Как найти объем. Принцип Кавальери | Ботай со мной
HTML-код
- Опубликовано: 23 мар 2019
- #БотайСоМной #050
Принцип Кавальери. Как найти объем:
- параллелепипеда, призмы, цилиндра;
- тетраэдра, пирамиды, конуса;
- шара.
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.ru/to/4100110176...
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
9 класс. Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 1-12): trushinbv.ru/ege11b
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/ege11c
11 класс. Подготовка к олимпиаде Физтех: trushinbv.ru/fizteh11
Другие курсы Фоксфорда: foxford.ru/library/courses?re...
Личный сайт: TrushinBV.ru
ЕГЭ и ОГЭ по математике | Борис Трушин: ege_trushin
Группа сайта TrushinBV.ru: trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа сайта: / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
RUclips-канал: / trushinbv
30 минут - доказательство того, что объясняют без доказательства в школе несколько месяцев. Аплодисменты стоя, Борис
@Oleg Neschadimov, через интеграл с погрешностями?) Мне казалось, что интеграл в точности выводит площадь той или иной фигуры. Если бесконечно тонкие прямоугольники просуммировать, то выйдет фигура, площадь которой стремится к искомой фигуре, подвергшейся разбиению на эти бесконечно малые прямоугольники по толщине. Погрешность будет, если говорить, что именно сумма этих маленьких прямоугольников равна площади нашей фигуры, а не стремится к ней. Мы понимаем, что если мы возьмём предел этого бесконечного суммирования, то он будет равен площади нашей фигуры при бесконечно большом разбиении. А найти предел того, куда стремится сама площадь бесконечно тонкого разбиения есть В ТОЧНОСТИ площадь нашей фигуры. Насколько я слышал, то строго это доказывается в ВУЗе, там ещё доказывается, что разбиение и суммирование не только стремится к площади нашей фигуры, но и её предел равен интегралу) Да и назвать БЕЗ ОСНОВАНИЙ (подчёркиваю) непонимающим человека, который преподавал в ФТ, занимался наукой, было бы странным. Вам разве не показалось, что он хотел, что бы мы просто прочувствовали то, откуда это берётся? Разве вывод через интеграл даст такое чувственное понимание и ощущение этих вещей?
в школе между темами заставляют решать задачи
Вообще-то не 30,а 29.50. Мы на канале математики или где, ёптваю?
@@BilyJean831 ну, не 29,50, тебе нужно ещё секунды перевести в минуты, будет 29,8(3) минут, если я правильно посчитала, конечно, время бесячее
10 лет преподаю математику, но настолько красивое и наглядное объяснение меня просто сразило. Спасибо!
Спустя год прослушал снова, как хороший художественный фильм пересмотрел! Жаль второй лайк 👍 не поставить.
Это были единственные полезные 30 минут за сегодня, спасибо!
как же я люблю, когда вы говорите "красиво, да?"🙂
Настолько просто и красиво, что можно включать в школьный курс. Великолепно объяснено. С Уважением!
так оно и есть школьной программе :/
@@kazekekassenov6840 Где оно в школьной программе? Мне никто ни разу это не доказывал (я в 11 классе)
Блин, смотрел про шар и аж как прозрел! Про 1/3 я знал, а вот загадочные 4/3 всегда интересовали.
Огромнейшая благодарность за объяснение! Теперь буду знать и смогу ребёнку объяснить, когда ему понадобится! А лучше покажу видео!
Когда за 15 минут (v 2х) видео узнал больше, чем за всю третью четверть на геометрии. Так интересно подать материал, вы просто нечто! Спасибо вам!
Аве Куристина, куда поступать будешь?
@@atfasa1004, на физтех пмф, скорее всего
@@ibrahimpasha3035 ух, красавчик, удачи🌚🍀
Куда поступил?
qwerty, на физтех (ФУПМ).
Как обычно и бывает: "ребята, запомните этот коэффициент и не вникайте откуда он взялся, вам это не нужно". Я иду в 11 класс в сентябре и кажется так и будет. Соглашусь, что класс у меня "глупенький" и они это точно не поймут, но мне это могут объяснить, поскольку знают, что я люблю сложности и люблю копаться в чём-то сложном для других для того, чтобы лучше понимать как устроен этот мир) Это действительно полезно знать - это развивает мышление, логику, понимание. Спасибо, Борис!
Многии коэфиценты в физике и химии появились потому что...потому что так померяли!!
То же число пи померяли
@@user-kw5fx9ix9x это шутка?)
@@fail_0112 нет.
Число пи =3.14.... бо таково соотношение, почему оно такое? Потому что так природой создано. И многие величины в физике/химии/математики именно померяли, почему они равны именно этим цифрам мы НЕ знаем и никогда не узнаем точно.... Это от природы так
@@user-kw5fx9ix9x Но его ведь математически вычислили, а не померяли) можно вычислить с любой точностью взяв вписанный и описанные многоугольники) хоть до миллионов знаков после запятой!
выведение объема шара - красота
Прекрасный ролик, я когда-то доказывал то же самое, но с помощью интегралов. А способ с конусом и полусферой оказался очень красив.
здраствуйте, можете ли посоветовать видео по доказательству чернз интегралл?
Здравствуйте, Борис! Это единственное краткое и интересное видео на ютубе, где так красиво выводятся эти формулы. Было бы невероятно здорово, если бы такое вышло и про площади. Заранее спасибо!
Оооооообалдеть!!!!!!! Суууупееер!!!!!!!!!!!!!!!
Блеск! Как Борис объясняет, это сказка! Я сам препод, понимаю как это сложно - объяснять просто, слушаю и наслаждаюсь! Супер!!!!! Спасибо! И дочке школьнице теперь есть что показать!
Три года прошло с момента, как я в первый раз посмотрел этот ролик.
Кстати, а про площади, вроде, так и не появился ролик.
Боряяя!!! Ты один из тех немногих самых лучших!!!!!!
Интеграл даёт результат, а Трушин - понимание человеческое! Спасибо! Thank you!
Офигеть, это гениально! Спасибо!
Просто волшебство какое то, а так даже и не скажешь что они равны, ай да принцип Ковальери, круто!!!
Мне больше всего понравился выведение объема шара. Очень интересная зависимость!!!!
Всё это знал, но забыл. Спасибо за видео! Вспомнил и теперь не забуду!
Спасибо!!!Круто...просто КРУТО!!!!!!!
29 минут удовольствия) спасибо большое!
Хорошо, что Трушин существует. Несколько дней понятное семикласснику объяснение искал.
Ты лучший... Готовлюсь к цт в свои 36, и поражаюсь, почему в школе мне так не объясняли...
господи, спасибо большое за этот ролик, у меня в тестовой части постоянно 8 задание хромала, теперь разобрался, благодаря этому видео...Благодарю!!
Борис, и ролик великолепный получился,
и вы великолепны, как обычно ! ‼️
Восхитительно!!!
Спасибо большое за ваши отличные видео из Германии.
Огромное спасибо!
Вы первый, с кем стало интересно учить математику. Спасибо вам большое, Борис
Крутое объяснение, спасибо большое!
Спасибо за видео. Очень помогло)))
Очень круто! Спасибо
Замечательное видео, жду разбор площадей! Спасибо Вам!
Дождались, Артур? Я что- то не нашла разбора площадей. Кто знает, по площадям поверхностей тоже видео есть? И про поверхность шара?
очень полезное видео! сразу стало все на свои места😉
Красота!)
И безо всякого там интегрирования. Изящно
Это гениально!!!
Благодарю Вас
Trushin the best!)
Не знаю, откуда этот стишок взяла наша учительница математики, но я его помню уже очень много лет:
«Объём же шара лаконичен,
И, как ни странно, гармоничен.
Звучит, как наш оркестр в клубе:
Четыре третьих пи эр в кубе»
Пользуйтесь, не благодарите :)
Давай вывод теоремы ПИКА
Ты про формулу Пика?
Отличный учитель
Борис, вы не могли бы, пожалуйста, записать про вычисление неопределённых интегралов будь-то способы взятия и тп.
Уж очень интересно было бы послушать об этом от вас, спасибо.
Это гениально
Ждем видео, где будет разобраны площади поверхностей!
Спасииибо!
Спасибо большое
Мне 33. За плечами два высших - магистратура экономическая и высшее техническое в области систем управления. Никогда не задумывался про доказательство "железных" формул, но оооочень понравилось видео про тонкости))))) Мне нужен был такой учитель по математике в школе!!!!! Молодец!
Огонь.!
Спасибо вам за прекрасный ролик Борис. Вы элементарно объяснили тему.
Вау, спасибо)
Вывод объема шара невероятно красивый!
Круто!!!
Супер)!
С шаром просто прекрасно, аплодирую стоя!
Я очень жду видео про поверхности! Когда в школе это объясняли пробовала сама это вывести, но немного не получилось
Красиво
Все отмечают красивую логику в выводе формулы обьема шара но по моему переход от обьема призмы к обьему конуса не менее хорош.
Борис Трушин расскажите пожалуйста про ряд Тейлора.
Спасибо Борис. Помню летом задался вопросом, как вывести объемы элементарных фигур, не используя интегралы. Сам решал эти старые задачи и придумал похожие методы (не хотелось смотреть в учебник, чтобы самому найти ответ на этот вопрос). Школьникам это уж точно полезно.
26:02
У меня чуть-чуть другая мысль возникла, если рассматривать половинку шарика и "воронку", образованную если из цилиндра выскребсти конус. ТО эти два объёма равны.
Т.е. площади в каждом сечении одинаковы.
Образующая у конуса (прямая) и кривая шара малосопостовимы, не так ли?
Когда Трушин сказал, про то, что объем имеет отношение к интегралу - мне стало очевидно :)
Вот бы мне в школе кто-нибудь хоть на одну треть так объяснял.
Жесть, круто с шаром
Объяснение объёма круга классное)
эх вот бы про площадь поверхности ролик
Спасибо за красивое объяснение.
А как насчёт объёма произвольной фигуры вращения :)
Хотелось бы услышать доказательство формулы площади круга.
Определенный интеграл в помощь)
Считаем доказанным, что для любой окружности отношение ее длины к радиусу постоянно и равно 2π. Т.е. L=2πR.
Разобьём круг на бесконечно малые кольца. Рассмотрим также треугольник с длиной основания L и высотой R, который тоже разобьём сечениями параллельно основанию. Каждому кольцу радиуса r и длины l=2πr можно сопоставить одно из сечений треугольника той же длины l. Тогда, по принципу Кавальери, площади круга и треугольника равны. Площадь треугольника находится как произведение длины его основания на половину высоты:
S=LR/2=2πR×R/2=πR²
Ее можно вывести на коленке за 5 минут
ну да. а площать поверхности шара отсюда очень просто получается. это даже в учебнике Киселёва есть! спасибо. Я именно в учебнике Киселёва принцип Кавальери нашёл, он для объема шара приведён в этом учебнике в приложении.
Лучший
Спасибо за видео Борис Викторович, как всегда на высоте.
Очень хотелось, чтоб вы рассказали про первообразную и интегралы, просто лично я не очень понимаю почему, площадь под графиком |v(t)| в координатах (v;t), за опр. промежуток времени, будет равна путю тела за этот промежуток времени.
так-же я не очень понимаю почему среднее арифметическое всех значений функции f(x), на определенном промежутке, в координатах (f(x),x), будет равна площади под графиком на этом участке, деленная на его длину.
У меня есть заготовки на видео про интеграл. На какие-то из этих вопросов оно ответит.
Борис Викторович,когда Вы каждый раз говорили "клякса" я орал на всю квартиру.
класс
Есть юбилейный 1000-й лайк! Наивно думал, что без интегрирования эти формулы не вывести.
ага, красиво!
очкруто, спасибо!
с 18:00 просто слушал голос, ничего не понятно но очень интересно
Нахождение объёма шара - ГЕНИАЛЬНО!!!!!
Какую задачу решал Кавальери придя к такому выводу (принципу)? И какая точная формулировка самого принципа?
Анша Абдуль!
🔥
Ооо, Спасибо Больше за такой разбор !!! Теперь я понимаю формулы, а не тупо заучиваю их !!
Хотелось бы увидеть ролик по формуле Пика. Просто, вы какая я понял, что не совсем честно ей пользоваться и мы её не понимаем.
Даёшь дискретную геометрию!
Добрый день! Как вычислить объем сложной фигуры (например орган человека), если известны площади параллельных сечений и высота фигуры. Применима ли формула: средняя арифметическая площадь сечения умноженная на высоту
В теории можно засунуть орган в сосуд с водой и отмерить на сколько поднялся уровень воды (h), и зa формулой (h × пи r²) узнать объем)
интеграл же
не понял на моменте 17:59 . как у одной и той же пирамиды может быть 2 основания?
Да уж, все оказывается, совсем не сложно
Спасибо вам, Борис Викторович
Наконец узнал как доказываются формулы объемов.. Не было этого в нашей программе. Спасибо! Все-таки считаю что современная программа обучения более сложна.
В современной программе вообще ничего не доказывают (
Здравствуйте, вы очень хорошо обьясняете, не могли бы вы сделать пожалуйста видео о 11 заданиях (ЕГЭ Мат. Профиль 2019), вообще не понимаю как что куда)))
подождите, а как же нерешенная задача о квадратуре круга? 8:52
Интересно, что объём и площадь поверхности шара связаны через производную:
(4/3 * πr³)' = 4πr²
А также площадь круга и длина окружности:
(π r²)' = 2πr
Можно это прокомментировать?
Справедливо ли это и для других фигур?
Вот это здОрово!!!!!
А ведь верно!
Что- то в этом есть!!!!
Но что???...
Мироздание не зря это сделало,
Математика- ( в лице _Vladimir Karpi)-это подметила.
Объяснить КАК???!!!
Без "ТРУШИНЫХ"-не обойтись...
Ждём обоснований-обьяснений.
Хотя интуитивно всё правильно.
Ускорение- скорость- путь.
Обьём- площадь- длина...
...Где Вы- НЬЮТОНЫ-ЛЕЙБНИЦЫ 21 века?!
Если подумать, то понятно почему.
Изменение объёма шара при каком-то маленьком изменении радиуса - это объём "сферы" с толстыми стенками, и он (примерно) равен площади поверхности настоящей сферы, умноженной на толщину "сферы", т.е. на изменение радиуса. Производная объёма шара относительно радиуса - это предел отношения изменения объёма к толщине, т.е. это и есть площадь поверхности.
ΔV = S * ΔR + o(ΔR), =>
S = (ΔV - o(ΔR))/ΔR =
= dV/dR .
Аналогично с кругом:
ΔS = C * ΔR + o(ΔR)
C = (ΔS - o(ΔR))/ΔR = dS/dR.
И понятно, что аналогично можно сделать и для других фигур: изменение объёма куба при маленьком изменении длины ребра - это объём "полого куба с толстыми стенками" (или как это называется). Объём этого "полого куба" - это площадь поверхности нормального куба на толщину этого "полого куба". Понятно, что толщина этого полого куба - половина изменения длины стороны.
Вот и получаем:
ΔV = S * (Δa/2)+ o(Δa/2)
S = (ΔV - o(Δa/2))/(Δa/2) =
= dV/d(a/2), т.е. производная объёма относительно половины длины ребра.
И это так и есть:
a³ = (2 * a/2)³ = 2³ * (a/2)³ = 8 (a/2)³
Обозначим x = a/2:
(8 x³)' = 8 * 3x² = 24 x² = 24 * (2x/2)² = 24/2² * (2x)² = 6 * (2x)² = 6a² - всё верно. Аналогично с квадратом.
Получил геометрический оргазм. Оказывается, всё так просто и логично. Вас бы клонировать и в каждую школу вести математику с такой страстью, пониманием и интересом.
Получил оргазм? Подрочил?
про объем шара гениально. так и думала, что есть простое объяснение откуда взялось 4/3. Кстати, аналогично можно объяснить про площади плоских фигур - площадь треугольника - это 1/2 высоту * на основание (так как прямоугольник разрезается на два треугольника), параллелограм - основание на высоту, трапеция - два основания, значит, берем их среднее арифметическое и умножаем на высоту и т.д.
не уж то новая веб камера?? Картинка четче стала
Смотря это видео я невольно вспоминаю очень точное высказывание Анатолия Дмитриевича Мышкиса в его лекциях по высшей математике: "Одной из отличительных черт высшей математики является универсальность, общность её методов. Рассмотрим, например, задачу о вычислении объёмов тел. Элементарная математика даёт формулы для вычисления объёмов призмы, пирамиды, конуса, цилиндра, шара и некоторых других простых тел. Для вывода каждой из этих формул требовалось отдельное рассуждение, иногда довольно сложное. В высшей же математике даются единые формулы для объёма любого тела, для длины любой линии, площади любой поверхности и т.п."
было ли на канале анонсированное видео про площади фигур?
Пока нет (
грек?
@@Spartakus111 кто? Вы о чем?
похоже я щас получил какие-то запретные знания
Коофициент Ашкаш Однотретьевич.
В конусе 1/3 , в полу-круге 2/3, а в цилиндре 3/3 S*h. Вау!