Бесконечно вложенные радикалы и предел последовательности
HTML-код
- Опубликовано: 5 фев 2025
- Из этого видео вы узнаете, как найти чему равно выражение с бесконечно вложенными корнями. Для этого рассмотрим как найти предел последовательности, заданной по рекуррентной формуле и как доказать его существование, применяя теорему о монотонной ограниченной последовательности.
Еще один предел, который ведет к известной математической константе, для него применена похожая схема доказательства: • Постоянная Эйлера - Ма...
![Blox Fruits Dragon Rework Update [Full Stream]](http://i.ytimg.com/vi/EqDAp8udhm0/mqdefault.jpg)
Большое спасибо за более строгое, обоснованное решение.
Чел, какой же ты охуенный! Я давно что то такое искал и нашёл золото!
Составил простую программку на матлабе:
x=1;
for i=1:30
x=sqrt(1+x);
end;
x
Уже после 30 итераций сходится к числу, которое совпадает с золотым сечением с точностью до 15 знака после запятой.
Красиво и строго, куда уж строже... Но, вы правильно сказали, на деле решается в пару простых шагов. Сначала решается уравнение x=sqrt(a+x). Получаем две стационарных точки отображения x:=sqrt(a+x). Точку притяжения считаем значением предела. Точку убегания или игнорируем или считаем обобщенной суммой, если точка притяжения - бесконечность (вдруг).
подскажите пожалуйста где можно почитать про все эти точки отображения
Что означают эти слова? Это какая-то альтернативная теория дифференциального исчесления?
На семинаре по истории КПСС я рассуждал так. Роль партии в СССР возрастает -написано в учебнике. Далее. При коммунизме, к которому мы стремимся, роль партии будет равна нулю. Следовательно, роль партии отрицательна. Итог-проработка на комсомольском собрании. Вот до чего математика доводит.
а = 4014012; предел = 2004
там можно более легче вывести формулу, просто допустить что есть x^2=a+x ->
x=√a+√a+√a+... и потом решить уравнение x^2=a+x решением также будет (1+√1+4a)/2 как и было выведено в видео, из этого √a+√a+√a+... = (1+√1+4a)/2, а также из формулы легко вывести что любое число n>1 может быть представлено в виде n = √n(n-1)+√n(n-1)+√n(n-1)+...
а вообще, спасибо за ваши видео, очень нравятся рассмотрения различных интегралов которые представляются в форме известных констант и прочих математических объектов
нельзя приравнивать выражение к икс до того, как доказана "сходимость этого выражения"
@@АндрейЯковлев-ц2н на тот момент я не знал, после начал изучать мат анализ уже, да, действительно так
Здравствуйте, давно интересовался темой вложенных корней, а точнее задачей по-сложнее: где вместо единиц натуральный ряд. Эта последовательность сходится и равна приблизительно 1,758, но явно я не сог ничего сделать с этим выражением. Прошу вас снять ролик по этой теме, в интернете, ничего найти не удалось
Получается, что выражение √(a+√(a+√(...))) как функция R(a) принимает такие значения:
при a>0 R(a) = L(a) = (1+√(1+4a))/2,
при a=0 R(0) = 0,
при a0 равен 1. То есть функция R(a) в точке а=0 имеет разрыв... Интересно, почему?
И каким способом можно сразу находить точки разрыва в таких бесконечных выражениях?
Привет ты про числа Луивилля можешь ролик снять? В Зориче была задачка "вывести" их и доказать трансцендентность, чего то исчерпывающего и понятного не нашел на эту тему.
Я сейчас сам только в первый раз в википедии посмотрел, что это такое. Это тот раздел математики, где я ничего не знаю :)
интересный пример
a=3998000, 2000 год
Почему я имею право предполагать , что x_n
предполагать можно всё, что угодно :)
смысл в том, что мы делаем предположение о какой-то закономерности на n-ом шаге, а на (n+1)-ом шаге эта же закономерность должна выполняться. Если на n-ом шаге мы сделаем предположение о заведомо ложной закономерности, то на (n+1)-ом шаге мы не сможем доказать, что она выполняется. Почитайте еще где-нибудь про метод математической индукции
Hmath ок спасибо
Это отдаленно напоминает решений солитонных уравнений
Я не заморачивался и просто сделал так:
√(1+√(1+√(1+√(1+...)))) = √(1+r), где r = √(1+√(1+√(1+...)))
↓
√(1+r) = r
1+r = r²
r² - r - 1 = 0
D = 1+4 = 5
r = (1 + √5)/2
Тоже самое и с любым А:
√(A+√(A+√(A+√(A+...)))) → √(A+r) = r
A+r = r²
r² - r - A = 0
D = 1+4A
r = [1+√(1+4A)]/2
Вот как то так
сделали то же самое, что и в видео. Только без доказательства сходимости.
Я когда-то пробовал такое считать. И получал, что и при некоторых отрицательных 'а' получится положительное число. Конкретно до а = -0.25. Пробовал этот случай проверять на компьютере и вроде как в этих случаях выражение действительно стремилось к числу, получаемому по формуле.
Там выполнятся условия сходимости не будут))
@@ТимурАббасов-т5нбудут
и всё таки очень интересно, что при а=0 получается 1. Связь с бесконечностью. Тоже самое можно получить из равенства 1/0=бесконечность, откуда 0*бесконечность=1.
Не-а, здесь в задаче предполагалось, что а>0 и поэтому брали второе решение квадратного уравнения со знаком плюс перед квадратным корнем. Но при а = 0, мы не можем исключить первое решение. Если подставить в него а=0, то получим 0, что и является верным решением
>из равенства 1/0=бесконечность, откуда 0*бесконечность=1.
какого ещё равенства?)
@@dtihert Автор коммента просто адепт бесконечности и деления на ноль.
Какая программа, пожалуйста?
год_моего_рождения*год_перед_годом_моего_рождения :)
При а=0 предел равен 1😮
Если предел равен 1993 = (1+sqrt(1+4a))/2
То
a = 3970056
2×L=1+√(1+4a)
[(2×L)-1]²=1+4a
4L(L-1)+1=1+4a
L(L-1)=a
Решается в 5 действий. x=sqrt(1+sqrt(1+...
Раз это бесконечная последовательность, то можно заменить бесконечное количество корней на x, и получим x=sqrt(1+x)
возводим в квадрат x^2=1+x => x^2-x-1=0 => D=1+4=5 => x1=(1+sqrt(5))/2, x2=(1-sqrt(5))/2
у меня точно такое же решение в видео, только оформлено в нормальном виде.
Никакое "бесконечное количество корней" нельзя заменить просто на букву х. Оперировать можно пределами, и то только при условии, что они существуют и конечные.
А так как вы пишите можно много веселых результатов получить.
Вот, например, посмотрим на сумму: 1+1+1+...
Вы бы как стали находить?
Следуя, вашей логике: x=1+1+1+... = 1+(1+1+1+...) = 1+x
получается: x=1+x => 1=0
оказывается 1=0 :)
и так можно "доказать", что любое число, оказывается, равно нулю. :)
@@Hmath ну, просто ролик длится 10 минут, а я дольше комментарий писал, чем решал
потому что это не "решение" вовсе. Специально для вас же пример проще придумал, который показывает абсурдность таких размышлений. Странно, что он вас нисколько не убеждает.
@@Hmathэто решение, просто оно использует логику для бесконечностей и бесконечных последовательностей и работает только в них
я вам написал в каком случае работает, а дальше это ваше право... можете как угодно считать и получать любые результаты.
Могу еще 100500 примеров привести с абсурдными результатами, полученными такой вот "логикой для бесконечностей"
В конце не хватает красивого графика
а=4 014 012: L=2004
a=4030056, lim=2008
4 022 030, большеватое число
У меня будет число 4018020 :)
Какое-то излишне усложнённое решение, это можно решить в две строчки.
Пусть это выражение равно X. Мы можем откинуть один корень, их бесконечность и выражение не изменится.
Значит sqrt(1+x) = x, x>0. => 1+x = x^2. Применяем дискриминант, получаем (1+sqrt(5))/2, что и равно ответу. И не нужны десять минут рассуждений.
это потому, что вы плохо представляете, что такое предел. Поэтому всё кажется "усложненным".
sqrt(1+x) = x. Почему вы решили, что здесь х - это какое-то конечное число? А может х - бесконечность?
@@Hmath Корень убавляет число много быстрее, чем +1 его увеличивает. Если подкоренное выражение станет больше 2, то уже каждая следующая итерация будет его убавлять. Можно, конечно, доказать это строго через критерий коши, но тут и так очевидно, что выше двойки сумма не разрастётся.
Все выражение обозначаем за Х, возводим в квадрат,получаем - 1+Выражение = х2
то есть 1+х=х2
решаем.
а в видео как-то по-другому находится?
@@Hmath Я не смотрел ，думал там сложно 😅
1005006
1003год? :)
@@Hmath один из нас явно ошибся в расчётах)
@@Hmath И это я😅
Правильно: 4010006
А что если родился в -2001?
Значит, вас не существует.
тогда 4002000
Есть более простое решение. Не морочьте голову
я не морочу. Давайте вы сделаете видео со своим "более простым решением" - тогда и будет, что обсуждать.
Так извольте же привести это самое решение, о котором Вы говорите. Иначе это попахивает пиздабольством, только и всего
4058210, для 2015
a=4026042
У меня получилось 4046132
4026042
𝐁𝐲 𝐭𝐡𝐞 𝐰𝐚𝐲, √(𝐚*√(𝐚*√(...)))
𝐞𝐪𝐮𝐚𝐥𝐬 𝐭𝐨 𝐚, 𝐛𝐞𝐜𝐚𝐮𝐬𝐞
𝐀=√(𝐚*√(𝐚*...))=√𝐚 * √√𝐚 * ... = 𝐚^½*𝐚^¼*𝐚^⅛*...=𝐚^(½+¼+⅛+...)=𝐚^𝟏=𝐚
𝐖𝐡𝐞𝐫𝐞 𝐚^𝐛 = 𝐚 𝐢𝐧 𝐭𝐨 𝐭𝐡𝐞 𝐩𝐨𝐰𝐞𝐫 𝐛
ох, юу ар фром енгланд