Uneigentliche Integrale: Arten + Beispiele
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- Опубликовано: 21 дек 2017
- Ein Integral heißt uneigentlich, wenn seine Grenzen Probleme machen. Es gibt auch nur 2 Arten von Problemen: 1) Eine Grenze ist unendlich groß, 2) Eine Grenze ist Polstelle des Integranden. In jedem Fall ersetzt du das Problem einfach nur durch eine Grenzwertaufgabe und berechnest das Integral wie gewohnt.
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Inhalt:
0:06 Was sind uneigentliche Integrale? Welche Arten gibt es?
0:53 Uneigentliches Integral = Grenzwertaufgabe
1:04 Beispiel 1: Uneigentliches Integral 1. Art
3:10 Beispiel 2: Uneigentliches Integral 2. Art
3:38 Einseitige Grenzwerte
5:53 Zusammenfassung + Skizze Bsp. 1&2
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
![Rob49 - On Dat Money (with Cardi B) [Official Video]](http://i.ytimg.com/vi/fTFS58mHJh8/mqdefault.jpg)
Ich werde mein Sohn Peter nennen, danke
Daniel oder Peter das ist die Frage
@@cyon9499 Peniel
@@cyon9499 Jürgen
@@cyon9499 Abdullah
@@cyon9499 Dater
Dieser Kanal vereint die Einfachheit und Prägnanz von Daniel Jung mit der positiven Energie vom Simple Club. Großartig 😄
Und ohne den Cringe von Simple Club
@@julianwaller7294 simple club kann niemals mithalten.
Ich find auch, dass er es für mich meist besser erklärt als Daniel Jung und Simple Club kann ich kaum ertragen, dass ist schon schmerzhafter cringe und auch zu oberflächlich für das was ich brauche.
Rettest mir echt den Arsch im Ingenieurstudium, nehme jetzt auch immer P als neue Grenze um dich zu ehren :D.
Ich bin aus Syria ,ich studiere und ich habe Ihnen vor einem Jahr gefolgt. Bitte weiter so 😍
Die armen Seelen in meinem Ana-Kurs, die meinen Rat ignorierten und dieses Video nie gesehen haben. Der MathePeter-Udemykurs zur Integralrechnung ist übrigens sehr zu empfehlen.
Ich kann euch allen seine Kurse vom ganzen herzens nur empfehlen, keiner kann ihn Toppen! Supportet ihn!
Jap! ❤️🌟
das hat mir 10x mal mehr weiter geholfen als das video von daniel jung, vielen dank
Finde die Kombination machts
Im Mathe Unterricht auf 45 Minuten nicht verstanden, du schaffst es auf 6 Minuten zu erklären. Danke🙏
du bist der beste , es ist echt so leicht ,wenn du's erklärst
Ich schaue deine Videos mittlerweile immer schon, bevor ich das Thema im Mathe-Skript durcharbeite. Erst dann wird mir verständlich, was da vor mir liegt. Vielen Dank.
stimmt, gute Idee, die entsprechenden Videos sich schon von vornherein anzuschauen :)
Deine Videos sind wirklich goltwert! Deine Art und Motivation zu erklären ist einfach genial
Du bist einfach der Beste, Danke fürs Video Peter
Ich kann es einfach nicht fassen, wie simpel Du die Aufgaben erklärst. Ich habe Analysis als letztes Fach in meinem Studium (verschoben seit x-Semestern, obwohl 2. Semester-Fach). Wenn ich Dich nur früher entdeckt hätte....
D A N K E
Manchmal ist es halt einfach nur eine Sache der Wortwahl 😉
Noch nie musste ich soviele youtube videos kommentieren und liken, aber wenn ich es nicht tue bekomme ich ein schlechtes gewissen ! Ist das mindest was man noch machen kann bei so eine leistung.
Ist erstaunlich wie gut du einfach alles erklärst. DANKE !!!
Wow vielen Dank! :) Ich hab nur Mathe studiert und gebe seit 10 Jahren Einzel- und Gruppennachhilfe, war Übungsleiter und Tutor an der Uni und gebe Crash Kurse zur gezielten Prüfungsvorbereitung. Würde schon gern noch Dozent an einer Uni werden, klingt echt gut!
war 2 wochen Corona krank und schreibe morgen eine Klausur wo das unteranderem drankommt. Danke!
Viel Erfolg! 🍀
deine Eltern müssen einfach mega stolz auf dich sein
Mein Vater sagt immer: " Ich versteh kein Wort von dem, was du sagst. Sehr gut gemacht!"
ich bin einer ausländischer Student der bei der Vorlesung immer nicht verstehen kann aber hier kann einfach sehr gut verstehen. Danke sehr :D
Perfekt erklärt wie immer ❤
Danke dass du das hier erklärst!!
hat es dir geholfen?
Das wurde super gut erklärt. Mach immer weiter so
Danke Peter endlich verstanden😊
sehr gut erklärt, weiter so :)
vielen dank!
Danke hat mir beim Abitur gut geholfen.
Alter!!!! Du hast mich gerettet
super erklärt Dankeschön!
danke dir! in zukunft kommen hier noch viel mehr videos.
Du bist der Beste!
vielen Dank
Eigentlich meint man, es gäbe keine guten Mathe-Erklärvideos außer von the simplemaths und Daniel jung, aber das haste wirklich gut erklärt, danke dafür (;
Erstes Mal zu Kommentieren auf RUclips, Danke SEHR.
danke für deine videos
Du bist Bombe bro
Danke für das Video :)
Sehr gutes Video. Die zweite Variante hatte ich vorher gar nicht verstanden
super typ!
danke!
Danke ❤
Schön!!
sicker boy, vielen dank
super erklärt
Jedes Mal aufs neue frag ich mich, wie jemand etwas so verständlich in so kurzer Zeit erklären kann und ein Mathedozent das ganze unverständlich über mehrere Stunden erklärt und es nicht auf die Reihe bekommt. Einfach Danke Dir!
gutes video!
Danke
Danke! :)
danke!
Hallo Peter, super! Gefällt mir prima.
Frage: Kannst Du Beispiele machen für die Berechnung von Integralen, die in R zwar unlösbar sind, aber über einen künstlichen Hilfsweg nach C in der komplexen Zahlenebene sehr wohl lösbar sind. Da braucht man glaub ich manchmal den Satz von Morera. Ich habe das vergessen wie es geht, da mein Mathestudium über 30,Jahre zurückliegt. Mich hat das damals sehr fasziniert, aber ich finde bislang auf RUclips nichts.
LG Franc.
Danke dir! Leider kenne ich mich in der Komplexen Analysis nicht so gut aus, weil das wegen der Bolognia Reform damals aus unserem Studienplan gestrichen wurde. Habe aber noch vor das Thema nachzuholen in den nächsten Jahren!
@@MathePeter vielen Dank, lieber Mathe Peter. Ja, das lohnt sich, mach es, wenn Du Luft dafür hast. Ich hab auch gesehen, dass es jetzt endlich auch gute, lesbare Literatur gibt mit sogar Übungsaufgaben und Lösungen. Aber ein RUclips Video, gut gemacht, ist durch nichts zu ersetzen. Wäre damals echt froh gewesen, so was gehabt zu haben, zumal ab diesem Semester eh alles englisch oder französisch war …..
COOL!
Was hat man nur früher ohne Mathe Videos gemacht
danke merci bcp
Bei dem 2.Beispiel würde man da wenn jetzt die 1 Probleme gemacht hätte den lim gegen 1 von links laufen lassen oder wie wäre der limes dann ?
Ganz genau! :)
Ehrenmann❤️
Hallo zusammen,
geht es im 2. Fall also immer gegen unendlich, man muss nur bestimmen ob positiv oder negativ oder kann genauso ein Wert rauskommen?
Freue mich über eine Antwort!
In beiden Fällen können sowohl endliche Werte rauskommen, als auch unendlich.
@@MathePeterokay dann muss ich da nochmal ein paar Aufgaben rechnen... vielen Dank für die Antwort!
Einfach danke - schreib am Samstag einen Tag nach der Anatomieklausur Mathe, ohne dich würde ich wohl durchfallen :D
Super video!! Ich verstehe aber noch nicht wieso das Minus vor [x hoch -1] dort steht
Danke dir! :)
Wenn du x^(-2) integrierst, dann erhöhst du den Exponenten um +1, also x^(-1), und dann ziehst du noch den Kehrwert des neuen Exponenten nach vorn, also eine 1/(-1)=-1. Darum ist x^(-2) integriert -x^(-1).
top!
freut mich wenn es dir gefällt!
Ehrenpeter
Wichtige frage: ist die definitionslücke grundsätzlich immer schon in der nicht-stammfunktion sichtbar, oder kann es sein, dass sie erst nach dem integrieren auftritt?
Also es kann nicht sein, dass durch das Integrieren Definitionslücken entstehen. Falls du das meinst..
@@MathePeter genau das meine ich. Die definitionslücken bestimmt man also grundsätzlich VOR dem integrieren. Danke
Ehrenman
Kurze Frage: warum kommt beim ersten mal 0 raus und beim zweiten mal für 1 durch p unendlich?
es ist doch beides das selbe oder ?
Der erste Grenzwert geht gegen ∞ und der zweite gegen 0.
MathePeter alles klar danke :)
Hallo eine Frage wieso kommt für den Grenzwert 1/p unendlich raus und nicht 0?
Wenn du 1 teilst durch eine Zahl die immer näher an Null ist, dann kommt eine unendlich große Zahl raus. Tipp doch mal in den Taschenrechner ein 1/0.1, dann 1/0.01, 1/0.001, 1/0.0001,... Du wirst sehen die Zahl wird immer größer.
Hallo, hab n frage und zwar warum schreibt man bei der Stammfunktion das Minus vor die Klammer?
Das musst du nicht machen. Ich finde es aber schöner, weil ich dann nicht den Schusselfehler machen kann und vergesse aus Minus Minus wieder ein Plus zu machen, nach dem Einsetzen der Grenzen.
geiler Typ
Was ist wenn der Integrand eine hebbare Definitionslücke hat? Kann man die einfach wegsteichen und gut ist? Man muss doch im Definitionsbereich die hebbare Lücke berücksichtigen?
Es darf abzählbar viele Lücken geben. An diesen Stellen wird das Integral einfach unterbrochen und neu angesetzt.
@@MathePeter demnach zählt dieser Fall nicht zum uneigentlichen Integral, sofern in den Integrationsgrenzen kein +- unendlich vorkommt?
Dann muss man unter „Singularität“ nur die Polstellen berücksichtigen?
Und die wesentlichen Singularitäten und Verzweigungsstellen. Machs dir nicht so kompliziert. Bei Lücken und Sprüngen brauchst du es nicht, sonst schon.
@@MathePeter kenne nur die Polstellen und hebbaren Lücken bei den Singularitäten. :D danke für die Hilfe!
Warum ist in beiden Fällen der Integrationsbereich offen? Beim Fall 2 ist doch die Intervallgrenze von 0 bis 1 und damit geschlossen? Oder meinst du, weil man eben dann für 0 eine Grenzwertbetrachtung macht, ist sie auch offen?
Ne nicht offen. Es geht darum, dass die 0 ein Problem verursacht, weil der Integrand dort eine Polstelle hat.
@@MathePeter Das habe ich verstanden. Nur bei Minute 05:58 sagst du, dass "bei beiden Fällen der Integrationsbereich offen war"? Was meinst du genau damit?
Achso, damit ist gemeint, dass beide Bereiche bis in die Unendlichkeit weiter gehen.
@@MathePeter aha, Integrationsbereich deutet auf die Fläche hin. Ich dachte du meinst die Intervallgrenzen.. Danke für die Aufklärung! :)
Ich muss in zwei Kurvendiskussionen einmal „Den Inhalt der ins Unendliche reichenden Fläche, die vom Graphen, und den positiven Achsen eingeschlossen wird, bzw, vom Graphen und der positiven x-Achse und der negativen y-Achse.. aber wie soll ich denn hier wissen, ob Unendlich jetzt meine Ober, lder Untergrenze ist? Manche Graphen laufen ja in beide Richtungen ins Unendliche (zb 2/x^2), das funktioniert ja nicht wenn man 2 Mal Unendlich nimmt oder? Und selbst wenn ich weiß ob Unendlich meine Ober- oder Untergrenze sein soll, wer sagt mir was die andere Grenze sein soll? Impliziert dieses „von den Achsen eingeschlossen“ dann wuais dass die andere Grenze direkt 0 ist?
Richtig, "von Achsen eingeschlossen" bedeutet, dass Variablen zu Null werden. Die positive x-Achse reicht zum Beispiel von x=0 bis unendlich. Die negative x-Achse von -unendlich bis 0. Wenn du mal ein Integral hast von -unendlich bis +unendlich, dann kannst du auch einfach beide Unendlichzeichen durch ein p ersetzen, also von -p bis p integrieren und dann den Grenzwert p gegen unendlich schicken. Bei Funktionen wie 2/x^2 kannst du aber nicht einfach von -unendlich bis +unendlich integrieren, weil die Polstelle x=0 dazwischen liegt. Hier musst du das Integral absetzen und neu beginnen. Also einfach das Integral von -unendlich bis 0 und das Integral von 0 bis unendlich addieren. Speziell bei dem Beispiel macht dir aber die Grenze 0 die Rechnung "kaputt", weil bei der Grenzwertberechnung was unendlich großes raus kommt. Du kannst hier sogar aufgrund der Symmetrie sagen, dass die Fläche im zweiten Quadranten gleich groß ist wie die Fläche im ersten Quadranten, damit musst du nur noch eins ausrechnen. Das existiert aber trotzdem nicht haha.
dürfte das zweite beispiel nicht garnicht integrierbar sein? Da die Funktion auf dem intervall nicht beschränkt ist
Darum ersetzt man das Problem durch einen Parameter, hier p, sodass die Funktion auf dem Intervall wieder beschränkt ist. Und erst, wenn man mit dem Integrieren fertig ist, berechnet man noch den Grenzwert.
@@MathePeter Alles klar, Danke!
Hallo Peter, ich habe gerechnet wie ein Blöder die letzten zwei Tage, aber für f(x)=1/x^5 im Intervall 0;unendliche komme ich auf kein Ergebnis.... irgendwie verstehe ich es noch nicht so ganz.
Schau dir einfach das zweite Beispiel ab Minute 3:09 an, das beantwortet deine Frage ausführlich :)
@@MathePeter ich verstehe das irgendwie dennoch nicht? ich habe jetzt auch bei meiner aufgabe P für die Null eingesetzt. dann bekomme ich raus lim p-->0= -[ 1/4P^4]- -[1/4*unendlich^4] ich denke das ich da irgendwo den fehler mache..... ich verstehe nur einfach nicht wann ich unendlich raus bekommen soll :(
@Andy M ∫x^(-5)dx = -1/4*x^(-4) mit eingesetzten Grenzen (p,∞) hast du dann -1/4*[∞^(-4) - p^(-4)].
∞^(-4) geht gegen Null. Und p^(-4) geht für p->0+ gegen ∞. Damit bleibt über -1/4*(0-∞) = ∞.
@@MathePeter Sry wenn ich parallel schreibe aber so kommen wir nicht durcheinander. Ich schreibe gerade alle bis jetzt gerechneten aufgaben nochmal neu ab. Unter anderem gerade diese hier von heute morgen: ich verstehe nur gerade nicht wieso man beim einsetzen der grenzen nicht mehr ^-4 hat sondern auf einmal ^-1/4?
Andy M oh sry da hab ich mich verschrieben 😂 natürlich überall hoch -4!!!
Edit: hab’s jetzt korrigiert.
Ist das uneigentliche Integral dasselbe wie das unbestimmte Integral? VIELEN DANK :)
Ein unbestimmtes Integral hat keine Integralgrenzen, ein uneigentliches Integral hat Grenzen und da auch noch Probleme. Entweder als Problem ein Unendlich oder eine Polstelle des Integranden :)
bei dem zweiten teil nach dem man integriert hat ist ein Fehler und zwar müsste 1 + p^-1 stehen und nicht mit dem minus dazwischen
Nein, im Video ist es richtig. Denk noch mal genau drüber nach wie das Einsetzen von Grenzen funktioniert.
Super cool! Wo aber waren die Arten der uneigentlichen Integrale? Ich habe heute in der Schule die 1. und 2. Art kennengelernt. Die hast du zwar genau so hingeschrieben aber es nicht explizit erwähnt, dass es sich um 1. und 2. Art uneigentlicher Integrale handelt.
Danke dir :)
1. Art ist mit einem unendlich oder -unendlich in den Integrationsgrenzen (unbeschränkter Bereich)
2. Art ist mit einer Singularität in den Grenzen, z.B. wenn man durch 0 teilen würde oder bei ln(0+)
@@MathePeter Wunderbar! Jetzt hab ich das auch verstanden. Top
Hmmm ich habe vor kurzem reelle uneigentliche Integrale mit imaginären polstellen kennengelernt. Dabei ging es um die Existenz dieser. In dem beschriebenen Beispiel hatten wir einen Bruch mit Zähler und Nenner Polynom Funktion, wobei Nenner 2 Grad höher war als der Zähler.
Obwohl die polstellen im imaginären zu finden waren (und somit das Integral meines erachtens auf dem Reellen definiert war), war es notwendig, dass der Grad des Nenners eben diesen 2 Grad Unterschied zum Zähler besaß. Aber warum erschließt sich mir nicht. Irgendwer eine Ahnung?
Dies hat angeblich noch etwas mit einem Rand eines oberen Halbkreises (im imaginären) und den Schnitt dessen im Rellen zu tun, wenn ich es richtig verstanden habe. Ist mir ein Rätsel...
Habt ihr vielleicht den Residuensatz verwendet?
@@MathePeter Tatsächlich ja... Bin mir aber nicht 100% sicher, ob der weiterhilft für das Beweisen der Existenz.
😎😎😎
Bitte cauchy hauptwert
Hier sind so viele Studierende, aber ich möchte das eigentlich nur fürs Abi verstehen haha
Das kommt alles wieder 😂
Ist das das gleiche wie ein unendliches Integral?
Den Namen „unendliches Integral“ kenne ich leider nicht, aber mein Gefühl sagt mir, dass es das gleiche meint :)
Warum ist die Stammfunktion so !
Schau mal in der Tabelle links. Die erste Stammfunktion ist der Fall, den wir hier benutzen mit n = -2.
Kannst du mir sagen wie man den mittelwertsatz der integral rechnung beweisen kann
Zu dem Beweis hab ich leider noch kein Video, aber die Idee ist, dass eine stetige Funktion f auf dem Intervall [a,b] ein Minimum "m" und ein Maximum "M" haben muss. Die jetzt folgenden Rechenschritte kannst du 1:1 von Wikipedia abschreiben. Jetzt muss nur noch mit den Voraussetzungen argumentiert werden: Der entstandene Ausdruck ist stetig und beschränkt durch "m" und "M". Deshalb muss es für jeden Funktionswert zwischen "m" und "M" auch einen passenden x-Wert aus dem Intervall [a,b] geben damit dieser Funktionswert angenommen wird. Dieser x-Wert ist das xi aus der Aussage.
Mathepeter: Bei uneigentlichen Integralen gibt es nur zwei verschiedene Arten von Problemen. Entweder steckt in den Integrationsgrenzen unendlich oder eine null drin.
Meine Matheprofessorin: Hold my parameter. Für welche Beta konvergiert das uneigentliche Integral?
😭😭
Wie würde man denn bei folgendem Problem vorgehen?
Integral von 0 bis 1 von: x * ln(x^beta) dx
Achtung: Bei der zweiten Art geht es nicht zwingend darum, dass eine Null in der Grenze steht, sondern eine Singularität für den Integranden. Das war im Video die Polstelle x=0 und hier die Verzweigungsstelle x=0. Also genauso vorgehen wie im Video. Beim Bilden der Stammfunktion von x*ln(x^beta) kannst du ein Logarithmusgesetz verwenden und es umformen zu beta*x*ln(x) und dann das Integral mit der partiellen Integration lösen. Am Ende noch mit der Regel von L'Hospital den Grenzwert ausrechnen. Es sollte als Ergebnis -1/4*beta rauskommen und somit für jeden reellen Wert beta existieren.
Mathe Klausur in 35 Minuten, das werden stabile 2 Punkte.
Für volle Punkte, schau noch die anderen Vids von mir.
@@MathePeter erstmal brauche ich eine Zeitmaschine
Oder nutzt die Zeit dich auf die nächsten Klausuren vorzubereiten.
Du hättest eigentlich am Anfang zuerst den Grafen zeichnen sollen, dann die Rechnungswege !
Cool danke dir!! Schreib ich mir auf, vlt mach ichs noch mal besser :)
1/0 geht gegen unendlich?!
Richtig!
MathePeter kannst du vielleicht mal erklären warum 1/0 gegen unendlich geht?
Richard Wick 1/1 ist 1, 1/0.1 ist 10 1/0.01 ist 100 1/0.000000000000000000001 sehr sehr grosse zahl, 1/0 -> unendlich
@@y.a.8480 Bin bisschen spät, aber geht das dann nicht gegen 0?😅
Also das uneigendliche integral ist immer dann wenn entweder x hoch minus 1 ist oder wenn irgendwas hoch minus x ist weil es dann für unendlich für x eingesetzt nicht gegen unendlich geht sondern gegen null.
Uneigentlich ist das Integral nur dann, wenn die Grenzen Probleme machen. Wenn eine der Grenzen unendlich groß ist oder wenn das Einsetzen einer Grenze nicht geht. Hast du z:B. auch, wenn du ln(x) integrierst von 0 bis 1. Die Null ist hier das Problem.
#nichtsverstanden?
Sag Bescheid wenn du Fragen hast :)
@@MathePeter hey cool das du mich anschreibst
@@MathePeter meine Frage war warum du auf dieses ergebnis gekommen bist bei der Stammfunktion.
Wenn du x^(-2) integrieren willst, musst du zuerst den Exponenten um eins erhöhen und dann den Kehrwert dieses neuen Exponenten nach vorn ziehen. -2+1=-1. Deshalb ist ∫x^(-2) dx =1/(-1) * x^(-1) oder schöner geschrieben -1/x.
chad
DNke
Alter, Durchbruch!!
leg dich nicht mit Daniel Jung an
Tu ich nicht. Der Meister darf seine Schüler haben, ich versorge die Studenten 🙏🏼