Хорошее доказательство, старый анекдот напомнило - Изя, где вы берёте деньги? - В тумбочке. - А кто их туда кладёт? - Жена моя, Сара. - А Сара где берёт деньги? - Я ей даю. - А вы где берёте деньги? - Я же вам говорю: в тумбочке!
- Что такое интеграл? - Интеграл - это площадь. - А что такое площадь? - Площадь - это интеграл. Так и в этом случае. Доказательства ссылаются друг на друга, и в итоге таким образом нельзя честно доказать оба этих утверждения. Нужно еще одно доказательство.
В моем детстве неравенство треугольника доказывали методом от противного: допустим, что это не так, тогда построим такой треугольник с помощью циркуля и линейки.... И оказывается, что две окружности могут пересечься только если сумма их радиусов меньше, чем расстояние между центрами) Спасибо за видео.
А нам в школе доказывали теорему про неравенство сторон чисто арифметически Ну есть если бо́льшая сторона равна 10, а две другие в сумме равны 10, то они просто образуют прямую, ну очевидно, что если сумма
@@trigeminalneuralgia9889 я сам ненавижу, когда что то доказывают этим словом Но в данном случае если они впритык друг другу, а если взять короче разве не само собой они не дотянутся друг до друга?
Борис, доброго времени суток! Меня зовут Александр. Прежде всего хочу сказать, что Вы делаете очень важное, полезное и нужное дело! Огромное Вам спасибо! 🙏 Я давно не учусь в школе, и очень жаль, что в мою бытность школьником не было такого канала. Но, несмотря на возраст, люблю порешать задачки для разминки ума :) Недавно моей племяннице в школе задали задачу по геометрии. Бился над решением несколько дней. В конечном счете решил, благодаря этому видео и некоторым другим про треугольники, которые натолкнули на идею решения. А задача такова: дан произвольный треугольник АВС. Угол В равен 30 градусам. Основание АС в 2 раза меньше стороны АВ. Найти угол С? Сложность состояла в крайне ограниченном инструментарии, который сводился к знанию суммы углов треугольника, внешнего угла треугольника, свойств высот, медиан и биссектрис треугольника. Про прямоугольные треугольники и их свойства моя племянница знает только, что они существуют! Следовательно, использовать теорему о катете напротив угла 30 градусов нельзя (если ее знать, задача решается в 1 действие). Решить мне ее удалось через дополнительное построение еще одного треугольника с углом при вершине В 30 градусов и проведением высоты из вершины А к стороне ВС и ее продлением до стороны ВD нового треугольника. В результате пришел к противоречию, что треугольник между высотой и основанием АС не может существовать, и высота совпадает с основанием АС. Мое решение меня устраивает и даже вполне симпатично, однако, инструментария Заранее спасибо!
Очень интересно узнать доказательство признаков равенства треугольников по - честному, с использованием аксиом. Ведь во всех школьных учебниках список аксиом разный (некоторые факты берутся за аксиомы для простоты) и доказательства не строгие. И вообще интересно было бы увидеть список аксиом (5 штук?) и с их помощью по - честному доказать базовые теоремы 7 класса. Те же признаки равенства, существование и единственность перпендикуляра, признак параллельности итд.
Особенность (проблема или преимущество) школьной математики состоит в том, что она рассчитана на школьников. Основы алгебры/геометрии даются в 7 классе (13 лет), когда ещё очень сложно работать и с определениями, и с доказательствами. Да и в принципе сложно все это. Дать корректные определения для числа, функции или множества, как мне кажется, не смогут подавляющее большинство учителей. Вообще, нормальная геометрия (а не выучивание типов задач из учебника) - это для школьников практически неподъёмно.
📏📐 Даже такие, казалось бы элементарные вещи в изложении Бориса Трушина выглядят академично и красиво и почему-то мне, весьма пожилому человеку приносят несказа́нное удовольствие. Видимо, учителя были хорошие. *Спасибо!*
Напоминает доказательство о равенстве площади круга произведению квадрата его радиуса и числа пи, с которым тоже можно оказаться в цикле, только несколько более длинном. Спасибо!
Большое спасибо за видео! Хочу предложить идею для нового видео: кратко обсудить порядок теорем 7-ого класса (чтобы было понятно, что сначала, ссылаясь на аксиомы, доказывают признаки равенства, затем признаки и свойства равнобедренного треугольника, а только затем "против большей стороны лежит больший угол" и неравенство треугольника). Возможно, такое упорядочивание позволит лучше понять основы, на которых дальше доказываются теоремы 8-9 классов.
Хмм...разве не достаточно того, что кратчайшее расстояние между двумя точками это прямая? Это к доказательству утверждения, что любая сторона треугольника не больше суммы двух других сторон. И это работает и в неевклидовой геометрии - т.е. у нас нет необходимости в том, чтобы сумма углов треугольника равнялась 180 градусам.
@@benismann К сожалению, это утверждение не является аксиомой. И даже не определением прямой. Т.е. данное утверждение нуждается в доказательстве. Для меня это неожиданная новость, никогда не задумывался о том, почему кратчайшее расстояние между двумя точками это прямая. Очевидно жеж :-))
Ну да, такое в логике называется "порочным кругом". К последнему доказательству: нужно знать факт о внешнем угле (доказывается через сумму углов) => нужно знать факт о сумме углов (доказывается через равенство накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей) => нужно знать последний факт (который тоже нужно доказать). И в итоге нам придётся некоторые утверждения признать не требующими доказательства, т. е. аксимомами.
Я хоть и не школьник давно, а даже на 1 день старше Бориса, но уверен, что нельзя тезис Б вывести из тезиса А после того, как вывел тезис А из тезиса Б. А сейчас внимание на экран, послушаем, как оно на самом деле!
Блин, даже буквы А и Б как у меня, ну что ты будешь делать! А если серьёзно, хотелось бы видео вот про что. Есть аксиомы и правила логики. Из утверждения А выводим с помощью их утверждение Б. Хотелось бы умные слова про аксиомы послушать, откуда мы их взяли и как это вообще работает? Т.е., мы говорим, что вся геометрия работает при условии, что работает определённый набор аксиом? В конечном итоге, всё на вере зиждется? Или как?
@@nnr75 Именно об этом я и говорю. А верность аксиом откуда берётся? Как по мне, этот вопрос куда глубже геометрии как таковой и уже куда-то в сторону позитивизма отправляет вдумчивого подписчика.) Но Борис это сможет объяснить, думаю, лучше, чем я.
Нер-во треугольника можно очень легко доказать при помощи нер-ва ломаной. Пусть есть точки A и B. Построим между ними прямую - это будет кратчайшее расстояние между точками. Построим точку C и проведем отрезки BC и AC. Тогда нер-во ломаной выглядит так BC + AC >= AB Случай равенства будет достигнут в том случае, если A, B и C колинеарны. Иначе нер-во выглядит так BC + AC > AB Ч. т. д
Таким образом. Из всего здесь сказанного вытекает следующая методика современного преподавания геометрии. 1) Выставляется некое положение как правильное (неправильное) и не очевидное. Его называют теоремой. 2) Предлагается "доказать" верность (неверность) этой теоремы. Но что, собственно, означает доказать? На деле это означает найти способ и пути получения данного положения как чего-то неизвестного ранее из известных предпосылок, т.е. выяснить вопрос, из чего, как именно и какими путями это положение было (могло быть) получено первооткрывателем данного положения и пройти этот путь первооткрывателя заново и самостоятельно, а тем самым и почувствовать себя первооткрывателем. Ведь ясно, что сами теоремы не могут являться в готовом в виде в "юпитеровы головы". Так, напр., соотношение сторон в прямоугольном треугольнике не явилось в готовом виде Пифагору во сне, как "теорема Пифагора", а было им получено из отношения подобия прямоугольных треугольников, отношения, созданного им путем разбиения прямоугольного треугольника высотой. Сегодня, исходя их этой предпосылки, любой школьник может почувствовать себя Пифагором, если ему поставить задачу не доказывать "теорему Пифагора", а найти соотношение сторон в любом прямоугольном треугольнике. Тогда всякое доказывание сразу и решительно уйдет на задний план, а сама логика обнаружит себя тем, чем она является в действительности: прежде всего путем движения от известного к неизвестному, чему-то новому, верному.
Это берётся из аксиомы, в которой точка лежит на отрезке и сумма этих двух маленьких отрезков, на которые разбила их точка, равна данному отрезку. На отрезке АВ написали точку С, АС+СВ=АВ
К неравенству треугольника, как по мне, проще придти через ситуацию, когда допустить что А+В=С и нарисовать такой случай. Получим отрезок С, а не треугольник. Иначе, если А+ВС хотя бы на бесконечно малую величину, у нас получится "поднять" вершыну с (противолежащую стороне С) над самой стороной.
Теорема о том, что против большей стороны лежит больший угол, следует из теоремы синусов, а неравенство треугольника следует из теоремы косинусов. А теоремы синусов и косинусов легко доказываются, если мы определяем плоскость как аффинное пространство, ассоциированное с двумерным линейным пространством над полем вещественных чисел. Тогда и теорема синусов, и теорема косинусов доказываются, грубо говоря, с помощью координат.
Ещë в седьмом классе понимал, что неравенство треугольника доказывается просто через рассмотрение всех трëх ситуаций. Если третья сторона больше суммы двух других, то стороны просто не сойдутся (по крайней мере, на нашей плоскости). Если равна - треугольник превратится в прямую. Если меньше - всë хорошо
@@trushinbv, ну никак же не пересечь окружности с центрами в концах отрезка, если сумма радиусов этих окружностей меньше длины отрезка. Использование окружностей в данном случае довольно симпатично, поскольку радиус представляется как сторона треугольника и его возможно "вращать" вокруг "вершины", что помогает наглядностью при рисовании картинки в уме
Про неравенство треугольника я подумал так: Возьмём длинный отрезок. Из каждой его вершины построим окружности (центры - в концах отрезка) так, чтобы они касались друг друга на отрезке. Получается, R1+R2= этому отрезку. Но так треугольник не построить. Хотя бы один радиус нужно увеличить. ЧТД.
Да, именно так и надо показывать, что любая сторона всегда меньше суммы двух других, это самое простое и очевидное объяснение. Но вряд ли кто-то захотел бы смотреть такое видео, это слишком скучно и просто.
@@kolegg да ну, по-моему очевидно, что построить треугольник возможно тогда и только тогда, когда окружности, построенные на вершинах бОльшей стороны, пересекают друг друга. А из этого вполне очевидно, что сумма их радиусов (равных сумме меньших сторон) больше, чем длина бОльшей стороны.
Я доказываю неравенство треугольника через теорему косинусов, там выйдет, что a^2 меньше чем (b+c)^2, в свою очередь она доказывается через теорему Пифагора, самое простое доказательство теоремы Пифагора через площадь квадрата, площадь квадрата доказывается из того, что мы приняли, что квадрат 1*1 имеет площадь 1, ну вроде цикла нет
К сожалению, цикл есть. Он обязан быть, если у Вас получается на первый взгляд принципиально разными способами доказать какое-то утверждение. Если разные доказательства приводят к одному и тому же утверждению, то факты, использовавшиеся в доказательстве А должны быть взаимосвязаны с фактами из доказательства B, просто, скорее всего, Вы не замечаете эту связь. Её заметить можно, если копнуть глубоко, просто где-то это легко заметить, как в примере, который привёл Борис Викторович, а где-то это сложно заметить. Ваш случай очень глубокий, нужно копнуть в понятие площади многоугольника (уже это очень глубокая вещь), копнуть в понятие синуса и косинуса. Крч, надо посмотреть самые истоки возникновения той или иной теоремы, определения, использованных в доказательстве, потом уже будет видно, что одно определение, понятие невозможно без другого, а значит, что доказательство может содержать круг как раз в этом. Надеюсь, смог хотя бы как-то пояснить
Поэтому должно получиться, что Ваше какое-то доказательство не может быть до конца честным, так как оно само частично как-то состоит из фактов, теорем, построение которых зависит от фактов и теорем из другого доказательства, если другое доказательство само является честным
Поставил видео на стоп и доказал неравенство треугольника методом от противного. Предположим, что большая сторона равняется сумме двух меньших. Тогда проведём круг с радиусом равным одной из меньших сторон. Точку пересечения соединим с вершиной, общей для меньших сторон. Получаем два равнобедренных треугольника, которые имеют общую основу. Выходит, что у большого треугольника, который мы рассматривали изначально, один из углов равен сумме смежных, тоесть 180° => сумма углов большого треугольника больше 180° => такого быть не может, значит наше предположение неверно. Подобным образом доказываем то, что большая сторона треугольника не может иметь длину большую, чем сумма двух других.
3:10 ну мне кажется, это можно доказать гораздо проще и нагляднее: Предположим, что есть сторона, которая длиннее чем сумма двух других. Тогда вокруг каждого ее конца проводим окружность с радиусом равным длине прилежащей к этому концу стороны треугольника. Эти две окружности не пересекаются, поскольку их центры находятся дальше друг от друга, чем сумма их радиусов. Ну и значит не существует такой точки, где мог бы лежать третий угол треугольника, то есть, такой треугольник невозможен. Вот как бы и все :)
Добрый вечер, Борис Викторович. Буквально пару дней назад состоялся региональный этап всеукраинской олимпиады школьников по математике. Хотелось бы увидеть на канале разбор задачи 4.1 из 10 класса (про лампочки и выключатели), если у вас конечно же будет время и интерес к этому. Задача показалась мне довольно симпатичной.
Наверное, я успел это написать прежде, чем услышал ответ. Когда мы доказываем теоремы, мы можем сослаться на другие теоремы, которые в свою очередь ссылаются на данную теорему
Любое доказательство строится от аксиом, если вы при доказательстве одного утверждения используете второе как лемму то доказательство леммы не может опираться на доказываемое утверждение.
Верно) Правда геометрию в седьмом классе редко кто строит из аксиом. И в вузе даже на математических предметах теория даётся строже, но всё равно почти везде не на аксиоматическом уровне (сужу по МФТИ).
Я наоборот, сначала брал равносторонний треугольник, а потом увеличивал один из углов. Так наглядно видно как одна сторона стала самой маленькой, из за того что две другие увеличились. А угол между увеличившимися сторонами (который как раз против меньшей стороны) уменьшился, за счёт увеличения другого угла. Любая сторона короче двух других. Берём равнобедренный (не обязательно) треугольник, у которого основание равно сумме двух боковых сторон. Делаем построение с помощью циркуля.и получаем треугольник с вершиной в 180 лежащей на основании и углами при основании по нулям. Что там ещё доказывать?
Борис а можно попросить разобрать задачу про 100 заключенных которую недавно показали в vert dider. Там на теорию вероятности и комбинаторику. Посмотрите может заинтересует.
Я всегда углы заказывал либо через вписаный в окружность треугольник, а стороны через приближением одного из углов к 180, тогда а+б=с, а если меньше то просто из факта про роекции
@@trushinbv , у меня тут на днях возникла любопытная задача с интуитивно понятным утверждением, но не самым тривиальным доказательством. Условие очень короткое: периметр треугольника, вложенного в другой треугольник, гарантированно меньше периметра объемлющего (то есть, большего) треугольника. Борис, может быть, Вы предложите красивое и короткое одновременно доказательство этого утверждения? Буду ждать :)
А мне нравится засада с обратной теоремой пифагора. Из того что A^2+B^2 = C^2 следует что треугольник прямоугольный: бывает называют "теоремой пифагора" и при этом говорят что это все доказывали 100 раз, но не замечают, что это совсем другое утверждение.
Борис, добрый день. Если Вам не сложно, не могли бы Вы ответить на вопрос. Когда учился давно в НГУ и ФМШ мы пользовались аббревиатурой "что и требовалось доказать" закрашивая волнистой линией квадрат. Сейчас готовлю к ЕГЭ и не встречаю эту аббревиатуру - поймет ли проверяющий такую аббревиатуру?
Приветствую, Борис! Давно и с большим интересом наблюдаю за Вашим творчеством - пользуюсь случаем поблагодарить за это! По предмету этого выступления: не следует ли дополнить Ваше доказательство объяснением факта равенства углов при основании равнобедренного треугольника?
То что сумма двух других сторон больше третьей и вправду очевидно, а вот факт про углы уже не так очевиден. Кстати, попробуйте методом пристального взгляда решить задачку из последнего видео на моем канале.
А вот в обратную сторону (что из меньшего угла следует что и сторона меньше) следовало бы более подробно показать. Т.к. в общем случае из прямого утверждения не следует что обратное тоже верно.
@@ПендальфСерый-б3м Нет, тут доказано что из A ("угол больше") СЛЕДУЕТ B ("сторона больше"). Но обратное в общем случае не верно, и из B очень даже не обязательно будет следовать А,. Слова "ну это очевидно" плохо работают в случае как сейчас, когда и изначально доказываемое утверждение тоже в общем-то было очевидным, но его решили доказать строгим образом. Тут следовало проявить последовательность и идти до конца: ничто не очевидно пока не будет доказано.
@@Felinaro ну в данном случае с меньшей стороной нет смысла доказывать т.к. оно просто аналогично с большей Есть тре-к возьмем меньшую сторону и продлим ее пока она не станет равна боковой, ну а далее так же через суммы углов доказываем, что на против нее наименьший угрол
А разве при док-ве про неравенство нельзя упомянать, что если одна сторона длинней другой, то две остальные стороны, даже если они будут лежать на одной и той же прямой вместе с длинной этой, всё равно не будут дотягивать до конца? Будет не треугольник, а отрезок, причём два, но лежащих на одной прямой
хорошее видео, помню, в 7 классе, кажется, именно в таком порядке мы провели доказательство. а можно ли пойти обратным ходом и вывести неравенство треугольника не ссылаясь на теорему о большем угле ?
Можно просто высоту провести и ясно,что гипотинузы будут больше,чем основания этих двух маленьких треугольников, соответственно и основание большого меньше суммы этих двух гипотинуз,если охото прям вообще по простому
@@fullfungo, один из способов доказать теорему Пифагора -- через площади. Если Вы копнёте в понятие площади многоугольника, попытаясь разобраться в каждом моменте на уровне "а почему?", то заметите, что Ваше доказательство содержит частично замкнутый круг. Такие доказательства очень тонкие, так как они используют более мощные средства, а не такие простые, как отложение сторон, углов. Просто может получиться так, что теорема Пифагора, доказываемая с помощью понятия площади многоугольника использует в себе скрыто те самые отложения сторон, углов или чего-нибудь другого, что является простым средством. Но тогда зачем Вам такое доказательство, оно становится бесполезным, если для него самого нужны простые средства, которыми можно сразу доказать исходную теорему в видео
Можете привести доказательство основанное на факте, что при сумме двух сторон, меньше чем третья не существует угла при котором могут пересечься два отрезка на концах этого мнимого треугольника. Мне это кажется очевидным, но с точки зрения математики как это выглядит.
@@vasily_maths потому и истинное испытание! Признаться, мне самому интересно, существует ли вообще способ провести индукцию по подобным множествам. Я могу представить чтоб она была возможна для рациональный чисел например, и каких-то других математических структурах. Думаю найду ответы когда буду знакомиться с вещественным анализом и топологией)
Недавно купил себе новый планшет xiaomi mi. Хожу на вышку! Предпочитаю решать методом tic tac toe. Хотел узнать какое приложение для быстрого набора посоветуете, Борис? Люблю цветной графический интерфейс в приятной цветовой гамме, ну и чтоб удобно было сразу в паблик скинуть?
Почему нельзя доказывать так: 1) По определению прямой - это наименьше расстояние между любыми двумя точками. 2) меду двумя точками можно провести единственную прямую (аксиома евклидовой геометрии). Отсюда следует, что если треугольник - это геометрическая фигура с тремя вершинами, соединенными прямыми, значит, любая кривая, а также ломаная, соединяющая две вершины будет иметь длину всегда большую или равную, длине отрезка, части прямой, соединяющей вершины. Но если длина кривой будет равна отрезку, части прямой, она будет принадлежать прямой, т.к. через две точки можно провести единственную прямую (т.е. кривую с наименьшей длиной). Поэтому, сумма двух сторон (кривая в этом сблучае ломаная) не принадлежащая третьей стороне всегда будет иметь большую длину!
@@humaniora_for_all а какое определение прямой предложите вы? Если про то, что любая часть прямой - отрезок, то это не так, потому что отрезок - это часть прямой. Если про то, что длина отрезка меньше длины любой другой кривой, соединяющей две точки, то сначала надо разобраться, что такое длина. И с тем, что у прямой нет ширины надо разобраться. Кажется, Евклид предлагал определить, что прямая - это то, у чего есть длина но нет ширины (но это по очевидным причинам не правильно). Предложите свое определение (а заодно и определение точки)
Встретилась задача: "Выписаны 3 последовательных нечетных числа. Сложили их остатки при делении на 2022. Может ли получиться простое число. Подходит ли ответ -1, 1, 3?
Привет, Борь. Я тут смотрел недавно видео про производные... Как для ученика 8 класса не очень понятно откуда из функции берётся что ты там дальше пишешь... Можешь разобрать на пальцах для не очень сильных математиков производные...
Ну на пальцах производная функции - это её скорость роста. Вот едет машина. Расстояние от времени - это исходная функция, а скорость от времени - это её производная.
А нельзя доказать опираясь на то, что при сумме сторон равной третьей стороне это будет отрезок, а не треугольник (по сути углы при большей стороне равны нулю). Ну а если сумма меньше третьей, то вершины треугольника не стыкуются даже на прямой?)
Это интуитивное рассуждение, на основе здравого смысла и опыта. Но не доказательство в математическом смысле:) . На математическое доказательство есть определённые ограничения
Интересует, почему с одной стороны произведение двух чисел можно интерпретировать как площадь прямоугольника, а с другой стороны можно интерпретировать как сторону одного из треугольника, подобного искомому. В первом случае добавляется размерность вроде как, в то время как во втором случае линия остаётся линией. Когда я задумываюсь над такими вещами, это взрывает мне мозг.
Давно задумывался над этим вопросом. Я рассуждал так: пусть у нас есть сторона, длина которой больше суммы двух других. Проведем к ней высоту. Если немножко порассуждать, то можно прийти к выводу, что в одном из полученных треугольников катет больше гипотенузы, а это противоречит теореме Пифагора. Является ли это доказательство противоречивым? Вроде как при доказательстве теоремы Пифагора, неравенство треугольника нигде не используется
Очень хотелось бы знать следующее!!!! В решении кубических уравнений способом Кардано нужно вводить подстановку x = y - a/3, а откуда она взялась? Расскажите пожалуйста
Про 2 стороны в треугольнике больше третьей: разве надо доказывать, что прямая из точки а в точку b всегда короче кривой??? Ps. Треугольник ABC. Если предположить что AB + Bc = AC, то получиться не треугольник а отрезок просто. Хз. Все равно не понимаю нужно ли это доказывать
Если предположить, что одна сторона больше суммы двух других, то можно повернуть эти стороны, чтобы они лежали на большей стороне, и исходя из предположения, они не будут доставать друг до друга (либо соединятся, при равенстве суммы), но тогда исчезает и сам треугольник.
@@panfilovandrey то что "кратчайшее расстояние - прямая" - это следствие из неравенства треугольника Этим нельзя пользоваться до того, как доказали неравенство )
Что-то пошло не так! Часть концовки комментария выпало. А хотелось мне узнать, возможно, существует более лаконичное или, если угодно, изящное/элегантное решение, исходя из обозначенного инструментария?
@@trushinbv только в аксиоматическом подходе. Можно задать евклидову метрику и определить прямую как экстремальную ломаную, и доказать что она кратчайша. Или просто определить прямую как кратчайшее расстояние
По поводу дискриминанта. Как известно, математика бывает используется и в практических целях. Так вот загадка: какая самая простая практическая задача требует составить и решить квадратное уравнение? Предположительно информация в википедии ложна -- в древности квадратное уравнение не имело реальной пользы и рассматривалось просто как гимнастика ума. В любом случае было бы интересно решение этой загадки, как автором канала, так и его подписчиками! Цель доказать, что такое решение будет самым простым! СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! :-)
Доброе день у меня есть вопрос k=(h1-h2) (s1-s2) -1 mod n у меня есть h1 и h2 и s1 и s2 я не понемаю -1 mod n как получить k можете обяснить как вопше mod работать
А меня в такой ситуации мучил вопрос: Если высшая степень переменной, допустим, четвёртая, то количество корней равно 4 или не больше 4? Я к чему - если в квадратном уравнении дискриминант =0, то у уравнения 1 корень или 2?
Ну, есть следствие теоремы Безу, что если а -- корень многочлена P(x) то его можно представить в виде P(x)=Q(x)(x-a). Поэтому P(x) можно представить в виде P(x)=T(x)(x-a1)(x-a2)...(x-an) где числа а1, а2, ... , аn все корни многочлена. Отсюда получаем, что степень многочлена не меньше числа корней
@@Zlobny-Kotyara там всегда два корня потому что степень второй. Просто корень кратный, когда D = 0. Попытаешся сказать что корень один и получишь по ебле при разложении на множители. У тебя там должен получится полный квадрат. В школе любят говорить что корень один и это ошибка. Любой многочлен степени n всегда имеет n корней.
Что-то я не понял - а разве не будет самым простым доказательством, что сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей, то, что кратчайшим расстоянием между точками А и С является ПРЯМАЯ? (а не искривленный путь ABC)
Точнее отрезок, а не прямая. Но прямая является неопределяемым понятием, и поэтому мы как бы сразу не знаем, что отрезок - это кратчайшее расстояние. А так да, факт очевидный конечно.
я бы неравенство треугольника в предельном случае посмотрел AB+BC=AC (большая сторона) и получаем прямую. Если а AB+BC < AC треугольник вообще не получить точка расходится
Борис, пожалуйста, у меня вопрос невпопад. Определено ли в математике числительное "несколько"? И чему оно тогда может быть равно? Каковы тут правила и какова практика использования этой меры?
Неравенство треугольника можно доказать элементарно - кратчайшее путь между точками по прямой, все. Ну если более строго можно построить высоту, и воспользоваться тем что гипотенуза всегда больше катета.
Добрий день, я з України, нещодавно писав обласну олімпіаду, в якій зробив 1.5-2 завдання з 5, та хотів би побачити, як ви би розібрали її на своєму каналі. Хотів би дізнатись:куди можна вам надіслати її умову?
Хорошее доказательство, старый анекдот напомнило
- Изя, где вы берёте деньги?
- В тумбочке.
- А кто их туда кладёт?
- Жена моя, Сара.
- А Сара где берёт деньги?
- Я ей даю.
- А вы где берёте деньги?
- Я же вам говорю: в тумбочке!
Путь с работы до дома всегда короче чем если заезжать в магазин за продуктами.
(Треугольник: работа, дом, магазин)
Это лучшее доказательство, представленное на данный момент в комментариях :-))
@@alxsam505 А главное, практическое.
А если магазин по пути? 🤣🤣🤣
@@AxanX Чисто геометрически - это случай из ряда вон выходящий. Но, позвольте, мы же в магазин заходим, тратим там шаги и время.
@@AxanX тогда треугольник вырождается, все точки на одной прямой. Но сумма 2х сторон всё равно не меньше третьей.
(орфографию подправил)
04:50 Кольцевое, оно же циркулярное доказательство:
Трушин крутой, потому что знает всё. Трушин знает всё, потому что он крут
Может цикличное?) или даже рекурсивное
@@MrGrig оно именно что рекурсивное, поэтому циркулярное, а не циклическое
Может две равносильные теоремы? Доказав одну из них независимым способом, получаем вторую в подарок.
@@-wx-78- ага 2 по цене 1...
не хватает третьего утверждения.... а третье утверждение.... трушин крут и знает всё потому что хорошо учился ))
- Что такое интеграл?
- Интеграл - это площадь.
- А что такое площадь?
- Площадь - это интеграл.
Так и в этом случае. Доказательства ссылаются друг на друга, и в итоге таким образом нельзя честно доказать оба этих утверждения. Нужно еще одно доказательство.
Не доказательство, а определение
@@fullfungo в случае с интегралом действительно нужно определение, а в случае с этими двумя утверждениями - ещё одно доказательство.
Интеграл это предел сумм Дарбу, чел
Помню, препод сказал, что если услышит на экзе, что интеграл - это площадь, выше трёх в самом лучшем случае не светит. хД
определённый интеграл. и его геометрический смысл.
Показывая такие "Фокусы" своим студентам на лекциях по матану, я называла их " математический вечный двигатель".
В моем детстве неравенство треугольника доказывали методом от противного: допустим, что это не так, тогда построим такой треугольник с помощью циркуля и линейки.... И оказывается, что две окружности могут пересечься только если сумма их радиусов меньше, чем расстояние между центрами) Спасибо за видео.
@Epsilonic1987 Хотел бы я посмотреть на это. Наверное, сумма их радиусов должна быть больше?
@@Zlobny-Kotyara Да
Лучший математик ever. Обожал тебя смотреть, ещё когда к ЕГЭ готовился
Спасибо большое. Один из... а может и единственный канал, где подробно разбираются простые вещи на понятном языке. 👏
А нам в школе доказывали теорему про неравенство сторон чисто арифметически
Ну есть если бо́льшая сторона равна 10, а две другие в сумме равны 10, то они просто образуют прямую, ну очевидно, что если сумма
А пока вы отвернетесь, возьмут и дотянутся!
хуевое доказательство это когда используется слово "очевидно", нет, не очевидно епт
@@trigeminalneuralgia9889 я сам ненавижу, когда что то доказывают этим словом
Но в данном случае если они впритык друг другу, а если взять короче разве не само собой они не дотянутся друг до друга?
то, что вы привели - это даже не доказательство, а просто какое-то взмахивание руками. Легче было просто сказать "очевидно"))
@@АрктическийЗаяц-л9ы как не доказательство?
Если три отрезка физически треугольник не могут составить, разве это не доказывает, что такого не бывает?
Борис, доброго времени суток! Меня зовут Александр.
Прежде всего хочу сказать, что Вы делаете очень важное, полезное и нужное дело! Огромное Вам спасибо! 🙏
Я давно не учусь в школе, и очень жаль, что в мою бытность школьником не было такого канала.
Но, несмотря на возраст, люблю порешать задачки для разминки ума :)
Недавно моей племяннице в школе задали задачу по геометрии. Бился над решением несколько дней. В конечном счете решил, благодаря этому видео и некоторым другим про треугольники, которые натолкнули на идею решения.
А задача такова: дан произвольный треугольник АВС. Угол В равен 30 градусам. Основание АС в 2 раза меньше стороны АВ. Найти угол С?
Сложность состояла в крайне ограниченном инструментарии, который сводился к знанию суммы углов треугольника, внешнего угла треугольника, свойств высот, медиан и биссектрис треугольника. Про прямоугольные треугольники и их свойства моя племянница знает только, что они существуют! Следовательно, использовать теорему о катете напротив угла 30 градусов нельзя (если ее знать, задача решается в 1 действие).
Решить мне ее удалось через дополнительное построение еще одного треугольника с углом при вершине В 30 градусов и проведением высоты из вершины А к стороне ВС и ее продлением до стороны ВD нового треугольника. В результате пришел к противоречию, что треугольник между высотой и основанием АС не может существовать, и высота совпадает с основанием АС.
Мое решение меня устраивает и даже вполне симпатично, однако, инструментария
Заранее спасибо!
Удивился, когда увидел, что не подписан... :) Спасибо!!!
Очень интересно узнать доказательство признаков равенства треугольников по - честному, с использованием аксиом. Ведь во всех школьных учебниках список аксиом разный (некоторые факты берутся за аксиомы для простоты) и доказательства не строгие. И вообще интересно было бы увидеть список аксиом (5 штук?) и с их помощью по - честному доказать базовые теоремы 7 класса. Те же признаки равенства, существование и единственность перпендикуляра, признак параллельности итд.
Если хотите совсем строго, то читайте Гильберта. И там будет значительно больше, чем пять аксиом.
Особенность (проблема или преимущество) школьной математики состоит в том, что она рассчитана на школьников. Основы алгебры/геометрии даются в 7 классе (13 лет), когда ещё очень сложно работать и с определениями, и с доказательствами. Да и в принципе сложно все это. Дать корректные определения для числа, функции или множества, как мне кажется, не смогут подавляющее большинство учителей. Вообще, нормальная геометрия (а не выучивание типов задач из учебника) - это для школьников практически неподъёмно.
+
Тут есть предмет для разговора.
📏📐 Даже такие, казалось бы элементарные вещи в изложении Бориса Трушина выглядят академично и красиво и почему-то мне, весьма пожилому человеку приносят несказа́нное удовольствие. Видимо, учителя были хорошие.
*Спасибо!*
Напоминает доказательство о равенстве площади круга произведению квадрата его радиуса и числа пи, с которым тоже можно оказаться в цикле, только несколько более длинном.
Спасибо!
А как кстати вы это доказываете, если число пи определяется как отношение длины окружности к диаметру?
Большое спасибо за видео! Хочу предложить идею для нового видео: кратко обсудить порядок теорем 7-ого класса (чтобы было понятно, что сначала, ссылаясь на аксиомы, доказывают признаки равенства, затем признаки и свойства равнобедренного треугольника, а только затем "против большей стороны лежит больший угол" и неравенство треугольника).
Возможно, такое упорядочивание позволит лучше понять основы, на которых дальше доказываются теоремы 8-9 классов.
Возьмите задачник Шеня по геометрии.
@Sergey Petrov спасибо за рекомендацию! 👍
Борис, здравствуйте! Ждëм новых интересных роликов!
на скорости 2x мой мозх не успевал следить в этом видео за вашими рассуждениями, пришлось сделать помедленнее )))
Дискриминант выводится,когда из ax^2+bx+c выделяете полный квадрат.С кубическим уравнением не выходит,так как посередине не одно,а два слагаемых.
Хмм...разве не достаточно того, что кратчайшее расстояние между двумя точками это прямая? Это к доказательству утверждения, что любая сторона треугольника не больше суммы двух других сторон.
И это работает и в неевклидовой геометрии - т.е. у нас нет необходимости в том, чтобы сумма углов треугольника равнялась 180 градусам.
Это интересная идея, надо запомнить
@@benismann К сожалению, это утверждение не является аксиомой. И даже не определением прямой. Т.е. данное утверждение нуждается в доказательстве. Для меня это неожиданная новость, никогда не задумывался о том, почему кратчайшее расстояние между двумя точками это прямая. Очевидно жеж :-))
Так утверждение что кратчайшее расстояние между двумя точками это прямая, по сути просто переформулировка неравенства треугольника
А вот на счет неевеклидовой вы не правы, там кратчайшим расстоянием может быть и не прямая
@@alxsam505 можно векторами доказать
Ну да, такое в логике называется "порочным кругом".
К последнему доказательству: нужно знать факт о внешнем угле (доказывается через сумму углов) => нужно знать факт о сумме углов (доказывается через равенство накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей) => нужно знать последний факт (который тоже нужно доказать). И в итоге нам придётся некоторые утверждения признать не требующими доказательства, т. е. аксимомами.
Я хоть и не школьник давно, а даже на 1 день старше Бориса, но уверен, что нельзя тезис Б вывести из тезиса А после того, как вывел тезис А из тезиса Б. А сейчас внимание на экран, послушаем, как оно на самом деле!
Блин, даже буквы А и Б как у меня, ну что ты будешь делать!
А если серьёзно, хотелось бы видео вот про что. Есть аксиомы и правила логики. Из утверждения А выводим с помощью их утверждение Б. Хотелось бы умные слова про аксиомы послушать, откуда мы их взяли и как это вообще работает? Т.е., мы говорим, что вся геометрия работает при условии, что работает определённый набор аксиом? В конечном итоге, всё на вере зиждется? Или как?
@@opschpiglung Вся геометрия держится на нескольких аксиомах, из которых уже доказываются теоремы.
@@nnr75 Именно об этом я и говорю. А верность аксиом откуда берётся? Как по мне, этот вопрос куда глубже геометрии как таковой и уже куда-то в сторону позитивизма отправляет вдумчивого подписчика.)
Но Борис это сможет объяснить, думаю, лучше, чем я.
@@opschpiglung, по поводу аксиом есть хороший ролик у веритасиум, который Vert Dider на русский перевели. Рекомендую посмотреть
@@opschpiglung, "слабое место математики" называется
Нер-во треугольника можно очень легко доказать при помощи нер-ва ломаной. Пусть есть точки A и B. Построим между ними прямую - это будет кратчайшее расстояние между точками. Построим точку C и проведем отрезки BC и AC. Тогда нер-во ломаной выглядит так
BC + AC >= AB
Случай равенства будет достигнут в том случае, если A, B и C колинеарны. Иначе нер-во выглядит так
BC + AC > AB
Ч. т. д
А неравенство ломаной как вы доказываете?=)
Это как в Википедии, одна статья ссылается на другую и так до бесконечности
О, годнота наступила
Трушин пилит годноту!
Это аксиома
Таким образом. Из всего здесь сказанного вытекает следующая методика современного преподавания геометрии. 1) Выставляется некое положение как правильное (неправильное) и не очевидное. Его называют теоремой. 2) Предлагается "доказать" верность (неверность) этой теоремы.
Но что, собственно, означает доказать? На деле это означает найти способ и пути получения данного положения как чего-то неизвестного ранее из известных предпосылок, т.е. выяснить вопрос, из чего, как именно и какими путями это положение было (могло быть) получено первооткрывателем данного положения и пройти этот путь первооткрывателя заново и самостоятельно, а тем самым и почувствовать себя первооткрывателем. Ведь ясно, что сами теоремы не могут являться в готовом в виде в "юпитеровы головы". Так, напр., соотношение сторон в прямоугольном треугольнике не явилось в готовом виде Пифагору во сне, как "теорема Пифагора", а было им получено из отношения подобия прямоугольных треугольников, отношения, созданного им путем разбиения прямоугольного треугольника высотой. Сегодня, исходя их этой предпосылки, любой школьник может почувствовать себя Пифагором, если ему поставить задачу не доказывать "теорему Пифагора", а найти соотношение сторон в любом прямоугольном треугольнике. Тогда всякое доказывание сразу и решительно уйдет на задний план, а сама логика обнаружит себя тем, чем она является в действительности: прежде всего путем движения от известного к неизвестному, чему-то новому, верному.
Это берётся из аксиомы, в которой точка лежит на отрезке и сумма этих двух маленьких отрезков, на которые разбила их точка, равна данному отрезку.
На отрезке АВ написали точку С, АС+СВ=АВ
самое простое док. неравества треугольника это аксеома, самое короткое расстояние между двумя точками это прямая соединяющая их.
Тут знающие люди говорят, что это не аксиома.
Хорошо, пусть не аксиома. Но это определение прямой? Пусть будет "По определению".
Все пропало.
У прямой нет даже определения.
@@alxsam505 ага, рАвно как и у точки
Отвечать будет господин товарищ Атанасян!
К неравенству треугольника, как по мне, проще придти через ситуацию, когда допустить что А+В=С и нарисовать такой случай. Получим отрезок С, а не треугольник. Иначе, если А+ВС хотя бы на бесконечно малую величину, у нас получится "поднять" вершыну с (противолежащую стороне С) над самой стороной.
Шевелюра супер ! Давно Ваши видео не смотрел. Лайк .
Ваши "Почему?" мне очень нравятся! 👍
Непривычно видеть Бориса с новой причёской 😏
Теорема о том, что против большей стороны лежит больший угол, следует из теоремы синусов, а неравенство треугольника следует из теоремы косинусов. А теоремы синусов и косинусов легко доказываются, если мы определяем плоскость как аффинное пространство, ассоциированное с двумерным линейным пространством над полем вещественных чисел. Тогда и теорема синусов, и теорема косинусов доказываются, грубо говоря, с помощью координат.
неравенство треугольника можно вывести из того что кратчайший путь между двумя точками по прямой
Ещë в седьмом классе понимал, что неравенство треугольника доказывается просто через рассмотрение всех трëх ситуаций. Если третья сторона больше суммы двух других, то стороны просто не сойдутся (по крайней мере, на нашей плоскости). Если равна - треугольник превратится в прямую. Если меньше - всë хорошо
А почему «не сойдутся»?
@@trushinbv, ну никак же не пересечь окружности с центрами в концах отрезка, если сумма радиусов этих окружностей меньше длины отрезка. Использование окружностей в данном случае довольно симпатично, поскольку радиус представляется как сторона треугольника и его возможно "вращать" вокруг "вершины", что помогает наглядностью при рисовании картинки в уме
@@bulka_c_koriceu8723 они «никак не пересекаются» именно из-за неравенства треугольника. Как без него вы будете это доказывать? )
большое спасибо за ваш труд)
Про неравенство треугольника я подумал так:
Возьмём длинный отрезок. Из каждой его вершины построим окружности (центры - в концах отрезка) так, чтобы они касались друг друга на отрезке. Получается, R1+R2= этому отрезку. Но так треугольник не построить. Хотя бы один радиус нужно увеличить. ЧТД.
Да, именно так и надо показывать, что любая сторона всегда меньше суммы двух других, это самое простое и очевидное объяснение.
Но вряд ли кто-то захотел бы смотреть такое видео, это слишком скучно и просто.
Это хорошо, но докажите, что радиус окружностей будет меньше соответствующих сторон. Вы опять вернулись к началу.
@@kolegg по условию он сторит окружности из концов отрезка и они пересекаются прямо на нем
@@kolegg да ну, по-моему очевидно, что построить треугольник возможно тогда и только тогда, когда окружности, построенные на вершинах бОльшей стороны, пересекают друг друга. А из этого вполне очевидно, что сумма их радиусов (равных сумме меньших сторон) больше, чем длина бОльшей стороны.
@@idioluh5838 эта очевидность полностью равнозначна предположению, о неравенстве треугольника, которое и пытаемся доказать.
Я доказываю неравенство треугольника через теорему косинусов, там выйдет, что a^2 меньше чем (b+c)^2, в свою очередь она доказывается через теорему Пифагора, самое простое доказательство теоремы Пифагора через площадь квадрата, площадь квадрата доказывается из того, что мы приняли, что квадрат 1*1 имеет площадь 1, ну вроде цикла нет
К сожалению, цикл есть. Он обязан быть, если у Вас получается на первый взгляд принципиально разными способами доказать какое-то утверждение. Если разные доказательства приводят к одному и тому же утверждению, то факты, использовавшиеся в доказательстве А должны быть взаимосвязаны с фактами из доказательства B, просто, скорее всего, Вы не замечаете эту связь. Её заметить можно, если копнуть глубоко, просто где-то это легко заметить, как в примере, который привёл Борис Викторович, а где-то это сложно заметить. Ваш случай очень глубокий, нужно копнуть в понятие площади многоугольника (уже это очень глубокая вещь), копнуть в понятие синуса и косинуса. Крч, надо посмотреть самые истоки возникновения той или иной теоремы, определения, использованных в доказательстве, потом уже будет видно, что одно определение, понятие невозможно без другого, а значит, что доказательство может содержать круг как раз в этом. Надеюсь, смог хотя бы как-то пояснить
Поэтому должно получиться, что Ваше какое-то доказательство не может быть до конца честным, так как оно само частично как-то состоит из фактов, теорем, построение которых зависит от фактов и теорем из другого доказательства, если другое доказательство само является честным
Поставил видео на стоп и доказал неравенство треугольника методом от противного.
Предположим, что большая сторона равняется сумме двух меньших. Тогда проведём круг с радиусом равным одной из меньших сторон. Точку пересечения соединим с вершиной, общей для меньших сторон. Получаем два равнобедренных треугольника, которые имеют общую основу. Выходит, что у большого треугольника, который мы рассматривали изначально, один из углов равен сумме смежных, тоесть 180° => сумма углов большого треугольника больше 180° => такого быть не может, значит наше предположение неверно. Подобным образом доказываем то, что большая сторона треугольника не может иметь длину большую, чем сумма двух других.
Задача: Найдите остаток от деления многочлена P(x)=(x+1)^100+(x-1)^100 на многочлен Q(x)=x^2+x.
Дякую, гарно
Я, всегда, считал необходимым предварять изучение предмета, изучением его истории - только так можно получить, по-настоящему, фундаментальные знания.
3:10 ну мне кажется, это можно доказать гораздо проще и нагляднее: Предположим, что есть сторона, которая длиннее чем сумма двух других. Тогда вокруг каждого ее конца проводим окружность с радиусом равным длине прилежащей к этому концу стороны треугольника. Эти две окружности не пересекаются, поскольку их центры находятся дальше друг от друга, чем сумма их радиусов. Ну и значит не существует такой точки, где мог бы лежать третий угол треугольника, то есть, такой треугольник невозможен. Вот как бы и все :)
Спасибо, я как раз веду кружок у 7 класса и им будет полезно подумать об этом после соответствующих тем
Добрый вечер, Борис Викторович. Буквально пару дней назад состоялся региональный этап всеукраинской олимпиады школьников по математике. Хотелось бы увидеть на канале разбор задачи 4.1 из 10 класса (про лампочки и выключатели), если у вас конечно же будет время и интерес к этому. Задача показалась мне довольно симпатичной.
Наверное, я успел это написать прежде, чем услышал ответ. Когда мы доказываем теоремы, мы можем сослаться на другие теоремы, которые в свою очередь ссылаются на данную теорему
Конечно же это нормальные доказательства. Это догозательство что оба факта либо выполняются одновременно, либо не выполняются, и то же одновременно...
Любое доказательство строится от аксиом, если вы при доказательстве одного утверждения используете второе как лемму то доказательство леммы не может опираться на доказываемое утверждение.
Верно) Правда геометрию в седьмом классе редко кто строит из аксиом. И в вузе даже на математических предметах теория даётся строже, но всё равно почти везде не на аксиоматическом уровне (сужу по МФТИ).
Я наоборот, сначала брал равносторонний треугольник, а потом увеличивал один из углов.
Так наглядно видно как одна сторона стала самой маленькой, из за того что две другие увеличились.
А угол между увеличившимися сторонами (который как раз против меньшей стороны) уменьшился, за счёт увеличения другого угла.
Любая сторона короче двух других.
Берём равнобедренный (не обязательно) треугольник, у которого основание равно сумме двух боковых сторон. Делаем построение с помощью циркуля.и получаем треугольник с вершиной в 180 лежащей на основании и углами при основании по нулям. Что там ещё доказывать?
длина ломаной (в данном случае сумма двух сторон треугольника) всегда длиннее кратчайшего отрезка между точками.
те [ab]+[bc] > [ac]
факт про ломаную выводится как раз мат индукцией из неравенства треугольника
@@ДенисКоломиец-ф7й из определения прямой
Борис а можно попросить разобрать задачу про 100 заключенных которую недавно показали в vert dider. Там на теорию вероятности и комбинаторику. Посмотрите может заинтересует.
ТОП!
Я всегда углы заказывал либо через вписаный в окружность треугольник, а стороны через приближением одного из углов к 180, тогда а+б=с, а если меньше то просто из факта про роекции
Этот факт доказывается в самом начале геометрии, тогда мы ещё не знаем, что около любого треугольника можно описать окружность.
Хотелось бы увидеть доказательство формулы объема шара и площади сферы без использования интегралов
Про объем есть ruclips.net/video/RCjgyF_Ox2g/видео.html
@@trushinbv , у меня тут на днях возникла любопытная задача с интуитивно понятным утверждением, но не самым тривиальным доказательством. Условие очень короткое: периметр треугольника, вложенного в другой треугольник, гарантированно меньше периметра объемлющего (то есть, большего) треугольника. Борис, может быть, Вы предложите красивое и короткое одновременно доказательство этого утверждения? Буду ждать :)
а как доказать, что сумма углов в треугольнике равна 180?
А мне нравится засада с обратной теоремой пифагора. Из того что A^2+B^2 = C^2 следует что треугольник прямоугольный: бывает называют "теоремой пифагора" и при этом говорят что это все доказывали 100 раз, но не замечают, что это совсем другое утверждение.
Ну, обратная теорема мгновенно доказывается от противного.
На самом деле, чаще путают прямую и обратную теорему Виета )
Борис, добрый день. Если Вам не сложно, не могли бы Вы ответить на вопрос. Когда учился давно в НГУ и ФМШ мы пользовались аббревиатурой "что и требовалось доказать" закрашивая волнистой линией квадрат. Сейчас готовлю к ЕГЭ и не встречаю эту аббревиатуру - поймет ли проверяющий такую аббревиатуру?
«ч.т.д.» - поймет, закрашенный квадрат - не общепринятое обозначение, мне кажется
@@trushinbv спасибо
Приветствую, Борис! Давно и с большим интересом наблюдаю за Вашим творчеством - пользуюсь случаем поблагодарить за это!
По предмету этого выступления: не следует ли дополнить Ваше доказательство объяснением факта равенства углов при основании равнобедренного треугольника?
Можно сослаться на то, что равнобедренный треугольник при симметрии переходит в себя
Используем 1 чтобы доказать 2 и используем 2 чтобы доказать 1. Это неправильно!
Доказательство методом пристального вглядывания в картинку, по-моему, проще.
То что сумма двух других сторон больше третьей и вправду очевидно, а вот факт про углы уже не так очевиден. Кстати, попробуйте методом пристального взгляда решить задачку из последнего видео на моем канале.
А вот в обратную сторону (что из меньшего угла следует что и сторона меньше) следовало бы более подробно показать. Т.к. в общем случае из прямого утверждения не следует что обратное тоже верно.
пусть a,b,c - стороны, A,B,C - углы против них.
Без потери общности a
В данном случае это не прямое и обратное утверждение, а одно и то же. Пример: если доказано, что А>B, не нужно дополнительно доказывать, что B
@@ПендальфСерый-б3м Нет, тут доказано что из A ("угол больше") СЛЕДУЕТ B ("сторона больше"). Но обратное в общем случае не верно, и из B очень даже не обязательно будет следовать А,.
Слова "ну это очевидно" плохо работают в случае как сейчас, когда и изначально доказываемое утверждение тоже в общем-то было очевидным, но его решили доказать строгим образом. Тут следовало проявить последовательность и идти до конца: ничто не очевидно пока не будет доказано.
@@Felinaro А, извиняюсь, не правильно понял комментарий.
@@Felinaro ну в данном случае с меньшей стороной нет смысла доказывать т.к. оно просто аналогично с большей
Есть тре-к возьмем меньшую сторону и продлим ее пока она не станет равна боковой, ну а далее так же через суммы углов доказываем, что на против нее наименьший угрол
4:43 посмеялся с замкнутости системы теорем:)
А разве при док-ве про неравенство нельзя упомянать, что если одна сторона длинней другой, то две остальные стороны, даже если они будут лежать на одной и той же прямой вместе с длинной этой, всё равно не будут дотягивать до конца? Будет не треугольник, а отрезок, причём два, но лежащих на одной прямой
хорошее видео, помню, в 7 классе, кажется, именно в таком порядке мы провели доказательство. а можно ли пойти обратным ходом и вывести неравенство треугольника не ссылаясь на теорему о большем угле ?
Можно просто высоту провести и ясно,что гипотинузы будут больше,чем основания этих двух маленьких треугольников, соответственно и основание большого меньше суммы этих двух гипотинуз,если охото прям вообще по простому
А почему гипотенуза больше катета?
@@janovewaldner9762 из теоремы пифагора доказывается.
Пусть a^2+b^2=c^2. Заметим, что b^2>0.
Тогда a^2
на момент прохождения этой теорема школьники еще ничего не знают про теорему пифагора, она проходится позже
@@fullfungo, один из способов доказать теорему Пифагора -- через площади. Если Вы копнёте в понятие площади многоугольника, попытаясь разобраться в каждом моменте на уровне "а почему?", то заметите, что Ваше доказательство содержит частично замкнутый круг. Такие доказательства очень тонкие, так как они используют более мощные средства, а не такие простые, как отложение сторон, углов. Просто может получиться так, что теорема Пифагора, доказываемая с помощью понятия площади многоугольника использует в себе скрыто те самые отложения сторон, углов или чего-нибудь другого, что является простым средством. Но тогда зачем Вам такое доказательство, оно становится бесполезным, если для него самого нужны простые средства, которыми можно сразу доказать исходную теорему в видео
Можете привести доказательство основанное на факте, что при сумме двух сторон, меньше чем третья не существует угла при котором могут пересечься два отрезка на концах этого мнимого треугольника. Мне это кажется очевидным, но с точки зрения математики как это выглядит.
А теперь истинное испытание: доказать неравенство треугольника используя математическую индукцию.
Вы собираетесь вести индукцию по континуальному множеству?) Тут даже трансфинитная индукция не поможет)
@@vasily_maths потому и истинное испытание! Признаться, мне самому интересно, существует ли вообще способ провести индукцию по подобным множествам. Я могу представить чтоб она была возможна для рациональный чисел например, и каких-то других математических структурах. Думаю найду ответы когда буду знакомиться с вещественным анализом и топологией)
Недавно купил себе новый планшет xiaomi mi. Хожу на вышку! Предпочитаю решать методом tic tac toe. Хотел узнать какое приложение для быстрого набора посоветуете, Борис?
Люблю цветной графический интерфейс в приятной цветовой гамме, ну и чтоб удобно было сразу в паблик скинуть?
Почему нельзя доказывать так: 1) По определению прямой - это наименьше расстояние между любыми двумя точками. 2) меду двумя точками можно провести единственную прямую (аксиома евклидовой геометрии). Отсюда следует, что если треугольник - это геометрическая фигура с тремя вершинами, соединенными прямыми, значит, любая кривая, а также ломаная, соединяющая две вершины будет иметь длину всегда большую или равную, длине отрезка, части прямой, соединяющей вершины. Но если длина кривой будет равна отрезку, части прямой, она будет принадлежать прямой, т.к. через две точки можно провести единственную прямую (т.е. кривую с наименьшей длиной). Поэтому, сумма двух сторон (кривая в этом сблучае ломаная) не принадлежащая третьей стороне всегда будет иметь большую длину!
Как я понимаю, у прямой нет определения (это как "точка" и "лежать между" - неопределяемое понятие)
@@Arik_Averok у прямой должно быть определение и свойства в виде аксиом (или определений), чтобы отличать её от других кривых
@@Arik_Averok смешно
@@humaniora_for_all а какое определение прямой предложите вы? Если про то, что любая часть прямой - отрезок, то это не так, потому что отрезок - это часть прямой. Если про то, что длина отрезка меньше длины любой другой кривой, соединяющей две точки, то сначала надо разобраться, что такое длина. И с тем, что у прямой нет ширины надо разобраться. Кажется, Евклид предлагал определить, что прямая - это то, у чего есть длина но нет ширины (но это по очевидным причинам не правильно). Предложите свое определение (а заодно и определение точки)
@@Arik_Averok Прямая - пересечение двух плоскостей, точка - пересечение двух прямых.
Еще одно подтверждения, что школьной геометрии я не знаю. И скорее всего никогда не знал.
При этом задачи по геометри решать умел.
Печально.
Здравствуйте, Борис! Возникло недоразумение с моим другом, хотел бы задать вопрос, можно ли установить биекцию между плоскостью и прямой?
Можно
Circular dependence
Самый простой способ доказать неравенство треугольников по сторонам - сказать, что самое короткое расстояние между двумя точками - отрезок
Встретилась задача: "Выписаны 3 последовательных нечетных числа. Сложили их остатки при делении на 2022. Может ли получиться простое число. Подходит ли ответ -1, 1, 3?
Нет, этот ответ не подходит, потому что остатки равны 2021, 1, 3, в сумме дают 2025 - не простое.
Привет, Борь. Я тут смотрел недавно видео про производные... Как для ученика 8 класса не очень понятно откуда из функции берётся что ты там дальше пишешь... Можешь разобрать на пальцах для не очень сильных математиков производные...
Ну на пальцах производная функции - это её скорость роста. Вот едет машина. Расстояние от времени - это исходная функция, а скорость от времени - это её производная.
@@vasily_maths , спасибо
А нельзя доказать опираясь на то, что при сумме сторон равной третьей стороне это будет отрезок, а не треугольник (по сути углы при большей стороне равны нулю). Ну а если сумма меньше третьей, то вершины треугольника не стыкуются даже на прямой?)
Это интуитивное рассуждение, на основе здравого смысла и опыта. Но не доказательство в математическом смысле:) . На математическое доказательство есть определённые ограничения
@@nalnal9608 возможно, я потому и спросил)
Вы сейчас сложно пересказали аксиому: кратчайшее расстояние между двумя точками это прямая.
Одной этой аксиомы достаточно для доказательства.
@@alxsam505 жаль только нет такой аксиомы)))
@@nalnal9608 Да, действительно такой аксиомы нет. И даже определения прямой нет. Мы все умрём.
А разве неравенство треугольника не вытекает из циркуля просто?
«Вытекает из циркуля» это такой новый метод доказательства?
- Я тут нарисовал что-то. Выглядит как будто теорема.
- Ладно, фиг с ним, доказал.
@@fullfungo Sapienti sat
Интересует, почему с одной стороны произведение двух чисел можно интерпретировать как площадь прямоугольника, а с другой стороны можно интерпретировать как сторону одного из треугольника, подобного искомому. В первом случае добавляется размерность вроде как, в то время как во втором случае линия остаётся линией. Когда я задумываюсь над такими вещами, это взрывает мне мозг.
Вопрос, а можно ли использовать соображения непрерывности для доказательства теоремы Штейнера-Лемуса? Спасибо!
Когда евклидово пространство и всё вытекающее)))
Давно задумывался над этим вопросом. Я рассуждал так: пусть у нас есть сторона, длина которой больше суммы двух других. Проведем к ней высоту. Если немножко порассуждать, то можно прийти к выводу, что в одном из полученных треугольников катет больше гипотенузы, а это противоречит теореме Пифагора. Является ли это доказательство противоречивым? Вроде как при доказательстве теоремы Пифагора, неравенство треугольника нигде не используется
В теореме Пифагора неявно предполагается существование треугольника.
@@-wx-78- так и в этом доказательстве тоже предполагается существование треугольника. Никаких проблем не вижу.
Очень хотелось бы знать следующее!!!! В решении кубических уравнений способом Кардано нужно вводить подстановку x = y - a/3, а откуда она взялась? Расскажите пожалуйста
это есть уже ruclips.net/video/ecsSmmBY56Q/видео.html
Чтобы избавиться от x^2
Про 2 стороны в треугольнике больше третьей: разве надо доказывать, что прямая из точки а в точку b всегда короче кривой???
Ps. Треугольник ABC. Если предположить что AB + Bc = AC, то получиться не треугольник а отрезок просто. Хз. Все равно не понимаю нужно ли это доказывать
Если предположить, что одна сторона больше суммы двух других, то можно повернуть эти стороны, чтобы они лежали на большей стороне, и исходя из предположения, они не будут доставать друг до друга (либо соединятся, при равенстве суммы), но тогда исчезает и сам треугольник.
Как из того, что они не достают друг друга на стороне следует то, что они не могут достать друг друга снаружи? )
@@trushinbv кратчайшее расстояние - прямая, если не на прямой, то снаружи точно не получится
@@panfilovandrey то что "кратчайшее расстояние - прямая" - это следствие из неравенства треугольника
Этим нельзя пользоваться до того, как доказали неравенство )
@@trushinbv ок, тогда чертим окружности в вершинах радиусом соотв сторон, если они не пересекаются на стороне, то не пересекутся и в других точках
@@panfilovandreyа как вы это доказываете без неравенства треугольника? )
Что-то пошло не так! Часть концовки комментария выпало.
А хотелось мне узнать, возможно, существует более лаконичное или, если угодно, изящное/элегантное решение, исходя из обозначенного инструментария?
неравенство треугольника доказывается через факт, что кратчайшее расстояние между двумя точками - прямая
А как вы доказываете этот факт?
@@trushinbv Я думал, это определение прямой.
@@alxsam505 у прямой нет определения
@@trushinbv Беда-беда. Действительно нет.
@@trushinbv только в аксиоматическом подходе. Можно задать евклидову метрику и определить прямую как экстремальную ломаную, и доказать что она кратчайша. Или просто определить прямую как кратчайшее расстояние
По поводу дискриминанта. Как известно, математика бывает используется и в практических целях. Так вот загадка: какая самая простая практическая задача требует составить и решить квадратное уравнение? Предположительно информация в википедии ложна -- в древности квадратное уравнение не имело реальной пользы и рассматривалось просто как гимнастика ума. В любом случае было бы интересно решение этой загадки, как автором канала, так и его подписчиками! Цель доказать, что такое решение будет самым простым! СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! :-)
жду видео про формулу дискриминанта для произвольного многочлена !!!!
Жди...😀
Долго вам придется ждать... А пока ждёте, можете попробовать решить задачку из последнего видео на моем канале
Любой школьник знает, что неравенство треугольника - частный случай неравенства Коши-Буняковского. А его доказать - как два пальца
👍🏻👍🏻👍🏻
Доброе день у меня есть вопрос k=(h1-h2) (s1-s2) -1 mod n у меня есть h1 и h2 и s1 и s2 я не понемаю -1 mod n как получить k можете обяснить как вопше mod работать
Хотел бы узнать почему уравнение не может иметь корней больше чем высшая степень неизвестной переменной, не понимаю откуда это берется
А меня в такой ситуации мучил вопрос: Если высшая степень переменной, допустим, четвёртая, то количество корней равно 4 или не больше 4? Я к чему - если в квадратном уравнении дискриминант =0, то у уравнения 1 корень или 2?
@@Zlobny-Kotyara 1 корень, имеется в виду не больше чем ... корней
@@Zlobny-Kotyara Корней ровно столько, какова степень полинома - просто некоторые из них кратные.
Ну, есть следствие теоремы Безу, что если а -- корень многочлена P(x) то его можно представить в виде P(x)=Q(x)(x-a). Поэтому P(x) можно представить в виде P(x)=T(x)(x-a1)(x-a2)...(x-an) где числа а1, а2, ... , аn все корни многочлена. Отсюда получаем, что степень многочлена не меньше числа корней
@@Zlobny-Kotyara там всегда два корня потому что степень второй. Просто корень кратный, когда D = 0. Попытаешся сказать что корень один и получишь по ебле при разложении на множители. У тебя там должен получится полный квадрат. В школе любят говорить что корень один и это ошибка. Любой многочлен степени n всегда имеет n корней.
Что-то я не понял - а разве не будет самым простым доказательством, что сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей, то, что кратчайшим расстоянием между точками А и С является ПРЯМАЯ? (а не искривленный путь ABC)
Точнее отрезок, а не прямая. Но прямая является неопределяемым понятием, и поэтому мы как бы сразу не знаем, что отрезок - это кратчайшее расстояние. А так да, факт очевидный конечно.
Здорова, есть задачи алгебры которое решится с геометрическим способом?
я бы неравенство треугольника в предельном случае посмотрел AB+BC=AC (большая сторона) и получаем прямую. Если а AB+BC < AC треугольник вообще не получить точка расходится
А как доказать, что не получится? )
@@trushinbv интуитивно понятно. но как доказать... беру время на размышление.
@@4origamist Ну, как?
Борис, пожалуйста, у меня вопрос невпопад. Определено ли в математике числительное "несколько"? И чему оно тогда может быть равно? Каковы тут правила и какова практика использования этой меры?
В математических задачах «несколько» - это любое натуральное число
Неравенство треугольника можно доказать элементарно - кратчайшее путь между точками по прямой, все. Ну если более строго можно построить высоту, и воспользоваться тем что гипотенуза всегда больше катета.
Добрий день, я з України, нещодавно писав обласну олімпіаду, в якій зробив 1.5-2 завдання з 5, та хотів би побачити, як ви би розібрали її на своєму каналі. Хотів би дізнатись:куди можна вам надіслати її умову?
Зачем при доказательстве сумм двух сторон что то откладывать? Если и так понятно что прямая всегда короче кривой
Борис, здравствуйте, мне кажется интересной тема тригонометрических функций в 7 задании егэ, думаю, что кто то может это поддержать