Ich schreib ja sonst nie Kommentare aber vielen vielen Dank für die Mathevideos auf Uniniveau!! Ich bin gerade so froh, dass du zu den Themen, die wir in der Uni behandeln, Videos von dir finde:) So ist es viel verständlicher den Mathestoff zu verstehen und anzuwenden weitere Videos zu den folgenden Themen würden mir und bestimmt auch vielen anderen Studenten sehr weiterhelfen. Differentialgleichungssysteme Bereichsintegrale Lineare Abbildungen Danke für deine Arbeit!
Vielen Dank! Bereichsintegrale habe ich komplett abgedeckt in meinem Online Kurs "Mehrdimensionale Integralrechnung" und auch hier auf RUclips hab ich schon ein paar Livestreams mit vielen Aufgaben dazu gemacht, muss man sich mal durchklicken, wer nicht alles Wissen gebündelt haben will. Die anderen beiden Themen gehe ich auf jeden Fall weiter an! :)
Unglaublich gut erklärt und durch deine Kommentare die du am Rande immer mal anbringst wie "zur Strafe für die Frechheit der Null" kann ich mir das ganze tatsächlich auch besser merken. Vielen Dank für die Videos, mach weiter so :)
Gerade jetzt haben wir das Thema in Mathe und nur aus den Vorlesungsfolien verstehe ich nicht alles. Danke, dass du es mit so viel Freude und dazu noch verständlich vermittelst.
VIELEN DANK für diese Videos!! Sind unglaublich hilfreich und deine Begeisterung für das Thema ist ansteckend :) Freue mich schon auf dein Video zur Jordan Form! ;)
Peter, vielen Dank für deine Hilfe bei meinem Studienkolleg! Deine Erklärungen waren klar und leicht zu verstehen, und deine deutsche Aussprache machte es viel einfacher, die Vorlesungen zu verstehen. Eine der größten Herausforderungen, die ich während meiner Zeit im Studienkolleg hatte, waren meine Deutschkenntnisse. Deine Videos waren eine große Hilfe bei der Verbesserung meines Sprachverständnisses hahah jetzt studiere ich Data science und ki Vieeelen Dank
ich finde super, wie du am anfang anwendungsmöglichkeiten der mathematik aufzeigst. das habe ich an der uni leider nicht so oft, aber das macht das thema noch viel interessanter!
Mal wieder ein tolles Video! Ich finde es vor allem gut, dass du wirklich jeden Schritt erklärst und nicht davon ausgehst, dass man das sowieso weiß. Danke!
Deine Videos sind Großartig Peter, super verständlich und didaktisch perfekt. Hilft mir grade sehr in der Vorbereitung für die Mündliche Abschlussprüfung meines Mathe Bachelors
7:10 bei einer Form wie dieser bietet es sich auch immer an, es wieder in die 3. binomische Formel umzuschreiben und daraus (t+5)(t-5) zu machen. Dadurch bekommt man auch direkt das charakteristische Polynom.
Neeh, ne weisst du ich hab gar kein Bock auf das bestehen von Examen, ne du, gut rüber gebrachte Infos sind doch längst überbewertet. Bro jou, natürlich hat das Video mir gefallen Daum zeigt nach oben! Krass, nach 2 Jahren 100k Aufrufe, verdient!
Super Video aber bei "dann kannst du einfach 5^1000 rechnen" habe ich leicht ungläubig geguckt das wären nämlich ca. 9,33*10^698. zum Vergleich, es gibt nur 10^85 Atome im Universum
wenn man eine matrix-vektor-multiplikation mit einem i-ten einheitsvektor macht kommt doch nicht die spalte der matrix raus. du meintest sicher den i-ten vektor einer einheitsmatrix, der zugegeben auch ein einheitsvektor ist aber manche könnten probleme bekommen, wenn sie in wikipedia nach einem beliebigen einheitsvektor gucken.. wie ich ^^
Stimmt, das wäre präziser 😅 Vlt hätte ich ergänzen sollen "i-ter Standard-Einheitsvektor". Freut mich aber, dass es am Ende trotzdem gut zu verstehen war!
Vielleicht sollte ich für Schüler noch ein paar Zwei-Minuten Videos nachschießen, damit sie später in Uni Zeiten auf die guten Vids aufmerksam werden 😄
@@MathePeter Also ich sehe Daniel Jung als DEN RUclipsr für Schüler*innen und Dich als DEN RUclipsr für Student*innen. Ich glaube es wäre richtig geil - und ich bin mir sicher, dass viele das mega abfeiern würden - wenn Du zusammen mit Daniel Jung Inhalte produzierst ;)
Würd ich persönlich auch interessant finden, glaub nur Daniel Jung hält nichts davon mit einem kleinen RUclipsr wie mir zu kooperieren, weil er kaum einen Nutzen davon haben würde. Denke mal anders siehts aus, wenn der Kanal hier mal eine größere Reichweite hat. Was würdest du davon halten, wenn ich neben den Videos für Studenten auch kurze und "einfache" Videos für Schüler anbiete? Kriegt jeder was er braucht, die Reichweite würde steigen und vielleicht kommt dadurch ja mal eine Kooperation mit Daniel zustande :)
MathePeter Grundsätzlich würde nichts dagegen sprechen. Aber ich bin der Meinung, dass es gerade diese Videos sind (z.B das zur Diagonalisierung), die Themen aus dem Mathematikstudium nochmal verständlich, aber umfangreich erklären, die auf RUclips noch nicht so präsent sind, wie z.B die Schulmathematik.
Werde auf jeden Fall weiter Mathe Themen fürs Studium veröffentlichen. Nur zur Zeit scheint das Wachstum des Kanals zu stagnieren. Egal wie gut die Videos sind, der Kanals wir nie groß werden. Dann bleibt es ein schönes Hobby, an dem man Vollzeit arbeitet, mehr aber auch nicht.
Weil die Matrix Multiplikation nicht kommutativ ist, wir dürfen die Reihenfolge der Faktoren nicht einfach vertauschen. Darum habe ich im Beweis die Matrix S auf beiden Seiten "von rechts" dran multipliziert. Auf der Linken Seite steht deshalb A*S und auf der rechten Seite steht S*D*S^(-1)*S. Und da S^(-1)*S=E ergibt, kannst du diesen Faktor auch einfach weglassen, es bleibt rechts S*D.
Top Video! ❤ Nur eine kurze Frage: was mache ich bei einer 3x3 Matrix, wenn ich 2 nullzeilen habe, aber jede variable in der ersten Zeile belegt ist? Weil dann müsste man doch 2 Parameter wählen, aber das geht doch wohl nicht?
7:50 Wäre das dann wenn mit 5 bzw dem eigenwert halt an den Tiagonalen abgezogen und anschließender zeilenelemination nur eine Zeile verloren gehen würde, statt der anzahl wie oft 5 der eigenwert ist oder?
Deine Videos sind echt klasse! Schade, dass die Trigonalisierung nicht in der Reihe dabei ist. Davon gibt es kaum Videos auf RUclips und es ist komplizierter. Aber trotzdem ist dein Kanal echt vielfältig und super hilfreich :)
Vielen Dank! Und coole Idee, ich schreibs mir mit auf meine Videoliste. Zur Zeit komme ich wegen meines Umzugs nicht so viel zum Filmen und auch die Live Kurse beginnen in den nächsten Wochen. Aber ich werde in Zukunft auch weiterhin Videos produzieren! :)
@@MathePeter Okay, das ist schön zu hören. Von Live-Kursen wusste ich noch gar nichts. Was wird denn da behandelt :)? Übrigens, passend zum Thema wäre sogar noch die simultane Diagonalisierung. Die ist auch für die Quantenmechanik interessant. Einen schönen Abend noch und biel Erfolg beim Umzug!
Ich gehe an Unis und biete dort 3-tägige Prüfungsvorbereitungen an. Entweder zahlt jeder Student einen Kursbeitrag oder die Uni bietet einen Lehrauftrag an und übernimmt die Bezahlung :)
Hallo Mathepeter, vielen Dank für das hilfreiche Video. Habe aber noch ne Frage zu 13:18: gibt es dann nicht unendlich viele Möglichkeiten für den zweiten EV wenn das einzige Kriterium für diesen ist, dass er senkrecht auf den ersten EV stehen soll?
Sehr gutes Video! Ich hätte dennoch eine Frage: Wenn ich die Eigenvektoren durch Gram-Schmidt orthogonalisiere, dann ist meine Transformationsmatrix "S" ja nicht mehr aus Eigenvektoren. Wieso funktioniert das dann jedoch trotzdem und ergibt auch eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonale?
Sorry kurze frage ist es auch möglich dass der x1 vektor für x =1 und y=1/2 also umgekehrt je nachdem ob man y oder x als 1 wählt Und reicht es wenn man einer der beiden Zeilen auflöst Also entweder -8x+4y=0 Oder 4x-2y=0 Oder muss ich ich des so rechnen das unten links in der Ecke 0 rauskommt
Stimmt, die Diagonalmatrix D besteht nur aus den Eigenwerten. Die Matrix S aus den Eigenvektoren. Wenn du jetzt also A diagonalisieren willst, also in das Produkt S*D*S^(-1) zerlegen willst, dann brauchst du neben den Eigenwerten auch noch die Eigenvektoren.
Da kommen die Eigenwerte raus und der dazugehörige Eigenvektor . Das heisst die Inverse wäre Division dann geteilt durch 0 und das geht ja nicht. Also keine Diagonalmatrix! Ok jetzt habe ich es verstanden wieso man nicht einfach die Eigenwerte abließt und dann bestimmt, das ist die Diagonalmatrix. Das Produkt bilden aus Inverser Matrix S des Eigenvektors mal Matrix A mal Eigenvektor S. Danach steht fest ok es die Diagonalmatrix. Lasse ich die Schritte weg, dann weiss ich es nicht ganz genau! Habe ich das so richtig verstanden? Danke Peter für deinen Support. LG
Genau. Wenn es so viele Eigenvektoren wie Eigenwerte gibt, ist die Matrix diagonalisierbar. Die entstehende Diagonalmatrix hat nur Eigenwerte auf der Hauptdiagonale stehen. Das Produkt selbst muss dann zum Glück nicht erst ausgerechnet werden.
Lieber Peter hab gestern meine Mathe2 Klausur retour bekommen und was soll ich sagen vielen lieben Dank für deinen Support hier! Hab ne gute Note bekommen! 🖖🏻🖖🏻🖖🏻👍🏻👍🏻👍🏻
Passt vllt nicht in das Video rein , aber kannst du mal etwas über Tensoren sagen oder einen Einstieg in das Thema geben. Würde mich mal interessieren. Gruß
Kam tatsächlich schon mehrfach die Frage. Hab ich auch schon mit auf meiner Liste. Bin nur grad erst mal beschäftigt alle aktuellen Themen abzudecken für die Grundlagen in Analysis und Linearer Algebra. Würde gern so viel auf einmal machen 😅
ich denke, dass die Matrix am Ende diagonalisierbar und invertierbar ist. Und die Inverse der Matrix A ist das Transponierte. Ich glaube sie steht sogar schon in Diagonalform da, oder?
Meinst du die Matrix unter "Gegenbeispiel"? Die ist nicht diagonalisierbar, weil die zum doppelten Eigenwert 0 nur den einzigen Eigenvektor (1,0). Algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 0 ist damit 2 und die geometrische Vielfachheit nur 1. Invertierbar ist sie auch nicht, weil 0 ein Eigenwert ist und die Matrix daher schon von vornherein einen Rangverlust hat.
@@MathePeter Dürfte man dann eigentlich schon von Anfang an sagen, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist weil sie ja nur EINEN Eigenwert hat, und zwar 0? Weil eine 2x2-Matrix muss ja 2 Eigenwerte und 2 Eigenvektoren haben damit sie überhaupt diagonalisierbar ist, oder?
Die Vektoren einer orthogonalen Matrix sind (1) paarweise orthogonal und haben (2) alle die Länge 1. Die Matrix S aus dem Video ist nicht orthogonal, weil die Vektoren nicht die Länge 1 haben. Aber die Eigenvektoren stehen alle senkrecht aufeinandern, das ist wichtig. Wäre das nicht so, müsste man sie noch mit dem Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren orthogonalisieren.
Idee zur Lösung der Eigenwertprobleme bei 2x2-Matrizen: Charakteristische Polynome haben immer die Form x^2 - spur (A) + det (A). Gegeben sind x (zu bestimmender Eigenwert) und A (Matrix) und spur A (Spur der Matrix A) und det A (Determinante A). Danke für die Idee der Diagonalisierung
wenn ich nicht falsch liege hat die Matrix am ende nur einen Eigenwert und einen Eigenvektor was im Umkehrschluss bedeutet das auf der Hauptdiagonalen für D nur ein Wert stehen würde was für eine Diagonalmatrix keinen sinn ergeben würde. Damit wäre die Matrix A doch dann auch nicht Diagonalisierbar oder seh ich das Falsch?
Du meinst die Matrix am Ende unter "Gegenbeispiel"? Die hat 2 Eigenwerte. Zwei mal die Null. Aber dieser (doppelte) Eigenwert hat nur einen Eigenvektor, damit ist die Matrix nicht diagonalisierbar. Grundlegend kannst du dir merken, dass eine (n x n)-Matrix immer genau n Eigenwerte hat. Sie werden mit ihrer Vielfachheit gezählt und wenn sie nicht reell sind, dann sind sie komplex. Direkte Folgerung aus dem Fundamentalsatz der Algebra, da die Eigenwerte die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind.
Mal ganz kurze Verständnisfrage bei ca. 8:30 : Wenn ich die Lamdas von der Diagonale abziehe, komme ich nie auf die "-2". Warum ist das so? PS: ungeachtet deine Videos helfen enorm!
Kann ich noch nicht ruhigen Gewissens bestätigen, was genau meinst du damit? Wenn ich -5 abziehe auf der Hauptdiagonale, dann hat man nicht mehr -8 und -2 auf der Hauptdiagonale stehen, sondern 2 und 8.
@@MathePeter Ich habe beide Lamdas (+5 in 1.Zeile/1.Spalte und -5 in 2.Zeile/2.Spalte) eingesetzt und daher rührt vermutlich die Vorzeichenproblematik.
Das charakteristische Polynom ist lambda^2. Die Nullstellen davon, zwei mal der Wert 0, sind die Eigenwerte. Prüf mal nach wieviele Eigenvektoren es gibt ;)
ich habe eine Frage , müssen wir sagen ,dass der matrix A ist bezüglich der standardbasis ,damit die Spalten von S bleiben dasselbe als Eigenvektoren? Vielen Dank
Hey Leute, was ich nicht verstehe ist wie man am Anfang D=S^-1*A*S zu A=S*D*S^-1 umformt. Division ist ja nicht möglich. Visuell vertauscht man halt einfach das A mit dem D und die beiden S-Matrizen. Merken kann ich mir das, aber rechnerisch, wie geht das?
Achsooo, ich verstehe doch, man nimmt die komplette Gleichung und multipliziert sie von links mit S und von rechts mit S^-1, dabei kommen dann auf der linken seite jeweils die Einheitsmatrix raus, also E*A*E=A, und deshalb wird genau das gleiche auf der rechten Seite gemacht, falls es noch jemanden verwirrt hat.
Eine dumme Frage, wenn ich die Eigenvektoren suche und ich schon die Gleichung wie z.B. aus dem Video -2x+y=0 gefunden habe, muss ich dann immer x finden, oder dürfte ich bsp. y=2t stellen und somit den Vektor (1, 2)^T feststellen? Und wie heißt noch dieses Theorem über symmetrische Matrizen und "umkehrbare" Eigenvektoren?
@@MathePeter du hast im Video angedeutet, dass wenn wir orthogonale Vektoren haben, dürfen wie ganz einfach den gefundenen Vektor x einfach umkehren und das Zeichen ändern, um Eigenvektor y zu ermitteln.
Was mir jetzt gerade aufgefallen is wenn A = S⁻¹DS ist und ich die det(...) Anwende dann ist doch det(A)=∏ᵢᷠ₌₁ λₗ Stimmt das? Und das heist ja dann, dass das Charakteristische polynom an der stelle 0 gleich dem produkt seiner nst ist, denn det(A−λE) ist für λ=0 det(A) ? Aber wenn ich mir ein polynom dritten grades anschaue bsp: (x+a)(x−b)(x−c) das ist für x=0 a⋅b⋅c und das produkt der nst −a⋅b⋅c, mir fällt jetzt irgendwie nicht mein fehler auf?
nach 2 Stunden Verzweiflung habe ich endlich dieses 4 Jahre alte video gefunden. Danke Jesus, Danke Peter
Freut mich sehr, dass ich weiterhelfen konnte! :)
Du rettest mein Mathe-Studium in der Corona Zeit! DANKE
Bist der Allerbeste! Bitte bleib daran, du machst es echt genial!
Gott sei Dank, dass es Leute wie du gibt, die das Leben einfacher machen
Nach dem Vide hab ich Bock auf das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren. Hätte nie gedacht, dass ich das mal sage.
Allein nur das auszusprechen klingt schon immer voll schlau haha
Ich schreib ja sonst nie Kommentare aber vielen vielen Dank für die Mathevideos auf Uniniveau!!
Ich bin gerade so froh, dass du zu den Themen, die wir in der Uni behandeln, Videos von dir finde:)
So ist es viel verständlicher den Mathestoff zu verstehen und anzuwenden
weitere Videos zu den folgenden Themen würden mir und bestimmt auch vielen anderen Studenten sehr weiterhelfen.
Differentialgleichungssysteme
Bereichsintegrale
Lineare Abbildungen
Danke für deine Arbeit!
Vielen Dank! Bereichsintegrale habe ich komplett abgedeckt in meinem Online Kurs "Mehrdimensionale Integralrechnung" und auch hier auf RUclips hab ich schon ein paar Livestreams mit vielen Aufgaben dazu gemacht, muss man sich mal durchklicken, wer nicht alles Wissen gebündelt haben will. Die anderen beiden Themen gehe ich auf jeden Fall weiter an! :)
Grösster Ehremann, in der ersten Minute mehr verstanden, als in den letzten Wochen/Monaten. Danke!
Unglaublich gut erklärt und durch deine Kommentare die du am Rande immer mal anbringst wie "zur Strafe für die Frechheit der Null" kann ich mir das ganze tatsächlich auch besser merken. Vielen Dank für die Videos, mach weiter so :)
Gerade jetzt haben wir das Thema in Mathe und nur aus den Vorlesungsfolien verstehe ich nicht alles. Danke, dass du es mit so viel Freude und dazu noch verständlich vermittelst.
VIELEN DANK für diese Videos!! Sind unglaublich hilfreich und deine Begeisterung für das Thema ist ansteckend :) Freue mich schon auf dein Video zur Jordan Form! ;)
einfach Mathe 1 gerettet, im Skript ist alles zu abstrakt, hier ist alles deutlicher, vielen Dank!
du erklärst am besten die Hintergründe. sodass man wirklich alles versteht. Ich liebe dich dafür
Peter, vielen Dank für deine Hilfe bei meinem Studienkolleg! Deine Erklärungen waren klar und leicht zu verstehen, und deine deutsche Aussprache machte es viel einfacher, die Vorlesungen zu verstehen. Eine der größten Herausforderungen, die ich während meiner Zeit im Studienkolleg hatte, waren meine Deutschkenntnisse. Deine Videos waren eine große Hilfe bei der Verbesserung meines Sprachverständnisses hahah
jetzt studiere ich Data science und ki
Vieeelen Dank
Srhr cool, das freut mich sehr! Viel Erfolg weiterhin :)
ich finde super, wie du am anfang anwendungsmöglichkeiten der mathematik aufzeigst. das habe ich an der uni leider nicht so oft, aber das macht das thema noch viel interessanter!
Danke dir!! Finde ich auch super wichtig auch mal mehr die Anwendungen in den Vordergrund zu stellen.
Ich finde sehr schön, dass du am Anfang direkt Anwendungsbeispiele genannt hast
Mal wieder ein tolles Video! Ich finde es vor allem gut, dass du wirklich jeden Schritt erklärst und nicht davon ausgehst, dass man das sowieso weiß. Danke!
Geiler Typ. Vielen vielen Dank. Nach langem Suchen weiß ich jetzt endlich, wie ich weiter machen muss. Hoffentlich werde ich das bald verinnerlichen
wie kannst du nur echt sein, erklärst es so unglaublich gut, beeindruckend!!!!
wow ich habe dieses jahr mein abi gemacht und fange jetzt mit meinem Studium an und muss echt sagen, dass ich das meiste verstanden habe!!
Deine Videos sind Großartig Peter, super verständlich und didaktisch perfekt. Hilft mir grade sehr in der Vorbereitung für die Mündliche Abschlussprüfung meines Mathe Bachelors
Danke für deine ausfürlichen und netten Videos! Deine Beispiele helfen sofort die Sachen zu verstehen!
danke wir lieben dich mit herz
7:10 bei einer Form wie dieser bietet es sich auch immer an, es wieder in die 3. binomische Formel umzuschreiben und daraus (t+5)(t-5) zu machen. Dadurch bekommt man auch direkt das charakteristische Polynom.
Grüße gehen raus! Du hilfst mir grad ordentlich durch HöMa2. Danke Peter!
Heidelberg?
Ich studiere nicht mehr an der RWTH, sondern an MathePeter. XD
Same! XD
Rwth = trash
same
Super Video. Hab das zwar vor Jahren schon gemacht, aber ist eine super Wiederholung auch für höhere Semester, :)
Hab deine Videos jetzt schon oft genug gesehen. Hast mein Abo!
Du bist mein Held. Danke für deine großartige Arbeit!
Wirklich toll, wie Sie das erklären! Herzlichen Glückwunsch!
Tolles Video, einmal ansehen und schon ist klar warum wir das Ganze machen und wie. Wenn Univorlesungen auch so wären ... :-)
Vielen Dank für das tolle Erklären. Es gibt Superhelden wie Iron Man und es gibt Alltags Superhelden wie dich. Danke für die Hilfe
MathePeter=MatheGott :D
Danke, Danke, Danke. Du bist der Beste
Das war echt tolle Einführung!
deine erklärungen sind einfach die besten !!
In der Vorlesung habe ich es nichtmal verstanden, mit diesem Video macht mir Mathe sogar Spass 😂
Was für ein unfassbar werthaltiges Video!
Neeh, ne weisst du ich hab gar kein Bock auf das bestehen von Examen, ne du, gut rüber gebrachte Infos sind doch längst überbewertet.
Bro jou, natürlich hat das Video mir gefallen
Daum zeigt nach oben!
Krass, nach 2 Jahren 100k Aufrufe, verdient!
Haha vielen Dank!! 😊
sehr starkes Video!
Diese Frechheit von der Nullzeile hat mich gekillt hahaha
😂
ja das war bischen cringe. aber auch sympathisch ;)
Gram-Schmidt ist abgelehnt.
Das Video war aber sehr hilfreich. Vielen Dank 😊
tolles Programm...
Super Video aber bei "dann kannst du einfach 5^1000 rechnen" habe ich leicht ungläubig geguckt
das wären nämlich ca. 9,33*10^698.
zum Vergleich, es gibt nur 10^85 Atome im Universum
Haha stimmt. "einfach" ist relativ 😂
Extrem geil! Danke
super Video! Danke dir!
wenn man eine matrix-vektor-multiplikation mit einem i-ten einheitsvektor macht kommt doch nicht die spalte der matrix raus. du meintest sicher den i-ten vektor einer einheitsmatrix, der zugegeben auch ein einheitsvektor ist aber manche könnten probleme bekommen, wenn sie in wikipedia nach einem beliebigen einheitsvektor gucken.. wie ich ^^
Stimmt, das wäre präziser 😅 Vlt hätte ich ergänzen sollen "i-ter Standard-Einheitsvektor". Freut mich aber, dass es am Ende trotzdem gut zu verstehen war!
Danke
Verstehe bei meinem Mathe Prof. an der RWTH nichts :D Wünschte du würdetst die Vorlesungen machen ! DANKE!
Wünschte ich auch 😄
Nur wegen MathePeter kann ich Mathe bestehen Danke dir
man du bist echt gut
irgendwas muss ich ja machen XD. danke dir!
Viel besser als Daniel Jung!! Gerade für Studenten, denen ein Zwei-Minuten Video nicht reicht ;)
Vielleicht sollte ich für Schüler noch ein paar Zwei-Minuten Videos nachschießen, damit sie später in Uni Zeiten auf die guten Vids aufmerksam werden 😄
@@MathePeter Also ich sehe Daniel Jung als DEN RUclipsr für Schüler*innen und Dich als DEN RUclipsr für Student*innen. Ich glaube es wäre richtig geil - und ich bin mir sicher, dass viele das mega abfeiern würden - wenn Du zusammen mit Daniel Jung Inhalte produzierst ;)
Würd ich persönlich auch interessant finden, glaub nur Daniel Jung hält nichts davon mit einem kleinen RUclipsr wie mir zu kooperieren, weil er kaum einen Nutzen davon haben würde. Denke mal anders siehts aus, wenn der Kanal hier mal eine größere Reichweite hat. Was würdest du davon halten, wenn ich neben den Videos für Studenten auch kurze und "einfache" Videos für Schüler anbiete? Kriegt jeder was er braucht, die Reichweite würde steigen und vielleicht kommt dadurch ja mal eine Kooperation mit Daniel zustande :)
MathePeter Grundsätzlich würde nichts dagegen sprechen. Aber ich bin der Meinung, dass es gerade diese Videos sind (z.B das zur Diagonalisierung), die Themen aus dem Mathematikstudium nochmal verständlich, aber umfangreich erklären, die auf RUclips noch nicht so präsent sind, wie z.B die Schulmathematik.
Werde auf jeden Fall weiter Mathe Themen fürs Studium veröffentlichen. Nur zur Zeit scheint das Wachstum des Kanals zu stagnieren. Egal wie gut die Videos sind, der Kanals wir nie groß werden. Dann bleibt es ein schönes Hobby, an dem man Vollzeit arbeitet, mehr aber auch nicht.
idk ob das noch jemand liest aber bei 2:15 wo S auf beiden seiten multipliziert wurde warum wird es auf der rechten seite zu SD und nicht DS?
Weil die Matrix Multiplikation nicht kommutativ ist, wir dürfen die Reihenfolge der Faktoren nicht einfach vertauschen. Darum habe ich im Beweis die Matrix S auf beiden Seiten "von rechts" dran multipliziert. Auf der Linken Seite steht deshalb A*S und auf der rechten Seite steht S*D*S^(-1)*S. Und da S^(-1)*S=E ergibt, kannst du diesen Faktor auch einfach weglassen, es bleibt rechts S*D.
Wunderbare Videos
Vielen Dank!
tolles Video !!
ich habe wieder Hoffnung die LA Prüfung in einer Woche doch zu bestehen
muss man nicht bei symmetrischen Matrizen die eigenvektoren zuerst normalisieren?
Sehr gutes Video
Einfach sympathisch
du bist der beste
18:45 wir haben ma`s und auch md`s, also ich würd sagen wir haben dann mdma, oder?
Vielen Dank für Video ,würde ich fragen ,wie man S rechnet,könnte man direkt Eigenvektoren einsetzen oder ?
Richtig! Nur für die Eigenvektoren brauchst du ja in der Regel erst mal die Eigenwerte.
@@MathePeter ehrlich vielen Dank 😊, mithilfe dieser Inhalte kann ich besser verstehen und bestehen
Das freut mich! 😊
Top Video! ❤ Nur eine kurze Frage: was mache ich bei einer 3x3 Matrix, wenn ich 2 nullzeilen habe, aber jede variable in der ersten Zeile belegt ist? Weil dann müsste man doch 2 Parameter wählen, aber das geht doch wohl nicht?
In dem Fall kannst du dir zwei Variablen aussuchen. Nur wenn einer der Vorfaktoren gleich Null wäre, müsstest du die entsprechende Variable wählen.
7:50
Wäre das dann wenn mit 5 bzw dem eigenwert halt an den Tiagonalen abgezogen und anschließender zeilenelemination nur eine Zeile verloren gehen würde, statt der anzahl wie oft 5 der eigenwert ist oder?
Ja genau! Wie auch bei dem Beispiel, das ich ganz am Ende aufgeschrieben hab.
Deine Videos sind echt klasse! Schade, dass die Trigonalisierung nicht in der Reihe dabei ist. Davon gibt es kaum Videos auf RUclips und es ist komplizierter. Aber trotzdem ist dein Kanal echt vielfältig und super hilfreich :)
Vielen Dank! Und coole Idee, ich schreibs mir mit auf meine Videoliste. Zur Zeit komme ich wegen meines Umzugs nicht so viel zum Filmen und auch die Live Kurse beginnen in den nächsten Wochen. Aber ich werde in Zukunft auch weiterhin Videos produzieren! :)
@@MathePeter Okay, das ist schön zu hören. Von Live-Kursen wusste ich noch gar nichts. Was wird denn da behandelt :)? Übrigens, passend zum Thema wäre sogar noch die simultane Diagonalisierung. Die ist auch für die Quantenmechanik interessant.
Einen schönen Abend noch und biel Erfolg beim Umzug!
Ich gehe an Unis und biete dort 3-tägige Prüfungsvorbereitungen an. Entweder zahlt jeder Student einen Kursbeitrag oder die Uni bietet einen Lehrauftrag an und übernimmt die Bezahlung :)
einfach super
Hallo Mathepeter, vielen Dank für das hilfreiche Video. Habe aber noch ne Frage zu 13:18: gibt es dann nicht unendlich viele Möglichkeiten für den zweiten EV wenn das einzige Kriterium für diesen ist, dass er senkrecht auf den ersten EV stehen soll?
Das Strecken/Stauchen des Vektors behält die Richtung bei. Und nur um die Richtungen geht es.
Kann es sein, dass du ein kleines Fehlerchen gemacht hast?
Ganz am Anfang nämlich. Wenn Lambda 2 = -5, dann muss doch 3-(-5) = 8 stehen, oder?
Beim ersten Eigenvektor wird 5 abgezogen, nicht -5.
liebe an dich
Sehr gutes Video! Ich hätte dennoch eine Frage: Wenn ich die Eigenvektoren durch Gram-Schmidt orthogonalisiere, dann ist meine Transformationsmatrix "S" ja nicht mehr aus Eigenvektoren. Wieso funktioniert das dann jedoch trotzdem und ergibt auch eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonale?
Sorry kurze frage ist es auch möglich dass der x1 vektor für x =1 und y=1/2 also umgekehrt je nachdem ob man y oder x als 1 wählt
Und reicht es wenn man einer der beiden Zeilen auflöst
Also entweder
-8x+4y=0
Oder
4x-2y=0
Oder muss ich ich des so rechnen das unten links in der Ecke 0 rauskommt
Egal wie rum die Rechnung läuft, der Vektor sollte der selbe sein (bis auf eine beliebige Skalierung).
Bester Mann 🔥
Bravo
Wenn die diagonalisierbare matrix allein durch die eigenwerte verechnet werden kann wozu berechnen wir dann die basis sowie die inverse davon
Was genau meinst du? Für die Diagonalisierung brauchen wir sowohl die Eigenwerte, als auch die Eigenvektoren.
@@MathePeter besteht die diagonalmatrix nicht nur azs eigenwerten, zudem bräuchten wir doch trozdem nicht die inverse berechnen müssen
Stimmt, die Diagonalmatrix D besteht nur aus den Eigenwerten. Die Matrix S aus den Eigenvektoren. Wenn du jetzt also A diagonalisieren willst, also in das Produkt S*D*S^(-1) zerlegen willst, dann brauchst du neben den Eigenwerten auch noch die Eigenvektoren.
@@MathePeter ahhh also die die diagonalisierbare matrix ist A = SDS-¹
Ja genau. Eine Matrix zu diagonalisieren heißt sie in exakt dieses Produkt zu zerlegen und nicht einfach nur eine Diagonalmatrix aufzustellen.
Da kommen die Eigenwerte raus und der dazugehörige Eigenvektor . Das heisst die Inverse wäre Division dann geteilt durch 0 und das geht ja nicht. Also keine Diagonalmatrix! Ok jetzt habe ich es verstanden wieso man nicht einfach die Eigenwerte abließt und dann bestimmt, das ist die Diagonalmatrix. Das Produkt bilden aus Inverser Matrix S des Eigenvektors mal Matrix A mal Eigenvektor S. Danach steht fest ok es die Diagonalmatrix. Lasse ich die Schritte weg, dann weiss ich es nicht ganz genau! Habe ich das so richtig verstanden? Danke Peter für deinen Support. LG
Genau. Wenn es so viele Eigenvektoren wie Eigenwerte gibt, ist die Matrix diagonalisierbar. Die entstehende Diagonalmatrix hat nur Eigenwerte auf der Hauptdiagonale stehen. Das Produkt selbst muss dann zum Glück nicht erst ausgerechnet werden.
@@MathePeter Genial! Jetzt hab ich es voll geschnagelt! Danke bist ein Rocker 🖖🏻🖖🏻🖖🏻
Lieber Peter hab gestern meine Mathe2 Klausur retour bekommen und was soll ich sagen vielen lieben Dank für deinen Support hier! Hab ne gute Note bekommen! 🖖🏻🖖🏻🖖🏻👍🏻👍🏻👍🏻
Passt vllt nicht in das Video rein , aber kannst du mal etwas über Tensoren sagen oder einen Einstieg in das Thema geben. Würde mich mal interessieren. Gruß
Kam tatsächlich schon mehrfach die Frage. Hab ich auch schon mit auf meiner Liste. Bin nur grad erst mal beschäftigt alle aktuellen Themen abzudecken für die Grundlagen in Analysis und Linearer Algebra. Würde gern so viel auf einmal machen 😅
@@MathePeter Stimmt, erst müssen die Grundlagen vermittelt werden, bevor man zum Speziellen übergeht. Ich freu mich drauf ,wenn es soweit ist :)
ich denke, dass die Matrix am Ende diagonalisierbar und invertierbar ist. Und die Inverse der Matrix A ist das Transponierte. Ich glaube sie steht sogar schon in Diagonalform da, oder?
Meinst du die Matrix unter "Gegenbeispiel"? Die ist nicht diagonalisierbar, weil die zum doppelten Eigenwert 0 nur den einzigen Eigenvektor (1,0). Algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 0 ist damit 2 und die geometrische Vielfachheit nur 1. Invertierbar ist sie auch nicht, weil 0 ein Eigenwert ist und die Matrix daher schon von vornherein einen Rangverlust hat.
@@MathePeter Dürfte man dann eigentlich schon von Anfang an sagen, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist weil sie ja nur EINEN Eigenwert hat, und zwar 0? Weil eine 2x2-Matrix muss ja 2 Eigenwerte und 2 Eigenvektoren haben damit sie überhaupt diagonalisierbar ist, oder?
Dankeeee
16:39 muss S eine Othogonale Matrix sein? Reicht es nicht die EV zu bestimmen und in S einzutragen?
Die Vektoren einer orthogonalen Matrix sind (1) paarweise orthogonal und haben (2) alle die Länge 1. Die Matrix S aus dem Video ist nicht orthogonal, weil die Vektoren nicht die Länge 1 haben. Aber die Eigenvektoren stehen alle senkrecht aufeinandern, das ist wichtig. Wäre das nicht so, müsste man sie noch mit dem Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren orthogonalisieren.
Darf man beim Berechnen des Eigenvektors zunächst normieren - also mal 1/√5 - dann S bilden?
Ja das geht. Wenn die Matrix S dann sogar orthogonal ist, dann ist ihre Inverse gleich ihre Transponierte.
Sehr pünktlich zur LinAlg der Informatiker 🙂
Idee zur Lösung der Eigenwertprobleme bei 2x2-Matrizen: Charakteristische Polynome haben immer die Form x^2 - spur (A) + det (A). Gegeben sind x (zu bestimmender Eigenwert) und A (Matrix) und spur A (Spur der Matrix A) und det A (Determinante A). Danke für die Idee der Diagonalisierung
Schöne Idee für ein Video, danke :)
wenn ich nicht falsch liege hat die Matrix am ende nur einen Eigenwert und einen Eigenvektor was im Umkehrschluss bedeutet das auf der Hauptdiagonalen für D nur ein Wert stehen würde was für eine Diagonalmatrix keinen sinn ergeben würde. Damit wäre die Matrix A doch dann auch nicht Diagonalisierbar oder seh ich das Falsch?
Du meinst die Matrix am Ende unter "Gegenbeispiel"? Die hat 2 Eigenwerte. Zwei mal die Null. Aber dieser (doppelte) Eigenwert hat nur einen Eigenvektor, damit ist die Matrix nicht diagonalisierbar. Grundlegend kannst du dir merken, dass eine (n x n)-Matrix immer genau n Eigenwerte hat. Sie werden mit ihrer Vielfachheit gezählt und wenn sie nicht reell sind, dann sind sie komplex. Direkte Folgerung aus dem Fundamentalsatz der Algebra, da die Eigenwerte die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind.
Macher❤
Mal ganz kurze Verständnisfrage bei ca. 8:30 : Wenn ich die Lamdas von der Diagonale abziehe, komme ich nie auf die "-2". Warum ist das so? PS: ungeachtet deine Videos helfen enorm!
Wenn du die 5 von dem Wert unten rechts abziehst, kommst du auf -2, weil 3-5=-2.
@@MathePeter Also ist lediglich der Zahlwert relevant nicht die Vorzeichen bei den Lamdas. Dann sollte de Frage geklärt sein. Danke!
Kann ich noch nicht ruhigen Gewissens bestätigen, was genau meinst du damit? Wenn ich -5 abziehe auf der Hauptdiagonale, dann hat man nicht mehr -8 und -2 auf der Hauptdiagonale stehen, sondern 2 und 8.
@@MathePeter Ich habe beide Lamdas (+5 in 1.Zeile/1.Spalte und -5 in 2.Zeile/2.Spalte) eingesetzt und daher rührt vermutlich die Vorzeichenproblematik.
Ah ok verstehe. Für jedes lamda eine eigene Rechnung, aber hast ja schon selbst rausgefunden :)
bester Mann
20:10
Mit Lamda = -i würde es gehen oder
Das charakteristische Polynom ist lambda^2. Die Nullstellen davon, zwei mal der Wert 0, sind die Eigenwerte. Prüf mal nach wieviele Eigenvektoren es gibt ;)
ich habe eine Frage , müssen wir sagen ,dass der matrix A ist bezüglich der standardbasis ,damit die Spalten von S bleiben dasselbe als Eigenvektoren?
Vielen Dank
Wenn nichts weiter angegeben ist, dann sind Vektoren immer als Koordinaten bzgl. der Standardbasis zu werten.
Hey Leute, was ich nicht verstehe ist wie man am Anfang D=S^-1*A*S zu A=S*D*S^-1 umformt. Division ist ja nicht möglich. Visuell vertauscht man halt einfach das A mit dem D und die beiden S-Matrizen. Merken kann ich mir das, aber rechnerisch, wie geht das?
Achsooo, ich verstehe doch, man nimmt die komplette Gleichung und multipliziert sie von links mit S und von rechts mit S^-1, dabei kommen dann auf der linken seite jeweils die Einheitsmatrix raus, also E*A*E=A, und deshalb wird genau das gleiche auf der rechten Seite gemacht, falls es noch jemanden verwirrt hat.
Genauso! Sehr gut!!
Eine dumme Frage, wenn ich die Eigenvektoren suche und ich schon die Gleichung wie z.B. aus dem Video -2x+y=0 gefunden habe, muss ich dann immer x finden, oder dürfte ich bsp. y=2t stellen und somit den Vektor (1, 2)^T feststellen? Und wie heißt noch dieses Theorem über symmetrische Matrizen und "umkehrbare" Eigenvektoren?
Darfst du auch machen. Geht sogar schneller. Was genau meinst du mit "umkehrbaren" Eigenvektoren?
@@MathePeter du hast im Video angedeutet, dass wenn wir orthogonale Vektoren haben, dürfen wie ganz einfach den gefundenen Vektor x einfach umkehren und das Zeichen ändern, um Eigenvektor y zu ermitteln.
Ah ich verstehe. Weiß leider nicht, ob das einen Namen hat, aber das ist allgemein bekannt.
top
Trigonalisierung fehlt mir noch. Vielleicht kommt es irgendwann
Ja irgendwann auf jeden Fall :)
Wo werden die Diagonalmatrizen in der Praxis genutzt ?
Aber was ist, wenn ich meine Matrix so gern habe, dass ich nicht möchte, dass sie einen Rang verliert? :(
😂😂
Dann musst du mit ihr ein bisschen leveln gehen, bis sie einen Rang aufsteigt
Was mir jetzt gerade aufgefallen is
wenn A = S⁻¹DS ist und ich die det(...) Anwende dann ist doch det(A)=∏ᵢᷠ₌₁ λₗ
Stimmt das?
Und das heist ja dann, dass das Charakteristische polynom an der stelle 0 gleich dem produkt seiner nst ist, denn det(A−λE) ist für λ=0 det(A) ?
Aber wenn ich mir ein polynom dritten grades anschaue bsp: (x+a)(x−b)(x−c) das ist für x=0 a⋅b⋅c und das produkt der nst −a⋅b⋅c, mir fällt jetzt irgendwie nicht mein fehler auf?
p(λ) = det(A-λ*E) = Prod (λi-λ). Für λ=0 folgt die Behauptung.
Wo war jetzt das Beispiel wenn es nur einen Eigenvektor gibt?
In 19:53.
Kann das Gegenbeispiel nicht diagonalisiert werden, weil die Matrix nur einen Eigenvektor, nämlich (1,0) hat?
Genau
Grüße von einem Medientechnik Studenten :D
legende
Gibt es ein Verfahren bzw einen Algorithmus, der mir sowohl die Eigenwerte, als auch S und S^-1 rausgibt?
Soweit ich weiß nur das standardmäßige Berechnen von Eigenwerten und Eigenvektoren.