Есть два разных определения "арфметический корень" и "алгебраический корень". Записываются, по недоразумению, одинаково, это и рождает путаницу. Это баг общепринятой математической нотации. Так уж вышло.
В школе учат, что корень из произведения равен произведению корней только при неотрицательных числах. Дальше нужна нормальная теория компелксных чисел.
Здравствуйте Сергей .Приятно снова смотреть ваши видеоролики а то ваш канал у меня был потерян но я снова его благополучно нашёл.Я всегда хотел разъяснить тему о которой идет речь в видеоролике .Спасибо Вам.
Хотелось бы рассматривать √ как функцию. В этом случаи второй подход более оправдан. Первый подход вносит путаницу в обозначения. Для действительный чисел √ - одно, а для комплексных совсем другое.
"Хотелось бы рассматривать √ как функцию. В этом случаи второй подход более оправдан." Так комплексная функция запросто может быть многозначной! "Для действительный чисел √ - одно, а для комплексных совсем другое." Ну а как этого избежать? Использование главного значения не решает проблему (если мы говорим о корнях произвольных натуральных степеней, а не только квадратных). Скажем, действительный кубический корень из −1 равен −1, а главное значение комплексного кубического корня из −1 равно exp(−iπ/3). Как видите, они не совпадают.
@@FrolovSergei Такой подход возможен, может быть даже полезен. Но под функцией как-то привычнее понимать сюръективное отображение. Неидеальны всё таки обозначения. Но тут ничего не поделаешь.
А всего лишь нужно знать, что говорить, i = корень из минус единицы ( и вообще считать его таковым) неверно. i - это такое число которое при возведении в квадрат даёт минус единицу, и если рассматривать его именно с этой стороны, то никаких проблем не возникнет :3
Всё зависит от того, что понимать под корнем. Если главное значение комплексного корня, то формула ✓(z1)·✓(z2)=✓(z1·z2), вообще говоря, не работает. И тогда ✓(−1)·✓(−1)≠✓((−1)·(−1))
А есть ли формула для главного значения произведения? Алгоритм, понятно, есть: нужно, прибавляя или вычитая 2π к аргументу, пока он не попадёт в отрезок от минус пи до пи (простите, забыл, какой из концов отрезка не включается)
Теперь осталось разобраться с кубическим корнем из отрицательного вещественного числа и объяснить почему он уже не совпадает с главным значением комплексного кубического корня 😊 и как-то все эти корни , арифметический и «нечетной степени из отрицательных чисел», бесшовно сшить с помощь комплексного корня 😊 У меня лично есть объяснение, для себя, ибо вопрос этот нигде не разобран во всей полноте раз и навсегда .. А именно с помощью комплексной степени. Тогда например кубический корень из отрицательного числа естественно сшивается с арифметическим кубическим корнем одной формулой, которая получится если рассмотреть только вещественные значения степени x^1/3 …напомню для z =\= 0 z^w := exp( w*Ln(z)) . Отсюда заодно уже как теорему получаем и совпадение комплексного корня n-й степени с комплексной же степенью z^1/n , тогда как в вещественном случае эти символы ( корня и соответствующей 1/n -й степени) обозначают арифметический корень по определению 😊
Так а где эта формула, посредством которой происходит это "естественное сшивание"? Или Вы предлагаете взять формулу z^w := exp( w*Ln(z), но использовать при этом только вещественные значения?
@@FrolovSergei да именно, тогда естественно получится, что для положительных значений x x^1/3 = кубическому корню ( арифметическому) из x, а вот для отрицательных уже получим x^1/3 = минус корень кубический из модуля x
@@andreybyl Но для чётных степеней корней такой подход уже работать не будет, поскольку комплексный корень чётной степени из положительного числа имеет ровно два вещественных значения.
@@FrolovSergei да, но для четных корней и никакой проблемы нет, там нет отдельно вводимого корня нечетной степени из отрицательного числа ) В рамках такого подхода для четных n мы говорим что наш обычный арифметический корень это положительное вещественное значение x ^ 1/2
-1=i*i=i^2=-1 🤣 но пойдем путем предложенного варианта: -1=i*i=+/-sqrt(-1)*(+/-sqrt(-1)=+/-(sqrt(-1)*(-1))=+/-sqrt(1)=+/-(+/-1)=+/-1. Проблема с двойным ответом обычное свойство извлечения квадратного корня, ничего странного. Такая это функция, случай единственного корня ноль (но и тут проблема интерпретации, в уравнении x^2=0 корни можно представить в комплексной форме как 0+0i и 0-0i).
@@ВиталийКуранов-ю8я То, что Вы написали (i^2=−1), не является уравнением. Это тождество (верное числовое равенство), аналогичное, например, тождеству 2^2=4. А уравнение записывается так: z^2=−1. И число i действительно является его корнем. Но не единственным. Поэтому справедливо утверждение: i - это один из корней уравнения z^2=−1. Вот с этими формулировками я согласен.
@@ВиталийКуранов-ю8я Конечно, не понравилось! В теории комплексных чисел символ i зарезервирован за мнимой единицей, и при работе с комплексными числами не стоит приписывать ему другой смысл во избежание путаницы. Скажем, i и 2 - это два "равноправных" комплексных числа. Но нам же не придёт в голову двойкой обозначать неизвестное в уравнении? Если бы Вы заранее предупредили, что буквой i обозначаете неизвестное, то я бы, конечно, удивился, но принял бы это к сведению. Но Вы этого не сказали, поэтому i в Вашей записи я воспринял именно как мнимую единицу.
Спасибо за разбор. Объясните мне, пожалуйста, как тогда работать при первом вашем подходе. Получается, что i следует рассматривать как {z1=i=exp(i*Pi/2)} и {z2=i=exp(-i*Pi/2)}, также, как (минус)i -- {z3=-i=exp(i*Pi/2)} и {z4=-i=exp(-i*Pi/2)} , и все это одновременно. И при этом это не упорядоченные наборы: то есть, если для i мы берем z1, то для -i мы не обязаны брать z3? Тогда неравенство {i -i} будет не определенно? Или решая какое-нибудь уравнение и получая ответ {10*exp(-i*Pi/2)} мы должны рассматривать это как 10i и -10i одновременно?
Вам спасибо за просмотр и за комментарий! Нет, конечно же, Вы всё неверно поняли. i и −i - это два разных комплексных числа. Неравенство i≠−i, разумеется, справедливо. В показательной форме эти числа записываются так: i=exp(iπ/2), −i=exp(−iπ/2). На Ваш последний вопрос ответ отрицателен. 10*exp(−i*Pi/2)=−10i. Речь в ролике шла о другом. Комплексный квадартный корень из −1 мы в рамках первого подхода рассматриваем как неупорядоченную пару комплексных чисел i и −i. Только и всего. Но ещё раз: i и −i - это разные комплексные числа, и отождествлять их ни при каких обстоятельствах категорически нельзя!
@@FrolovSergei Спасибо. Но если мы имеем в первом подходе однозначное определение i (хоть я и не понял почему, ведь мы определи i через квадратное уравнение i^2=-1 и не упорядочили никак решения), то тогда где ошибка: i^2=-1 => i=sqrt(-1)=> i=sqrt[exp(i*Pi)] => первый корень i=exp(i*Pi/2)=i и второй корень i=exp(-i*Pi/2)=-i. Еще вопрос насчет второго подхода и неправильности перехода от произведения корней к корню произведения из-за ограничения на аргумент: для второго подхода по этому определению вообще невозможно никакое произведение, деление, степени? Даже (-1)*(-1)=exp(i*Pi)*exp(i*Pi)=exp(i*2*Pi) - что не допустимо.
@@ИльяМ-и1з "мы определи i через квадратное уравнение i^2=-1 и не упорядочили никак решения" Нет! Мы не определяли i таким образом! Мы таким образом (через уравнение) определили комплексный квадартый корень из −1. Это разные вещи! z^2=−1 z=sqrt(−1). На второй Ваш вопрос ответ тоже "нет". Разумеется, свойства операций со степенями никто не отменял. Речь шла о другом. А именно: о том, что свойство, работающее для комплексных квадратных корней, перестаёт работать (в общем случае) для их главных значений.
@@FrolovSergei Извините, что отнимаю время, но как тогда в первом подходе определяется i не через самого себя (не через exp[i*pi/2])? Как одно из решений уравнения x^2=-1 (т. е. неявно)? Нет явного определения? Еще относительно первого подхода: выражение вида x=sqrt(-1)+sqrt(1) имеет 4 корня? И для второго подхода в этой цепочке преобразований: i=sqrt(-1)=sqrt(1/[-1])=sqrt(1)/sqrt(-1)=1/sqrt(-1)=1/i, не верным будет переход от корня отношения к отношению корней? В универе меня именно эта цепочка преобразований поставила в тупик. :) Просто в этих преобразованиях интуитивно никак не чувствуется ошибка (приходится по факту наличия ошибки понимать, что что-то в рассуждениях не верно).
@@ИльяМ-и1з 1. "Извините, что отнимаю время, но как тогда в первом подходе определяется i не через самого себя (не через exp[i*pi/2])? Как одно из решений уравнения x^2=-1 (т. е. неявно)? Нет явного определения?" Я вообще не занимался определением i в этом ролике. Это не входило в мои задачи. Но явное определение i, конечно же, существует. И оно вообще не требует никаких корней! Один из подходов к определению множества комплексных чисел следующий. Оно определяется как множество всех упорядоченных пар вещественных чисел вида (a,b), для которых определён ряд операций, обладающих определёнными свойствами. И мы говорим: "А давайте комплексное число (0,1) называть мнимой единицей и обозначать символом "i"!" Вот Вам, пожалуйста, явное определение i. Ну и при желании можно отметить, что i²=(0,1)²=(−1,0). Ну а далее, используя мнимую единицу, можно уже переходить к алгебраической форме записи комплексного числа a+bi. 2. "Еще относительно первого подхода: выражение вида x=sqrt(-1)+sqrt(1) имеет 4 корня?" Да, именно так! Но только не 4 корня, а 4 значения. У меня на канале есть ролик, в котором я вычисляю значения очень похожего выражения sqrt(i)+sqrt(−i) и получаю 4 разных числа. По умолчанию это именно так. Но, если специально оговаривается, что под корнями нужно подразумевать главные значения корней, то получится только одно значение. Но, повторюсь, это должно быть специально оговорено. Иначе мы считаем, что все значения равноправны. 3."И для второго подхода в этой цепочке преобразований: i=sqrt(-1)=sqrt(1/[-1])=sqrt(1)/sqrt(-1)=1/sqrt(-1)=1/i, не верным будет переход от корня отношения к отношению корней?" Конечно, неверным! Этот переход в общем случае не работает для главных значений корней.
Эта формула прекрасно работает и для всех комплексных чисел, если, конечно же, под корнями подразумевать комплексные корни и учитывать их многозначность.
По моему, тут всё гораздо проще. Корня из -1 не существует в действительны числах. А, значит, оперировать с ним нельзя в принципе. Т.е. кроме как записать его, как i, ничего другого мы сделать не можем. А если мы начинаем переходить к комплексным корням, то это уже совсем другая песня...
"Корня из -1 не существует в действительны числах." Да, а числа e не существует в натуральных числах! 🙂 "А, значит, оперировать с ним нельзя в принципе." Почему? "Т.е. кроме как записать его, как i, ничего другого мы сделать не можем." Очень многое можем сделать! Можем сделать с ним почти всё, что умеем делать с действительными числами.
@@FrolovSergei да! Числом е, кое является суммой ряда не натуральных чисел, оперировать в области натуральных, невозможно, кроме, как записать его в виде е. Что не так...?!
@@FrolovSergei с числом i можно сделать всё, что угодно, на множестве комплексных чисел. А вот на отдельно взятом его подмножестве, не включающее это i, - ничего. По этому вы тут и рассказываете о каких то непонятных "комплексных" корнях. Вы тогда уж значок для них новый изобретите... ;)
@@ядриломудрило Вы написали: "кроме как записать его, как i, ничего другого мы сделать не можем". Если мы не собираемся выходить за рамки действительных чисел, то зачем нам вообще записывать число i? Просто обходимся без него, и всё! А если мы его уже записали, то, наверное, мы понимаем его смысл, и умеем с ним работать. В противном случае получается как-то странно: умеем работать с действительными числами, а число i умеем только записывать, но смысла его не понимаем. "По этому вы тут и рассказываете о каких то непонятных "комплексных" корнях. Вы тогда уж значок для них новый изобретите... ;)" Да, к сожалению, обозначения комплексных и арифметических корней друг от друга не отличаются. Может, и значок отдельный изобрести не помешает, но это делать должен уж точно не я. :-)
@@ядриломудрило "Что не так...?!" Всё так! Никаких возражений не имею. Я лишь слегка сыронизировал над фразой о том, что "корня из -1 не существует в действительны числах" ввиду её чрезвычайной тривиальности. :-)
Вообще, определение мнимой единицы это такая хрень, которая будучи возведена в квадрат даёт минус единицу. А вот извлечение корня квадратного из минус единицы - это сомостоятельная задача. Давно уже надо признать, что извлечение квадратного корня из числа это не число, а множество из двух элементов, обладающих следующими свойствами: они не равны друг другу и будучи возведёнными в квадрат дают подкоренное число. Ну, а скажем, корень четвёртой степени из плюс единицы это множество, состоящее из четырёх элементов. Ну а каких, догадайтесь сами. Да, только не ляпните, что корень квадратный из четырёх равняется плюс минус два! Такой хрени в математике не существует.
Чтобы не путаться, давно пора ввести отличия в обозначения арифметического и алгебраического корня. Точнее, только алгебраического, т.к. существующий знак - в подавляющем большинстве случаев обозначает корень арифметический, и "умная" школота, выпендривающаяся на эту тему, уже надоела.
"существующий знак - в подавляющем большинстве случаев обозначает корень арифметический" Я многократно встречал в математической литературе знак корня, использующийся для обозначения именно многозначных корней из комплексных чисел. Так что боюсь, что о "подавляющем большинстве случаев" говорить не приходится.
Сей пример меня застиг в уборной и мне хватило времени найти ошибку, пока мой организм изторгнул нечистоту. Удивляюсь красноречию этого блогера, имеющего дар простую мысль облечь в словеса неизсякаемого словарного запаса
Боюсь, что Вы нашли неподходящую площадку для описания жизнедеятельности своего организма. Вполне допускаю существование форумов, на которых Вас с Вашими описаниями примут с распростёртыми объятиями. Но здесь этого точно не будет. Поэтому предлагаю Вам либо удалить свой комментарий, либо изменить его, убрав из него всю похабщину. В случае Вашего отказа я Вас заблокирую.
![Seungmin "그렇게, 천천히, 우리(As we are)" | [Stray Kids : SKZ-PLAYER]](http://i.ytimg.com/vi/kAzmhLHePqU/mqdefault.jpg)
Есть два разных определения "арфметический корень" и "алгебраический корень". Записываются, по недоразумению, одинаково, это и рождает путаницу. Это баг общепринятой математической нотации. Так уж вышло.
В школе учат, что корень из произведения равен произведению корней только при неотрицательных числах. Дальше нужна нормальная теория компелксных чисел.
И правильно учат! А в случае комплексных корней эта формула (с учётом многозначности) работает вообще без ограничений.
Я сразу подумал о втором варианте вашего объяснения этого парадокса, наверное потому, что я близок компьютерным вычислениям.
Здравствуйте Сергей .Приятно снова смотреть ваши видеоролики а то ваш канал у меня был потерян но я снова его благополучно нашёл.Я всегда хотел разъяснить тему о которой идет речь в видеоролике .Спасибо Вам.
Приветствую, Ильхам! Вам большое спасибо за просмотр и за добрые слова!
пишу комментарии от трёх слов в поддержку видеоролика и канала
Спасибо!
Хотелось бы рассматривать √ как функцию. В этом случаи второй подход более оправдан. Первый подход вносит путаницу в обозначения. Для действительный чисел √ - одно, а для комплексных совсем другое.
"Хотелось бы рассматривать √ как функцию. В этом случаи второй подход более оправдан."
Так комплексная функция запросто может быть многозначной!
"Для действительный чисел √ - одно, а для комплексных совсем другое."
Ну а как этого избежать? Использование главного значения не решает проблему (если мы говорим о корнях произвольных натуральных степеней, а не только квадратных). Скажем, действительный кубический корень из −1 равен −1, а главное значение комплексного кубического корня из −1 равно exp(−iπ/3). Как видите, они не совпадают.
@@FrolovSergei Такой подход возможен, может быть даже полезен. Но под функцией как-то привычнее понимать сюръективное отображение. Неидеальны всё таки обозначения. Но тут ничего не поделаешь.
Очень понятно объяснили, большое спасибо!
Вам большое спасибо за просмотр и за отзыв!
Да ну? Больше запутал чем "обьяснил"
Всё просто...У корня из единицы два корня 1 и -1.... в одном случае взяли -1 в другом один...
Спасибо за рассказ!
Вам спасибо за просмотр и за комментарий!
Элементарно. Любой корень степени n имеет значений n.
Буду теперь этим задалбывать знакомых, спасибо ❤
И Вам спасибо за просмотр и за комментарий!
А всего лишь нужно знать, что говорить, i = корень из минус единицы ( и вообще считать его таковым) неверно. i - это такое число которое при возведении в квадрат даёт минус единицу, и если рассматривать его именно с этой стороны, то никаких проблем не возникнет :3
Совершенно верно! Именно об этом я и говорю в первой части ролика: равенство i=sqrt(−1) неверно.
@@FrolovSergeiя бы не назвал это первым подходом. Мне кажется, это лучше объясняет «первый подход»
задача хорошая, на доске противооечие. формула ✓z1*✓z2=✓z1*z2, но ✓(-1)*✓(-1)✓(-1)*(-1). Цепочка равенств ломается в другом месте.
Всё зависит от того, что понимать под корнем. Если главное значение комплексного корня, то формула ✓(z1)·✓(z2)=✓(z1·z2), вообще говоря, не работает. И тогда ✓(−1)·✓(−1)≠✓((−1)·(−1))
А есть ли формула для главного значения произведения? Алгоритм, понятно, есть: нужно, прибавляя или вычитая 2π к аргументу, пока он не попадёт в отрезок от минус пи до пи (простите, забыл, какой из концов отрезка не включается)
А что такое "главное значение произведения"? Я с таким понятием не встречался.
Теперь осталось разобраться с кубическим корнем из отрицательного вещественного числа и объяснить почему он уже не совпадает с главным значением комплексного кубического корня 😊 и как-то все эти корни , арифметический и «нечетной степени из отрицательных чисел», бесшовно сшить с помощь комплексного корня 😊 У меня лично есть объяснение, для себя, ибо вопрос этот нигде не разобран во всей полноте раз и навсегда .. А именно с помощью комплексной степени. Тогда например кубический корень из отрицательного числа естественно сшивается с арифметическим кубическим корнем одной формулой, которая получится если рассмотреть только вещественные значения степени x^1/3 …напомню для z =\= 0 z^w := exp( w*Ln(z)) . Отсюда заодно уже как теорему получаем и совпадение комплексного корня n-й степени с комплексной же степенью z^1/n , тогда как в вещественном случае эти символы ( корня и соответствующей 1/n -й степени) обозначают арифметический корень по определению 😊
Так а где эта формула, посредством которой происходит это "естественное сшивание"? Или Вы предлагаете взять формулу z^w := exp( w*Ln(z), но использовать при этом только вещественные значения?
@@FrolovSergei да именно, тогда естественно получится, что для положительных значений x x^1/3 = кубическому корню ( арифметическому) из x, а вот для отрицательных уже получим x^1/3 = минус корень кубический из модуля x
@@andreybyl Но для чётных степеней корней такой подход уже работать не будет, поскольку комплексный корень чётной степени из положительного числа имеет ровно два вещественных значения.
@@FrolovSergei да, но для четных корней и никакой проблемы нет, там нет отдельно вводимого корня нечетной степени из отрицательного числа ) В рамках такого подхода для четных n мы говорим что наш обычный арифметический корень это положительное вещественное значение x ^ 1/2
-1=i*i=i^2=-1 🤣 но пойдем путем предложенного варианта: -1=i*i=+/-sqrt(-1)*(+/-sqrt(-1)=+/-(sqrt(-1)*(-1))=+/-sqrt(1)=+/-(+/-1)=+/-1. Проблема с двойным ответом обычное свойство извлечения квадратного корня, ничего странного. Такая это функция, случай единственного корня ноль (но и тут проблема интерпретации, в уравнении x^2=0 корни можно представить в комплексной форме как 0+0i и 0-0i).
" но пойдем путем предложенного варианта: "
Предложенного кем? Я, например, не предлагал считать, что i=±√(−1). Так что это точно не мой путь.
@@FrolovSergei мнимая единица корень уравнения i^2=-1; i^2-1=0; i=+/-sqrt(-1). Не согласны?
@@ВиталийКуранов-ю8я То, что Вы написали (i^2=−1), не является уравнением. Это тождество (верное числовое равенство), аналогичное, например, тождеству 2^2=4. А уравнение записывается так: z^2=−1. И число i действительно является его корнем. Но не единственным. Поэтому справедливо утверждение: i - это один из корней уравнения z^2=−1. Вот с этими формулировками я согласен.
@@FrolovSergei Вам не понравилось что я переменную другой буквой обозначил?
@@ВиталийКуранов-ю8я Конечно, не понравилось! В теории комплексных чисел символ i зарезервирован за мнимой единицей, и при работе с комплексными числами не стоит приписывать ему другой смысл во избежание путаницы. Скажем, i и 2 - это два "равноправных" комплексных числа. Но нам же не придёт в голову двойкой обозначать неизвестное в уравнении? Если бы Вы заранее предупредили, что буквой i обозначаете неизвестное, то я бы, конечно, удивился, но принял бы это к сведению. Но Вы этого не сказали, поэтому i в Вашей записи я воспринял именно как мнимую единицу.
Спасибо за разбор. Объясните мне, пожалуйста, как тогда работать при первом вашем подходе. Получается, что i следует рассматривать как {z1=i=exp(i*Pi/2)} и {z2=i=exp(-i*Pi/2)}, также, как (минус)i -- {z3=-i=exp(i*Pi/2)} и {z4=-i=exp(-i*Pi/2)} , и все это одновременно. И при этом это не упорядоченные наборы: то есть, если для i мы берем z1, то для -i мы не обязаны брать z3? Тогда неравенство {i -i} будет не определенно? Или решая какое-нибудь уравнение и получая ответ {10*exp(-i*Pi/2)} мы должны рассматривать это как 10i и -10i одновременно?
Вам спасибо за просмотр и за комментарий!
Нет, конечно же, Вы всё неверно поняли. i и −i - это два разных комплексных числа. Неравенство i≠−i, разумеется, справедливо. В показательной форме эти числа записываются так: i=exp(iπ/2), −i=exp(−iπ/2). На Ваш последний вопрос ответ отрицателен. 10*exp(−i*Pi/2)=−10i.
Речь в ролике шла о другом. Комплексный квадартный корень из −1 мы в рамках первого подхода рассматриваем как неупорядоченную пару комплексных чисел i и −i. Только и всего. Но ещё раз: i и −i - это разные комплексные числа, и отождествлять их ни при каких обстоятельствах категорически нельзя!
@@FrolovSergei Спасибо. Но если мы имеем в первом подходе однозначное определение i (хоть я и не понял почему, ведь мы определи i через квадратное уравнение i^2=-1 и не упорядочили никак решения), то тогда где ошибка:
i^2=-1 => i=sqrt(-1)=> i=sqrt[exp(i*Pi)] => первый корень i=exp(i*Pi/2)=i и второй корень i=exp(-i*Pi/2)=-i.
Еще вопрос насчет второго подхода и неправильности перехода от произведения корней к корню произведения из-за ограничения на аргумент: для второго подхода по этому определению вообще невозможно никакое произведение, деление, степени? Даже (-1)*(-1)=exp(i*Pi)*exp(i*Pi)=exp(i*2*Pi) - что не допустимо.
@@ИльяМ-и1з
"мы определи i через квадратное уравнение i^2=-1 и не упорядочили никак решения"
Нет! Мы не определяли i таким образом! Мы таким образом (через уравнение) определили комплексный квадартый корень из −1. Это разные вещи! z^2=−1 z=sqrt(−1).
На второй Ваш вопрос ответ тоже "нет". Разумеется, свойства операций со степенями никто не отменял. Речь шла о другом. А именно: о том, что свойство, работающее для комплексных квадратных корней, перестаёт работать (в общем случае) для их главных значений.
@@FrolovSergei Извините, что отнимаю время, но как тогда в первом подходе определяется i не через самого себя (не через exp[i*pi/2])? Как одно из решений уравнения x^2=-1 (т. е. неявно)? Нет явного определения?
Еще относительно первого подхода: выражение вида
x=sqrt(-1)+sqrt(1)
имеет 4 корня?
И для второго подхода в этой цепочке преобразований:
i=sqrt(-1)=sqrt(1/[-1])=sqrt(1)/sqrt(-1)=1/sqrt(-1)=1/i,
не верным будет переход от корня отношения к отношению корней? В универе меня именно эта цепочка преобразований поставила в тупик. :) Просто в этих преобразованиях интуитивно никак не чувствуется ошибка (приходится по факту наличия ошибки понимать, что что-то в рассуждениях не верно).
@@ИльяМ-и1з
1. "Извините, что отнимаю время, но как тогда в первом подходе определяется i не через самого себя (не через exp[i*pi/2])? Как одно из решений уравнения x^2=-1 (т. е. неявно)? Нет явного определения?"
Я вообще не занимался определением i в этом ролике. Это не входило в мои задачи. Но явное определение i, конечно же, существует. И оно вообще не требует никаких корней! Один из подходов к определению множества комплексных чисел следующий. Оно определяется как множество всех упорядоченных пар вещественных чисел вида (a,b), для которых определён ряд операций, обладающих определёнными свойствами. И мы говорим: "А давайте комплексное число (0,1) называть мнимой единицей и обозначать символом "i"!" Вот Вам, пожалуйста, явное определение i. Ну и при желании можно отметить, что i²=(0,1)²=(−1,0). Ну а далее, используя мнимую единицу, можно уже переходить к алгебраической форме записи комплексного числа a+bi.
2. "Еще относительно первого подхода: выражение вида
x=sqrt(-1)+sqrt(1)
имеет 4 корня?"
Да, именно так! Но только не 4 корня, а 4 значения. У меня на канале есть ролик, в котором я вычисляю значения очень похожего выражения sqrt(i)+sqrt(−i) и получаю 4 разных числа. По умолчанию это именно так. Но, если специально оговаривается, что под корнями нужно подразумевать главные значения корней, то получится только одно значение. Но, повторюсь, это должно быть специально оговорено. Иначе мы считаем, что все значения равноправны.
3."И для второго подхода в этой цепочке преобразований:
i=sqrt(-1)=sqrt(1/[-1])=sqrt(1)/sqrt(-1)=1/sqrt(-1)=1/i,
не верным будет переход от корня отношения к отношению корней?"
Конечно, неверным! Этот переход в общем случае не работает для главных значений корней.
приведите определение величины i. там нет никаких плюс-минус корень из - 1
Я никогда в жизни не утверждал, что i - это "плюс-минус корень из - 1"! Вы о чём?!
Что здесь так??? откуда корень(-1)=i.
корень (-1)=- i также
да и формула произведения корней работает только в R+
Эта формула прекрасно работает и для всех комплексных чисел, если, конечно же, под корнями подразумевать комплексные корни и учитывать их многозначность.
не так здесь то, что i это не корень из -1, а такое число, квадрат которого равен -1.
По моему, тут всё гораздо проще. Корня из -1 не существует в действительны числах. А, значит, оперировать с ним нельзя в принципе. Т.е. кроме как записать его, как i, ничего другого мы сделать не можем. А если мы начинаем переходить к комплексным корням, то это уже совсем другая песня...
"Корня из -1 не существует в действительны числах."
Да, а числа e не существует в натуральных числах! 🙂
"А, значит, оперировать с ним нельзя в принципе."
Почему?
"Т.е. кроме как записать его, как i, ничего другого мы сделать не можем."
Очень многое можем сделать! Можем сделать с ним почти всё, что умеем делать с действительными числами.
@@FrolovSergei да! Числом е, кое является суммой ряда не натуральных чисел, оперировать в области натуральных, невозможно, кроме, как записать его в виде е.
Что не так...?!
@@FrolovSergei с числом i можно сделать всё, что угодно, на множестве комплексных чисел. А вот на отдельно взятом его подмножестве, не включающее это i, - ничего. По этому вы тут и рассказываете о каких то непонятных "комплексных" корнях. Вы тогда уж значок для них новый изобретите... ;)
@@ядриломудрило Вы написали: "кроме как записать его, как i, ничего другого мы сделать не можем".
Если мы не собираемся выходить за рамки действительных чисел, то зачем нам вообще записывать число i? Просто обходимся без него, и всё!
А если мы его уже записали, то, наверное, мы понимаем его смысл, и умеем с ним работать.
В противном случае получается как-то странно: умеем работать с действительными числами, а число i умеем только записывать, но смысла его не понимаем.
"По этому вы тут и рассказываете о каких то непонятных "комплексных" корнях. Вы тогда уж значок для них новый изобретите... ;)"
Да, к сожалению, обозначения комплексных и арифметических корней друг от друга не отличаются. Может, и значок отдельный изобрести не помешает, но это делать должен уж точно не я. :-)
@@ядриломудрило
"Что не так...?!"
Всё так! Никаких возражений не имею. Я лишь слегка сыронизировал над фразой о том, что "корня из -1 не существует в действительны числах" ввиду её чрезвычайной тривиальности. :-)
Нет ничего более мистического в математике, чем комплексные числа, ибо их смысл остается за пределами практического мироощущения.
Самое вульгарное объяснение - представьте комлЕксное число в виде вектора
@@johnsharky1345вульгарна алгебраическая форма записи, хм, а если кто то не может представить себе вращающийся вектор это тяжелый случай...
Вообще, определение мнимой единицы это такая хрень, которая будучи возведена в квадрат даёт минус единицу. А вот извлечение корня квадратного из минус единицы - это сомостоятельная задача. Давно уже надо признать, что извлечение квадратного корня из числа это не число, а множество из двух элементов, обладающих следующими свойствами: они не равны друг другу и будучи возведёнными в квадрат дают подкоренное число. Ну, а скажем, корень четвёртой степени из плюс единицы это множество, состоящее из четырёх элементов. Ну а каких, догадайтесь сами. Да, только не ляпните, что корень квадратный из четырёх равняется плюс минус два! Такой хрени в математике не существует.
root(-1*-1) = root(i2*i2) = root(i4) = i2 = -1 где root это главное значение. Так проще доказать, чем через аргументыы 😊
То, что Вы написали - это неверно. Главное значение комплексного квадратного корня из 1 - это 1, а не −1.
Чтобы не путаться, давно пора ввести отличия в обозначения арифметического и алгебраического корня. Точнее, только алгебраического, т.к. существующий знак - в подавляющем большинстве случаев обозначает корень арифметический, и "умная" школота, выпендривающаяся на эту тему, уже надоела.
"существующий знак - в подавляющем большинстве случаев обозначает корень арифметический"
Я многократно встречал в математической литературе знак корня, использующийся для обозначения именно многозначных корней из комплексных чисел. Так что боюсь, что о "подавляющем большинстве случаев" говорить не приходится.
Сей пример меня застиг в уборной и мне хватило времени найти ошибку, пока мой организм изторгнул нечистоту. Удивляюсь красноречию этого блогера, имеющего дар простую мысль облечь в словеса неизсякаемого словарного запаса
Боюсь, что Вы нашли неподходящую площадку для описания жизнедеятельности своего организма. Вполне допускаю существование форумов, на которых Вас с Вашими описаниями примут с распростёртыми объятиями. Но здесь этого точно не будет. Поэтому предлагаю Вам либо удалить свой комментарий, либо изменить его, убрав из него всю похабщину. В случае Вашего отказа я Вас заблокирую.
@@FrolovSergeiоу оу полегче. Это не церковь с девственницами где люди чисты
@@НищебродАндрей А Вам нравится читать комментарии на туалетную тему? Мне - нет.