Newton-Verfahren
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- Опубликовано: 22 июл 2024
- Mit dem Newton-Verfahren kannst du Nullstellen, Schnittpunkte von Funktionen oder sogar Wurzeln näherungsweise berechnen. Einfach und schnell für dich erklärt: Bedeutung, Herleitung, Voraussetzungen, Eigenschaften und das direkt an einem Rechenbeispiel!
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Inhalt:
0:00 Newton-Verfahren: Bedeutung + Herleitung
1:28 Voraussetzung
2:29 Eigenschaft
2:50 Abbruchkriterium
3:12 Beispielfunktion
3:44 Mustertabelle + Rechnung
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Warum #MathePeter:
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Nach ungelogen 51 Sekunden Video habe ich endlich verstanden, wass mir mein Skript (OHNE ABBILDUNGEN!) sagen möchte... Danke!
Muss sagen, einfach nur genial, auch dass die benötigten Funktionen bei dir immer mit an der Tafel stehen, wenn du Beispiele rechnest.
Sehr Strukturiert von Anfang an und auch nicht immer die einfachsten Beispiele der Welt genommen, nicht wie manche Dozenten. Finde das dadurch viel besser zu verstehen, da man es ja oft kennt:
Das Beispiel des Dozenten, so simpel wie in der Oberstufe. Dann die Aufgaben, so heftig, dass zwischen Bsp. und Aufgabe Dimensionen liegen.
Mach weiter so!
Dieser fröhlich frische Gesichtsausdruck mit den Worten "aber ich bin nicht schlau!"
hahahah
@@MathePeter wie sieht es aus bei 2 variablen ? also bei f(x,y) ? Es reicht mir wenn du hier direkt einen Hinweis gibt für die Formel. Gruß.
@@math260879 Hi, Julio. Dein Kommentar ist schon 1 Jahr her, aber falls du das Newton - Verfahren im Mehrdimensionalen nicht kennst, gibt einen kleinen Abschnitt dazu auf Wikipedia.
Für eine Funktion f:R^n -> R^n lautet die Iterationsvorschrift: x_(n + 1) = x_n - J(x_n)^(- 1)*f(x_n). Dabei ist J(x_n)^(- 1) die inverse Jacobi - Matrix von f, in der du x_n eingesetzt hast. Ist also im Prinzip genau die selbe Formel wie im Eindimensionalen, bloß dass die Ableitung von f in diesem Fall eine n x n - Matrix ist.
Es ist echt unfassbar, du hast zu allen Themen in unserer Klausur ein passendes Video!
Bist mittlerweile mein Lieblingserklärtyp auf RUclips :D
Ich danke dir echt vielmals!!
Danke für das Lob! :)
Ich bin mittlerweile (leider) an einem Punkt im Studium angekommen, an dem es kaum Videos von dir gibt zu den Themen die ich brauche. Umso mehr hat es mich gefreut und ein Grinsen ins Gesicht gezaubert, als ich dein Thumbnail gesehen habe als ich nach Newton-Verfahren gesucht habe 😄
Nochmal Danke für deine Videos!
Freut mich, dass doch immer noch mal ein Video dabei ist, das weiter hilft! :)
Wunderschönes und sehr einfaches verfahren, wenn die Bedingungen erfüllt sind. Gut erklärt!
Danke Peter. Du katalysierst meine Passion für Mathe 🌷
Selbst als Ingenieur sind mir deine Videos nicht langweilig. Mach weiter so Bravo
Video rettet mich grade sehr. Ich muss eine Facharbeit dazu schreiben und habe das Thema nicht verstanden gehabt mit all den anderen Videos, bis ich das gefunden habe. Vielen Dank!!!
Super Video!!! Ich habs endlich verstanden. Richtig gut erklärt! Dankee
Vielen Dank, ich muss eine GFS über das thema Halten und du hast es so simpel erklärt. Danke!
Das freut mich! :)
Super Video, top erklärt. Vielen Dank
Wie immer bombe erklärt!
Gut erklärt, vielen Dank!
Super Video! Hat mir sehr weiter geholfen! Danke
freut mich! So soll es sein
Danke für das hilfreiche Video ;)
Du bist ein Mann von Ehre!
Alex, Du bist 1 konkret Schüla!
Super Video danke!
Herr der Mathematik ich liebe Sie 😭♥️
Super Erklärung!!!!
Vielen Dank! Hast Du vor, Deine Numerik-Playlist zu erweitern? Ein Paar Videos zu Fixpunktiteration, Kondition, Stabilität usw. wären echt schön.
Grundsätzlich schon. Nur bin ich gerade erst einmal mit meinen beiden Mastermodulen "Topologie" und "Partielle Differentialgleichungen" beschäftigt. Ich muss mal schauen, wie ich wieder Zeit finden Videos in den Alltag zu integrieren :)
Sehr sehr hilfreich... Vielen Dank
vielen vielen Dank!
Danke Peter🎉
Danke!!!
Du bist ne Maschine! 😎
pass mal auf was noch kommt ;)
Top Video, mit das Beste, was man zu diesem Thema auf YT finden kann. Vielen Dank, super erklärt - und auch nicht mit der einfachsten Gleichung als Beispiel. Jetzt geht's ans Üben 🙂
Freut mich, danke! :)
Dankeschön
einfach LIKE
Ich liebe dich du geile Antilope. Danke!
Danke, #Ehrenpeter! :)
Tolles Video, nur eine Frage das mit der Voraussetzung hab ich nicht ganz verstanden. Wieso muss die Funktion nicht linear sein damit es eine Tangente gibt?
Ja genau rein für die Theorie. Eine lineare Funktion hat keine Tangente. Wenn man eine Tangentengleichung aufstellen würde, käme die identische Funktion bei raus. Rechnerisch ist das Newton Verfahren aber auch bei linearen Funktionen anwendbar. Ist nur ziemlich langweilig, weil man dann immer schon nach genau einem Schritt bei der Lösung ist. Die Lösung, auf die man auch durch normales umstellen der linearen Gleichung gekommen wäre.
3:26 Nebenbei mal Zwischenwertsatz erklärt :D
was wären denn die vor- und nachteile von diesem verfahren ? das video hat mir sehr geholfen danke
Ein entscheidender Vorteil/Nachteil (je nach Betrachtungsweise) ist die quadratische Konvergenz bei einer einfachen Nullstelle. Wichtig ist immer relativ nah an der Lösung zu starten. Das Verfahren kann durch mehrere Nullstellen "verwirrt" werden. Und es wird immer die 1. Ableitung benötigt, allerdings haben nicht alle Funktionen eine erste Ableitung; Beispiel "Weierstraß-Funktion", die ist überall stetig, aber nirgends differenzierbar.
Gutes Video, ich habe bei dem Sekantenverfahren Video mal das Newtonverfahren ausprobiert mit dem Startpunkt x0=0 und gemerkt das das kein Ergebnis liefert, wieso? gibt es eine stille Regel das man die Null nicht als Startpunkt wählen sollte?
Weil x0=0 zu weit von der Lösung entfernt liegt. Schau dir mal den Funktionsgraphen von x^3-2x-2 an. du kommst aus dem "Tal" bis zur 1 hin nicht mehr raus. Die Tangenten führen immer wieder zurück ins negative.
Ich habe da Mal eine Frage. Und zwar hast du beim Nullstellen der Tangente X0 plus genommen,damit es auf die andere Seite kommt, aber müsste dann die Formel nicht f(x) = X0 + f(X0)/f'(X0) sein?
Nein, wenn du +x0 rechnest, steht auch nur vor dem x0 ein Plus. Wenn -f(x0) gerechnet wird, dann steht vor dem f(x0) ein Minus.
@@MathePeter Danke
Klasse Video👌
Kurze Frage, woher weiß ich denn das ich alle Nullstellen der Funktion habe? Und nicht noch irgendwo eine andere liegt?
Danke! Die Anzahl der Nullstellen kriegst du nicht mit dem Verfahren raus. Dafür musst du eine Kurvendiskussion durchführen.
Hallo MathePeter, könntest du ein Video zu BGFS verfahren machen? Das BFGS verfahren gehört zu der Gruppe der Quasi Newton Verfahren. Das wäre mega stark! Grüße
Ja Numerik wirds auch noch geben. Aber nicht in unmittelbarer Zukunft. Ich hab noch viele andere Videos vor, die ich lieber machen würde.
@@MathePeter Hallo Mathe Peter, verstehe ich es richtig, dass man Newton Verfahren für Funktionen verwendet deren Potenz >= 3 ist? Für Funktionen der Potenz 2 gibt es ja die PQ Formel. Grüße
3 Stunden Vorlesung in 6 Minuten, Top!
Dennoch, keine Schwäche zeigen!
Gut erklärt! Aber kann man eine Nullstelle einer Funktion berechnen wenn sie ein Extremwert ist? Da gibt es doch keinen Weg herum mit diesem Verfahren oder?
In dem Fall scheitert dieses Verfahren, genau.
Gibt es eine Methode, wie man einen guten Startwert wählt, der garantiert konvergiert?
Ich weiß nur, dass der Wert, den man nimmt, die Ableitung nicht 0 ergeben lassen darf, weil man dann f durch f' = 0 teilen würde, und außerdem ist eine Nullstelle der Ableitung ein Hoch/Tiefpunkt der normalen Funktion, sodass die Tangente waagrecht wäre und überhaupt keine nächste Nullstelle hätte.
Ja, das stimmt. Ob es allgemein eine gute Methode gibt, kann ich dir gar nicht sagen. Ich kenne zumindest keine.
🙏🏻🙏🏻🙏🏻
*MathePeter* wie sieht es aus bei 2 variablen ? also bei f(x,y) ? Es reicht mir wenn du hier direkt einen Hinweis gibt für die Formel. Gruß.
Statt durch f'(x0) zu teilen einfach mit der Inversen der Jacobimatrix an der Stelle x0 multiplizieren (von links).
@@MathePeter vielen Dank für die Antwort :)
also das mit Jacobi Matrix ist mir schon mal klar wenn die Funktion 2 Komponenten oder mehr hat. Frage: funktioniert das auch mit Jacobian auch wenn meine Funktion nur eine Komponente hat mit x und y ? Ich habe das in einer Aufgabe gesehen.
Kannst du mir ein Beispiel zeigen?
wie viel schritte?
👍🏻👍🏻👍🏻
ich liebe dich
wie berechnet man damit punkte die keine Nullstellen sind?
Durch eine Verschiebung auf eine Nullstelle.
f(x) = c dann forme um zu f(x) - c =: g(x) = 0 und wende darauf das Verfahren an
Ich komm soweit mit, aber verstehe nicht wie man damit jetzt den Schnittpunkt von 2 Funktionen errechnen kann :D
Kannst du das bitte nochmal kurz erklären?
Ja klar. Mit dem Newton Verfahren kannst du näherungsweise Nullstellen bestimmen. Also musst du aus dem "Schnittpunkt-Problem" ein "Nullstellen-Problem" machen. Für den Schnittpunkt zweier Funktionen f(x) und g(x) musst du sie nur gleichsetzen, also f(x)=g(x). Wenn du jetzt eine der beiden auf die andere Seite ziehst, hast du f(x)-g(x)=0, also ein "Nullstellen-Problem". Nimm dir also einfach eine neue Funktion h(x)=f(x)-g(x)=0, auf die du das Newtonverfahren anwendest.
@@MathePeter Dankeschön! Hat funktioniert. :)
Wie groß ist der Haufen Stifte inzwischen?
War mega viel. Hab ihn gestern komplett weggeschmissen 😂
ich muss das Newton Verfahren übermorgen den 16.10.2018 präsentieren und steh total auf dem schlauch, weil ich die Konvergenz dieses Verfahrens im eindimensionalen und mehrdimensionalen erklären muss ^^. Die Sätze und Beweise dazu sind ein harter Brocken. Die Lektüren und Internetrecherche hat mich leider kein Stück weiter gebracht. Wenn einer wie du ein Video dazu hätte, wäre mir sicherlich gut geholfen.
Bis morgen ist es leider etwas kurzfristig xD
Aber kurz zur Bedeutung: Wenn alle Voraussetzungen erfüllt sind, dann hast du mit dem Newton Verfahren quadratische Konvergenz, also die Anzahl der richtigen Nachkommastellen verdoppelt sich in jeder Iteration.
@@MathePeter genau und wenn du nah genug an der Nullstelle bist, dann ist das eine kontrahierende Selbstabbildung. Banachscher Fixpunktsatz, Hessematrix, Jakobimatrix, Lipschitzstetigkeit, Konvexität von Funktionen, Konvergenz von Folgen, Mittelwert Satz, Hauptsatz der Integral und Differentialrechnung , Mittelwertsatz und weiss nicht was alles da eine zentrale Rolle spielt.
Mein Thema ist Newton Verfahren im mehrdimensionalen und das wird nicht Mal benotet, ist nur ein Proseminar aber da steckt ziemlich viel Aufwand und Professor meinte das meine Ausarbeitung nicht ausreicht zum Bestehen. Augen zu und durch ^^
Ich weiß was du meinst, da steckt ein ganzes Stück Arbeit dahinter. Viel Erfolg, hoffe es reicht für morgen! :)
Und warum macht das mein Prof so schwer wenns eigentlich so simpel ist?
3:36 Das ist eine Lüge! Du bist schlau.
Digga du bist einfach so hot un klug was los
Abstiegstest?
Kann man hierbei auch nicht ein anderes Verfahren anwenden?🤔
Ja kannst du :)
das heißt nicht und so weiter und sofort beim newton-verfahren. es muss heißen, und so weiter und gleich dann.
Das ja voll eeasy :D und mein prof labert da ewig irgend etwas unverständliches
Algorithmuspush für die Ehre
Erstmal geschaut ob das Video auf Geschwindigkeit 1.25 ist😅
Ich find lustig, dass die einen die Geschwindigkeit runter stellen, die anderen die Geschwindigkeit hochstellen. Scheint also ein gutes Mittelmaß zu sein :)
kannst du bitte dein paypal geben ich überweise dir 10€ für diese ideo , weil es mir sehr viel geholfen hat . ich hoffe es gibt bald PhysikPeter weil in Physik komme ich auch nicht so klar.
Vielen lieben Dank!! Meine PayPal Adresse habe ich unter meinen Videos verlinkt :)