warum man etwas überhaupt braucht.
Zusammen schleift ihr mich durch die Wirtschaftsmathe-Kurse an der Uni. Ich kann gar nicht ausdrücken wie dankbar ich dafür bin.
Du bist der erste Mensch der Welt, mit dem ich mich gerne mal in einer Bar, bei ein paar guten Shots, über Mathematik unterhalten würde.
einfach unglaublich von dir wie du den Zusammenhang zwischen gradient und hesse-matrix in nur 15min so anschaulich und umfangreich zu gleich dargestellt hast. Du rettest mein Studium damit. danke!
Du bist echt mein Lebensretter ich bin so froh dich gefunden zu habe. Kleine Liebeserklärung 😂 Höre bitte nicht auf mit den Videos Sie helfen enorm und sind bis jetzt für mich die besten Videos die ich im Internet finden kann !!!!!!
Unglaublich !! 2 Semster in nur 15 min Genial erklärt!! Zur Seite mit euch Profs !! MathePeter ist am Start hahah bester Mann !!!
wirklich ein ausgezeichnetes Video
bist der Beste wenn es um Mathe geht
kurz knackig auf den Punkt gebracht, so solls sein!
Fall 4 ist richtig mächtig, danke dir!
bester Mann, hab es jetzt perfekt verstanden
danke!
Sehr schön, das freut mich!
Morgen Klausur bester Mann 🔥❤️
viel erfolg!
ist super hilfreich für mathe 2 extrema mit mehreren variablen
geniales Video, herzlichen Dank!
Richtig gut und verständlich
freut mich sehr !
deine Videos sind einfach genial!
Danke schön
Sehr gut danke dir
Lieber Peter,
könntest du mal erklären wie herausfinden (rechnerisch) kann, ob die ausgerechneten kritischen Punkte (Min/Max) global oder lokal sind.
Hey Nawid, alle kritischen Punkte sind automatisch lokal. Ob sie aber zusätzlich auch global sind, das ist nicht immer klar. Es gibt viele "Tricks". Dass es keine globalen sind, ist meist leicht nachzuweisen, indem man sich eine Achse auswählt, entlang der man größere und kleinere Werte findet. Oder man argumentiert über eine kompakte Menge, wenn eine vorliegt. Dafür gibts aber kein allgemeines Schema, sondern man muss kreativ überlegen.
Wenn man am Ende nicht x=0, sondern y=0 setzt haben wir eine Parabel und und somit einen Tiefpunkt. Verstehe nicht so ganz warum das jetzt ausschließlich auf einen Sattelpunkt schließen lassen sollte.
Wie immer ein sehr schönes Video und vielleicht habe ich ja auch einen Denkfehler :)
Das wäre dann ein Tiefpunkt bzgl y. Aber wenn du jetzt von dort aus in x-Richtung schaust, dann werden die Funktionswerte beliebig klein/groß. Darum Sattelpunkt.
@@MathePeter Danke dir :)
@@MathePeter also überlegt man sich am besten beide Fälle, also einmal x=0 und einmal y=0 und schaut was mit dem Rest passiert. In diesem Fall bekommt man dann ein Minimum von der Parabel und ein Sattelpunkt von -x^3 und da es nicht beides gleichzeitig sein kann muss es ein Sattelpunkt sein? stimmt meine Überlegung?
Ich verstehe noch nicht so ganz warum bei dem Fall det(H) =+ man sich aussuchen kann ob man a oder! c betrachtet, weil wenn einer der Werte positiv ist und der andere negativ könnte ich mir ja aussuchen ob die Matrix positiv definit oder negativ definit ist.
Wenn det(H) = + ist, dann sind a und c entweder beide positiv oder beide negativ. Hätten sie unterschiedliche Vorzeichen, wenn wäre det(H) negativ gewesen und H wäre indefinit.
Ah okay, danke!
Ich war nur wegen der Formulierung mit "a oder c" durcheinander gekommen
"Und" wäre vielleicht eindeutiger gewesen, wollte aber mit "oder" nur andeuten, dass es reicht einen der beiden zu prüfen.
Danke! War auch meine Frage :)
Was geschieht, wenn beim Ausrechnen der determinante, diese groesser 0 ist, jedoch a negativ und c positiv in der Hessematrix oder andersherum. Was kann man dann schlussfolgern. Wenn a/c positiv ist so ist die Matrix positiv definit und ist a/c negativ so ist die Matrix negativ definit. Meine frage ist, wenn es eine Kombination aus beiden gibt, wie vorher erklärt. A positiv und C negativ oder andersrum
Dieser Fall ist nicht möglich. Wenn bei einer symmetrischen 2x2 Matrix a und c unterschiedliche Vorzeichen haben, dann ist die Determinante automatisch negativ.
Wie sieht das schema bei einer 3x3 Matrix aus? Hätte man dann eine 3x3 Hessematrix mit
a b c
b d e
c e f
und würde dann bei 2. Schritt gucken ob a, d oder f positiv oder negativ sind und der rest bleibt gleich wie dus im video gezeigt hast?
Für 3x3 Matrizen kannst du nicht mehr alle Fälle mit den Determinanten abdecken. Da empfehle ich mit den Eigenwerten zu arbeiten.
könnte man auch bei dem Beispiel über die dritte Ableitung der Hesse-Matrix "fxxx" entscheiden, ob es ein Minimum oder ein Sattelpunkt ist? Sofern die fxxx ungleich Null ist, hat man ja nen Sattelpunkt, oder nicht?
Nein, eine dritte Ableitung bringst du nur dann ins Spiel, wenn die Hessematrix die Nullmatrix ist.
Hallo Peter, super Videos! Ist die Funktion konvex oder konkav oder gar nichts, wenn die Hessematrix eine Nullmatrix ist? Oder was kann man dann für eine Aussage treffen?
Wenn die Nullmatrix überall die Nullmatrix ist, hast du eine lineare Funktion, dann ist die Funktion sowohl konvex, als auch konkav. Wenn sie nur in einem bestimmen Punkt die Nullmatrix ist, dann solltest du eine dritte Ableitung untersuchen. Wenn du eine der dritten Ableitungen ungleich Null ist, hast du einen Sattelpunkt. Wenn auch die alle Null sind, dann untersuche die Konvexität und die Konkavität der Funktion: ruclips.net/video/MrWBKgqWBBU/видео.html
Hei kurze Frage: du begründest den Sattelpunkt damit, dass, wenn man y=0 wählt, nur noch eine Funktion mit Sattelpunkt in x= 0 übrig bleibt. Wählt man aber x=0 bleibt noch y^2 und diese Funktion hat ein Minimum bei y=0... kann dann (0,0) nicht auch ein Minimum sein?
Minimum wäre es nur dann, wenn es der tiefste Punkt in jede Richtung ist. In y-Richtung stimmt das zwar, aber nicht in x-Richtung. Es gibt in unmittelbarer Umgebung Funktionswerte, die sowohl größer als auch kleiner sind. Darum ist es ein Sattelpunkt.
OMG was ein gutes Video, ich hab aber noch eine Frage, wenn ich jetzt 0 als Eigenvektor rausbekomme, nachdem die Determinante der Hessematrix 0 ist, handelt es sich dann um einen SP? Grüße und DANKE
Du meinst wenn ein Eigenwert gleich Null ist? Das hab ich in 8:13 erklärt. Schaus dir noch mal an :)
@@MathePeter Ja stimmt, ich hab aber noch nicht verstanden, wie kommt rechnerisch darauf wenn man über die Eigenwerte auf semidefinit kommt, ob es sich um ein SP oder HP/TP handelt, außer durch logisches denken wie in dem Beispiel. Du hast auch darauf hingewiesen das man dann meistens ein SP hat aber vlt. gibt es da eine einfache rechnerische Lösung um drauf zu kommen. Beim nachrechnen hatte ich eben genau das Problem.
Danke schonmal für die schnelle Antwort und Grüße :D
Nein es gibt da leider keine einfache Rechnung. Du musst in diesem Fall immer logisch drüber nachdenken. Es gibt auch kein Schema, dem du folgen kannst. Es kann von Aufgabe zu Aufgabe verschieden sein und du musst unzählige Strategien ausprobieren. Manchmal dir sogar eine eigene Methode für eine spezielle Aufgabe herleiten.
Alles klar :D
Danke dir, du bist der beste
Hallo, ich habe mal eineFragen.
Funktioniert das mit der Determinante auch für Abbildungen mit mehr als 2 Variablen? Der Titel wirkt so als wäre es exklusiv für 2 Variablen.
Diese spezielle Übersicht gilt nur für den Fall von 2 Variablen. Bei mehr Variablen wird die Übersicht größer, dann lässt sich aber die semi-Definitheit nicht mehr über die Determinante bestimmen. Bei n≥3 Variablen brauchst du für eine eindeutige Aussage die Eigenwerte der Hessematrix.
Gilt diese Regeln auch für 3*3 Matrix ?
Leider nicht, dann gibst mehrere Fälle.
Erstmal super video✌️😇 vielen Dank :)
Aber noch kurz ne Frage, bei uns im Skript steht, ist die Determinante positiv, so folgt direkt positive definitheit auch wenn die hauptdiagonale negativ ist...
Und haben a und c die gleichen Vorzeichen weil die Matrix ja symmetrisch ist, und man somit ja immer was abzieht bei 2 Kreuz 2, weshalb um eine positive Determinante zu haben, a mal c Positiv sein muss?
Liebe Grüße
Habs auch nochmal nachgerechnet, so wie du es sagst sollte es passen, komisch da muss ich mal nachfragen 😄✌️
Im Skript gibts auch öfter mal Schreibfehler. Schönes Gegenbeispiel liefert die Einheitsmatrix. E ist positiv definit, damit ist -E negativ definit, kann man auch sehen, weil bei Diagonalmatrizen die Eigenwerte auf der Hauptdiagonale stehen. Beide Matrizen haben trotzdem die Determinante 1, obwohl sie verschieden definit sind.
Hey kurze Frage: hast du denn schon ein Video hochgeladen wo du ein Beispiel durchmachst wo die Matrix pos/neg semidefinit ist und die Stelle kein SP ist? Würd mich interessieren:)
Hab noch kein Video dazu hochgeladen mit diesen speziellen Keywords, aber ich habe schon Videos über Definitheit und anderen über das Krümmungsverhalten von Funktionen mit mehreren Variablen gemacht. Wenn eine Funktion also kritische Punkte hat und überall konvex ist, dann ist jeder Extremwert ein globales Minimum. Beispiel: f(x,y,z)=x^2+y^2+9z^2+2xy+6xz+6yz
MathePeter Ah cool, danke! Werde ich mir auf jeden Fall ansehen.
Krass 😉
könntest du mir sagen warum a und c nie unterschiedliche Vorzeichen haben?
Weil der Satz von Schwarz sagt, dass die Hessematrix symmetrisch ist, wenn zum Beispiel die zweiten Ableitungen stetig sind.
hey , wenn alle Eigenwerte kleiner als null sind kann doch negativ defenit sein und nicht unbedingt indefenit aber die det ist kleiner als null
Wenn die Eigenwerte einer 2x2 Matrix negativ sind dann ist die Matrix negativ definit. Und da die Determiante einer Matrix immer gleich dem Produkt der Eigenwerte ist, ist die Determinante in diesem Fall positiv.
@@MathePeter ja stimmt , ich meine aber im 3x3 Matrix
Darum gehts zwar nicht in diesem Video, allerdings gilt auch bei 3x3 Matrizen: sind alle Eigenwerte negativ, ist die Matrix negativ definit.
Du sagst wenn a oder c positiv oder negativ sind ist es entweder Pos. Semi. Def oder Neg. Semi Def. in deinem Beispiel ist aber der A Wert negativ und der C Wert positiv und du nimmst einfach den C Wert, warum nimmst du nicht den negativen A wert und sagst es ist Neg. Semi Def.?
LG
Wenn du den ausgerechneten kritischen Punkt in die Hessematrix einsetzt, hast du
H(0,0) = ( 0 0 ), dabei ist a=0 und c=2. Das heißt a ist nicht negativ, sondern Null. Darum nehm ich den c-Wert.
( 0 2 )
@@MathePeter Dankeschön, habs verstanden, du bist der beste :)
Was du in dem Video jetzt nicht gesagt hast, aber bei solchen semi-definitheiten wie im Beispiel in dem Video könnte man doch dann die krasseren Kriterien noch ranziehen wie die Geränderte Hessematrix oder das Ding mit der Quadratischen Form, oder? :D
Die geränderte Hessematrix und die Quadratische Form gehen leider nur bei Extrema mit "="-Nebenbedingungen.
@@MathePeter Ahhhh okay :D
3:01 was wenn a und c 0 sind? und det = neg.
Dann ist die Matrix indefinit. Außer bei der Nullmatrix, da entscheidet eine der dritten Ableitungen, ob es ein Sattelpunkt ist. Andernfalls hiermit nicht bestimmbar. Hier mal 5 coole Tricks, um die Definitheit zu prüfen: ruclips.net/video/LTYjhscncVI/видео.html
@@MathePeter ok danke
was heißt definit
Das ist einfach eine Eigenschaft von Matrizen. Und "Definitheit" ist der Name davon. Keine Ahnung wo der Name herkommt.
sieht so leicht aus und ist verständlich und dann sehe ich die Funktionen, die mein Prof aussucht um das Verfahren durchzuführen und ich muss kotzen.
Wird schon noch mit etwas mehr Übung! :)
Kannst auch gern auf unserem Discord Server Fragen stellen zu deinen Aufgaben.
Schicke Corona Frisur
Shindy : Danke Gott für Rapmusik
Ich : Danke Gott für Rapmusik UND MathePeter
Der Beweis, dass Gott anscheinend doch existiert.
Blöde Hessen. Will ne NRW-Matrix !!! ^^ ;-)
😂
Gilt dies auch für 3x3 Matrizen?
Die Übersicht gilt nur für 2x2 Matrizen. Ab 3x3 Matrizen brauchst du die Eigenwerte für eine Eindeutige Aussage. Oft kannst du aber auch einen genialen Trick benutzen, um sofort die Definitheit abzulesen, ohne irgendwelche Rechnungen: ruclips.net/video/LTYjhscncVI/видео.html
@@MathePeter Ginge das Sylverster-Kriterium nicht aber auch für n x n- Matrizen mit n > 2 ?