Combien y a-t-il de carrés ?
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- Опубликовано: 30 янв 2022
- 🎯 Muscle ton cerveau en faisant de ton quotidien un exercice de maths que tu sauras résoudre 💪 : hedacademy.fr
Nouvelle question qui permet de mettre en exergue une formule intéressante mais peu utilisée: la somme des carrés des n premiers nombres entiers.
3 temps dans cette vidéo:
☞ On compte méthodiquement le nombre de carrés.
☞ On découvre une formule qui permet de trouver directement la réponse.
☞ Un exercice à la fin pour appliquer le résultat découvert.
Ce mec a tellement d'enthousiasme ...
Il donnerait envie de faire n'importe quoi tellement qu'il partage trop bien le truc
Vous êtes au TOP ! J'aurai tellement aimé un prof de maths comme vous... Continuez svp vous me redonnez foi en cette matière ! :)
Cette façon ludique de faire les maths doit être adoptée comme méthode pédagogique. Bravo. J'aime vraiment vos vidéos.
Excellent ! Merci pour la clarté des explications et très la bonne vidéo ! J'avais vu cela, il y a fort longtemps... merci pour ce rappel. Bonne continuation.
Super présentation! Bravo pour cette maîtrise et cette bonne humeur! 👍
140 carrés, vérifié avec les carrés progressifs jusqu' à 7 et la formule ! 🙂
Impeccable t'as pas envie de regarder tu jettes juste un petit œil et tu restes jusqu'à la fin. Si seulement il y avait plus de prof comme vous ❤
Magnifique , c'est toujours un plaisir tes vidéos 100% didactique .
Merci à toi .
140.Vos cours sont très intéressants et merci pour les exos.
Grâce à vous je me remets aux mathd
tu a utilisé une feuille ou pas car moi j' ai fait de tête et je suis tombé sur le même résultat
Très didactique et bien conçu ! Fais-nous en d'autres !
A mon age je ne fais plus trop de math, mais j’ai trouvé cela intéressant.Bravo.
J'ai trouvé 140 aussi, super cette formule.
Merci pour le partage.
Je suis fan ! Bravo pour cette belle énergie que vous nous transmettez.
Je sais déjà que la vidéo me seras très utile Merci 😳❤️✨
Bravo pour votre pédagogie même si souvent, pour ceux qui ont fait un peu de maths, certains raccourcis seraient suffisants.
Mais vous êtes tellement sympa et agréable à écouter qu'on s'en fait un plaisir.
C’est adorable 🤩 merci beaucoup !
Toujours agréable à écouter , bravo.
"t'as trouvé la réponse ?" je ne me lasserai jamais de cette phrase !
Je n'aurai pas imaginé qu'il puisse y avoir une solution math pour cette enigme ! Genial ! Merci Heda !
Superbe vidéo comme d'habitude, la simplification de la fraction était cool mais ça se faisait aussi facilement de tête ! Si possible d'avoir + d'exercices et problèmes de calcul mental ça serait intéressant aussi comme ça il y en a tout pour les types de matheux ✌️
Bravo pour vos vidéos et votre pédagogie ludique et dynamique
J 'ai 70 ans et vous cours m amuse tellement cella fait boom dans ma tête et depuis meilleur mémoire merci
140 d'après la formule après simplification = 7x4x5
merci pour vos vidéos elles sont très ludiques et donnent envie , moi qui était nul en math j'aime ces petits "casse tête" ..👏
Excellente vos vidéos l,'artiste.
Merci.
Cordialement.
Super intéressant !!
Personnellement j'aimerai trop avoir la démonstration de cette formule pour comprendre cette formule obtenu ! Sinon continue j'aime trop !!!
Je la demande aussi vivement
@@viewernvy Oui. Maintenant qu'on sait que ça fonctionne, ce serait intéressant de savoir pourquoi ça fonctionne.
Oui je suis d'accord
En début d'année scolaire, je m'amusais à faire la même chose pour trouver la formule, c'est incroyable 👍😂
Merci pour cette nouvelle vidéo et nouvel exercice. Pour les prochaines vidéos de ce type, est-il possible d'intégrer en début de vidéo la correction de l'exercice précédent ?
Bravo monsieur !!!!
Jolie formule, très bien expliquée et je ne la connaissais pas. Je me coucherai un peu moins bête ce soir.
Et demain, je l'aurai déjà oubliée => il faut avouer que ce n'est pas très évident à placer dans une conversation. 😁
D'autant que, dans la vie, il est extrêment rare de devoir compter le nombre de carrés dans un carré, sinon ludiquement.
Toujours aussi bien 😋
Super intéressant,
ça me fait penser à une propriété assez sympa et simple à comprendre:
n²= "la somme des n premier nombre impairs"
Par exemple 4²= 16= 1+ 3 + 5 + 7.
ça peut être super intéressant et tres simple à visualiser.
La propriété s'étend avec les cube aussi.
Voilàa, une idée de vidéo pouruqoi pas.
Bonne continuation ;)
On peut aussi utiliser une identité remarquable pour trouver le carré d'un nombre à partir du nombre précédent : (n+1)²=n²+2n+1². Profitez de la grille de notre prof préféré pour faire la vérification graphique. C'est très parlant.
Ho, très bien: une évidence qui m'a complètement échappée et que je pense n'avoir jamais connue, et que j'adore connaître ;)) Merci !!!
@@rolibus2606 oh et bien de rien!
Il existe aussi une relation sympa entre les cubes et les nombres impairs.
1³=1 (premier nb impair)
2³=8= 3+5 (somme des deux impairs suivants)
3³= 27 = 7+9+11 ( somme des trois impairs suivants)
Etc
Et avec les triangles ça donne quoi alors ? :)
Super vidéo comme d'habitude. ça mériterait un personnage à ton effigie dans un jeu pour enfant en reprenant une vidéo une énigme.
Très bon professeur, il explique bien, moi je n'ai pas eu la chance d'avoir a mon
Époque, car c'était la guerre de libération de l’occupant F.....
Ah une vidéo qui fait du bien.
Comment je galère trop sur ces énigmes à chaque fois.
Maintenant, ça va être du vite fait.
Salut de TEMCEN en ALGÉRIE je suis fan de vos vidéos vous êtes prof et sympa bonne continuation
Encore une belle démonstration, merci.
Attention à ne pas s'emballer, il n'a rien démontré. Juste intuité, et appliqué une formule admise. C'est de la vulgarisation.
J'aurais eu un prof comme toi j'aurais adoré les maths ! Bonne élocution avec un brin d'humour !
Ou peut-être que tu étais bavard et distrait en cours ?
Merci beaucoup pour tout ça
Merci infiniment!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
❤️ magique !
Bonjou
y'a-t-il une formule pour calculer le nbre des triangles dans un triangle ?
et merci d'avance pour la réponse et pour les leçons que vous présentez sur votre chaîne
J’aimerais bien savoir ça aussi.
J’ai une nouvelle prof de math aujourd’hui et toute à l’heure c’était Nice elle a mis une de vos vidéo 😋
C’est beau ça! Donc Merci pour le message
Merci pour cette vidéo. Ma fille en 5e a eu exactement le même problème à résoudre en math, il y a quelques semaines. Bien sûr, on ne lui demandait pas la formule mais je suis très heureux de la connaître maintenant.
La formule elle la verra dans quelque années en 1er spe math ✊🏻
Toujours aussi agréable à écouter, le prof !
Maintenant on veut la démo de la formule de la somme des n premiers carrés, ben oui.
Wahou. Mais qui s’est dit un jour creusons un peu : il y’a moyen de trouver une formule plus simple si on monte tout au cube ?! #epatant #merci
Ou par un raisonnement par récurrence.
une démonstration par récurrence est plus abordable en démontrant que:
(n(n+1)(2n+1))/6)+(n+1)^2
=((n+1)(n+2)(2(n+1)+1))/6
@H A Je ne connaissais pas cette preuve mais le plus simple est probablement une petite récurrence 😁
Oui, je veux aussi!
Excellent 👏🏼👏🏼👏🏼🙏🏼🙏🏼
Super vos cours de Math
Faudrait voir la même chose avec les triangles !
Je m'apprêtais à dire la même chose 😂😂
140 carrés ! Merci pour la formule simplifiée 👍🏻
Bravo....🙏
Merci pour la formule...
Merci beaucoup.
Super cool comme formule, je tâcherais de pas l’oublier😁
PS: pour la fin j’ai trouvé 140!
Existe-t-il également une formule pour le nombre de triangles dans un triangle ?
Dans l'évolution du carré à 2:40, il manque des pointillés pour obtenir n lignes. Là, dans cette représentation il n'y a que 8 lignes et on obtient alors seulement un rectangle avec 8xn petits carrés.
ah !! j'avais pas vu que quelqu'un l'avait déjà signalé ! j'ai fais la même réflexion, 8 carrés sur n carré ça donne un rectangle !!
Super méthode 😊🖒
J'adore ta façon de parler 😄
Le côté ludique des maths. C'est souvent la différence entre apprécier cette matière et la détester. Le prof maîtrise très bien la dimension fun, en n'oubliant pas l'objectif d'acquisition. Cool.
SALUT il y a 140 carrés car 1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²=140 (on s'arrête à 7 car c'est 7 est le nombre de carrés qui composent l'arête (le côté) du carré de l'exercice.
Ouf
Merci Heda !
Quelqu'un aurait une vidéo vers la démonstration qui explique pourquoi cette formule fonctionne ?
Super vos vidéos ! Comment arrive-t-on de la formule 1 au carré + 2 au carré + 3 au carré +...+ n au carré à n(n + 1)(2n + 1)/6 ?
Sympa
Merci
Merci 👍
Super, on se laisse prendre au jeu.
Pouvez-vous demontrer la formule ? Comment arrive-t-on à la trouver ?
je vois que d'autres ont également trouvé 140. J'ai bien peur de ne pas retenir la formule, mais c'est une gymnastique très intéressante et amusante, merci pour ces émissions.
comme toi, je ne retiendrai pas la formule, mais j'aime la méthode de cette gymnastique ;))
Merci pour tout❤❤❤🎉🎉🎉😊😊😊
Je n'étais pas si loin du but (la réponse de 30 de base), 25 j'en est compté, j'ai oublié de compté les carré de 3 sur 3, cependant je pense que l'ensemble du carré qui rajoute 1 ne devrais pas compté, car on nous demande de compté les carrés DANS le carré, dans le carré il y a pas bah.. le carré en question de base, donc je ne pense pas qu'il est sensé compté, sinon très bonne vidéo, parfait moyen de sauver ma moyenne de math!
Pareil
salut et pour un cube du coup ? c’est quoi la formule ? j’aime bien tes vidéos
Trop fort !
Génial
salut . bravos je kiffe.
Merci, il y a des effets techniques de ouf maintenant !
😂😂 eh oui! D’ailleurs m’améliorer en montage c’est un des objectifs 😉
cette formule est puissante !!!
Super, je galerer toujours a comprendre cela
N'oublions pas cette formule géniale : 1^3+2^3+3^3+4^3++ +++++ n^3 = (1+2+3+++++n)² = [ n*(n+1)/2]²... pour trouver combien il y a de sous-cube dans un cube d'arrête n... et ne pas confondre sous-cube et succube !
je veux bien la démonstration de la formule, s'il vous plait.
Je vous ça dans mon historique en pleine vacance, je sais même pas pourquoi j’ai tout regarder ça va me servir a rien mais j’aime bien donc je lâche un pouce bleu…
Très intéressant, mais j'aurais aimé avoir des explications sur la construction de la formule 😉
Je ne la connaissais pas (ou bien je l'ai oubliée depuis longtemps), du coup j'ai mis la vidéo en pause et j'ai réfléchi.
Je me suis dit que ça correspondait au nombre de cubes qu'on aurait dans une pyramide à base carrée de hauteur n, avec à chaque étage x un carré dont le côté est constitué de (n - x) petits cubes unitaires (donc un seul cube tout en haut, quatre à l'étage n-1, etc). Le volume d'une pyramide à base carrée de côté n étant n au cube, ça suggère un polynôme de degré 3 pour la formule, dont le coefficient en x3 est 1/3, mais ce n'est pas juste 1/3 . x3 comme formule parce que ce n'est pas tout à fait une pyramide à base carrée, elle est "pixelisée" façon Minecraft en quelque sorte.
Bref, tout ça pour juste une intuition d'un polynome de degré 3 (ce qu'on peut aussi directement intuiter en regardant la série 1 + 4 + 9 + 16 ...) dont le coefficient du terme en x3 est probablement 1/3 (on va le calculer, mais ce sera une validation qu'on ne s'est pas gaufré dans les calculs).
Reste à trouver les coefficients de ce polynome, donc a b c et d pour écrire la formule sous la forme f(x) = a x3 + b x2 + cx + d
Pour x = 0, on a aucun carré donc on doit avoir f(0) = 0, donc f(x)= a*0 + b*0 + c*0 + d = 0 donc d = 0 donc f(x) = a x3 + b x2 + cx
Si on écrit la même formule pour x = 1, 2 et 3 et on dit que ça doit être égal à la somme des carrés jusquà 1 (donc 1) jusqu'à 2 (donc 1+4 soit 5) et jusqu'à 3 (donc 1+4+9 soit 14) on obtient
f(1) = a + b + c = 1
f(2) = 8 a + 4 b + 2 c = 5
f(3) = 27 a + 9 b + 3 c = 14
On éllimine c
En soustrayant membre à membre deux fois la première équation de la seconde équation on obtient 6a + 2b= 3
En soustrayant membre à membre trois fois la seconde équation de deux fois la troisième équation on obtient (54-24) a + (18-12)b = 28-15 soit 30a + 6 b = 13
On élimine b de ces deux équations, en soustrayant membre à membre trois fois la première de la seconde
(30 - 3*6) a = 13 - 3*3
donc 12 a = 4 donc a = 1/3
Comme on s'y attendait avec l'analogie de la pyramide, "en gros" c'est bien 1/3 x3;
mais dans le détail il reste des termes en x2 et en x dont il faut aussi trouver les coefficients
On reporte dans 6a + 2b= 3 pour trouver b
6 * 1/3 + 2b = 3 donc 2 + 2b= 3 donc 2b = 1 donc b = 1/2
On reporte a et b dans a + b + c = 1 pour trouver c
c = 1 - a -b = 1 - 1/2 -1/3 = ( 6 - 3 - 2) / 6 = 1/6
On peut écrire f(x) en factorisant x et reportant les valeurs de a b et c
f(x) = x ( 1/3 x2 + 1/2 x + 1/6) soit en mettant 1/6 en facteur f(x) = x . (2 x2 + 3x + 1) /6
C'est la même formule que donné dans la vidéo si on voit que 2 x2 + 3x + 1 se factorise en (x + 1) (2x +1)
Donc f(x) = x . (2 x + 1) (x +1) /6
Si on n'est pas convaincu par l'intuition que ça doit être un polynôme de degré 3, on peut prouver par récurrence que cette formule est bien la somme des carrés de 1 à x
En calculant f(x ) - f(x-1) et en trouvant que ça vaut bien x2, on montre que f(x) = f(x-1) + x2
Donc si f(x-1) est bien la somme des carrés jusqu'à (x-1)2, alors f(x) est bien la somme des carrés jusqu'à x2
Avec le fait que ça marche pour x = 0, on démontre ainsi par récurrence que la formule marche pour tout x.
L'univers rêve d'un prof de maths en ligne
Bonjour #hedacademy et pour un triangle qui contient plusieurs autres. Quelle est la formule ?
140 merci headacademy!
J'ai toujours adoré les maths !....Pour m'endormir.......
Hors sujet : la figure représentant n carrés ne devrait-elle pas représenter une croix avec des points plutôt qu'une colonne?
Bonjours monsieur est ce que vous comprenez les maths de la chaîne flammable maths c'est un américain. Si oui pourriez vous en faire une vidéo en français de ce qu'il fait avec des explications ? Car c'est amusant mais casse tête a la fois !
Hello ! Génial cette vidéo comme d'habitude. Y aurait-il une formule pour compter le nombre de triangles dans un triangle ? Merci 🙂
j'aimerai bien savoir aussi, peut être difficile si ce n'est pas un équilatéral ?
(Message édité j'avais oublié les triangles "tournés vers le bas".
Oui, c'est facile, on peut adapter la démonstration pour les carrés. Je la mets d'abord puisqu'il a juste bidouillé et rien démontré du tout, puis je te montre comment on fait pour les triangles.
On suppose donc qu'on a une grille de taille n et on cherche le nombre de carrés de longueur k (pour k quelconque compris entre 1 et n) qu'on peut former.
J'introduis un repère orthonormé que je place l'origine dans le coin en bas à gauche de ma grille et je choisis l'échelle de sorte que tous les points de ma grille aient pour coordonnées 0, 1, 2..., n.
Un carré de taille kxk dans la grille est caractérisé (défini de manière unique) par les coordonnées de son sommet inférieur gauche. On voit facilement que pour qu'un carré de taille kxk soit intégralement dans la grille, il faut et il suffit que son sommet supérieur droit soit dans la grille (cela force les sommets supérieur gauche et inférieur droit à y être aussi). Si je choisis donc mon sommet inférieur gauche de coordonnées (a,b) dans la grille, le carré est dans la grille si et seulement si (a+k,b+k) est aussi dans la grille, c'est à dire a+k est au plus égal à n et b+k est au plus égal à n. On en déduit que a et b peuvent prendre toutes les valeurs entières possibles (0 compris) jusqu'à n-k. Il y a donc n-k+1 (n'oublions pas le 0) choix possibles pour a et autant de choix possibles pour b. On a donc au total (n+1-k)² carrés de taille k dans ma grille.
Le nombre de carrés que je peux former dans ma grille est donc :
Somme(k=1,n,(n+1-k)²)
Et comme quand k varie de 1 à n, n+1-k prend toutes les valeurs entre 1 et n, cela vaut aussi :
Somme(i=1,n,i²)
C''était pas compliqué de rajouter cette preuve élémentaire dans la vidéo....
Maintenant pour les triangles.
Je reprends la même idée, sauf que je ne prends pas un repère orthonormé mais un repère tel que les coordonnées des sommets du petit triangle en bas à gauche soient respectivement (0,0), (1,0) et (0,1). Tous les points de ma grille ont donc des coordonnées entières et en particulier les sommets du grand triangle ont pour coordonnées (0,0), (n,0) et (0,n). Il y a quand même une différence par rapport à notre grille avec les carrés, c'est que justement elle n'est plus carrée. Mais il est quand même assez simple de se dépatouiller avec.
J'ai n+1 points dans ma grille avec x=0. Ces points ont pour coordonnées (0,0), (0,1)... (0,n).
Je n'en ai plus que n pour x=1 : (1,0), (1,1)...(1,n-1).
Je n'en ai pus que n-k pour x=k (k,0), (k,1)... (k,n-k).
On peut en déduire qu'un point de coordonnées (a,b) appartient à la grille si et seulement si a et b sont entiers positifs et a+b est inférieur ou égal à n.
Ceci étant démontré, on va reprendre la démonstration comme pour les carrés. Dans un premier temps je m'intéresse uniquement aux triangles tournés vers le haut.
Je cherche à trouver le nombre de triangles de taille k que je peux placer dans ma grille. Avec la même idée que précédemment, un triangle est caractérisé par les coordonnées de son sommet inférieur gauche que j'appelle (a,b). Les autres coordonnées de mon triangles sont (a+k,b) et (a,b+k). D'après la propriété que j'ai démontrée, a+b doit être au plus égal à n, de même que (a+k)+b et a+(b+k). On voit donc que mon triangle fonctionne si et seulement si a+b+k est inférieur ou égal à n ou encore a+b est inférieur ou égal à n-k.
Pour a fixé entre 0 et n-k, b peut donc prendre toutes les valeurs possibles entre 0 et n-k-a, soit n-k-a+1 choix.
Le nombre de triangles de taille k est donc égal à :
Somme(a=0,n-k,n-k-a+1)
Je fais un changement d'indice en posant j=n-k-a+1 et j'obtiens :
Somme(j=1,n-k+1,j)
On applique maintenant la formule : Somme(p=1,q,p)=q.(q+1)/2. Notre somme vaut donc (n-k+1).(n-k+2)/2.
On vient donc de démontrer qu'i y a (n-k+1).(n-k+2)/2 triangles de taille k. Le nombre total de triangles qu'on peut construire vaut donc :
Somme(k=1,n,(n-k+1).(n-k+2)/2)
Encore une fois pour avoir un truc plus sympathique je fais un changement d'indice en posant i=n-k+1 et j'obtiens :
Somme(i=1,n,i.(i+1)/2)=1/2.[Somme(i=1,n,i²)+Somme(i=1,n,i)=1/2.[n.(n+1).(2n+1)/6+n.(n+1)/2]=n.(n+1)/4.[(2n+1)/3+1]=n.(n+1).(n+2)/6.
On peut rapidement vérifier pour n=4. J'ai 10 triangles de taille 1, 6 de taille 2, 3 de taille 3 et 1 de taille 4 soit 20 au total et ma formule donne : 4x5x6/6=20. Bon, je pense que je n'ai pas fait d'erreur de calcul dans mon bazar...
Maintenant je rajoute les triangles tournés vers le bas. Chacun est le symétrique d'un triangle tourné vers le haut par rapport au milieu du côté du bas. Tous les symétriques des triangles tournés vers le haut sont dans la grille, sauf ceux des triangles qui sont sur la base du grand triangle.
On en déduit donc qu'il y a autant de triangles de taille k tournés vers le bas que de triangles de la même taille tournés vers le haut, moins le nombre de triangles tournés vers le haut de la ligne du bas (et il y en a n+1-k).
On en déduit donc qu'il y a autant de triangles tournés vers le bas (toutes tailles confondues) que de triangles tournés vers le haut, moins Somme(k=1,n,n+1-k).
On a vu plus haut que cette somme valait n.(n+1)/2.
Le nombre total de triangles que l'on cherche est donc :
2.[n.(n+1).(n+2)/6]-n.(n+1)/2=n.(n+1)/2.[2.(n+2)/3-1]=n.(n+1).(2n+1)/6. Ah tiens c'est marrant, ça rappelle un truc ^^
@@jamshining2723 Tu noteras que dans ma démonstration je n'ai pas besoin de triangles équilatéraux. Je reprends simplement les vecteurs qui déterminent mon triangle pour construire mon système de coordonnées.
@@italixgaming915 merci beaucoup 🙂
140.
Pouvez-vous nous dire s'il existe une application concrète de cette formule ? Si oui, laquelle ?
Beaucoup aimé la vidéo.
Merci !
Exercice :
1) 7 carrés horizontaux
-2) 7 carrés verticaux.
Formule :
n(n+1)(2n+1)/6
=>
7(8)(15)/6=
56×15/6= 140 carrés
Comment se comporte la formule si le grand carré devient un rectangle ? Si tu as disons 5 colonnes et 3 lignes ?
Extra !
Facile 140. Au fait comme 5 et 6 sont premiers entre eux, on aurait pu faire 4×9×5/6 soit 36/6×5=6×5=30. En observant, je constate que ça marche aussi pour les cubes, je ne parle pas de la même formule mais en terminale, on démontre par récurrence la formule des sommes d'entiers, de carrés d'entiers et de cubes d'entiers, tout ça marche.
Sympa cette formule! Je me disais bien qu'il y en avait une pour faire cette addition d'incrément++ au carré [140 :]
spoilAlert:)
(n(n+1)(2n+1)) / 6
j'ai compris
merci beaucoup
mais pourquoi on divise par 6 ? edt-ce toujours 6 ?
Il y a cent quarante carrés dans le gros carré de la fin de la vidéo.
Si on faisait pareil avec des cubes, est-ce que la solution pour trouver le nombre de cube serait de faire la sommes des nombres cubes jusqu'au cube du nombre de plus petits cubes ?
Bonne question.
combien de rectangles y a-t-il dans la dernière figure ? :)
super ! et pour des rectangles de n'importe quelle taille ce serait quoi ?
C’est le niveau suivant, je voulais en parler dans la vidéo mais j’ai oublié.. 😅 bientôt une vidéo dessus j’espère
Carrément!
Merci. Et pour les triangles?
J'ai fini par tomber amoureux de tes explications
Magnifique chère frère, ça le cas du carré, et le cas du triangle, comment on va trouver le nombre des triangles
Ça aurait été cool de voir la démonstration !
Pouvez-vous nous expliquer comment mq'une fonction homographique est bornée sur son domaine de définition ?
140 carrés , super la formule , c'est une découverte. Ah merci et encore merci
Merci
T'es ouf toi 🙇♂️🙇♂️🙇♂️
140 . merci et bon courage