Einfach von vorne bis hinten das was ich brauche. Ich kann mir gut vorstellen, dass der Kanal der größte RUclips-Mathe-Kanal im deutschsprachigen Raum wird, wenn er so weiter macht.
Moin MathePeter. Früher hat mir der Daniel immer geholfen aber du hast eine ruhigere Art und bleibst trotzdem sehr effektiv. Danke, dass du diese Videos machst!!! Hilft mir sehr für mein Mathe im Studium!
2. Semester elektrotechnik, ein Video von dir ersetzt eine Vorlesung. Du bist einfach der Mathe gott :D weiter so und danke für die guten Erklärungen. Besser als jeder prof
Danke, dass es deinen Channel gibt! Hättest du ein Postfach, glaub mir, ich würde dich mit Dankeschön-Schokolade überhäufen hahaha Dank dir habe ich Ana2 kapiert haha
I hoffe ich zettel mit dem Kommentar jetzt keinen Krieg an, aber jedes Video von dir was ich je gesehen habe, war weit besser als das Daniel Jung Äquivalent. Du hast mir enorm geholfen! Dankeschön!
Super Video! Ich hätte aber ne Frage zum letzten Punkt (Betrag vom Anstieg des Gradienten) Ich hab's probiert, aber da kommt nur irgendwas komisches raus, aus dem ich nichts sinnvolles ableiten kann, was müsste denn da eigentlich rauskommen?
Danke dir! Der Betrag des Gradienten ist wurzel((-2)² + (1/12)²) = wurzel(577)/12. Das ist der Anstieg in Richtung des Gradienten und damit auch der maximal mögliche Anstieg im Punkt (1,9).
@@MathePeter danke für die schnelle Antwort :D Das hab ich auch rausbekommen, dachte da würde noch irgendwas spezielles passieren (klang irgendwie so im Video)
Wenn die Funktion total differenzierbar ist, dann kannst du aus dieser Definition die Formel aus dem Video herleiten :) Es gibt aber auch Aufgaben, in denen man die Definition benutzen muss, die du grad aufgeschrieben hast.
Du kannst auch den Punkt variablen lassen. Abgeleitet wird aber immer nur in eine Richtung. Das heißt du kannst in jede der beiden Richtungen eine Richtungsableitung bestimmen.
geht aber glaube ich nur bei stetigen funktionen. wie mache ich das denn wenn ich was unstetiges habe, also eine funktion die irgendwie beliebig ist, bei der ich aber bei (0,0) durch null teilen müsste weshalb sie da einfach auf 0 festgelegt ist?
Wenn sie nicht stetig ist, musst du die ursprüngliche Definition verwenden: lim(h->0) (f(x-h*r)-f(x))/h. Genau genommen berechnest du beide Grenzwerte, einmal für h+ und h-. Wenn jeweils der selbe rauskommt, nennt man das Ergebnis "die Richtungsableitung".
Mit Hilfe von arctan(...) kann man dann den Winkel zur Horizontalen ermitteln, den der Anstieg an dem gegeben Punkt in die entsprechende Richtung hat, oder? Btw, wie kommt man eigentlich auf die Formel?
Interessante Frage, hab ich so noch nie drüber nachgedacht. Wahrscheinlich würde ich den Winkel zwischen dem Richtungsvektor und der Orthogonalprojektion auf die x-y-Ebene berechnen. Mit der Formel mit Kosinus, wie in der Schule.
Das passiert, wenn du eine Richtung hast, die senkrecht zum Gradienten steht, weil dann das Skalarprodukt gleich Null wird (=verschwindet). Kannst irgendeine Richtung raten. Wenn z.B. der Gradient im Punkt (x0,y0) gleich (1,2,-3) sein sollte, kannst du raten: r=(-2,1,0).
Wenn ich bei einem Beispiel stehen habe, dass man die Richtungsableitung an einer Stelle (1,1) in Richtung (0,0) ausrechnen soll, lautet dann mein Richtungsvektor (-1,-1) ?
auf Wikipedia und überall sonst findet man eine ganz andere Formel zur Richtungsableitung, irgendwas mit x+h * v. Warum benutzt du nicht die? oder sind die unterschiedlich
Das ist die Definition der Richtungsableitung. In manchen Fällen ist sie auch notwendig, dazu mach ich gern auch noch Videos. Wenn die Funktion allerdings differenzierbar ist, dann kannst du diese Vereinfachung aus diesem Video hier nutzen.
Hey :) Und wie müsste man vorgehen wenn man die normierte Richtung bestimmen soll wenn sie a) gleich null ist b) am größten und c) am kleinsten? Für Fall A muss man doch r2 in Abhängigkeit von r1 bestimmen oder? :/ Bin verzweifelt
Am steilsten ist der Anstieg in Richtung des Gradienten, also r=grad(f)=(-2 , 1/12), und die Richtung des steilsten Abstiegs in Richtung des Antigradienten, also r=-grad(f)=(2 , -1/12). Was genau meinst du mit a)? Vielleicht die Richtung, deren Anstieg=0 ist? Dafür brauchst du nur einen Vektor der senkrecht auf dem Gradienten steht. Bei 2 Variablen ist es einfach: Tausch beide Zahlen aus und ändere ein Vorzeichen. z.B. r=(1/12 , 2). Edit: Natürlich noch jede Richtung normieren, wenn du das willst :)
Vielen Dank für deine schnelle Antwort!! :) Bei a) meinte ich genau das, danke. :) Ich studiere Bauingenieurswesen im 2. Semester und die Belege, die wir bestehen müssen um die Zulassung für die Prüfung zu bekommen werden gerade immer härter. Deine Videos sind mir da eine sehr gute Hilfe um die Zusammenhänge zu verstehen! :)
@@MathePeter nein. Das ist nicht der Fall. Der vektor ist nicht normiert und unser Prof normiert den auch nicht... Kann es sein, dass das normieren nur optional ist? Und eigentlich gar nicht notwendig?
Nein das ist notwendig. Ansonsten hätte ja die Länge des Richtungsvektors einen Einfluss auf die Richtungsableitung. Wenn eurer Dozent nicht durch die Norm der Richtung teilt, dann arbeitet er generell nur mit normierten Vektoren oder hat eine Randbemerkung dazu gemacht. Ansonsten wäre es falsch.
@@MathePeter Dann macht er das wohl falsch. Ich werde ihn darauf ansprechen. Es gibt keine Randbemerkung und der Vektor in unserer Übung hat definitiv nicht die Länge 1 und ist somit nicht normiert. Vielen Dank für Deine Hilfe.
Wenn er nicht die Länge 1 hat und nicht normiert wird, ist es definitiv falsch. Sprich ihn am besten darauf an und verweise auf Harro Heuser (2002): "Lehrbuch der Analysis Teil 2", S. 272.
Ja genau. Und da du für die Formel bereits die partiellen Ableitungen brauchst, ist der Schritt hin zur totalen Differenzierbarkeit auch nicht weit: es fehlt lediglich die Stetigkeit zu prüfen. "partielle Differenzierbarkeit" ∧ "Stetigkeit" ==> "totale Differenzierbarkeit"
Ich habe einen Punkt P(1,2) und soll in Richtung PQ gehen wobei mein Q(4,6) ist. Der Prof. hat für r = (3,4) ausgerechnet. Ich frag mich immer noch wie er das gemacht hat. Das einzige was bei mir Sinn ergibt ist Q - P. Stimmt die Rechnung überhaupt? Den Gradienten habe ich bestimmt inkl. am Punkt P(1,2). Aber ich komme halt nicht auf den Vektor r. Aufgabe siehe unten ^^
Für die Richtungsableitung gibts eine Definition. Und wenn alle Elemente, die in der Definition vorkommen, existieren und somit alle Voraussetzungen erfüllt sind, dann existiert die Richtungsableitung.
Kann mir da wer helfen ? Ein Gut wird mit der Produktionsfunktion f :]0; ∞[→ R, f(x, y) = x^2+3xy+y^2/x+2y bei Rohstoffkosten von 20x + 40y Geldeinheiten hergestellt. Eingesetzt werden derzeit je 60 Einheiten beider Rohstoffe. Fur eine Erweiterung der Produktion stehen nun 50 Geld- ¨ einheiten zus¨atzlich zur Verfugung. Wie sind diese auf die Produktionsfaktoren aufzu- ¨ teilen, wenn der Zuwachs im Produktionserstrag m¨oglichst groß sein soll?
Wenn ich das richtig verstehe, dann kannst du die bisherigen Rohstoffkosten ausrechnen, indem du jeweils für x und y die 60 Einheiten einsetzt, also 20*60+40*60=360 Geldeinheiten. Wenn jetzt weitere 50 zur Verfügung stehen, hast du insgesamt 410. Damit ist das Maximum gesucht der Funktion f(x,y)=x^2+3xy+y^2/x+2y (wie genau sollen hier die Klammern gesetzt werden?) und zwar bezüglich der Nebenbedingung 20x+40y≤410. Ich find hier das "≤"-Zeichen angemessener als das "="-Zeichen. Denn wenn deine Produktion bei weniger als 410 Geldeinheiten höher ist als bei exakt 410, dann ist das ja im Interesse des Produzenten. Also einmal den Fall "20x+40y
Das hab ich tatsächlich auch noch vor! :) Bei der Hitze diesen Sommer muss ich leider erst mal Pause machen mit Filmen, aber ich bereite schon mal die nächsten Videos vor. Hast du besondere Wünsche oder Ideen für Themen zur Linearen Algebra?
MathePeter ja zum Beispiel was ein Vektorraum ist und Gegenbeispiele dazu bzw wie man einen Vektorraum bestimmt und grundsätzliche Themen wie Basis, erzeugende Systeme
Ok dann meinst du auch das gute Zeug haha. Ja klar werd mich drum kümmern! Zuerst hab ich mir aber noch Mehrdimensionale Integralrechnung/ Vektoranalysis und einen Grundlagenkurs zur Statistik vorgenommen. Für lineare Algebra werde ich mir genug Zeit nehmen, um es euch gut und anschaulich zu präsentieren.
Das steht für "transponiert". Von der Logik her wird beim Standardskalarprodukt ein Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor multipliziert, damit es sich harmonisch und intuitiv als "Matrixmultiplikation" ausdrücken lässt. Weil ja ein Vektor auch nur eine Matrix mit einer Zeile/Spalte ist :)
Theoretisch ja, praktisch kanns schon bei einfachen Beispielen rechentechnisch scheitern. Idee ist einfach die Richtungsableitung gleich Null setzen. Das heißt der Zähler, also das Skalarprodukt von Richtung und Gradient, muss Null sein. Das hast du zum Beispiel in kritischen Punkten, weil da der Gradient gleich Null ist. Aber auch wenn du mal eine 3-dimensionale Funktion f(x,y) auf konstanter Höhe durchschneidest; stell dir das mal vor. Dann kannst du überall auf der Schnittkante (Höhenlinie/Niveaulinie: ruclips.net/video/AwuHwunMrWU/видео.html) entlang laufen und du bleibst auf dieser konstanten Höhe. Jeder Vektor, der tangential zu diesen Höhenlinien verläuft, erfüllt deine Bedingung "Richtung bestimmen, bei der man auf konstanter Höhe bleiben kann".
Zu deiner Aufagebe gegen Ende des Videos: Was ist der Anstieg des größten Antiegs? Da hab ich 1 raus Mal wieder super Video. Dieser Moment, wenn man ein Video/Playlist von Dir schaut und durch alle nochmal zurück geht, weil man den "Like" vergessen hat 😉💪
Der Anstieg des größten Anstiegs ist, wenn Richtung r=Gradient ist. Dann kürzt sich die Formel zu "Betrag des Gradienten" zusammen, also hier sqrt(2^2+(-1/12)^2). Also die Länge des Gradienten entspricht dem maximalen Anstieg im Punkt. Und mit negativem Vorzeichen dem maximalen Abstieg, wodurch gleich der Wertebereich der Richtungsableitung abgedeckt ist :)
Es gibt viele Schreibweisen. Ich mag gern bei partiellen Ableitungen unten in den Index schreiben wonach ich ableite. Hier die Richtung, weil Richtungsableitung :)
Kannst du mir bitte sagen was du genau studiert hast weil ich anfang Mathematik zu studieren ab Oktober und wie du sehr wahrscheinlich weißt es gibt vieles was du sagst was ich nicht weiß 😂😂😂 aber im Calculus bin eh gut aber ich empfehle dir etwas wirklich ich bin der Meinung aber das ist eh deine Zukunft nur ein Vorschlag du solltest Lehrer werden du erklärst so richtig gut ich hab zum beispiel verstanden was Integrale zweiter Art sind noch dazu die Freude und Leidenschaft die du zeigst die du reinbringst würden jeden Schüler dazu führen dass er sich in Mathematik verliebt
Wow danke, ich fühl mich geehrt! Ich hab auch Mathematik studiert. War zwar ein harter Weg, aber ich liebe es von Tag zu Tag mehr haha. Ich hab mich tatsächlich nach meinem Studium noch für Mathe Lehramt eingeschrieben. Mir ist aber klar geworden, dass unsere Gesellschaft zu Grunde geht, wenn sich nichts am Schulsystem ändert. Spätestens aber als ein Kommilitone (angehender Mathelehrer) mitten in der Geometrie Vorlesung eine der besten Dozentinnen, die ich je erlebt habe, gefragt hat: "Wozu brauchen wir das?", ist mir klar geworden: Das System kann ich nicht ändern, wenn ich selbst Lehrer werde. Darum gehe ich jetzt meinen eigenen Weg und versuche euch durch diesen Kanal und meine Videokurse zu unterstützen. Führen wir dieses System ad absurdum, indem alle ihre Mathe Prüfungen mit meinen Videos und maximal 1 Woche lernen bestehen können! Das ist aber nicht der Sinn von Naturwissenschaften. "Mathematik ist die Sprache der Natur", hat schon Galilei gesagt. Wenn wir uns und die Welt verstehen wollen, müssen wir die Sprache "Mathematik" verstehen und sprechen lernen. Mein Ziel ist es, dass sich wieder mehr Menschen dessen bewusst werden und anfangen sich über Themen wie Kernfusion, Quantenphysik und das Leben selbst Gedanken zu machen. Dafür stehe ich mit diesem Kanal und meiner Überzeugung. Und wenn du Mathematik studieren willst, dann unterstütze ich dich, wo ich nur kann!
Da du studierter Mathematiker bist hätte ich gerne mal deine Meinung dazu: Findest du nicht, dass die Uni dafür sein sollte um eine Formelle (Betonung auf Formell) Grundlage zu bilden? Ich denke nicht, dass es Fair ist den Uni Professoren/Vortragenden nachzurufen sie "Könnten nicht erklären", weill das weder ihr Job noch ihr Ziel ist. Deine Videos sind toll als ein addendum oder um neben all den Abstrakten Theoremen und Formellen Definitionen das ganze auch mal konkreter erklärt zu kriegen. Man kann ja nicht erwarten, dass die Mathematik mittels kurzen RUclips videos erklärbar ist. Channels wie Daniel Jung sind nur dafür gut, wenn man kein interesse an der Mathematik hat und einfach nur durch will. Klar "erklärt er gut" aber sein Ziel ist es ja nicht den Schüler/-innen Mathematik beizubringen oder wie man Mathematisch denkt sondern einfach nur Lösungsalgorithmen zu ausgewählten Schulthemen erklären. Ich verstehe deshalb auch wenn Leute sich Fragen "warum brauch ich das überhaupt? Wenn sie nur das gefühl haben sie müssen sich rein für irgendwelche Schulprüfungen vorbereiten und deshalb den ganzen Sinn der (Reinen) Mathematik nicht sehen. An diesem Punkt würde ich gerne auch die Schul Lehrer/-innen verteidigen. Die Mathematik ist keine Disziplin die man durchs betrachten lernt. Schüler/-innen können nicht erwarten, dass sie sich einfach nur ins Schulzimmer setzen können und die Lehrpersonnen einem alles eintrichtert (fürs Langzeitgedächtniss und fürs Verständniss. Viele verstehen auch nicht wie die Didaktik selbst eine grosse Wissenschaft ist und es weit übers "einfache Erklären" hinausgeht). Sinnvoll wäre es auch mal den Schüler/-innen zu vermitteln, dass es nur Sinn macht in den Mathe unterricht zu gehen wenn man vorher aktiv die Themen eigenständig probiert hat zu verstehen. Der Mathematik Unterricht wäre dann eher Fragen und Beispielstunden. Anders als z.B der Geschichtsunterricht wo jeder hinhokt und der Lehrer einem alles eintrichter.
Ich denke Universitäten könnten sich auf eine rein formelle Ausbildung konzentrieren, wenn Schulen wirklich Mathematik Unterricht anbieten. In jedem Fall brauchen die meisten Schüler und Studenten einen Lehrer ganz nach Galilei: „Man kann einen Menschen nichts lehren; man kann ihm nur helfen, es in sich selbst zu finden“. Vielleicht erreiche ich mit meinem Kanal, dass die Zuschauer lernen Mathematik mit anderen Augen zu sehen. Spätestens, wenn unser Schul- und Unisystem ins lächerliche gezogen wird, weil jeder Student der Ingenieurs- und Wirtschaftswissenschaften seine Mathemodule mit meinen Videos in kurzer Zeit besteht, wird hoffentlich das Wesen der reinen Mathematik von vielen tiefer ergründet.
@@MathePeter ja klar, aber in dem algemainen Fall wenn die Funktion stetig da ist, es muss immer eine Richtungableitung vom Punkt (0, 0) in irgenwelche Richtung existieren, oder?
Nein. Im allgemeinen Fall kann aus der Stetigkeit der Funktion in (0,0) nicht auf die Existenz der Richtungsableitung in (0,0) geschlossen werden. Edit: Aus der Differenzierbarkeit in (0,0) kannst du auf die Existenz der Richtungsableitung in (0,0) schließen.
du machst das echt richtig super. Ein kleiner Vorschlag meinerseits wäre noch "ihr" statt "du". Hört sich etwas mehr nach Lehrer an :P. Aber das kannst du ja tun und lassen wie du willst. Großes Lob an dich (euch ?)
Hallo MathePeter, danke für dieses Video, aber insbesondere im Mathestudium kann es sehr demotivierend sein zu sagen, etwas sei "einfach so". vgl. 1:10
Wenn ich in zukünftigen Videos die Richtungsableitung noch mal für Mathematiker erkläre, bin ich da ordentlicher. Hauptsache es kommen erst mal Ingenieure und Wirtschaftswissenschaftler durch ihre Prüfung und Mathematiker durch den Rechenteil :)
wie der am ende einfach den Stift weg geschmissen hat. absolut madman
Du machst soo gute Videos, ohne dich hätte ich mein Studium schon abgebrochen :D hast viel mehr Abonnenten verdient ! Weiter so
Nach 3 Minuten deiner Videos verstehe ich schon mehr als nach 30 Minuten grübelnd Skript lesen
Vielen Dank dafür!
Einfach von vorne bis hinten das was ich brauche. Ich kann mir gut vorstellen, dass der Kanal der größte RUclips-Mathe-Kanal im deutschsprachigen Raum wird, wenn er so weiter macht.
Vielen Dank!!
Ja Universitätsmathe-mäßig ist das gut möglich. Danke Peter!
Moin MathePeter. Früher hat mir der Daniel immer geholfen aber du hast eine ruhigere Art und bleibst trotzdem sehr effektiv. Danke, dass du diese Videos machst!!!
Hilft mir sehr für mein Mathe im Studium!
2. Semester elektrotechnik, ein Video von dir ersetzt eine Vorlesung. Du bist einfach der Mathe gott :D weiter so und danke für die guten Erklärungen. Besser als jeder prof
Habe aktuell echt Probleme mit Analysis im Studium, aber durch deine Videos kann ich mir die Probleme zumindest vorstellen, vielen Dank!
I really love your videos!! They make math so much easier and understandable. Thank you so much for dedicating your time to us!!
Danke, dass es deinen Channel gibt! Hättest du ein Postfach, glaub mir, ich würde dich mit Dankeschön-Schokolade überhäufen hahaha Dank dir habe ich Ana2 kapiert haha
Haha danke dir! Macht mich schon glücklich, dass ich dir mit dem Channel helfen konnte :)
Du bist der Lehrer der Lehrer, der ganze Respekt für dich
Genau nach so einem Video gesucht für die Analysis Prüfung.Perfekt
2:46 meine Freundin, wenn ich zu früh komm
😂
Einfach perfekt …. Jetzt hab ich endlich mal verstanden, was meine Profs seit 2 Jahren verknacken
Unfassbar wie einfach Mathe sein kann, Klasse!
Das freut mich zu hören, vielen lieben Dank! :)
Danke, irgendwie viel einfacher und verständlicher als der Weg meines Profs. Ich hoffe mal, dass es in der Prüfung dann dennoch zählt :D
Wenn du den Gradienten im Punkt berechnen kannst, ist alles gut! :)
Bester Typ
Dank dir wird Mathe zu meinem neuem Hobby :D
Direkt mal abonniert
5:31 Der Anstieg des steilsten Anstiegs müsste dann doch einfach die Länge des Vektors sein oder nicht? Also die Länge des Gradienten
Exakt!!
@@MathePeter ty :D
zu sexy für mathe
I hoffe ich zettel mit dem Kommentar jetzt keinen Krieg an, aber jedes Video von dir was ich je gesehen habe, war weit besser als das Daniel Jung Äquivalent. Du hast mir enorm geholfen! Dankeschön!
Super Video! Ich hätte aber ne Frage zum letzten Punkt (Betrag vom Anstieg des Gradienten)
Ich hab's probiert, aber da kommt nur irgendwas komisches raus, aus dem ich nichts sinnvolles ableiten kann, was müsste denn da eigentlich rauskommen?
Danke dir! Der Betrag des Gradienten ist wurzel((-2)² + (1/12)²) = wurzel(577)/12. Das ist der Anstieg in Richtung des Gradienten und damit auch der maximal mögliche Anstieg im Punkt (1,9).
@@MathePeter danke für die schnelle Antwort :D
Das hab ich auch rausbekommen, dachte da würde noch irgendwas spezielles passieren (klang irgendwie so im Video)
SO EIN GEILER TYP !!!!!!
du weißt du machst fortschritt, wenn nicht mehr von "schule", sondern "uni" die rede ist
Zum Glück kein MatheKevin :D Danke du hast mir schon öfters jetzt geholfen, sehr gute Videos!
Wir haben für die Richtungsableitung die Formel :lim t-->0 f(x+tv) -f(xo)/t verwendet. Ist diese Äquivalent dazu ?
Wenn die Funktion total differenzierbar ist, dann kannst du aus dieser Definition die Formel aus dem Video herleiten :)
Es gibt aber auch Aufgaben, in denen man die Definition benutzen muss, die du grad aufgeschrieben hast.
MathePeter Danke dir für die Antwort ! Deine Videos sind echt hilfreich immer weiter so!🤙👏
Peter, ist es möglich, die Richtungsableitung, ohne Punkt zu berechnen? Ich habe zwei Richtungen!
Du kannst auch den Punkt variablen lassen. Abgeleitet wird aber immer nur in eine Richtung. Das heißt du kannst in jede der beiden Richtungen eine Richtungsableitung bestimmen.
geht aber glaube ich nur bei stetigen funktionen. wie mache ich das denn wenn ich was unstetiges habe, also eine funktion die irgendwie beliebig ist, bei der ich aber bei (0,0) durch null teilen müsste weshalb sie da einfach auf 0 festgelegt ist?
Wenn sie nicht stetig ist, musst du die ursprüngliche Definition verwenden: lim(h->0) (f(x-h*r)-f(x))/h. Genau genommen berechnest du beide Grenzwerte, einmal für h+ und h-. Wenn jeweils der selbe rauskommt, nennt man das Ergebnis "die Richtungsableitung".
MathePeter aber aus nicht stetigkeit folgt doch dass es nicht differenzierbar ist also kann doch keine bricht umgab Leitung existieren ?
@@jiji-wr9mi Nein, bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen impliziert partielle Differenzierbarkeit keinesfalls Stetigkeit.
Mit Hilfe von arctan(...) kann man dann den Winkel zur Horizontalen ermitteln, den der Anstieg an dem gegeben Punkt in die entsprechende Richtung hat, oder?
Btw, wie kommt man eigentlich auf die Formel?
Interessante Frage, hab ich so noch nie drüber nachgedacht. Wahrscheinlich würde ich den Winkel zwischen dem Richtungsvektor und der Orthogonalprojektion auf die x-y-Ebene berechnen. Mit der Formel mit Kosinus, wie in der Schule.
@@MathePeter Ich hab das gerade mal überprüft und man kann wirklich mit arctan( |grad(f(x_0, y_0)| ) den Winkel bestimmen :D
UpdateDotExe haha witzig. Muss ich noch mal drüber nachdenken und herleiten, aber find ich gut, dass es so intuitiv ist :)
Die Formel kann man aber nur verwenden wenn die Funktion im jeweiligen Punkt total differenzierbar ist oder?
Genau. Andernfalls muss auf die Definition über den Grenzwert zurückgegriffen werden.
Wow super erklärt, direkt abonnieren und Daumen nach Oben 👍🏼
Danke sehr . darf ich mal kurz fragen , wie kommt man auf eine Richtung r , fur die die Richtungsableitun in ( x0, y0) verschwindet
Das passiert, wenn du eine Richtung hast, die senkrecht zum Gradienten steht, weil dann das Skalarprodukt gleich Null wird (=verschwindet). Kannst irgendeine Richtung raten. Wenn z.B. der Gradient im Punkt (x0,y0) gleich (1,2,-3) sein sollte, kannst du raten: r=(-2,1,0).
Achso , Super danke
Abus 3enek ya mathePeter 😘
vielen Dank super erklärt
Geht das Verfahren auch wenn man x,y,z hat, bei mir hat es nämlich nicht geklappt.
Ja das funktioniert. Wenn die Funktion allerdings nicht absolut diffbar ist, dann musst du die Formel aus der Definition nehmen.
Wenn ich bei einem Beispiel stehen habe, dass man die Richtungsableitung an einer Stelle (1,1) in Richtung (0,0) ausrechnen soll, lautet dann mein Richtungsvektor (-1,-1) ?
Ja genau :)
Thx!
auf Wikipedia und überall sonst findet man eine ganz andere Formel zur Richtungsableitung, irgendwas mit x+h * v. Warum benutzt du nicht die? oder sind die unterschiedlich
Das ist die Definition der Richtungsableitung. In manchen Fällen ist sie auch notwendig, dazu mach ich gern auch noch Videos. Wenn die Funktion allerdings differenzierbar ist, dann kannst du diese Vereinfachung aus diesem Video hier nutzen.
Richtig gut erklärt, danke.
Heftig, einfach so gut erklärt!
freut mich wenn es dir hilft!
Hey :) Und wie müsste man vorgehen wenn man die normierte Richtung bestimmen soll wenn sie a) gleich null ist b) am größten und c) am kleinsten? Für Fall A muss man doch r2 in Abhängigkeit von r1 bestimmen oder? :/ Bin verzweifelt
Am steilsten ist der Anstieg in Richtung des Gradienten, also r=grad(f)=(-2 , 1/12), und die Richtung des steilsten Abstiegs in Richtung des Antigradienten, also r=-grad(f)=(2 , -1/12). Was genau meinst du mit a)? Vielleicht die Richtung, deren Anstieg=0 ist? Dafür brauchst du nur einen Vektor der senkrecht auf dem Gradienten steht. Bei 2 Variablen ist es einfach: Tausch beide Zahlen aus und ändere ein Vorzeichen. z.B. r=(1/12 , 2).
Edit: Natürlich noch jede Richtung normieren, wenn du das willst :)
Vielen Dank für deine schnelle Antwort!! :) Bei a) meinte ich genau das, danke. :)
Ich studiere Bauingenieurswesen im 2. Semester und die Belege, die wir bestehen müssen um die Zulassung für die Prüfung zu bekommen werden gerade immer härter. Deine Videos sind mir da eine sehr gute Hilfe um die Zusammenhänge zu verstehen! :)
Danke das hör ich gern :)
Wenn du mal etwas dringend suchst, das ich nicht habe, kannst du mir gern schreiben. Suche immer neue Ideen für gute Videos.
Ein Video zum Thema "Fehlerfortpflanzungsgesetz" (mit maximale Abweichung, Messunsicherheit,...) wäre zum Beispiel echt klasse ;)
Interessant ich schreibs mir auf! Wenn ich mit Mehrdimensionaler Integralrechnung durch bin, kümmere ich mich um alle schönen Ideen :)
Du bist so underrated
heftiger typ. mach weiter so!
Danke für das Video. Eine Frage: Warum muss ich den Richtungsvektor normieren? Unser Prof normiert den Richtungsvektor nicht :-(
Wenn euer Prof den nicht in der Rechnung normiert, dann ist der Vektor von Beginn an normiert. Steht dann im Skript drin.
@@MathePeter nein. Das ist nicht der Fall. Der vektor ist nicht normiert und unser Prof normiert den auch nicht... Kann es sein, dass das normieren nur optional ist? Und eigentlich gar nicht notwendig?
Nein das ist notwendig. Ansonsten hätte ja die Länge des Richtungsvektors einen Einfluss auf die Richtungsableitung. Wenn eurer Dozent nicht durch die Norm der Richtung teilt, dann arbeitet er generell nur mit normierten Vektoren oder hat eine Randbemerkung dazu gemacht. Ansonsten wäre es falsch.
@@MathePeter Dann macht er das wohl falsch. Ich werde ihn darauf ansprechen. Es gibt keine Randbemerkung und der Vektor in unserer Übung hat definitiv nicht die Länge 1 und ist somit nicht normiert. Vielen Dank für Deine Hilfe.
Wenn er nicht die Länge 1 hat und nicht normiert wird, ist es definitiv falsch. Sprich ihn am besten darauf an und verweise auf Harro Heuser (2002): "Lehrbuch der Analysis Teil 2", S. 272.
Aber das gilt doch nur so, wenn f total diffbar ist oder?
Ja genau. Und da du für die Formel bereits die partiellen Ableitungen brauchst, ist der Schritt hin zur totalen Differenzierbarkeit auch nicht weit: es fehlt lediglich die Stetigkeit zu prüfen. "partielle Differenzierbarkeit" ∧ "Stetigkeit" ==> "totale Differenzierbarkeit"
Ich habe einen Punkt P(1,2) und soll in Richtung PQ gehen wobei mein Q(4,6) ist. Der Prof. hat für r = (3,4) ausgerechnet. Ich frag mich immer noch wie er das gemacht hat. Das einzige was bei mir Sinn ergibt ist Q - P. Stimmt die Rechnung überhaupt?
Den Gradienten habe ich bestimmt inkl. am Punkt P(1,2). Aber ich komme halt nicht auf den Vektor r. Aufgabe siehe unten ^^
www.dropbox.com/s/hdi2sep73sgjdtu/2020-02-21%2019_39_01-Window.png?dl=0
Ja genau! Der Richtungsvektor r zeigt von P nach Q. Die Rechnung dafür ist r=Q-P. Genau richtig erkannt! :)
Wie beweist man denn, dass die richtungsableitung überhaupt in genau diesem Punkt existiert?
Für die Richtungsableitung gibts eine Definition. Und wenn alle Elemente, die in der Definition vorkommen, existieren und somit alle Voraussetzungen erfüllt sind, dann existiert die Richtungsableitung.
Sehr geil erklärt! Danke!
Super erklärt! Danke!
sehr einfach erklärt daaanke 👍
Kann mir da wer helfen ? Ein Gut wird mit der Produktionsfunktion f :]0; ∞[→ R, f(x, y) = x^2+3xy+y^2/x+2y
bei Rohstoffkosten von 20x + 40y Geldeinheiten hergestellt. Eingesetzt werden derzeit je 60
Einheiten beider Rohstoffe. Fur eine Erweiterung der Produktion stehen nun 50 Geld- ¨
einheiten zus¨atzlich zur Verfugung. Wie sind diese auf die Produktionsfaktoren aufzu- ¨
teilen, wenn der Zuwachs im Produktionserstrag m¨oglichst groß sein soll?
abgeleitet habe ich schon, aber ralle nicht was die da jetzt genau von mir wollen :(
Wenn ich das richtig verstehe, dann kannst du die bisherigen Rohstoffkosten ausrechnen, indem du jeweils für x und y die 60 Einheiten einsetzt, also 20*60+40*60=360 Geldeinheiten. Wenn jetzt weitere 50 zur Verfügung stehen, hast du insgesamt 410. Damit ist das Maximum gesucht der Funktion f(x,y)=x^2+3xy+y^2/x+2y (wie genau sollen hier die Klammern gesetzt werden?) und zwar bezüglich der Nebenbedingung 20x+40y≤410. Ich find hier das "≤"-Zeichen angemessener als das "="-Zeichen. Denn wenn deine Produktion bei weniger als 410 Geldeinheiten höher ist als bei exakt 410, dann ist das ja im Interesse des Produzenten. Also einmal den Fall "20x+40y
Danke super erklärt!
Du bist der beste aber wenn du bitte bitte bitte Zeit hättest wäre es lieb wenn du paar Videos drehen würdest bezüglich Linearer Algebra für Anfänger
Das hab ich tatsächlich auch noch vor! :)
Bei der Hitze diesen Sommer muss ich leider erst mal Pause machen mit Filmen, aber ich bereite schon mal die nächsten Videos vor. Hast du besondere Wünsche oder Ideen für Themen zur Linearen Algebra?
MathePeter ja zum Beispiel was ein Vektorraum ist und Gegenbeispiele dazu bzw wie man einen Vektorraum bestimmt und grundsätzliche Themen wie Basis, erzeugende Systeme
Ok dann meinst du auch das gute Zeug haha. Ja klar werd mich drum kümmern! Zuerst hab ich mir aber noch Mehrdimensionale Integralrechnung/ Vektoranalysis und einen Grundlagenkurs zur Statistik vorgenommen. Für lineare Algebra werde ich mir genug Zeit nehmen, um es euch gut und anschaulich zu präsentieren.
MathePeter ja mehrdimensionale Integralrechnung , Untermannigfaltigkeit zeigen wäre toll
Danke ☺
für was steht das hoch T?
Das steht für "transponiert". Von der Logik her wird beim Standardskalarprodukt ein Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor multipliziert, damit es sich harmonisch und intuitiv als "Matrixmultiplikation" ausdrücken lässt. Weil ja ein Vektor auch nur eine Matrix mit einer Zeile/Spalte ist :)
@@MathePeter ich danke
wow so einfach erklärt!
Hi, kann man mit der Richtungsableitung auch diese Richtung bestimmen, bei der man auf konstanter Höhe bleiben kann.
Theoretisch ja, praktisch kanns schon bei einfachen Beispielen rechentechnisch scheitern. Idee ist einfach die Richtungsableitung gleich Null setzen. Das heißt der Zähler, also das Skalarprodukt von Richtung und Gradient, muss Null sein. Das hast du zum Beispiel in kritischen Punkten, weil da der Gradient gleich Null ist. Aber auch wenn du mal eine 3-dimensionale Funktion f(x,y) auf konstanter Höhe durchschneidest; stell dir das mal vor. Dann kannst du überall auf der Schnittkante (Höhenlinie/Niveaulinie: ruclips.net/video/AwuHwunMrWU/видео.html) entlang laufen und du bleibst auf dieser konstanten Höhe. Jeder Vektor, der tangential zu diesen Höhenlinien verläuft, erfüllt deine Bedingung "Richtung bestimmen, bei der man auf konstanter Höhe bleiben kann".
wow, Danke!!
immer wieder top
einfach nur wow
Deutlich sympatischer und besser erklärt als bei Daniel Jung
Zu deiner Aufagebe gegen Ende des Videos:
Was ist der Anstieg des größten Antiegs? Da hab ich 1 raus
Mal wieder super Video.
Dieser Moment, wenn man ein Video/Playlist von Dir schaut und durch alle nochmal zurück geht, weil man den "Like" vergessen hat 😉💪
Der Anstieg des größten Anstiegs ist, wenn Richtung r=Gradient ist. Dann kürzt sich die Formel zu "Betrag des Gradienten" zusammen, also hier sqrt(2^2+(-1/12)^2). Also die Länge des Gradienten entspricht dem maximalen Anstieg im Punkt. Und mit negativem Vorzeichen dem maximalen Abstieg, wodurch gleich der Wertebereich der Richtungsableitung abgedeckt ist :)
DER BESTE
Warum müssen es die Profs so kompliziert erklären wenn es eigentlich nicht soooo schwer ist? :(
Man nimmt doch für die Richtungsableitung kein f, sondern ein geschwungenes die wie bei der partiellen Ableitung.
Es gibt viele Schreibweisen. Ich mag gern bei partiellen Ableitungen unten in den Index schreiben wonach ich ableite. Hier die Richtung, weil Richtungsableitung :)
Kannst du mir bitte sagen was du genau studiert hast weil ich anfang Mathematik zu studieren ab Oktober und wie du sehr wahrscheinlich weißt es gibt vieles was du sagst was ich nicht weiß 😂😂😂 aber im Calculus bin eh gut aber ich empfehle dir etwas wirklich ich bin der Meinung aber das ist eh deine Zukunft nur ein Vorschlag du solltest Lehrer werden du erklärst so richtig gut ich hab zum beispiel verstanden was Integrale zweiter Art sind noch dazu die Freude und Leidenschaft die du zeigst die du reinbringst würden jeden Schüler dazu führen dass er sich in Mathematik verliebt
Wow danke, ich fühl mich geehrt! Ich hab auch Mathematik studiert. War zwar ein harter Weg, aber ich liebe es von Tag zu Tag mehr haha.
Ich hab mich tatsächlich nach meinem Studium noch für Mathe Lehramt eingeschrieben. Mir ist aber klar geworden, dass unsere Gesellschaft zu Grunde geht, wenn sich nichts am Schulsystem ändert. Spätestens aber als ein Kommilitone (angehender Mathelehrer) mitten in der Geometrie Vorlesung eine der besten Dozentinnen, die ich je erlebt habe, gefragt hat: "Wozu brauchen wir das?", ist mir klar geworden: Das System kann ich nicht ändern, wenn ich selbst Lehrer werde. Darum gehe ich jetzt meinen eigenen Weg und versuche euch durch diesen Kanal und meine Videokurse zu unterstützen.
Führen wir dieses System ad absurdum, indem alle ihre Mathe Prüfungen mit meinen Videos und maximal 1 Woche lernen bestehen können! Das ist aber nicht der Sinn von Naturwissenschaften. "Mathematik ist die Sprache der Natur", hat schon Galilei gesagt. Wenn wir uns und die Welt verstehen wollen, müssen wir die Sprache "Mathematik" verstehen und sprechen lernen. Mein Ziel ist es, dass sich wieder mehr Menschen dessen bewusst werden und anfangen sich über Themen wie Kernfusion, Quantenphysik und das Leben selbst Gedanken zu machen. Dafür stehe ich mit diesem Kanal und meiner Überzeugung. Und wenn du Mathematik studieren willst, dann unterstütze ich dich, wo ich nur kann!
MathePeter die Welt braucht Menschen wie du bitte mach weiter gib nie auf
Da du studierter Mathematiker bist hätte ich gerne mal deine Meinung dazu: Findest du nicht, dass die Uni dafür sein sollte um eine Formelle (Betonung auf Formell) Grundlage zu bilden? Ich denke nicht, dass es Fair ist den Uni Professoren/Vortragenden nachzurufen sie "Könnten nicht erklären", weill das weder ihr Job noch ihr Ziel ist. Deine Videos sind toll als ein addendum oder um neben all den Abstrakten Theoremen und Formellen Definitionen das ganze auch mal konkreter erklärt zu kriegen. Man kann ja nicht erwarten, dass die Mathematik mittels kurzen RUclips videos erklärbar ist. Channels wie Daniel Jung sind nur dafür gut, wenn man kein interesse an der Mathematik hat und einfach nur durch will. Klar "erklärt er gut" aber sein Ziel ist es ja nicht den Schüler/-innen Mathematik beizubringen oder wie man Mathematisch denkt sondern einfach nur Lösungsalgorithmen zu ausgewählten Schulthemen erklären. Ich verstehe deshalb auch wenn Leute sich Fragen "warum brauch ich das überhaupt? Wenn sie nur das gefühl haben sie müssen sich rein für irgendwelche Schulprüfungen vorbereiten und deshalb den ganzen Sinn der (Reinen) Mathematik nicht sehen.
An diesem Punkt würde ich gerne auch die Schul Lehrer/-innen verteidigen. Die Mathematik ist keine Disziplin die man durchs betrachten lernt. Schüler/-innen können nicht erwarten, dass sie sich einfach nur ins Schulzimmer setzen können und die Lehrpersonnen einem alles eintrichtert (fürs Langzeitgedächtniss und fürs Verständniss. Viele verstehen auch nicht wie die Didaktik selbst eine grosse Wissenschaft ist und es weit übers "einfache Erklären" hinausgeht). Sinnvoll wäre es auch mal den Schüler/-innen zu vermitteln, dass es nur Sinn macht in den Mathe unterricht zu gehen wenn man vorher aktiv die Themen eigenständig probiert hat zu verstehen. Der Mathematik Unterricht wäre dann eher Fragen und Beispielstunden. Anders als z.B der Geschichtsunterricht wo jeder hinhokt und der Lehrer einem alles eintrichter.
Ich denke Universitäten könnten sich auf eine rein formelle Ausbildung konzentrieren, wenn Schulen wirklich Mathematik Unterricht anbieten. In jedem Fall brauchen die meisten Schüler und Studenten einen Lehrer ganz nach Galilei: „Man kann einen Menschen nichts lehren; man kann ihm nur helfen, es in sich selbst zu finden“.
Vielleicht erreiche ich mit meinem Kanal, dass die Zuschauer lernen Mathematik mit anderen Augen zu sehen. Spätestens, wenn unser Schul- und Unisystem ins lächerliche gezogen wird, weil jeder Student der Ingenieurs- und Wirtschaftswissenschaften seine Mathemodule mit meinen Videos in kurzer Zeit besteht, wird hoffentlich das Wesen der reinen Mathematik von vielen tiefer ergründet.
Ich kann meine Dankbarkeit garnicht in Worte fassen...
Deswegen schreib ich sie lieber :b
Daaaaaaaaaaankeee #besterlehrer
Und was passiert wenn Xo und Yo gleich 0 sind?
Für x0=0 ist die Funktion nicht definiert.
@@MathePeter ja klar, aber in dem algemainen Fall wenn die Funktion stetig da ist, es muss immer eine Richtungableitung vom Punkt (0, 0) in irgenwelche Richtung existieren, oder?
Nein. Im allgemeinen Fall kann aus der Stetigkeit der Funktion in (0,0) nicht auf die Existenz der Richtungsableitung in (0,0) geschlossen werden. Edit: Aus der Differenzierbarkeit in (0,0) kannst du auf die Existenz der Richtungsableitung in (0,0) schließen.
Hammer!
Perfekt
du machst das echt richtig super. Ein kleiner Vorschlag meinerseits wäre noch "ihr" statt "du". Hört sich etwas mehr nach Lehrer an :P. Aber das kannst du ja tun und lassen wie du willst. Großes Lob an dich (euch ?)
Hallo MathePeter,
danke für dieses Video, aber insbesondere im Mathestudium kann es sehr demotivierend sein zu sagen, etwas sei "einfach so".
vgl. 1:10
Wenn ich in zukünftigen Videos die Richtungsableitung noch mal für Mathematiker erkläre, bin ich da ordentlicher. Hauptsache es kommen erst mal Ingenieure und Wirtschaftswissenschaftler durch ihre Prüfung und Mathematiker durch den Rechenteil :)
Größter ehrenmann
💪💪💪
king
ein like von mir wegen dem stift-wegwerfen am ende
Gefährliche thumbnail, peter
Ich will die unbedingt auch alle noch überarbeiten und vereinheitlichen.
haha tot
Grüße zurück ;)
Lebensretter
Ihr habt ihn gehört. Die Länge ist egal!
Mathematisch bewiesen! 😂
Gerüchte Sagen, dass MathePeter einen riesen Haufen Stifte im Aufnahmezimmer hat;))
Jeden Abend suhle ich mich in meinem Haufen von Stiften.
mein prof hat nicht durch die länge geteilt
Weil der Vektor schon die Länge 1 hatte.