Sehr sehr gutes Video. Hat mir sehr geholfen. Danke🙂Eine Frage hätte ich noch: Gibt es auch Aufgaben, wo man die x0 und y0 selbst herausfinden und dann alles prüfen muss?
3:33 "In diesen beiden Punkten x = 0 und y = +1 oder y = -1". Die Punkte auf die Sie jedoch zeigen liegen bei x = - 1, x = 1 und y = 0. Warum lässt sich die Funktion an diesen Stellen nicht als Graph darstellen? So ganz ist es mir nicht klar geworden, weil wir haben y = sqrt(1 - x^2) und y = -sqrt(1 - x^2) und wenn wir uns jetzt x = -1 oder x = 1 annähern, dann benutzen wir eins der beiden Funktionen und bei x = 1 und x = -1 ist y = 0. Wenn wir uns x = -1 und x = 1 annähern da haben wir keine zwei Werte für y, da wir einmal die Funktion mit positiver Wurzel und einmal mit negativer Wurzel haben, es sei denn wir gehen davon aus, dass wir für bel. x element [-1 , 1] immer zwei y Werte kriegen, dann haben wir in dem ganzen Intervall von x keine Funktion. Kurz gesagt: ich verstehe nicht warum diese Stellen so besonders sind, wenn wir vorher einmal die negative und einmal die positive Wurzel als Funktionen benutzen, d.h. wir erhalten immer andere Vorzeichen im Intervall [ -1, 1].
Das Problem ist hier etwas anders formuliert. Man möchte eine Umgebung finden in der man die implizite Funktion lokal auflösen kann. Das bedeutet, dass man um den Punkt eine (offene!) Umgebung finden möchte für die das gilt. Natürlich kann man an den Punkten (-1;0) und (1;0) die Funktion nach oben oder unten nach y auflösen (also der 2. Variablen). Diese wird aber nicht offen also in beide Richtungen sein. Das ist in diesem Fall nicht möglich. Im Satz über implizite Funktionen ist das so erkennbar, dass dF/dy (x=1;y=0) = 2(y=0) = 0. Das ist nicht invertierbar. Somit kann man den Satz nicht anwenden. Ich weiß jedoch nicht, ob der Satz über implizite Funktionen explizit besagt, wenn dF/dy (x0;y0) = 0, dass es dann nicht auflösbar ist. Da ich noch versuche den Satz zu verstehen und die Themen kann ich nur vermuten: F ist stetig differenzierbar, wenn die dF/dy nicht invertierbar ist, so werden nichttriviale Vektoren multipliziert mit der Jacobimatrix auf die 0 abgebildet. Und ich glaube das ergäbe ein Problem in der Auflösbarkeit, aber wie gesagt, nur Vermutung.
Danke für den Hinweis. x=0 statt y=0 ist natürlich ein Versprecher. Wenn wir die Lösungsmenge einer Gleichung, wie hier x^2+y^2=1, um einem bestimmten Punkt (1,0) als Graph einer impliziten Funktion darstellen möchten, heißt das insbesondere, dass diese Funktion in einer kleinen Umgebung dieses Punktes wohldefiniert sein muss. Wenn wir jetzt eine beliebige Umgebung von (1,0) wählen, haben wir allerdings zwei Probleme: für die Punkte mit x1 eine "wertfreie Funktion". Beides lässt unser Funktionsbegriff nicht zu. Man kann natürlich die obere Hälfte der Menge als Graph von y(x) = sqrt(1 - x^2) darstellen, hat damit aber zwei Probleme: 1. Die Darstellung ist in keiner Umgebung von (1,0) bzw. (-1,0) gültig, da in dieser Umgebung auch Punkte wie z.B. (x,-epsilon) enthalten sind. 2. Die Funktion y(x) = sqrt(1 - x^2) ist in den Stellen x=-1 und x=1 nur stetig aber nicht differenzierbar.
warum ist die ableitung von F nach y an der stelle (x0,y0) =2/sqrt(2) invertierbar? haben wir durch die wurzel nicht jeweils +-? oder liegt es daran dass wir vorher den definitionsbereich aufgrund der umgebung eben so anpassen dass dies nicht passiert? grüße aus wien hahaaha
Der Teil mit F(x,y)=0 kommt mir unbekannt vor. Wir haben bis jetzt, auf der Suche nach den Punkten in deren Umgebung man y=g(x) aufstellen kann, die partielle Ableitung nach y gebildet und bloß gechaut, wo die ungleich 0 ist (wir hatten keine Punkte ggb). Das funktioniert so glaub ich nur, wenn man in R^1 abbildet. Das war in der Klausur nicht der Fall, also bin ich hier :D. Ist das mit dem F(x,y)=0 und der Det der Matrix einfach der allgemeinere Ansatz?
Ja und nein. Wenn die Ableitung von g wie bei dir an einer Stelle ungleich 0 ist, kann man die Funktion g dort invertieren und erhält g^(-1), also die Abbildung die y auf x abbildet. In diesem Kontext hängt die Funktion immer nur von einer Variablen ab. Hier haben wir ein etwas anderes, aber ähnlich anmutendes Problem. Wenn wir eine Funktion haben die von mehreren Variablen abhängt (z.B. F(x,y)=x^2+y^2) und z.B. eine Nebenbedingung haben, dass F(x,y)=0 sein soll, stellt sich die Frage, ob sich die Menge der Punkte (x,y) die diese Nebenbedingung erfüllen leichter darstellen lassen. Diese Frage beantwortet der Satz über impl. Funktionen: In bestimmten Fällen existiert eine Funktion g, sodass y=g(x). Damit hängt die Menge der Lösungen nur noch von einer Variablen ab, was weitere Untersuchungen oft deutlich leichter macht.
Sehr gut erklärt, vielen Dank :)
Hat viel geholfen
Sehr gutes Video, dankeschön :)
Vielen Dank für die super Erklärung. Das hilft enorm!
Gern geschehen!
An diesem Video kann sich die RWTH mal ein Beispiel nehmen, danke für die tolle Erklärung!
Wirklich gut erklärt, vielen Dank!
Absolut super erklärt, kurz vor der Klausur das endlich auch noch verstanden. Vielen Dank :)
Ich wollte mich auch kurz bedanken! Sehr gutes Video! :)
Danke für die super erklärung :)
Tolles Video! Hat mir sehr viel beim Verstehen geholfen!
sehr gut erklärt danke
danke für diese Erklärung
Wundervolles Video, danke!
Danke für die Erklärung!
Super hilfreich!!
Sehr hilfreiches Video, danke!
perfekt erklärt
Sehr sehr gutes Video. Hat mir sehr geholfen. Danke🙂Eine Frage hätte ich noch: Gibt es auch Aufgaben, wo man die x0 und y0 selbst herausfinden und dann alles prüfen muss?
Göttlich!
Danke vielmals!
Vielen Dank!
Sehr gut erklärt, danke! Was mich nebenbei interessieren würde, welche Software und Hardware wird für diesen Vortrag verwendet?
Danke! Wir benutzen die App "Explain Everything" für die Videos auf hinreichend leistungsstarken Tablets.
Danke sehr
3:33 "In diesen beiden Punkten x = 0 und y = +1 oder y = -1". Die Punkte auf die Sie jedoch zeigen liegen bei x = - 1, x = 1 und y = 0. Warum lässt sich die Funktion an diesen Stellen nicht als Graph darstellen? So ganz ist es mir nicht klar geworden, weil wir haben y = sqrt(1 - x^2) und
y = -sqrt(1 - x^2) und wenn wir uns jetzt x = -1 oder x = 1 annähern, dann benutzen wir eins der beiden Funktionen und bei x = 1 und x = -1 ist y = 0. Wenn wir uns x = -1 und x = 1 annähern da haben wir keine zwei Werte für y, da wir einmal die Funktion mit positiver Wurzel und einmal mit negativer Wurzel haben, es sei denn wir gehen davon aus, dass wir für bel. x element [-1 , 1] immer zwei y Werte kriegen, dann haben wir in dem ganzen Intervall von x keine Funktion. Kurz gesagt: ich verstehe nicht warum diese Stellen so besonders sind, wenn wir vorher einmal die negative und einmal die positive Wurzel als Funktionen benutzen, d.h. wir erhalten immer andere Vorzeichen im Intervall [ -1, 1].
Das Problem ist hier etwas anders formuliert. Man möchte eine Umgebung finden in der man die implizite Funktion lokal auflösen kann. Das bedeutet, dass man um den Punkt eine (offene!) Umgebung finden möchte für die das gilt. Natürlich kann man an den Punkten (-1;0) und (1;0) die Funktion nach oben oder unten nach y auflösen (also der 2. Variablen). Diese wird aber nicht offen also in beide Richtungen sein. Das ist in diesem Fall nicht möglich.
Im Satz über implizite Funktionen ist das so erkennbar, dass dF/dy (x=1;y=0) = 2(y=0) = 0. Das ist nicht invertierbar. Somit kann man den Satz nicht anwenden.
Ich weiß jedoch nicht, ob der Satz über implizite Funktionen explizit besagt, wenn dF/dy (x0;y0) = 0, dass es dann nicht auflösbar ist. Da ich noch versuche den Satz zu verstehen und die Themen kann ich nur vermuten:
F ist stetig differenzierbar, wenn die dF/dy nicht invertierbar ist, so werden nichttriviale Vektoren multipliziert mit der Jacobimatrix auf die 0 abgebildet. Und ich glaube das ergäbe ein Problem in der Auflösbarkeit, aber wie gesagt, nur Vermutung.
Danke für den Hinweis. x=0 statt y=0 ist natürlich ein Versprecher.
Wenn wir die Lösungsmenge einer Gleichung, wie hier x^2+y^2=1, um einem bestimmten Punkt (1,0) als Graph einer impliziten Funktion darstellen möchten, heißt das insbesondere, dass diese Funktion in einer kleinen Umgebung dieses Punktes wohldefiniert sein muss. Wenn wir jetzt eine beliebige Umgebung von (1,0) wählen, haben wir allerdings zwei Probleme: für die Punkte mit x1 eine "wertfreie Funktion". Beides lässt unser Funktionsbegriff nicht zu.
Man kann natürlich die obere Hälfte der Menge als Graph von y(x) = sqrt(1 - x^2) darstellen, hat damit aber zwei Probleme:
1. Die Darstellung ist in keiner Umgebung von (1,0) bzw. (-1,0) gültig, da in dieser Umgebung auch Punkte wie z.B. (x,-epsilon) enthalten sind.
2. Die Funktion y(x) = sqrt(1 - x^2) ist in den Stellen x=-1 und x=1 nur stetig aber nicht differenzierbar.
Kommentiere selten bei videos aber das ist ein sehr schönes Rechenbeispiel und ein sehr gut gemachtes Video. Weiter so
warum ist die ableitung von F nach y an der stelle (x0,y0) =2/sqrt(2) invertierbar? haben wir durch die wurzel nicht jeweils +-? oder liegt es daran dass wir vorher den definitionsbereich aufgrund der umgebung eben so anpassen dass dies nicht passiert?
grüße aus wien hahaaha
Hey. Erstmal sehr schönes Video! Aber ich verstehe den Schritt bei 12:27 nicht. Was wird mit dem 2y gemacht, so das man auf 2/sqrt(2) kommt?
Achso man hat x0 und y0 eingesetzt und überprüft, ob es ungleich 0 ist. Hat sich erledigt, nur die Schreibweise ähnelt der beim Integral :D
Der Teil mit F(x,y)=0 kommt mir unbekannt vor. Wir haben bis jetzt, auf der Suche nach den Punkten in deren Umgebung man y=g(x) aufstellen kann, die partielle Ableitung nach y gebildet und bloß gechaut, wo die ungleich 0 ist (wir hatten keine Punkte ggb). Das funktioniert so glaub ich nur, wenn man in R^1 abbildet. Das war in der Klausur nicht der Fall, also bin ich hier :D.
Ist das mit dem F(x,y)=0 und der Det der Matrix einfach der allgemeinere Ansatz?
Ja und nein. Wenn die Ableitung von g wie bei dir an einer Stelle ungleich 0 ist, kann man die Funktion g dort invertieren und erhält g^(-1), also die Abbildung die y auf x abbildet. In diesem Kontext hängt die Funktion immer nur von einer Variablen ab.
Hier haben wir ein etwas anderes, aber ähnlich anmutendes Problem. Wenn wir eine Funktion haben die von mehreren Variablen abhängt (z.B. F(x,y)=x^2+y^2) und z.B. eine Nebenbedingung haben, dass F(x,y)=0 sein soll, stellt sich die Frage, ob sich die Menge der Punkte (x,y) die diese Nebenbedingung erfüllen leichter darstellen lassen. Diese Frage beantwortet der Satz über impl. Funktionen: In bestimmten Fällen existiert eine Funktion g, sodass y=g(x). Damit hängt die Menge der Lösungen nur noch von einer Variablen ab, was weitere Untersuchungen oft deutlich leichter macht.