Höhenlinien/Niveaulinien + Beispiel + 3D Herleitung Einfach Erklärt!
HTML-код
- Опубликовано: 22 июл 2024
- Höhenlinien/Niveaulinien kommen in vielen Anwendungsbereichen zum Einsatz. Rechnerisch musst du nur 1) deine Funktion konstant setzen, 2) nach einer Variable umstellen und 3) die Funktion für verschiedene Funktionswerte zeichnen.
✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄
Wenn du dich auf eine Mathe Prüfung vorbereiten musst, dann schau dich auf meiner eigenen Online Plattform um: champcademy.com. Dort findest du Kurse, individuellen Support und alles, was du benötigst um deine Prüfung zu bestehen.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ONLINE KURSE 🤓
Statistik- und Wahrscheinlichkeitsrechnung
champcademy.teachable.com/p/s...
Komplexe Zahlen
champcademy.teachable.com/p/k...
Folgen, Reihen und Differenzengleichungen
champcademy.teachable.com/p/f...
Differentialrechnung
champcademy.teachable.com/p/d...
Grenzwerte von Funktionen
champcademy.teachable.com/p/g...
Integralrechnung
champcademy.teachable.com/p/i...
Mehrdimensionale Integralrechnung
champcademy.teachable.com/p/m...
Funktionen mit mehreren Variablen
champcademy.teachable.com/p/f...
Extremwertrechnung
champcademy.teachable.com/p/e...
INDIVIDUELLE KURSE
Mathe 1 Crashkurs (angepasst an HU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/m...
Mathe 2 LIVE Crash Kurs (für HU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/m...
Statistik 1 LIVE Crash Kurs (für HU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/s...
Analysis 2 LIVE Crash Kurs (für TU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/a...
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
SOCIAL MEDIA
linktr.ee/mathepeter
/ mathepeter.tv
/ discord
LIVESTREAM-KALENDER
kalender.digital/831bcc564b24...
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
AFFILIATE LINKS
Für jeden Kauf bekomme ich eine kleine Provision. Für dich bleibt der Preis gleich:
Mein Taschenrechner
amzn.to/2RbhKKj
Mein Tafelwerk
amzn.to/2WdVUtd
♥♥♥ ♜♞♝♛♚♝♞♜ ♥♥♥
♟♟♟♟♟♟♟♟
---------------------------------------------------------------------
Möchtest du mich unterstützen?
Patreon: / mathepeter
PayPal: paypal.me/peterlehe1?locale.x...
---------------------------------------------------------------------
♙♙♙♙♙♙♙♙
♥♥♥ ♖♘♗♕♔♗♘♖ ♥♥♥
✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄
Inhalt:
0:00 Was sind Höhenlinien/Niveaulinien? + Anwendungsgebiete
0:41 Anschauliche Darstellung von Niveaumengen (Bsp. Weltkarte)
2:26 "Höhenlinien schneiden sich nie!"
3:24 Niveauliengleichung bestimmen (am Beispiel)
4:16 Niveaulinien zeichnen
7:34 Wie sieht die Originalfunktion in 3D aus? + Plot
Verwandte Videos:
Gradient & Richtung des steilsten Anstiegs - • Gradient + Richtung de...
Hessematrix & Satz von Schwarz - • Hessematrix + Satz von...
Totales Differential - • Totales Differential
Tangentialebene - • Tangentialebene
Richtungsableitung - • Richtungsableitung (An...
Implizites Differenzieren: Herleitung - • Implizites Differenzie...
Implizites Differenzieren: Tangente, Niveaulinie + Beispiel -
• Implizites Differenzie...
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
Alter Schwede du erklärst das wirklich verdammt gut! Auch deine Art, wie du redest und gestikulierst, ist sehr motivierend und verbessert die Konzentration des Zuhörers. Bist bis jetzt der einzige den ich gesehen habe, der mit The simple club mithalten kann :)
Michael, freut mich sehr wenn es dir gefällt! Über Vorschläge zur Verbesserung freue ich mich immer sehr.
@@MathePeter ... Ehrlich gesagt Peter du bist der aller beste Lehrer online.. den ich je gehört und gesehen habe..... du solltest.. .. alles was du erklärst.. .. einfach perfekt
Mithalten? Simple Club ist gut für die Schule aber danach fehlen mir bei denen immer eine handvoll wichtige Details. Hier fehlt nichts.
@@n.beerdrum7028 Ja true stimmt schon. Simple club ist sehr basic. Meine Güte, meine Grammatik damals war ja schrecklich :0
Du bist wirklich gleich zum Punkt gekommen sodass man es schnell verstehen konnte. Sehr nice!
methamos B, mile grazie! Ziel ist das Mathevideos nicht mehr länger als 3 Sekunden sind. Gut? XD
@@MathePeter klar dann verstehen wir Analysis I-III auch in einem Nachmittag ;)
vielleicht sollte ich mal einen Crashkurs dazu offline organisieren ?!
Hammer Typ, hammer erklärt!
Perfekt erklärt. Direkt verstanden und eine Klausuraufgabe dazu auf Anhieb lösen können. Vielen Dank dafür!
Vielen Dank, du bist der einzige der das mal wirklich einmal vernünftig erklärt hat, du bist meine Rettung :)
Mathepeter ist die Rettung in Corona Zeiten 👍
nicht nur in corona zeiten
Bestes Video zu dem Thema. Vielen Dank!
Du erklärst die Dinge top! Vielen Dank
Bist einfach der Krasseste! FETTES DANKESCHÖN!
einfach mal das thema komplett in unter 10 min zuverlässig durchgenommen, geil :D
Super erklärt👌🏻
Diese Videos sind alle perfekt. Super!
Genial. Nur wegen diesem Video komme ich in Mathematik 2 jetzt wieder weiter, bin genau hier hängen geblieben
Sehr gutes Video! Vielen Dank
du bist einfach so ein sympatisceherTyp. Weiter so! Dein Kanal ist super! Hast mir schon öfter helfen können.
Klasse erklärt. Habe mich extra eingeloggt(was ich selten tuhe) um dir eine Abo und Like zu hinterlassen.... weiter so !!!
Wow dank dir! Das pusht mich :)
gut erklärt Danke Dir für die Hilfe im Studium
So stark gemacht🙏🏼🙏🏼🙏🏼
Top erklärt
super erklärt, respect man
war 100% ausfürlich und gut erklärt, danke noch mal
Sehr sehr gutes Video, danke
OMG habe endlich Niveaulinie verstanden. Danke schön
super!
Super erklärt
Wow echt gut erklärt 🎉😮
sehr hilfreich
du bist genial
danke das ist übertrieben gut erklärt 😍
Traumhaft 😊
super cool
Toll und verständlich erklärt! Danke!
Gutes Video
Wahnsinn, _sooooo_ gut erklärt, wirklich top!
DANKE
Tolles Video! :)
Danke!
Danke!
Ich danke dir!! 🥰
woow, danke :)
Legende
danke habibi!
Wow wirklich sehr gut erklärt! Dankeschön!! Könntest du noch ein Video machen, in dem du erklärst, wie man den Definitionsbereich in der (x,y)-Ebene skizziert?
Klar gern, kein Problem :)
Bis dahin kannst du aber auch einfach deinen Definitionsbereich nach einer der Variablen x oder y umstellen und dann wieder eine Funktion mit einer Variable zeichnen.
@@MathePeter Danke! Hab eben etwas komplizierte Funktionen, dürfte ich dir evt. eine schicken? Weiss nicht mal, wie ich die nur nach einer Variablen umstellen soll...🙄
@@leandrabay2532 Klar schick mal die PDF an meine Mail Adresse hello@champcademy.com und wir gehen die morgen im Livestream durch :)
@@MathePeter Danke viel Mal!!!!!
richtig gut erklärt! darf ich mal fragen, was für ein Software ist das am Ende, das das 3D-Modell vorstellt? oder ist das irgendwo online auffindbar?
Danke dir :)
Das hab ich mit "Grapher" von Mac gemacht. Ist aber nur begrenzt einsetzbar. Mittlerweile benutze ich das Tikz-Package für LaTeX, auch wenn es genau genommen kein Plot Programm ist. Es ist sogar möglich dir einen Matlab Plot in LaTeX Code (innerhalb einer Tikz Umgebung) umzuwandeln.
Boah Mann Herrschaftzeiten, vielen Dank
Danke für das Lob!
ehrenmann
5:30 Heißt das, in der Höhe 0 hat das Etwas bei einem Breitengrad von 1 eine unendliche Linie?
Ja so kann man das formulieren. Oder alternativ: Auf dem Breitengrad 1 hat die Weltkarte die Höhe Null.
höhle im berg -> 1 punkt im 2-dimensionalen hat zwei höhen
deshalb sind im atlas an der stelle auch keine höhlen verzeichnet :)
video gut erklärt!
Danke dir! :)
Ja das ist auch ein Problem für bspw Meeresbiologen mit Isobathen (Tiefenlinien) in Gewässern. Verborgene Schätze 😄
macht man das bei komplexen funktionen genauso? Z.b sin(z) und 1/z mit z=x+yi. Löst man das dann einfach nach dem imaginärteil auf? Weil nach y umzustellen macht denke ich nicht so viel Sinn, wenn auf beiden seiten komplexe terme sind richtig?
Im komplexen ist das noch mal eine Dimension höher, weil es ja Real- und Imaginärteil gibt. Darum ist es nicht so einfach wie im Reellen.
Wie ist das, wenn man die Höhenlinien einer Lagrange Funktion zeichnen soll? Wie geht man hier mit dem Lamda um?
PS: ich liebe deine Videos, einfach Top!
Ich vermute mal du sollst die Nebenbedingung zeichnen und dann zur Zielfunktion einige Höhenlinien.
@@MathePeter oh ja, so hab ich das noch nicht gesehen. War etwas anders formuliert, aber so sollte es klappen. Danke für die schnelle Antwort!
Sehr gutes Video danke. 6:28 sollte aber anstatt x=2 eigentlich y=2 heissen
Haha ja! Freut mich, dass du das Vid so aufmerksam schaust :)
Wenn man ein Skalarfeld der Form: PSI(x,y,z)=2*x^2 + 2*y^2
gegeben hat. Wie zeichnet man die Höhenlinien ein wenn keine z Variable in der Funktionsgleichung vorkommt?
Laut Lösung müssten da koaxiale Zylindermäntel heraus kommen wobei die z-Achse die Zylinderachse sei.
Ich dachte es kommen nur Kreise mit unterschiedlichen Radien in der x-y Ebene heraus...
Der Unterschied zur Funktion im Video ist, dass deine Funktion von 3 Variablen abhängt, nicht mehr nur von zweien. Wenn eine Funktion 3 Variablen hat, ist die 4-dimensional, weil die Funktion selbst ja auch in einer Dimension abgebildet wird. Wenn du von etwas 4-dimensionalem die "Höhenlinien" bestimmst, ist das Ergebnis immer noch 3-dimensional, kann also nicht allein in einem x-y-Koordinatensystem eingezeichnet werden.
Zum Glück ist das Prinzip aber immer gleich. Schritt 1: Du setzt deine Funktion auf einen konstanten Wert c. Bei 2*x^2+2*y^2 handelt es sich in der x-y-Ebene um einen Kreis. Wenn du den Kreis in die dritte Dimension (z-Richtung) ziehst, hast du einen Zylindermantel. Nach dem Umstellen hast du raus x^2 + y^2 = c/2, das bedeutet du hast Zylindermäntel mit dem Radius wurzel(c/2) um den Koordinatenursprung mit der z-Achse als Zylinderachse. Das lässt sich grad noch so zeichnen :)
@@MathePeter Hey vielen Dank für deine Antwort. War sehr hilfreich für das Verständnis. :)
Schade das du nicht noch mehr Videos zur Vektoranalysis hast, z.B wo du ein Paar Beispiele aus der Physik erläuterst.
Ich hab einen Online Kurs "Mehrdimensionale Integralrechnung", falls du dich für Mehrfach-, Kurven-, Oberflächenintegrale und die Integralsätze von Gauß und Stokes interessierst. Da gibts fast nur Beispiele aus der Physik :)
was macht man, wenn der Definitionsbereich der Niveaulinien kleiner ist als der der Originalfunktion? Ist das beabsichtigt?
Das ist vollkommen in Ordnung, da musst du gar nichts weiter machen. Sagen wir die Funktion lautet f(x,y) = x² + y² mit Definitionsbereich ℝ². Wenn du die Höhenlinie f(x,y)=1 betrachtest, dann sind dafür nur noch alle x-y-Kombinationen erlaubt, die die Kreisgleichung 1 = x² + y² erfüllen, also minimal -1 und maximal 1.
ehre
Super Video! Was macht man allerdings, wenn man Funktionen wie (x+y)^2 hat, die man nicht eindeutig nach x oder y umstellen kann?
Von Funktionen wie f(x,y)=(x+y)^2 lassen sich die Höhenlinien genauso bestimmen wie im Video erklärt. f(x,y)=(x+y)^2=c -> y=±√(c) -x. Für positive c hast du also parallele Geraden als Niveaulinien.
@@MathePeter Stimmt!
Super, danke! :)
Quadratische Ergänzung. 2x^2+2xy+y^2 = x^2 + (x+y)^2.
Was meinst du mit "in der Summe"? Für die Höhenlinien der Funktion f(x,y)=2x^2+2xy+y^2 gehst du genau so vor wie im Video und in deinem letzten Beispiel. Setze die Funktion gleich c und stelle nach y um: y=±√(c-x^2) -x.
Na mit der quadratischen Ergänzung. Dachte das hast du auch gemacht, meintest du 😄
f(x,y)=2x^2+2xy+y^2 = x^2 + (x+y)^2 = c. Jetzt auf beiden Seiten "-x^2" rechnen, dann hast du (x+y)^2=c-x^2. Dann die Wurzel ziehen und Betrag auflösen ergibt x+y = ±√(c-x^2). Und zum Schluss noch "-x" rechnen. Das ergibt y = ±√(c-x^2) -x.
Was wäre wenn man die Höhenlinien für z=f(x,y)= e^((x^2+y^2)-1) (alles in der Klammer steht im Exponenten) für z=e zeichnen müsste? Kann man den Exponenten ((x^2+y^2)-1) dann mit dem Exponenten 1 gleichsetzen und dann nach y umstellen oder wie muss man hierbei verfahren???
Ja genau. Im Fall von x²+y²=c² brauchst du aber nicht umstellen, denn die Gleichung beschreibt einen Kreis um (0,0) mit Radius c.
@@MathePeter Perfekt, danke
Eine Frage
sagen wir, wir haben eine Fkt z= 3*m +6*t (ich benutze absichtlich nicht x und y wegen meiner folgenden Fragen). Wenn wir die Höhenlinien haben wollen setzten wir
C= 3*m +6*t
Wenn wir nun nach m umstellen ergibt sich ja
m= -2t + C/3
Und wenn wir das plotten (zb in Desmos) dann würde wir die Gleichung ja so eingeben
y = -2x + C/3
Bis hierhin macht es für mich Sinn. Aber wenn wir C= 3*m +6*t nach t umstelllen dann hätten wir ja
t = -0,5m + C/6
und wenn wir das wieder plotten würden, setzen wir ja
y= -0,5x + C/6
Also ich verstehe nicht ganz wie man die Variablen setzt wenn man es in einem Programm plottet 😅😅
Die Variable, die auf der Abszisse (horizontale Achse) abgetragen wird, die nennst du im Plotprogramm "x" und die Variable, die auf der Ordinate (vertikale Achse) abgetragen wird, die nennst du im Plotprogramm "y". Wenn du x und y vertauscht, dann vertauschen sich auch die Achsen und du erhältst die Skizze der Umkehrfunktion. Musst dich einfach entscheiden was auf der Abszisse abgetragen werden soll und was auf der Ordinate.
Danke ☺.
Die Erde ist aber flach und keine Kugel
😂😂😂😂
Besser kann man es nicht erklären!
Wie findet man Niveaukurven auf Skalarfeldern, d.h. parametrisierte Kurven k auf einer Hyperfläche über einem Skalarfeld f mit f(k(t))=c? Und wenn man verrückt sein will: wie findet man Kurven auf Skalarfeldern im Allgemeinen? Ich finde dazu in Literatur und Internet so gut wie *nichts.*
Schau dir mal meine Videos zum Parametrisieren von Kurven an.
Ich kapier nicht, wie von 1:50 auf 5:20 kommst. Erst sind da irgendwelche Kreise, und dann ein C und eine Kurve. Wieso?
Die Kreise bei 1:50 gehören nicht zur Aufgabe. Wollte damit nur erklären, dass Höhenlinien im Atlas vorkommen.
Sorry, ich kapier immer noch nicht, was diese ominösen Höhenlinien sind. Dasselbe wie Indifferenzkurven? Und dann kann man die auch noch implizit differenzieren?
Stell dir vor du schaust vom Weltall auf die Erde herab. Du siehst Berge, Täler, Wüsten, Gewässer,... Doch du kannst nicht sagen was höher oder niedriger liegt, denn du schaust ja von oben drauf. Es scheint alles platt und gleich hoch zu sein. Jetzt setzt du eine Spezialbrille auf. Wenn du sie auf c=100 einstellst, zeigt sie dir alles an, was sich exakt 100m über dem Meeresspiegel liegt, alles andere macht sie unsichtbar. Danach stellst du sie auf c=200, damit ist nur noch sichtbar, was sich 200m über dem Meeresspiegel befindet usw. Das was sichtbar ist durch die Brille nennt man Höhenlinien. Bevor du auf die Erde zurück kommst, willst du eine Weltkarte zeichnen, die ungefähr anzeigt wie hoch oder tief es auf bestimmten Gebieten der Erde ist. Du stellst die Brille ein auf alles zwischen c=100m-500m und zeichnest auf deiner Karte den Bereich, den du siehst, Hellgrün. Dann stellst du die Brille auf c=500m-1000m und zeichnest den Bereich, den du siehst, Dunkelgrün. Dann stellst du die Brille auf c=1000m-2000m und zeichnest den Bereich Braun usw. Die Karte, die so so gemalt hast, haben wir uns in der Schule im Geografie Unterricht angeschaut :)
Edit: Hab mal ein Bild bei google gesucht: 2.bp.blogspot.com/-Ue0QoO3uqkE/ULJiPBfBV6I/AAAAAAAAALA/xXvSBcTSRbY/s1600/World-Atlas1_original.jpg
Ja, danke, aber wie wird daraus dann die Potenzfunktion?
Das kapier ich nicht.
du bist gut in mahte beser wie ich bist du
y muss doch grössee sein als 1 da sonst die Konditionen am anfang nicht respektiert sind warum ist dies in deinem video nicht der Fall und y kann kleiner sein als 1 ?
Du kannst auch die dritte Wurzel aus negativen Zahlen ziehen und bekommst weiterhin reelle Zahlen als Ergebnis. Beispiel wenn y=0, dann steht im Zähler die dritte Wurzel aus -1 = -1.
Linien gleicher Höhe heißen Isohypsen.
Danke.
Eine Klausuraufgabe:
In welchen Punkten des Definitionsbereiches D ⊆ IR2 ist das nachstehende Skalarfeld φ : D → IR total-differenzierbar? Skizzieren Sie fu ̈r verschiedene Niveaus α ∈ IR den Verlauf der Niveaulinien
Nα ={(x,y)tr ∈D|φ(x,y)=α}
und berechnen Sie das zugeho ̈rige Gradientenfeld grad(φ) : D → IR2.
φ(x,y):=cosh (2y/(x2 +1+y2)) ((x,y)tr ∈D:=IR2)
Skizzieren Sie anschließend dieses Gradientenfeld und bestimmen Sie im Punkt P⃗ := (0, 0, 1)tr ∈ M die Tangentialebene T EP⃗ (M ) an die durch φ beschriebene Fla ̈che
M := (x,y,φ(x,y))tr ∈ IR3 (x,y)tr ∈ D .
Rechnen und zeichnen ist kein Problem für mich, aber woher weiß man, ob es ein Berg (hier zwei Berge) oder ein Tal ist.
Ich raffe das nicht 😂 und muss es in der Klausur einzeichnen.
Für den Punkt P kommt 0,0 raus
Stehe ich gerade echt soooo auf dem Schlauch 🙈? 🤣
Ich kann nicht alle Zeichen lesen, die du geschrieben hast, aber grundsätzlich gilt:
(1) Für die Tangentialebene ( ruclips.net/video/KfcAZCzRXYk/видео.html ) musst du nur den Gradienten deiner Funktion bilden und in die Formel einsetzen.
(2) Um die kritischen Punkte (Berge und Täler) zu bestimmen, muss das Gradientenfeld, also alle ersten Ableitungen, gleich Null sein ( ruclips.net/video/j3zed7Khku8/видео.html ).
(3) Ob es sich dann um Berge oder Täler handelt, also Hochpunkte oder Tiefpunkte, kriegst du raus, indem du die kritischen Punkte in die Hessematrix einsetzt und die dann auf Definitheit überprüfst ( ruclips.net/video/V6f-yBu146M/видео.html ).
MathePeter
MathePeter MathePeter
Danke für die schnelle Antwort, aber es hilft mir gerade nicht 🙈
www.dropbox.com/s/x2r7t9rxf1tov6u/L%C3%B6sungsvorschl%C3%A4ge%20Mathe%20III%20WS16_17.pdf?dl=0
Hier die Aufgabe F
Die Zeichnung
Die senkrechten roten Vektoren auf den Niveaulinien. Wie komme ich drauf in welche Richtung diese zeigen?? Dachte die zeigen vom Tal zum Berg 🤔
Der Prof bestimmt es ja ohne Hessematrix 🙈
Ich stelle mich gerade wahrscheinlich echt doof an 😂 und es ist ganz einfach
Das ist meine letzte Mathe Klausur von 4
Ich mache 3 Kreuze, wenn ich diese bestehe 🤣
und ich habe Mathe mal geliebt und stand immer 1* 😂 das waren schöne Zeiten vor dem Studium
Der Gradient (rote Pfeile) steht immer senkrecht auf den Höhenlinien (blaue Niveaulinien). Setz einfach irgendeinen Punkt, der auf den Niveaulinien liegt, in den Gradienten ein. z.B. den Punkt (1,1). Dann bekommst du für den Gradienten in diesem Punkt (-2,0) raus. D.h. ausgehend von (1,1) malst du einen Pfeil in Richtung (-2,0), also nach links. Damit zeigen alle roten Pfeile nach "innen". Und da ein Gradient immer in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt, müssen im Inneren der Höhenlinien die Berge liegen.
MathePeter
Danke 🙏🏻
Dabei war es so einfach 😅
Ich habe einfach nur Panik
nur noch 7 Tage bis zur Klausur
Mein Bachelor wurde Ihnen präsentiert von MathePeter
Das Beispiel ist leider viel zu einfach gewählt.
Fang erst mal leicht an und steigere dich dann.