Danke dir, seitdem ich deinen Kanal gefunden habe, habe ich absolut keine Probleme mehr die numerische Integration und alle Methoden zu verstehen. Sehr einfach, aber präzis erklärt
Hallo Peter, erstmal ein großes Dankeschön für deine tollen Erklärungen! Ich schreibe nächste Woche eine Klausur in Numerische Mathematik und hab dank dir die Trapezregel geschnallt. Jedoch finde ich nirgends eine Erklärung zum Integration nach Romberg. Ich hab natürlich auch schon andere Channel durchforstet, aber dieser Methode scheint sich noch niemand angeschaut zu haben. Vielleicht könntest du ja mal was zu dieser Variante machen. Liebe Grüße
Lieber Peter, ist es möglich, dass du ein Video zum Thema "Simpson Regel" machst? Das ist wieder eine Methode zu Numerischer Integration und der Unterschied zwischen Trapezregel und Regel von Simpson ist, dass die Anzahl der Intervalen eine gerade Zahl sein muss. Es wäre super, wenn du erklären würdest, wie es eigentlich funktioniert. PS. Herzlichen Dank für deine tolle Videos!
Vielen Dank :) Weitere Videos zur Numerik werden noch folgen, nur hab ich leider grad auch viele andere Themen auf dem Tisch, die dringend abgearbeitet werden müssen.
Hallo MathePeter, ich möchte dich auf etwas hinweisen, wo man höllisch aufpassen muss, was man sagt: Bei 0:12 sagst du, dass e^x^2 keine Stammfunktion hat. Diese Funktion ist stetig auf ganz R, also hat sie durchaus eine Stammfunktion, sie hat jedoch keine elementare Stammfunktion.
Ja das stimmt, gemeint war "es gibt keine elementare Stammfunktion". Gebe mir immer größte Mühe mathematisch korrekt zu bleiben, aber manchmal kommt doch eine kleine Ungenauigkeit mit rein. Problem beim Video ist, dass man es nicht mehr ändern kann. Wenn es mir in der Nachbearbeitung auffällt, ergänze ich noch einen kleinen Text. Wenns aber einmal hochgeladen ist, hat RUclips leider die Funktion ausgestellt weitere Einblendungen zu machen.
@@MathePeter das ist ja blöd. Das du dir Mühe gibst, das merke ich immer, denn nicht umsonst gucke ich mir lieber deine Videos an oder die von Prof. Dr. Spannangel.
Ich muss bald eine Präsentation über das Trapezverfahren hallten, jetzt weiß ich nicht genau, was dies alles beinhaltet..Ich habe von einer Sehnen- Trapez- Formel gehört, jetzt von der Trapezregel und das Trapezverfahren soll ich präsentieren. Bedeutet das also, dass das Trapezverfahren der Oberbegriff ist und die Trapezregel wie auch die Sehnen- Trapez- Formel nur Bestandteile des Verfahrens sind? Lg und Danke im voraus
Ab 4:25 bis 4: 34 habe ich Probleme das zu verstehen. Wo haben Sie diese 5 Stützstellen eingesetzt um dann T4 herauszufinden? Ich hab nämlich nur T1 in mein Taschenrechner eingegeben, bin aber auf das selbe, das richtige selbe, Ergebnis gekommen.
Die Summanden sind ja f(0), f(1/4), f(1/2), f(3/4) und f(1), richtig? Das f bedeutet, dass du die Stützstellen 0, 1/4, 1/2, 3/4 und 1 jeweils für x in die vorgegebene Funktion f einsetzen sollst. Die Funktion steht unter der Skizze: f(x)=e^(x^2). In blau hab ich auch noch mal hingeschrieben, wie die Summanden genau aussehen, wenn du die Stützstellen jeweils einzeln in f einsetzt. Du hast wahrscheinlich das Integral in dein Taschenrechner eingegeben, stimmts? Das ist nicht T1, sondern das exakte Ergebnis des Integrals. Aber genau das sollen wir ja nicht tun. Sobald du die Trapezregel benutzt, kommt automatisch ein falsches Ergebnis bei raus. Die Trapezregel macht immer einen Fehler. Der Fehler wird aber umso kleiner, je mehr Stützstellen du nimmst.
@@MathePeter Ich habe verstanden, wie Sie auf die blauen Ergebnisse gekommen sind, meine Frage ist jetzt nur ist das alles? Ist das sozusagen das Ende der Aufgabe dann, wenn wir die blauen Ergebnisse herausgefunden haben? Fassen wir die blauen Ergebnisse dann irgendwie noch zusammen? Oder ist das dann alles? Also wie lautet dann die Lösung? Was ist dann unser Flächeninhalt..Ich habe jetzt verstanden, dass diese 1,4627 das exakte Ergebnis des Integrals ist aber was ist dann sozusagen, dass " nicht exakte", sind es die blauen Ergebnisse? Das ist meine Frage
Du musst die blauen Zwischenergebnisse noch zusammenrechnen, wie es an der Tafel steht. Für T4 rechnest du hier 1/8*(f(0)+2*(f(1/4)+f(1/2)+f(3/4))+f(1)). Dabei kommt ungefähr raus 1,4907. Das ist der Flächeninhalt der Trapeze. Bitte dabei auf die richtige Klammersetzung achten! Mit der Trapezregel bist du dann fertig. In der Anwendung interessiert man sich aber noch dafür, wie groß der absolute und relative Fehler eigentlich ist, den man bei dieser näherungsweisen Rechnung gemacht hat. Das erkläre ich mal in einem anderen Video. Wenn man noch einen Schritt weiter geht, unterscheidet man den Fehler in Abschneidefehler (weil man ja bei n=4 "abgeschnitten" hat) und Rundungsfehler und schaut wo der Gesamtfehler minimal wird.
@@MathePeter Entweder setze ich die Klammern nicht richtig oder ich habe einfach keine Ahnung wie ich das eingebe in meinen Taschenrechner. Wenn ich nur die Zwischenergebnisse soll, warum brauche ich dann für T4 diese Rechnung wo auch h und a und b dabei sind?
Hi Peter, könntest du mal die Herleitung der Simpsonregel zeigen, ich meine als Newton-Cotes-Formel mit der Lagrange Basis. Finde dazu einfach nichts, nur immer der Hinweis, das Simpson Regel eine Parabel aus drei Punkten, (Anfang, Mitte und Ende) benutzt. Wäre echt nett :-)
@@MathePeter Habe inzwischen was gefunden, allerdings funktioniert der Beweis über den Ansatz mit einer Parabel der Form Ax²+Bx+C , nicht aber über Lagrange Interpolation. Meine 'Idee', ok, ist nicht meine, nur das, wie ich es verstanden habe: mittels Lagarange Interpolation finde ich die eindeutige Parabel durch die drei gegebenen Stützstellen, dieses kann ich ja algebraisch integrieren, also ne Stammfunktion finden, und hier müssten dann für die Grenzen a und b genau die Simpson Formel rauskommen. Habe es mit Wolfram Alpha versucht, aber mich irgendwie total 'verlaufen' und zu keinem brauchbaren Resultat gekommen, auch wenn Simpson schemenhaft zu erkennen war.
Wenn die Stützstellen unterschiedlichen Abstand zueinander haben, setze ich dann direkt die entsprechenden Werte für h ein (ohne die Berechnung von h am Anfang)?😊
Ja also bei unterschiedlicher Schrittweise berechnest du die Trapezflächen alle einzeln. Allerdings ist das dann nicht mehr die klassische Trapezregel.
@MathePeter super danke. Wie berechne ich dann ein einzelnes Trapez wenn mein Intervall x € [0;0.5] ist? T = 1/2 * (f(0) + f(0.5))? Oder wie muss ich das machen? 😀
Nein das i nimmt alle natürlichen Zahlen von 1 bis n-1 an. Wenn du gern das Summenzeichen besser verstehen willst, schau dir mal mein neustes Video dazu an: ruclips.net/video/FRT9Cz6L00M/видео.html
Das n=4 hab ich mir ausgedacht. Irgendwo muss man ja aufhören zu rechnen :) Je größer das n wird, desto genauer stimmt die Näherung mit dem exakten Ergebnis überein.
Bezeichnet n nicht die Anzahl der Stützstellen? wenn wir n=4 nehmen, müssten wir dann nicht die Stützstellen 0; 0,333 ; 0,666 und 1 wählen? Bzw. haben wir hier im Beispiel nicht 5 Stützstellen genommen (0; 0,25; 0,5; 0,75 und 1)?
Es wäre gut, wenn du auf Stabilität eingehen könntest, denn Newton Cotes Formeln sind nur bis zu Grad n = 6 brauchbar, danach werden die Formeln numerisch instabil, wegen negativer Gewichte. Das bereitet mir zur Zeit Schwierigkeiten.
Es ist nur dann i*h, wenn a=0 ist. Wenn wir z.B. das Intervall [1,3] haben, dann müssen wir immer Werte größer gleich a=1 in die Funktion einsetzen. Nur i*h würde ja nicht im Invervall liegen bei hinreichend kleinen h.
@@MathePeter Bester Mann, schreibe meine Facharbeit über Verfahren der Integralrechnung unter anderem das Trapezverfahren und habe die ganze Methode mit deinem Video innerhalb von 5 Minuten verstanden. kuss geht raus
Das n ist direkt gegeben oder indirekt durch die Schrittweite h, eine Genauigkeit ε,... oder du musst dir selbst eins ausdenken. Ich weiß nicht was du mit dem k meinst, aber wenn du das Intervall [0,4] mit der Schrittweite h=1 durchlaufen willst, dann hast du n=4 Trapeze. Wenn du das Intervall [0,4] mit der Schrittweite h=1/2 durchlaufen willst, dann hast du n=8 Trapeze.
Mit Knoten sind wahrscheinlich die Stützstellen gemeint. Was ist das k? Soll das einen Index angeben und nur natürliche Zahlen annehmen? Weil dann würde das ja nur k=1, k=2 und k=3 betreffen, das wären n=2 Trapeze.
Kann ich dir gar nicht genau sagen. Integrale gabs ja erst ab ca. 1823, da hat Newton schon lange nicht mehr gelebt. Aber numerische Integration wurde schon früher benutzt, ohne es "Integration" zu nennen, glaube darum ist es schwer zu sagen.
Ja, das hier ist die summierte Trapezregel. Ich find die Unterscheidung aber nicht wirklich sinnvoll, weil die Trapezregel ist ja nur die summierte Trapezregel mit n=1 Trapez.
Gute Frage! Schau dir mal die Grafik ab 1:28 an. Um die Flächeninhalte der einzelnen Trapeze zu berechnen, müssen doch bis auf zwei Seiten alle doppelt verwendet werden, weil sie jeweils zu zwei Trapezen gehören. Die beiden Ausnahmen sind die erste Seite ganz links (für i=0 mit Länge f(a)) und die aller letzte Seite ganz rechts (für i=n mit Länge f(b)). Genau das steht auch in der Formel. Beide Seiten kommen also bei der Flächenberechnung nur genau einmal vor, alle anderen Trapezseiten (i=1 bis i=n-1) aber jeweils zwei mal, darum steht vor dem Sigma eine "*2".
Es gibt viele Möglichkeiten für die numerische Integration. Allerdings sind nicht alle Funktionen differenzierbar, bei denen kannst du also nicht mit Ableitungen arbeiten.
Die allgemeine Formel ist die rote ab 0:54. Generell kannst du die Trapezregel immer verwenden wenn du ein bestimmtes Integral (=mit Grenzen) gegeben hast. Zum Spaß kannst du es immer verwenden, in deiner Klausur aber nur, wenn du explizit danach gefragt wirst. Der Sinn ist, dass du den Wert von Integralen näherungsweise ausrechnen kannst, auch ohne großen Aufwand. Meistens wird es aber erst dann verwendet, wenn es nicht möglich ist ein Integral exakt auszurechnen.
Das ist ein großes Sigma, der griechische Buchstabe für "S". Gemeint ist das als Summenzeichen. Man soll für die nachstehenden k nacheinander alle Zahlen von k=1 bis k=n einsetzen, zwischen den Summanden steht immer +
So einiges, aber ich denke bis zum Winter krieg ich keinen kompletten Numerik Kurs hin. Schau dir aber gern mal z.B. die Videos zur QR-Zerlegung an: ruclips.net/video/VjInAbfpJIU/видео.html
Ich hatte eine Aufgabe gerechnet aber der Vorfaktor war statt 1 bei 1/4. Schrittweite war 0,5 und bei deiner Formel wäre es 0.5 geteilt durch 0.5 = 1. das Endergebnis stimmt aber dann nicht. Wenn ich 0.5 mal 0.5 rechne komme ich auf 1/4 und das Endergebnis liegt dann 0.2 entfernt vom richtigen integral . Komisch kann mir jemand sagen warum das so ist
@@MathePeter vielen Dank für deine Rückmeldung! Ich würde dir die Aufgabe auf Instagram zusenden wenn das ok ist ? Hier kann ich leider keine Bilder einfügen
@@MathePeter gegeben sei das integral: I = integral von -2 bis 1 (x^4 + 2x^3 -2x^2 +1) dx a) berechnen Sie einen genährt den Wert des integral I mithilfe der zusammengesetzten Trapezregel. Verwenden Sie dabei eine schritt Weite von H = 1/2 Danke für deine Hilfe
Ich weiß nicht ob ich bissle zuspät dran bin, aber ich bekomme beim Endergebnis für T4= 1,830475 raus. Ich hab nach meiner eigenen Berechnung auch Ihre Zahlen benutzt jedoch kam ich erneut auf 1,83... , mach ich irgendwas Falsch? ich bin relativ weit von 1,4907 entfernt und das mit den gleichen Zahlen... Ich bin grad echt Lost haha
Ich habs auch noch mal eingegeben, komme aber immer wieder auf das selbe Ergebnis. Vielleicht hast du eine Klammer vergessen oder Klammern bei den Potenzen von den e-Termen falsch gesetzt?
www.slideshare.net/shashikantpabari/newton-cotes-itegression-method Auf slide 5 steht alles was du brauchst. Wie man auf Xi kommt brauchst du noch denk' ich.
Uff. Und der Dr. Dr. Prof. Mathedozent erklärt das in 2h ohne dass ich irgendwas check. Das ist ja super easy
genau das hab ich mir auch grad gedacht
Der allgemeine Mathe Prof meint A, denkt B und schreibt C, der Student versteht D - und E ist richtig ^^
Ich denke, wenn ich sage, du bist der Hammer, dann habe ich noch maßlos untertrieben. Du rettest mir mein Studium . Danke!
Danke dir, seitdem ich deinen Kanal gefunden habe, habe ich absolut keine Probleme mehr die numerische Integration und alle Methoden zu verstehen. Sehr einfach, aber präzis erklärt
Genau meine Geschwindigkeit, alles super verständlich! Vielen Dank für dein tolles Video Champ^^
der helle Wahnsinn, egal zu welchem Thema man fragen hat du hast ein Video dazu einfach nur ein absoluter Traum :)
Er rettet mein Studium. Schnell einfach und verständlich erklärt. 🙏
Einwandfrei. Angeguckt, auf meine Aufgabe angewendet, verstanden. Mehr davon, Danke!
Sauber, verständlich, so kurz wie nötig... und verstanden danke
So macht Mathe Spaß! Vielen Dank für die gute Erklärung!
Du bist und bleibst ne Legende, aber ich wiederhole mich
Deine Videos sind einfach super
super klar und verständlich erklärt. Danke!
Seeeeehr sehr verständlich großes danke!!
Super Erklärung, danke!! Wieso so wenige Abos und Klicks bei solchen Videos ?
Ich denke mal das dauert alles seine Zeit :)
richtig gut erklärt, danke :)
Du bist einfach der beste🥺♥️♥️♥️💯💯💯
I lerne fast wann man erklärt mich lange... Aber nicht diese Mal, super danke viel Mal !
hast mich in Mathe 2 echt gerettet danke :D
Was wollen wir mehr? MEHR TRAPEZE! Haurauraurau (Tim-Taylor(-polynom)-Männer-Geheul)
😂
Hallo Peter, erstmal ein großes Dankeschön für deine tollen Erklärungen! Ich schreibe nächste Woche eine Klausur in Numerische Mathematik und hab dank dir die Trapezregel geschnallt. Jedoch finde ich nirgends eine Erklärung zum Integration nach Romberg. Ich hab natürlich auch schon andere Channel durchforstet, aber dieser Methode scheint sich noch niemand angeschaut zu haben. Vielleicht könntest du ja mal was zu dieser Variante machen.
Liebe Grüße
Ja sehr gute Idee, danke! :)
Sehr hilfreich, danke.
Lieber Peter, ist es möglich, dass du ein Video zum Thema "Simpson Regel" machst? Das ist wieder eine Methode zu Numerischer Integration und der Unterschied zwischen Trapezregel und Regel von Simpson ist, dass die Anzahl der Intervalen eine gerade Zahl sein muss. Es wäre super, wenn du erklären würdest, wie es eigentlich funktioniert. PS. Herzlichen Dank für deine tolle Videos!
Vielen Dank :) Weitere Videos zur Numerik werden noch folgen, nur hab ich leider grad auch viele andere Themen auf dem Tisch, die dringend abgearbeitet werden müssen.
Deine Arbeit ist wirklich super :D alles gut, es ist nur einen Vorschlag für wenn du Zeit hast. Viel Erfolg bei den weiteren Videos!
Habs mir auf jeden Fall notiert auf meiner Liste an Themen, die noch zu 100% kommen werden! :)
Super erklärt! :)
Hallo MathePeter, ich möchte dich auf etwas hinweisen, wo man höllisch aufpassen muss, was man sagt: Bei 0:12 sagst du, dass e^x^2 keine Stammfunktion hat. Diese Funktion ist stetig auf ganz R, also hat sie durchaus eine Stammfunktion, sie hat jedoch keine elementare Stammfunktion.
Ja das stimmt, gemeint war "es gibt keine elementare Stammfunktion". Gebe mir immer größte Mühe mathematisch korrekt zu bleiben, aber manchmal kommt doch eine kleine Ungenauigkeit mit rein. Problem beim Video ist, dass man es nicht mehr ändern kann. Wenn es mir in der Nachbearbeitung auffällt, ergänze ich noch einen kleinen Text. Wenns aber einmal hochgeladen ist, hat RUclips leider die Funktion ausgestellt weitere Einblendungen zu machen.
@@MathePeter das ist ja blöd. Das du dir Mühe gibst, das merke ich immer, denn nicht umsonst gucke ich mir lieber deine Videos an oder die von Prof. Dr. Spannangel.
Sehr gut erklärt
Danke Peter!
super erklärt , danke
VIELEN DANK!! :D
Ich muss bald eine Präsentation über das Trapezverfahren hallten, jetzt weiß ich nicht genau, was dies alles beinhaltet..Ich habe von einer Sehnen- Trapez- Formel gehört, jetzt von der Trapezregel und das Trapezverfahren soll ich präsentieren. Bedeutet das also, dass das Trapezverfahren der Oberbegriff ist und die Trapezregel wie auch die Sehnen- Trapez- Formel nur Bestandteile des Verfahrens sind? Lg und Danke im voraus
Das sind alles Namen für die selbe Sache. Kannst deinen Vortrag genau so machen wie in diesem Video. Schreib mir, wenn du fragen hast!
MathePeter Okay Dankeschön!
Ab 4:25 bis 4: 34
habe ich Probleme das zu verstehen. Wo haben Sie diese 5 Stützstellen eingesetzt um dann T4 herauszufinden? Ich hab nämlich nur T1 in mein Taschenrechner eingegeben, bin aber auf das selbe, das richtige selbe, Ergebnis gekommen.
Die Summanden sind ja f(0), f(1/4), f(1/2), f(3/4) und f(1), richtig? Das f bedeutet, dass du die Stützstellen 0, 1/4, 1/2, 3/4 und 1 jeweils für x in die vorgegebene Funktion f einsetzen sollst. Die Funktion steht unter der Skizze: f(x)=e^(x^2). In blau hab ich auch noch mal hingeschrieben, wie die Summanden genau aussehen, wenn du die Stützstellen jeweils einzeln in f einsetzt.
Du hast wahrscheinlich das Integral in dein Taschenrechner eingegeben, stimmts? Das ist nicht T1, sondern das exakte Ergebnis des Integrals. Aber genau das sollen wir ja nicht tun. Sobald du die Trapezregel benutzt, kommt automatisch ein falsches Ergebnis bei raus. Die Trapezregel macht immer einen Fehler. Der Fehler wird aber umso kleiner, je mehr Stützstellen du nimmst.
@@MathePeter Ich habe verstanden, wie Sie auf die blauen Ergebnisse gekommen sind, meine Frage ist jetzt nur ist das alles? Ist das sozusagen das Ende der Aufgabe dann, wenn wir die blauen Ergebnisse herausgefunden haben? Fassen wir die blauen Ergebnisse dann irgendwie noch zusammen? Oder ist das dann alles? Also wie lautet dann die Lösung? Was ist dann unser Flächeninhalt..Ich habe jetzt verstanden, dass diese 1,4627 das exakte Ergebnis des Integrals ist aber was ist dann sozusagen, dass " nicht exakte", sind es die blauen Ergebnisse? Das ist meine Frage
Du musst die blauen Zwischenergebnisse noch zusammenrechnen, wie es an der Tafel steht. Für T4 rechnest du hier 1/8*(f(0)+2*(f(1/4)+f(1/2)+f(3/4))+f(1)). Dabei kommt ungefähr raus 1,4907. Das ist der Flächeninhalt der Trapeze. Bitte dabei auf die richtige Klammersetzung achten! Mit der Trapezregel bist du dann fertig.
In der Anwendung interessiert man sich aber noch dafür, wie groß der absolute und relative Fehler eigentlich ist, den man bei dieser näherungsweisen Rechnung gemacht hat. Das erkläre ich mal in einem anderen Video. Wenn man noch einen Schritt weiter geht, unterscheidet man den Fehler in Abschneidefehler (weil man ja bei n=4 "abgeschnitten" hat) und Rundungsfehler und schaut wo der Gesamtfehler minimal wird.
@@MathePeter Entweder setze ich die Klammern nicht richtig oder ich habe einfach keine Ahnung wie ich das eingebe in meinen Taschenrechner. Wenn ich nur die Zwischenergebnisse soll, warum brauche ich dann für T4 diese Rechnung wo auch h und a und b dabei sind?
Egal wie ich das auch eingebe, ich komme nicht auf diese 1,4907
wow alles verstanden, danke
Kannst du bitte ein Video zur Tschebyscheff Interpolation machen:)
Schon auf die Liste gesetzt :)
Haha das Ende ist Beste
EHRENMANN
Suuuuper Video !!!
Hi Peter, könntest du mal die Herleitung der Simpsonregel zeigen, ich meine als Newton-Cotes-Formel mit der Lagrange Basis. Finde dazu einfach nichts, nur immer der Hinweis, das Simpson Regel eine Parabel aus drei Punkten, (Anfang, Mitte und Ende) benutzt.
Wäre echt nett :-)
Coole Idee, ich habs mir notiert. Mache diese Woche noch einen Plan bis Oktober, da brauche ich eh noch Inspirationen :)
@@MathePeter Habe inzwischen was gefunden, allerdings funktioniert der Beweis über den Ansatz mit einer Parabel der Form Ax²+Bx+C , nicht aber über Lagrange Interpolation.
Meine 'Idee', ok, ist nicht meine, nur das, wie ich es verstanden habe:
mittels Lagarange Interpolation finde ich die eindeutige Parabel durch die drei gegebenen Stützstellen, dieses kann ich ja algebraisch integrieren, also ne Stammfunktion finden, und hier müssten dann für die Grenzen a und b genau die Simpson Formel rauskommen.
Habe es mit Wolfram Alpha versucht, aber mich irgendwie total 'verlaufen' und zu keinem brauchbaren Resultat gekommen, auch wenn Simpson schemenhaft zu erkennen war.
Sehr gut !
Wenn die Stützstellen unterschiedlichen Abstand zueinander haben, setze ich dann direkt die entsprechenden Werte für h ein (ohne die Berechnung von h am Anfang)?😊
Ja also bei unterschiedlicher Schrittweise berechnest du die Trapezflächen alle einzeln. Allerdings ist das dann nicht mehr die klassische Trapezregel.
@MathePeter super danke. Wie berechne ich dann ein einzelnes Trapez wenn mein Intervall x € [0;0.5] ist?
T = 1/2 * (f(0) + f(0.5))? Oder wie muss ich das machen? 😀
Ja fast, der Flächeninhalt des Trapezes wäre dann 1/2 * ∆x * (f(0) + f(0.5)), wobei hier ∆x=0.5 ist.
Das Integral von e^x^2 dx existiert, es ist nur nicht algebraisch darstellbar.
Ja das stimmt, das meine ich damals damit. War ein wenig nachlässig bei dem Intro. Leider kann ichs im Video nicht mehr ändern 😅
vielen dank. Aber ist i immer gleich 1 und da oben schreibt man immer n-1?, wie rechnet man n auch?, also wir kommst du dazu, n =4?
Nein das i nimmt alle natürlichen Zahlen von 1 bis n-1 an. Wenn du gern das Summenzeichen besser verstehen willst, schau dir mal mein neustes Video dazu an: ruclips.net/video/FRT9Cz6L00M/видео.html
@@MathePeter achso ok ich verstehe jetzt was du meinst. aber kannst du mir bitte erklären, wie du n gerechnet hast ?
Das n=4 hab ich mir ausgedacht. Irgendwo muss man ja aufhören zu rechnen :)
Je größer das n wird, desto genauer stimmt die Näherung mit dem exakten Ergebnis überein.
Ich liebe dich ❤
sehr klar erklärt
Bezeichnet n nicht die Anzahl der Stützstellen? wenn wir n=4 nehmen, müssten wir dann nicht die Stützstellen 0; 0,333 ; 0,666 und 1 wählen?
Bzw. haben wir hier im Beispiel nicht 5 Stützstellen genommen (0; 0,25; 0,5; 0,75 und 1)?
Nein n bezeichnet die Anzahl der Intervalle, es gibt also immer n+1 Stützstellen.
@@MathePeter Danke!
Es wäre gut, wenn du auf Stabilität eingehen könntest, denn Newton Cotes Formeln sind nur bis zu Grad n = 6 brauchbar, danach werden die Formeln numerisch instabil, wegen negativer Gewichte. Das bereitet mir zur Zeit Schwierigkeiten.
Themen zur Numerik kommen in Zukunft auch noch. Auf die Stabilität geh ich dann in anderen Videos ein.
Könntest du eventuell noch ein Video zur Simpsonsumme machen?
Gute Idee, ich schreibs mir mit auf! :)
Ableiten ist Handwerk- Integrieren ist Kunst. Dieser Spruch kommt nicht von irgendwoher!
Haha so wahr. Der gefällt mir! :)
Hallo Peter, bei der Formel steht in der Summenformel a+i*h müsste es nicht einfach nur i*h sein?
Es ist nur dann i*h, wenn a=0 ist. Wenn wir z.B. das Intervall [1,3] haben, dann müssen wir immer Werte größer gleich a=1 in die Funktion einsetzen. Nur i*h würde ja nicht im Invervall liegen bei hinreichend kleinen h.
@@MathePeter Bester Mann, schreibe meine Facharbeit über Verfahren der Integralrechnung unter anderem das Trapezverfahren und habe die ganze Methode mit deinem Video innerhalb von 5 Minuten verstanden. kuss geht raus
@@MathePeter bist der beste, Peter
Danke für das Videos. Kannst du auch Videos zum Thema Numerische Differentiation machen? Dann wird die Liste der NM etwa vollständiger sein. :)
Irgendwann ja. Erst mal hab ich andere Videoprojekte abzuschließen.
eine frage.. woher weiss ich den, was n=? ist? also wenn 0
Das n ist direkt gegeben oder indirekt durch die Schrittweite h, eine Genauigkeit ε,... oder du musst dir selbst eins ausdenken. Ich weiß nicht was du mit dem k meinst, aber wenn du das Intervall [0,4] mit der Schrittweite h=1 durchlaufen willst, dann hast du n=4 Trapeze. Wenn du das Intervall [0,4] mit der Schrittweite h=1/2 durchlaufen willst, dann hast du n=8 Trapeze.
@@MathePeter also eigentlich habe ich nur ein integal gegeben und ein Integrad an den knoten von x(k) wobei es gilt das 0
Mit Knoten sind wahrscheinlich die Stützstellen gemeint. Was ist das k? Soll das einen Index angeben und nur natürliche Zahlen annehmen? Weil dann würde das ja nur k=1, k=2 und k=3 betreffen, das wären n=2 Trapeze.
Welcher Mathematiker hat dieses Verfahren entwickelt? War das das von Newton`? (wichtig für facharbeit)
Kann ich dir gar nicht genau sagen. Integrale gabs ja erst ab ca. 1823, da hat Newton schon lange nicht mehr gelebt. Aber numerische Integration wurde schon früher benutzt, ohne es "Integration" zu nennen, glaube darum ist es schwer zu sagen.
Gibt es Videos zur Mittelpunktregel oder Simpson Regel?
Leider noch nicht. Der Numerik Bereich wird in Zukunft noch erweitert, erst mal bin ich aber an anderen Projekten dran.
Ist das die summierte Trapezregel oder die Trapezregel? Ich glaub da gabs einen unterschied
Ja, das hier ist die summierte Trapezregel. Ich find die Unterscheidung aber nicht wirklich sinnvoll, weil die Trapezregel ist ja nur die summierte Trapezregel mit n=1 Trapez.
Ich habe eine Frage zu dem Sigma, warum ist beim Startwert 1 angegeben und nicht 0? Und warum steht beim Endwert n-1 und nicht einfach n = 1?
Gute Frage! Schau dir mal die Grafik ab 1:28 an. Um die Flächeninhalte der einzelnen Trapeze zu berechnen, müssen doch bis auf zwei Seiten alle doppelt verwendet werden, weil sie jeweils zu zwei Trapezen gehören. Die beiden Ausnahmen sind die erste Seite ganz links (für i=0 mit Länge f(a)) und die aller letzte Seite ganz rechts (für i=n mit Länge f(b)). Genau das steht auch in der Formel. Beide Seiten kommen also bei der Flächenberechnung nur genau einmal vor, alle anderen Trapezseiten (i=1 bis i=n-1) aber jeweils zwei mal, darum steht vor dem Sigma eine "*2".
@@MathePeter Okay, danke, ich glaube ich habe es jetzt verstanden. Was bedeutet aber dieses kleine i?
Soll das sozusagen für ein Trapezintervall stehen?
Das kleine i ist nur ein Zähler. Es soll einmal jede Zahl von 1 bis n-1 annehmen in der Summe.
Bei uns ist weder n noch h gegeben. Bei uns machen die das mit Fehlerformeln und Ableitungen. Weißt du wie man das so macht?
Es gibt viele Möglichkeiten für die numerische Integration. Allerdings sind nicht alle Funktionen differenzierbar, bei denen kannst du also nicht mit Ableitungen arbeiten.
hi ich hab es immer noch nicht so ganz gecheckt
meine frage wäre wann wende ich diese trapezregel an ?
und gibt es eine bestimmte formel ?
Die allgemeine Formel ist die rote ab 0:54. Generell kannst du die Trapezregel immer verwenden wenn du ein bestimmtes Integral (=mit Grenzen) gegeben hast. Zum Spaß kannst du es immer verwenden, in deiner Klausur aber nur, wenn du explizit danach gefragt wirst. Der Sinn ist, dass du den Wert von Integralen näherungsweise ausrechnen kannst, auch ohne großen Aufwand. Meistens wird es aber erst dann verwendet, wenn es nicht möglich ist ein Integral exakt auszurechnen.
@@MathePeter ah ok danke und welche Formel verwende ich für die Tangententrapezregel an ?
Das ist schwer zu beschreiben, dazu sollte ich vlt auch mal ein Video machen haha. Hilft dir wikipedia weiter? de.wikipedia.org/wiki/Mittelpunktsregel
@@MathePeter ja bitte
Was ich nicht verstehe ist wieso man da ein großes E in der formel stehen hat ? (Oben steht n und unten steht k=1 )
Das ist ein großes Sigma, der griechische Buchstabe für "S". Gemeint ist das als Summenzeichen. Man soll für die nachstehenden k nacheinander alle Zahlen von k=1 bis k=n einsetzen, zwischen den Summanden steht immer +
Kannst du sonst nich Tipps zur Num. Mathe geben ? Ich habe die Prüfung im Winter 19
So einiges, aber ich denke bis zum Winter krieg ich keinen kompletten Numerik Kurs hin. Schau dir aber gern mal z.B. die Videos zur QR-Zerlegung an: ruclips.net/video/VjInAbfpJIU/видео.html
Ich hatte eine Aufgabe gerechnet aber der Vorfaktor war statt 1 bei 1/4. Schrittweite war 0,5 und bei deiner Formel wäre es 0.5 geteilt durch 0.5 = 1. das Endergebnis stimmt aber dann nicht. Wenn ich 0.5 mal 0.5 rechne komme ich auf 1/4 und das Endergebnis liegt dann 0.2 entfernt vom richtigen integral . Komisch kann mir jemand sagen warum das so ist
Wenn du mir deine Aufgabe gibst, kann ich dir sagen, wo dein Fehler liegt.
@@MathePeter vielen Dank für deine Rückmeldung!
Ich würde dir die Aufgabe auf Instagram zusenden wenn das ok ist ?
Hier kann ich leider keine Bilder einfügen
@@Creepiify Schreib hier einfach die Funktion, Anzahl an Stützstellen etc.
@@MathePeter gegeben sei das integral:
I = integral von -2 bis 1 (x^4 + 2x^3 -2x^2 +1) dx
a) berechnen Sie einen genährt den Wert des integral I mithilfe der zusammengesetzten Trapezregel. Verwenden Sie dabei eine schritt Weite von H = 1/2
Danke für deine Hilfe
Wenn du 1/2 durch 2 teilst, ist das eine 1/4 und keine 1 😄
Geil, danke!
Ich weiß nicht ob ich bissle zuspät dran bin, aber ich bekomme beim Endergebnis für T4= 1,830475 raus. Ich hab nach meiner eigenen Berechnung auch Ihre Zahlen benutzt jedoch kam ich erneut auf 1,83... , mach ich irgendwas Falsch? ich bin relativ weit von 1,4907 entfernt und das mit den gleichen Zahlen... Ich bin grad echt Lost haha
Ich habs auch noch mal eingegeben, komme aber immer wieder auf das selbe Ergebnis. Vielleicht hast du eine Klammer vergessen oder Klammern bei den Potenzen von den e-Termen falsch gesetzt?
@@MathePeter Ich bedanke mich für Ihre Antwort, ich habs jetzt nachgerechnet und mir ist aufgefallen, dass ich eine Klammer übersehen habe. danke
Wir haben das noch in Prozent den Fehler bestimmt wie geht das?
Einfach das Ergebnis minus dem echten Wert und dann geteilt durch den echten Wert.
mittnerweile guck ich nichtmal mehr das skript an und nehme direkt deine videos....
Freut mich zu hören 😄
Was studierst du?
Dankeeeee
pravo peter
danke!
Danke!
Bitte sehr!
Fehler der Trapezregel berechnen wäre gut
Habs mir auf die Liste geschrieben :)
www.slideshare.net/shashikantpabari/newton-cotes-itegression-method
Auf slide 5 steht alles was du brauchst. Wie man auf Xi kommt brauchst du noch denk' ich.
Gauß Quadratur wäre top.
Hab gehört du chattest mit Mathe-Göttern
Ich verrate denen manchmal paar coole Tricks, z.B. wie man Lagrange Aufgaben in Sekunden löst: ruclips.net/video/p6_TRegg6Uw/видео.html
Super, aber ich finde, dass du zu schnell redest und erklärst😊 das schauen nicht nur Deutsche
Vielen Dank! Finde ich auch, in den neueren Videos bin ich ruhiger :)
etwas zu schnell..
Ich weiß, war damals noch sehr aufgeregt vor der Kamera. Vielleicht sollte ich das einfach mal neu drehen :)
Das ist aber die TrapezSUMME
Kuss
Mathematiker sind wirklich gierig