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sinの話からめっちゃ急展開で主題に飛んでびっくりした。やっぱオイラーはすごいな。
テーマも面白いし長ったるくなくわかりやすくて、嫌味っぽい口調もなくとてもいいチャンネルですね
ききささ さんとても嬉しいコメントありがとうございます。是非他の動画もご覧になってください。
学生時代に数学を諦めてしまった化学系人間ですが、当時この授業に出会いたかったです！これほど面白い数学の授業はありません。あらためて数学の魅力に引き込まれています。
めちゃくちゃわかりやすい説明でした。オイラーはこれを自分の頭で考えだしたのはやっぱり天才というのは違うなと思いました。
2倍速で聞いてるから「オイラー」が「オイラ」に聞こえて自分のこと言ってるみたいでおもろい。
この解説はいつにも増してわかりやすい
クイーンメイデン さんありがとうございます。
え、すごすぎてかこれ見つけるのも天才すぎてる
高校時代、こんなの見た事も聞いた事もなかったなあ。数の不思議ですね。解説も分かりやすくて面白かったです！
さらにこの式は素数とも繋がることを知った時には、言葉で表せない感動で友だちに言い回った。
素晴らしいです。このコーナーは現在の日本国の学習画面のなかで稀有の物です。鈴木先生ご健康に注意されて続けて頂きたい。先生のお話は、他の誰にも真似のできない説得力を持っているのが凄いのです！！たぶん、これも持って生まれた才能なのでしょうね
68ootani さんとても嬉しいコメントをありがとうございます。ただ、ちょっと褒めすぎですよ。
いや、そうじゃないです、私はむかし、子供の塾の参観で色々な先生の授業を見ていて、この先生は子供に教えるには、まだ理解の程度がどうかな？と思う場面を見て居ます。つまり子供はどのように理解するのかを理解していないのでは？と思う事が有りました。先生は、その辺を理解していおられる様に思います。理解の過程で、そもそも、どこで躓くのか？何処で考え違いをして居るのかが、分って居ない感じがしたのです。先生の講義はその辺が実に凄い、講義に、御自分の理解をなぞって居るので聴く者が理解し易いのかも知れませんね。話の中のチョットした言葉や表現が、理解の手掛かりを作るものですから。
とてもわかりやすく面白かったです。かつての天才達が、90年以上もの年月をかけて発見した解放が、たった10分で理解されてしまう。数学のロマンを感じました。
数学は長きに亘り、時代と国境、国籍、民族問わずに数多くの天才たちによって生み出されてきた神秘的で美しい領域であるのですね。数学がなぜ「マスマティックス（諸科学の母体）」と言われるのか、鈴木さんの分かりやすくて親しみやすい解説だからこそ、身に染みて痛感します。 頭の体操、数学力をあげる、数学の美しさに気付かせる意味で、とても価値ある動画だと思います。
嬉しいコメントをありがとうございます。
おもしろすぎるオイラー天才すぎたこういうとこ理解できると数学楽しい
いやーオイラー天才すぎる
早速拝見させていただきました。自然数と円周率は密接に関わっているように思いました。無限に存在する数と無理数という一見相対していそうな者同士が、唯一調和する点をオイラーは発見したのでしょう。そこに、素晴らしさを感じました。
岡田健二 さんご覧になってくださりありがとうございます。これなんかも面白いかと‥‥任意の自然数が互いに素である確率は、6/π^2 ruclips.net/video/l_rMXGNrrNc/видео.html
素晴らしい説明に感動しました。それにしても、オイラーの融通無碍な思考方法をみると、自分のような凡人が、いかに公式的、機械的思考、決まりきった思考にとらわれてしまっているかはっきり自覚させられます。これは学校教育で数学はなんでも公式的に解くものだと叩き込まれたせいかもあるかもしれません。また、天才というのは、しばしば、厳密さなど無視して思考するものだと思いました。厳密さは結果を得てから追求すればいいということなんでしょう。厳密さを追求するとまた新しい数学が生まれるのでしょう。それはそれでまた新しいステップの数学へ上がれるということで、数学というのは都合よく出来ていますね。あのＲ．Ｐ．フアインマンは、物理理論で難解な数学を駆使する時は、厳密さなどは数学者にまかせておけばいい、といつも学生に言っていたそうですね。
toohuudoo さんコメントありがとうございます。確かにこんな結論をよく発見したものですね。
定義の拡張とか、そもそもこうだから因数分解したらこうなるハズであるって考え方は知らなきゃできないですよね。試験に備えてあらゆる問題に手を出しとけば引き出しにしまっておけるけど、その引き出しにないことを問題にされたらどうにもならない。もちろん、解けないことはないかもですが、そんな解答は美しくもなんともないんですよね。
説明もわかりやすかったけど…天才の発想以外の何ものでもないわ…動画を見ながら「うわ〜…」とため息が漏れました
解法は鮮やかですし、結果も神秘的ですね。経緯は知らないんですが、憶測するに、この結果は問題ありきで解いたというよりは、偶発的に発見したのでは？マクローリン？が発見した多項式と、因数分解の式を比較して遊んでたら、急にお宝が出てきたみたいな。
付け加えれば、π^2そのものも円形とは無関係な超越数
Pineapple _ そうなん！へー
オレなら見逃しちゃうね 球の公式では表面積を積分すれば体積が出て、体積を微分すると表面積が出るので、そこから推測するとドーナッツ型の体積を微分すれば出てきそうではありますが、、、(どなたかエロい方教えてください、、
@@gunguniru5506 旧コメ返信すみません。ドーナツ型の立体において、原点Oを中心に回転する円oの半径をr、回転の半径をRとすると、体積V=2π²Rr²表面積S=4π²Rrとなります。つまりd/dr(V)=Sですね。証明は①:2π∫【oの上半分の軌跡】dx-2π∫【oの下半分の軌跡】dxでVを出します。（ここの積分ではx=rsinθで置換し、積分範囲を-r→rから-π/2→π/2に直します。）②:半径rの円の周上に点pを取り、その点からoに線分を引き、その線分とy軸のなす角をφとします。ここで原点から円oとy軸の交わった点までの距離はR-rcosφと表せ、点pからoを中心にΔφだけ回転した点と点pの間の弧がrΔφで表せるため、2π∫（R-rcosφ）r･dφでSを出します。③:①、②よりS=d/dr(V)を示して証明終了です。たらたらと長文、知識のひけらかし、諸々すみません。
パップスギュルタンの定理使うと、ドーナツは円盤を円形に回すので、円盤の面積がπr²、その中心の描く軌跡の計算でもπでてくるからπ²が出てくるのかな？間違ってたらごめんです
とても面白かったです。ありがとうございました。数学者になるという夢を諦めずに頑張ります
ありがとうございます。
文系の自分でも理解出来ましたほんとにわかり易すぎて感動しました😂😂目からウロコとはまさにこのことですね🤩
最新の貫太郎さんの動画ｕｐを経由して初見させてもらいました。説明のテンポがいいですね。５，６回のｒｅｓｕｍｅで理解できそうです 視覚効果が半端ない 聴いただけではとても理解できそうもない。貫太郎さんのｓｋｉｌｌにはあらためて驚嘆させられます。
改めてみました。大変分かりやすいです。
なるほどーよくわかりました。数学は25年前の大学受験にて終了だったけど、今でも十分に理解できる説明でした。感動ものですね。
ありがとうございます。是非、他の動画もご覧ください。
いま浪人してます。数学への勉強の意欲がものすごく上がりました。ありがとうございます。最後はトリハダもんでした
katayu 俺もやがんばろ
つまり、この式で円周率の計算ができるということか。
@Polalice Alvireo Music Channel これでするくらいなら、オイラー積表示した状態でやった方がまだ速いですね。試しに20番目の素数くらいまで計算しましたが、3.13…となりまぁまぁ早いです。それでもラマヌジャンの公式使った方が効率はいいと思いますが…
Σ1/n^2=Π1/1-1/p^2=π^2/6 (p 素数)自然数、素数、円周率、さらに1/6の部分にネイピア数が関わってきて、数学上の重要の数が一つの等式になっている。個人的にe^iπ=-1よりも美しい式だと思いますオイラー積表示の話も絡めたらもっと面白い話になったと思います👀
学生時代に買った現代数学百科（矢野健太郎著）を見ながら三角関数の級数展開を追っかけて見ましたが見事ですね。説明を聞けば「なるほど！」と納得できるのですが、これを発見したオイラーの慧眼には敬服するばかりです。 ただ、この世紀の大発見もニュートン（とライプニッツ）の微分法が無ければ発見できなかったことを考えると彼らの偉大さが今更ながら再認識できますね。それと高校で習う三角関数で突如ラジアン（弧度法）が登場し「なんで？」とか「°でいいじゃん！」なんて思ったけど、こういう結末が待ってたとは！…と納得できるのは理系の大学に入るか独学でやるかしかないんですね残念ですが。
加護志摩雄 さん弧度法については2つ動画を作っています。最初のはあまり再生されなかったので2つ目を作りました。最初のは、「中学生の知識でオイラーの公式を理解しよう」の一部です。できれば、このシリーズ全編を観ていただきたいです。ruclips.net/video/O5BLVlYgonc/видео.html vol.1ruclips.net/video/wjLU1ruuz5E/видео.html Vol.7 弧度法を使う訳
久々に見に来たけどやっぱり面白いし、わかりやすい。視聴者からの質問に答えるコーナーみたいなものでライブ配信でもして見たらいかがですか？
もうサムネだけで大好き
中学生でもわかるオイラーの公式を全て拝見したので、中学生でも、この動画は簡単に理解出来ました
オイラーシリーズ観てくださってありがとうございます。
視力失ってから言った名言イケメンすぎた
いきなり答えに飛んで三度見くらいしてしまいましたw素晴らしい解説ありがとうございます！
文系なのですが、大学で教養の数学を履修したら内容が数Ⅲの微積でした。マクローリン展開も習いましたが、当時は使い所がよく分からず。。この動画で理解が深まりました。
証明が美しくて感動しました
おもしろいです！大学でも数学やりたくなりました！！
自分用メモ👏。☆ 2周目→ sinx ＝【マクローリン展開】🔜【因数定理で因数分解】🔜【1次の項の係数に着目して特殊変形】🔜【3次の項の係数比較】-1/3!＝-1/π² {1/1²+1/2²+1/3³+ •••••••••••••••••• } ⇔ 1/1²+1/2²+1/3³+ •••••••••••••••••• ＝ π²/6 ❣️🙌🉐オイラーの発想の素晴らしさが、♡貫太郎さんの動画によって、リアルに 再現されている。
オイラーめっちゃ天才やんって思ったのと同時にこのおっちゃん教えるの天才すぎやん！ってなったわw
これ思いついたとかオイラー天才かよ... 天才か...
マクローリンの話めちゃくちゃわかりやすかったです
ご覧くださりありがとうございます。同じ内容を「東大美女」のもっちゃんと面白おかしく、でも真面目な内容なのがこちらです。でんがんとヨビノリを脇に添えてもっちゃんとバーゼル問題を解く！ ruclips.net/video/A3HMN4j0jBw/видео.html
すげえ結果は知ってたけど、分かるの諦めていた10分ちょっとで鮮やかに分かってしまった！
otabegoro さんありがとうございます。お役に立てて幸いです。
ホワイトボード消すときかなり消し憎そう､､､ 新しいの買ってあげたい
たいへん面白く、驚きに満ちた動画でした。鈴木先生、もし可能でしたら、正弦関数のテイラー展開と等値された因数分解型関数、f(x)= x(1-x/π)(1+x/π)(1-x/2π)(1+x/2π)……の方も、関数表示アプリで実際に見せていただけませんか。別の動画で見た40因数の40次関数くらいで。煩雑で大変だと思いますが。
ついでですが、f(X)=x(x-π)(x+π)(x-2π)(x+2π)……の方はどんな形に表示されるのでしょう？これは正弦曲線にはならないのですよね？
13πまでやったら、±10(3π)位までsinカーブ描きました。
Pyrope Garnet sinの定数倍やない？
先生の動画はよく見させて頂いていますが、今さらながらこちらを初めて見ましたこの式はうっすらと知っていましたが、全く関係なさそうなπって数字が出て来るので正直疑ってましたけど今回動画を見て本当に驚きました！ビックリしましたが真実なんですね…！数学の深淵さに触れられたような衝撃です 発見したオイラーもさぞや驚いたことでしょう
元々sinＸをＸの整式として表すという行為は一般にn次の整式f(x)をx-aの整式として表すという事を考えたのちに、f(x)=sinＸ,a=0としたらどの様な整式となるかを考えると言った前段階があるわけです！それでは、n次の整式f(x)をx-aの整式として表してみることにしましょう！C1〜Cnを定数とし、n次の整式f(x)をx-aの整式で表してみる…f(x)=C0+C1(x-a)^1+C2(x-a)^2+C3(x-a)^3+・・・+Ck(x-a)^k+・・・+Cn(x-a)^n とするとC1〜Cnまでの値を全て求めるために次の様にする…x=aの時(x-a)=0だから、余計な部分が消えて、f(a)=C0=f(a)となる。f(x)をxのついて微分すると…f’(x)=C1/1!+(C2/2)(x-a)^1+(C3/3)(x-a)^2+・・・+(Ck/k)(x-a)^(k-1)+・・・+(Cn/n)(x-a)^(n-1)であるから今度もx=aの時(x-a)=0だから、余計な部分が消えて、f’(a)=1!*C1⇔C1=f’(a)となる。同様に、C2を求めてみよう！f”(x)=2!*C2+{3*2*C3}(x-a)^1+・・・+{k(k-1)Ck}(x-a)^(k-2)+・・・+{n(n-1)Cn}(x-a)^(n-2)であるので、又もやx=aの時(x-a)=0だから、式が綺麗になり、f”(a)=2!*C2⇔C2=f”(a)/2!となるさらにC3を求めて見ましょう！ところで、関数f(x)の1回微分はf’(x)、2回微分はf”(x)と書くが、3回微分は’や”を書く位置(prime/ダッシュを書く位置)に’’’と書く代わりに(3)と書くのが一般的であるのだが、記述上コメント欄だと分かりにくくなると思われるので、’”の様にその数分だけ書くことにする。f’”(x)=3!*C3+・・・+{k(k-1)(k-2)Ck}(x-a)^(k-3)+・・・+{n(n-1)(n-2)Cn}(x-a)^(n-3)であるやはりx=aの時余計な部分が消えて、f”’(a)=3!*C3⇔C3=f’”(a)/3!となるさらにC4を求めるためにf””(x)を出してx=aでC4が分かる、C5はf””’(x)を…とやりCnまで機能的に求めると…Ck=g(x)/k! ただしg(x)はf(x)のk回微分とする. となる。だから、n次の整式f(x)をx-aの整式で表すと、f(x)=f(a) +f’(a)*(x-a)^1 +{f”(a)/2!}(x-a)^2 +{f’”(a)/3!}(x-a)^3 +・・・+{g(x)/k!}(x-a)^k+・・・+{[f(x)のn回微分]/n!}(x-a)^n となる！この等式を用いるとxについてのn次方程式 f(x)=0がx=aで2重解としてもつための条件、即ちある整式h(x)によって、 f(x)=h(x)*(x-a)^2 , h(a)≠0と表されるための条件は f(a)=0 , f’(a)=0 , f”(a)=0である事が分かるf(x)が整式でない場合でも、e^x(eはネイピア数/自然対数の底)やsin(x)などの関数は動画内でも説明があった通り、無限次()…の関数で表すことができる即ちその様なものf(x)をx-aの整式で表すと、f(x)=f(a) +f’(a)*(x-a)^1 +{f”(a)/2!}(x-a)^2 +{f’”(a)/3!}(x-a)^3 +・・・+{[f(x)のn回微分]/n!}(x-a)^n+・・・ といった様に無限級数の形で表される。またこれをf(x)のテイラー展開という。特にa=0の場合についてsin(x)のテイラー展開を求めると f(x)=sin(x)の時 f(x)を 2m-1回微分したものは(-1)^(m-1) cos(x), 2m回微分したものは(-1)^m sin(x)であり、それぞれx=0の時順に (-1)^(m-1) , 0 となるから、次のテイラー展開が得られる sin(x)=1/1! x-1/3! x^3-1/5! x^7+・・・ -①これが動画内で出て来たものですね…因みに同様のcos(x),e^xのテイラー展開を求めると cos(x)=1-1/2! x^2+1/4! x^4-1/6! x^6+・・・ -② e^x=1+x+1/2! x^2+1/3! x^3+・・・ -③となるここで i=√-1 として③のxにixを代入すると！ e^ix=1+ix+1/2! (ix)^2+1/3! (ix)^3+・・・+1/n! (ix)^n+・・・となる。自然数sに対し、i^sは i , -1 , -i , 1の値を繰り返すから、 e^ix=(1-1/2! x^2+1/4 x^4-1/6! x^6+・・・)+i(x-1/3! x^3+1/5! x^5-1/7! x^7+・・・)となおせる。よって①②より e^ix=cos(x)+i*sin(x) -④ ↑ 極形式④をオイラーの公式という。 特にx=πとおくと e^iπ=-1 即ち e^iπ+1=0 となる。ーーーーーーーーーーーーーXーーーーーーーーーーーーーーXーーーーーーーーーーーーー「A^B」は「AのB乗」、「A*B」は「A×B」という事である。分数の部分が見にくくてすみません！これで合ってますよね？？？自分はまだ高校生になっていませんが8歳の頃に父に教わりました！？www
文系な私はエクセルで計算させましたわ。 600まで計算すると3.14、1611迄で3.141、10677迄で3.1415 参りました。 計算得意なオイラーは「円周率関係あり」の目算があったかも。
そうらしいです。
先生のおススメで拝聴致しましたが、実に面白かったです。まさか数学が面白いと感じられるなんて！医学部だったので、大学入学後は全く数学を使いませんでした。嫌いなままで一生終わらず良かったです。
ご覧くださりありがとうございます。これはちょっと長いですが、お分かりのところは飛ばしつつご覧頂けたらと思います。人類の至宝e^iπ=-1を理解するシリーズです。ruclips.net/p/PLFrlW-Y5LqlZ3GtrzuiMVZnjFXbpmG3YM
おもしろい！チャンネル登録しました！もっとたくさん動画をあげて欲しいです
electrill さんありがとうございます。是非他の動画もご覧になって下さい。今後も出来るだけ興味を引いてもらえる動画の作成を心がけてまいります。
解法を思いつくことはできないけれども、示された解法なら理解することができる。それが私の数学の楽しみ方です。過去の偉人の業績にただただ感嘆の声をあげるのみです。
ご覧下さりありがとうござます。この問題の解法を思い付けるのはオイラー、ガウス等の数学史に名を残すような天才のみでしょう。私は理解するのが精一杯です。
途中からついていけなくなってしまいました！もっと勉強して理解できるようになりたいです。それにしても鈴木先生の説明はシンプルでわかりやすく為になります！
わかりやすい
blue cat さんありがとうございます。
ㅑ
出来ればもっと広いホワイトハウスボードを使い、これまでの計算式をなるべく消さないで欲しいなぁ。ついていけない時に立ち戻りたい。
これなんかの参考書のコラム的なんに載ってた気がする、難しそうだから飛ばしたけど、今回わかってよかった、ありがとうございます😊
まだ完全に微積を理解してない自分でもわかった気になれる。物凄い動画に出会えた気がします。
sinxの関数がxの無限次の多項式で表せると言えるのは何故かが分からなかったあと途中で円周率のπとラジアンのπが混同されてるように見えてこんがらがってしまった
円周率のπとラジアンのπは全く同一のものなので混同しようのないものです。
こちらをご覧ください。弧度法を使う理由 ruclips.net/video/f1Mby9Hk8Ug/видео.html
凄いですね……前半のSinxの微分しつつ各数字を出していく考え方に驚きました聞いて分かっていくだけでも楽しいです♪これからも頑張ってください(最近見始めました(｀・ω・´)ゝ)
元々sinＸをＸの整式として表すという行為は一般にn次の整式f(x)をx-aの整式として表すという事を考えたのちに、f(x)=sinＸ,a=0としたらどの様な整式となるかを考えると言った前段階があるわけです！それでは、n次の整式f(x)をx-aの整式として表してみることにしましょう！C1〜Cnを定数とし、n次の整式f(x)をx-aの整式で表してみる…f(x)=C0+C1(x-a)^1+C2(x-a)^2+C3(x-a)^3+・・・+Ck(x-a)^k+・・・+Cn(x-a)^n とするとC1〜Cnまでの値を全て求めるために次の様にする…x=aの時(x-a)=0だから、余計な部分が消えて、f(a)=C0=f(a)となる。f(x)をxのついて微分すると…f’(x)=C1/1!+(C2/2)(x-a)^1+(C3/3)(x-a)^2+・・・+(Ck/k)(x-a)^(k-1)+・・・+(Cn/n)(x-a)^(n-1)であるから今度もx=aの時(x-a)=0だから、余計な部分が消えて、f’(a)=1!*C1⇔C1=f’(a)となる。同様に、C2を求めてみよう！f”(x)=2!*C2+{3*2*C3}(x-a)^1+・・・+{k(k-1)Ck}(x-a)^(k-2)+・・・+{n(n-1)Cn}(x-a)^(n-2)であるので、又もやx=aの時(x-a)=0だから、式が綺麗になり、f”(a)=2!*C2⇔C2=f”(a)/2!となるさらにC3を求めて見ましょう！ところで、関数f(x)の1回微分はf’(x)、2回微分はf”(x)と書くが、3回微分は’や”を書く位置(prime/ダッシュを書く位置)に’’’と書く代わりに(3)と書くのが一般的であるのだが、記述上コメント欄だと分かりにくくなると思われるので、’”の様にその数分だけ書くことにする。f’”(x)=3!*C3+・・・+{k(k-1)(k-2)Ck}(x-a)^(k-3)+・・・+{n(n-1)(n-2)Cn}(x-a)^(n-3)であるやはりx=aの時余計な部分が消えて、f”’(a)=3!*C3⇔C3=f’”(a)/3!となるさらにC4を求めるためにf””(x)を出してx=aでC4が分かる、C5はf””’(x)を…とやりCnまで機能的に求めると…Ck=g(x)/k! ただしg(x)はf(x)のk回微分とする. となる。だから、n次の整式f(x)をx-aの整式で表すと、f(x)=f(a) +f’(a)*(x-a)^1 +{f”(a)/2!}(x-a)^2 +{f’”(a)/3!}(x-a)^3 +・・・+{g(x)/k!}(x-a)^k+・・・+{[f(x)のn回微分]/n!}(x-a)^n となる！この等式を用いるとxについてのn次方程式 f(x)=0がx=aで2重解としてもつための条件、即ちある整式h(x)によって、 f(x)=h(x)*(x-a)^2 , h(a)≠0と表されるための条件は f(a)=0 , f’(a)=0 , f”(a)=0である事が分かるf(x)が整式でない場合でも、e^x(eはネイピア数/自然対数の底)やsin(x)などの関数は動画内でも説明があった通り、無限次()…の関数で表すことができる即ちその様なものf(x)をx-aの整式で表すと、f(x)=f(a) +f’(a)*(x-a)^1 +{f”(a)/2!}(x-a)^2 +{f’”(a)/3!}(x-a)^3 +・・・+{[f(x)のn回微分]/n!}(x-a)^n+・・・ といった様に無限級数の形で表される。またこれをf(x)のテイラー展開という。特にa=0の場合についてsin(x)のテイラー展開を求めると f(x)=sin(x)の時 f(x)を 2m-1回微分したものは(-1)^(m-1) cos(x), 2m回微分したものは(-1)^m sin(x)であり、それぞれx=0の時順に (-1)^(m-1) , 0 となるから、次のテイラー展開が得られる sin(x)=1/1! x-1/3! x^3-1/5! x^7+・・・ -①これが動画内で出て来たものですね…因みに同様のcos(x),e^xのテイラー展開を求めると cos(x)=1-1/2! x^2+1/4! x^4-1/6! x^6+・・・ -② e^x=1+x+1/2! x^2+1/3! x^3+・・・ -③となるここで i=√-1 として③のxにixを代入すると！ e^ix=1+ix+1/2! (ix)^2+1/3! (ix)^3+・・・+1/n! (ix)^n+・・・となる。自然数sに対し、i^sは i , -1 , -i , 1の値を繰り返すから、 e^ix=(1-1/2! x^2+1/4 x^4-1/6! x^6+・・・)+i(x-1/3! x^3+1/5! x^5-1/7! x^7+・・・)となおせる。よって①②より e^ix=cos(x)+i*sin(x) -④ ↑ 極形式④をオイラーの公式という。 特にx=πとおくと e^iπ=-1 即ち e^iπ+1=0 となる。ーーーーーーーーーーーーーXーーーーーーーーーーーーーーXーーーーーーーーーーーーー「A^B」は「AのB乗」、「A*B」は「A×B」という事である。分数の部分が見にくくてすみません！途中から雑談に入ってしまいましたが、結局何が言いたいかというとあのsin(x)の式変形？はテイラー展開というものです！因みに自分はまだ高校生になっていませんが、父が大学数学の関係者であるが為に、色々と聞いて覚えてしまった感じですw
フィボナッチ 数学を美学として捉えている者からしたら至高的な展開要素で満ち溢れた、ゴッホの向日葵の様で美しく印象が強く残ります笑笑
何回見ても惚れ惚れする
πはただの円周÷直径ではなく、普遍的に存在している何かを表しているのかもしれないですね。πとはいったい何なんだろうか。
これ見て気になったんですがsinやcosはどんなきっかけで生まれたんですか？何かの答えを探してて見つけたものですか？それとも何かの答えを求めるために作り出した定義(?)の１つですか？
初回受講です👍️。
Kさんのおっしゃるとおり 無限の問題は素人の及ぶところではありますまい。しかし 鈴木先生の説明で 数学の美しさ楽しさを味わうことができ ありがたいかぎり。高校生のころに鈴木先生に出会っていれば。。。と思う中高年者は 私だけではありますまい。鈴木貫太郎はペンネームですか。著書やご講演があれば どうぞお知らせください。
Kohme Konisch さん嬉しいコメントありがとうございます。本名です。著書や講演があるような人物ではありません。数学とは関係のないもう一つの趣味(数学もかつては塾講師だったので商売道具でしたが、今は単なる趣味の一つです)ロードバイクでの家族旅行のブログならございます。「家族で行こう自転車の旅」 kantaro1966.net/blog-entry-1.html
素朴な疑問です。自然数の二乗の逆数和はπ²/6、奇数の二乗の逆数和はπ²/8に収束しますが素数の二乗の逆数和はどんな値に収束するのでしょうか。
そもそも素数の出現律さえわかってないので。
8:16あたりからのxの係数を1にしてあげるための手続きがなぜそうなるのかよくわからないので教えてくださる方いませんか。
こちらを見てみてください。でんがんとヨビノリを脇に添えてもっちゃんとバーゼル問題を解く！ ruclips.net/video/A3HMN4j0jBw/видео.html
ありがとうございます！🙏
分かりやすい！
みそしるゼリー さんありがとうございます。
すごすぎる。数学ってのは、深い思考と、それと同等の発見の学問なんだ！ とすら思いました。
関口京 さんご覧になってくださりありがとうございます。是非、他の動画もご視聴下さい。
3連続コメ申し訳ありません、聞きたいことの種類が別で💦09:07辺りの2つの式が同じと考えられるのが自分にはよく分かってなくて……ここが厳密には証明出来てないところということでしょうか
ご覧下さりありがとうございます。2つの式が同じであることを証明するのにオイラー自身も10年近くかかった程の難題なので、おっしゃる通り、この動画の内容は厳密な証明にはなっていないということです。
動画の冒頭の和の式lim(n→∞)が抜けてますよ。
数弱の俺でもこんな難しい問題が理解できちゃうんだからすごい
自然数の二乗の逆数の和にπが現れる事すら凡人の私には想像も出来ないのに、その答えをSINから求める！この発想はどこからくるんだ？天才の思考はスゴイの一言に尽きる
cos x=x^2/2!+x^4/4!+x^6/6!+…は成り立つのですか？ふと疑問に思いました
こちらをご覧下さい。天才オイラーが解決した問題。奇数の平方の逆数の和にπが登場 ruclips.net/video/D5Sfqk1bEsg/видео.html
ありがとうございます！
高一ですが途中まで理解出来て鈴木先生凄いと思いました！！ですがsinXなぜをx(x-π)(x+π)(x-2π)(x+2π)･･･ に因数分解出来るのかが分からなくてついていけなくなっちゃいました。
±nπ でx軸と交わるから、x(x−π)(x+π)(x−2π)(x+2π)‥‥と因数分解したいところだけど、それだと展開したときにxの1次の係数が合わない。なので一工夫した。その点はもう一度動画をご覧ください。
因数分解の式を変形するとき、無限に発散する係数で割っていいのかな、まだ高校生だからわからないけど
まじでこの人に大学での数学習いたかった………
秋元裕介 さん嬉しいコメントをありがとうございます。
ん？これ基本高校数学内容だと思うんだけど。難関系だと、マクローリンぐらいまでは知識として知っとくといいことあるし。
かなぶん お、おう。。。
@@23nhiro84 ワイは一次近似を使わせる入試問題は見たことあるけど２次近似はないなぁ…ましてマクローリンの定理なんてどこで使うんや？
かなぶん エアプすぎて草
円とは無関係なのにπが出てくるのは弧度法を採用しているからだと思います三角関数の位相の部分を変数Xとしてとってあるのでこのπは円周率のことではなくて180°の意味だと思うんですが単位をつけるとしたらπラジアンになるんじゃないでしょうか
πラジアンのπも円周率ですよ。
@@kantaro1966 単位円180°分の円周の長さですからもちろんそうなります角度を単位円の円周の長さで表そうと決めたのが弧度法ですから
@@lyricospinto8940 この式に登場するπも円周率のπです。
@@kantaro1966 360°法を採用したとしてもsinxを微分するときに円周率のπが出てくるんですね
@@lyricospinto8940 こちらをご覧下さい。ruclips.net/video/f1Mby9Hk8Ug/видео.html
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I ordered my son to translate in English
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Ho WaiKeong My son’s video Japanese Mathematics Olympic Question 2016 数学オリンピックruclips.net/video/6CVQ6eNg0Bg/видео.html
Ho WaiKeong This is also my sonJr. Japan Mathematics Olympiad 1st roundruclips.net/video/iZWbO1fMoI8/видео.html
教えの巧さ、ただ者じゃないな？
多項式から発想が始まるのか……
sinの階乗のとこやばいなぁ…
これは高校生に見てもらいたい。
sinxを微分すると何故cosxになるのか教えていただけませんか？？
こちらをご覧ください。→ 弧度法を使う理由ruclips.net/video/f1Mby9Hk8Ug/видео.html
まだ高校生ですが、タメになりました
影山優佳 さんご覧になってくださり、また、嬉しいコメントをありがとうございます。
これは、nが無限大まで近づくときに成り立つということですか？
そうです。
@@kantaro1966ありがとうごさいます。
なぜx=0を代入するのかよくわまりません、誰か教えてください
xは変数で何を代入しても構わないから、aを求めるためにx=0、を代入しました。普通の一次関数 y=ax+b でもxに0を代入してbを求めるのと同じです
鈴木貫太郎 なるほど、ありがとうございます！
虚数 さんもしよろしければ、こちらをご覧下さい。同じ内容をより楽しく理解できるかもしれません。でんがんとヨビノリを脇に添えてもっちゃんとバーゼル問題を解く！ ruclips.net/video/A3HMN4j0jBw/видео.html
鈴木貫太郎 ご丁寧にありがとうございます。拝見させて頂きました。数学はやはり面白いですね☺️
全然わかんない、、最初のsinxの展開ってx=0のとき成り立つようにしか定めてなくないですか？その式を使って一次の係数が合うようにしただけの式と係数比較して出してるの論理の飛躍にしか感じないです、、もちろん自分の頭が足りてないだけなのはわかっているのですが、、
y=ax+bがあったときx=0でbが求まるやろ。このときbは定数やからx=0以外の時でもbの値は変化しないちゅうことや。
いやーわかりやすい
4割ぐらい理解できた。学生時代なら完璧に理解できたかな
すいません、sinの時点でもうダメです。やはりこの辺りの前提知識は必要ですね。
バーゼル問題ですね。美しいです。
テイラー展開でしたっけ？やさしい理系数学でやった気がする、、、
なんとなーくわかりました
大学一年生の前期数学単位はこれでもらいよ
方形波の数式に良く似てますね
このことを考えようとしてsinx持ち出したなら頭おかしいけど、sinxいじってる時にたまたまこれが出来たってなら納得いく。
ゼータ関数絡みの問題は多いなぁ
なんで有理数の和なのに無理数ができるんだろうすげぇなぁ
eも一つ一つの項は有理数ですね。
x(x-π)(x+π)(x-2π)(x+2π)……①からx(1-x/π)(1+x/π)(1-x/2π)(1+x/2π)……②になるのがわからないx(1-π/x)(1+π/x)(1-2π/x)(1+2π/x)……←こうじゃないの？二番目の式の方を作ろうとする意図はわかるけどどうして①から②になるのか誰か無知な我に救いを
隻眼の猫 さん①を②にしたのではなく、x=nπで0になり、展開した時にxの一次の係数が1になるように工夫して②が出てきたのです。
鈴木貫太郎 ①と②は別物として考えて大丈夫なんでしょうか？
はい。➀はx=nπでゼロになるなら、という発想で真っ先に思いつく式、ただそれではxの一次の係数が合わない。じゃーということで②の式に至ったということです。
鈴木貫太郎 そういった意味の工夫だったのですね理解できましたもう、大学も中退して勉強というものから離れた自分でも気になって見てしまいますもっと、早くこのチャンネルに出会いたかったですこれからも、動画楽しみにしてます！
大学中退ですか！仲間ですね！
このsinxを多項式で表すことをテイラー展開って言うのですか？
Alan Smithee そうですね。厳密に言えば、x=0のときでのテイラー展開なので、マクローリン展開と呼ばれるものです。
最後「おぉー！」ってなった！
お菓子好きなルーミア さんありがとうございます。是非、他の動画もご覧になってください。
これはnの値が∞に近づくほど1/1²＋1/2²＋1/3²＋1/4²･･･1/n²の値がπ²/6に近づくということですか、、？ごめんなさい理解力のないクズで、、、
そうです。ただ、「無限に近づく」という表現はあまりよろしくないかと‥‥近づくというとゴールがありそうで、無限とは文字通り限りが無いので永遠に大きくなり続ける。
鈴木貫太郎 なるほど！講義の内容、理解することが出来ました！！とても興味深い講義をありがとうございました！言葉の表現についてのご指摘もありがとうございます！今後数学の本質に触れ、根本的理解をするうちにそういう違和感を無くしていけたらと思います。
ほほ～うまい！
sinの話からめっちゃ急展開で主題に飛んでびっくりした。やっぱオイラーはすごいな。
テーマも面白いし長ったるくなくわかりやすくて、嫌味っぽい口調もなくとてもいいチャンネルですね
ききささ さん
とても嬉しいコメントありがとうございます。是非他の動画もご覧になってください。
学生時代に数学を諦めてしまった化学系人間ですが、当時この授業に出会いたかったです！
これほど面白い数学の授業はありません。あらためて数学の魅力に引き込まれています。
めちゃくちゃわかりやすい説明でした。オイラーはこれを自分の頭で考えだしたのはやっぱり天才というのは違うなと思いました。
2倍速で聞いてるから「オイラー」が「オイラ」に聞こえて自分のこと言ってるみたいでおもろい。
この解説はいつにも増してわかりやすい
クイーンメイデン さん
ありがとうございます。
え、すごすぎ
てかこれ見つけるのも天才すぎてる
高校時代、こんなの見た事も聞いた事もなかったなあ。数の不思議ですね。解説も分かりやすくて面白かったです！
さらにこの式は素数とも繋がることを知った時には、言葉で表せない感動で友だちに言い回った。
素晴らしいです。このコーナーは現在の日本国の学習画面のなかで稀有の物です。鈴木先生ご健康に注意されて続けて頂きたい。先生のお話は、他の誰にも真似のできない説得力を持っているのが凄いのです！！たぶん、これも持って生まれた才能なのでしょうね
68ootani さん
とても嬉しいコメントをありがとうございます。ただ、ちょっと褒めすぎですよ。
いや、そうじゃないです、私はむかし、子供の塾の参観で色々な先生の授業を見ていて、この先生は子供に教えるには、まだ理解の程度がどうかな？と思う場面を見て居ます。つまり子供はどのように理解するのかを理解していないのでは？と思う事が有りました。先生は、その辺を理解していおられる様に思います。理解の過程で、そもそも、どこで躓くのか？何処で考え違いをして居るのかが、分って居ない感じがしたのです。先生の講義はその辺が実に凄い、講義に、御自分の理解をなぞって居るので聴く者が理解し易いのかも知れませんね。話の中のチョットした言葉や表現が、理解の手掛かりを作るものですから。
とてもわかりやすく面白かったです。かつての天才達が、90年以上もの年月をかけて発見した解放が、たった10分で理解されてしまう。数学のロマンを感じました。
数学は長きに亘り、時代と国境、国籍、民族問わずに数多くの天才たちによって生み出されてきた神秘的で美しい領域であるのですね。
数学がなぜ「マスマティックス（諸科学の母体）」と言われるのか、鈴木さんの分かりやすくて親しみやすい解説だからこそ、身に染みて痛感します。 頭の体操、数学力をあげる、数学の美しさに気付かせる意味で、とても価値ある動画だと思います。
嬉しいコメントをありがとうございます。
おもしろすぎる
オイラー天才すぎた
こういうとこ理解できると数学楽しい
いやーオイラー天才すぎる
早速拝見させていただきました。
自然数と円周率は密接に関わっているように思いました。
無限に存在する数と無理数という一見相対していそうな者同士が、唯一調和する点をオイラーは発見したのでしょう。
そこに、素晴らしさを感じました。
岡田健二 さん
ご覧になってくださりありがとうございます。これなんかも面白いかと‥‥
任意の自然数が互いに素である確率は、6/π^2 ruclips.net/video/l_rMXGNrrNc/видео.html
素晴らしい説明に感動しました。それにしても、
オイラーの融通無碍な思考方法をみると、自分のような凡人
が、いかに公式的、機械的思考、決まりきった思考にとらわ
れてしまっているかはっきり自覚させられます。
これは学校教育で数学はなんでも公式的に解くものだと叩き込まれた
せいかもあるかもしれません。
また、天才というのは、しばしば、厳密さなど無視して思考する
ものだと思いました。厳密さは結果を得てから追求すればいい
ということなんでしょう。厳密さを追求するとまた新しい
数学が生まれるのでしょう。それはそれでまた新しいステップの数学
へ上がれるということで、数学というのは都合よく出来ていますね。
あのＲ．Ｐ．フアインマンは、物理理論で難解な数学を駆使する時は、
厳密さなどは数学者にまかせておけばいい、といつも学生に言ってい
たそうですね。
toohuudoo さん
コメントありがとうございます。確かにこんな結論をよく発見したものですね。
定義の拡張とか、そもそもこうだから因数分解したらこうなるハズであるって考え方は知らなきゃできないですよね。
試験に備えてあらゆる問題に手を出しとけば引き出しにしまっておけるけど、その引き出しにないことを問題にされたらどうにもならない。
もちろん、解けないことはないかもですが、そんな解答は美しくもなんともないんですよね。
説明もわかりやすかったけど…天才の発想以外の何ものでもないわ…動画を見ながら「うわ〜…」とため息が漏れました
解法は鮮やかですし、結果も神秘的ですね。
経緯は知らないんですが、憶測するに、この結果は問題ありきで解いたというよりは、偶発的に発見したのでは？
マクローリン？が発見した多項式と、因数分解の式を比較して遊んでたら、急にお宝が出てきたみたいな。
付け加えれば、π^2そのものも円形とは無関係な超越数
Pineapple _ そうなん！へー
オレなら見逃しちゃうね 球の公式では表面積を積分すれば体積が出て、体積を微分すると表面積が出るので、そこから推測するとドーナッツ型の体積を微分すれば出てきそうではありますが、、、(どなたかエロい方教えてください、、
@@gunguniru5506
旧コメ返信すみません。
ドーナツ型の立体において、原点Oを中心に回転する円oの半径をr、回転の半径をRとすると、
体積V=2π²Rr²
表面積S=4π²Rr
となります。
つまりd/dr(V)=Sですね。
証明は
①:2π∫【oの上半分の軌跡】dx-2π∫【oの下半分の軌跡】dxでVを出します。（ここの積分ではx=rsinθで置換し、積分範囲を-r→rから-π/2→π/2に直します。）
②:半径rの円の周上に点pを取り、その点からoに線分を引き、その線分とy軸のなす角をφとします。ここで原点から円oとy軸の交わった点までの距離はR-rcosφと表せ、点pからoを中心にΔφだけ回転した点と点pの間の弧がrΔφで表せるため、2π∫（R-rcosφ）r･dφでSを出します。
③:①、②よりS=d/dr(V)を示して証明終了です。
たらたらと長文、知識のひけらかし、諸々すみません。
パップスギュルタンの定理使うと、ドーナツは円盤を円形に回すので、円盤の面積がπr²、その中心の描く軌跡の計算でもπでてくるからπ²が出てくるのかな？間違ってたらごめんです
とても面白かったです。
ありがとうございました。
数学者になるという夢を諦めずに頑張ります
ありがとうございます。
文系の自分でも理解出来ました
ほんとにわかり易すぎて感動しました😂😂
目からウロコとはまさにこのことですね🤩
ありがとうございます。
最新の貫太郎さんの動画ｕｐを経由して初見させてもらいました。説明のテンポがいいですね。
５，６回のｒｅｓｕｍｅで理解できそうです 視覚効果が半端ない 聴いただけではとても理解できそうもない。貫太郎さんのｓｋｉｌｌにはあらためて驚嘆させられます。
改めてみました。大変分かりやすいです。
なるほどーよくわかりました。数学は25年前の大学受験にて終了だったけど、今でも十分に理解できる説明でした。感動ものですね。
ありがとうございます。是非、他の動画もご覧ください。
いま浪人してます。数学への勉強の意欲がものすごく上がりました。ありがとうございます。最後はトリハダもんでした
katayu
俺もやがんばろ
つまり、この式で円周率の計算ができるということか。
@Polalice Alvireo Music Channel これでするくらいなら、オイラー積表示した状態でやった方がまだ速いですね。試しに20番目の素数くらいまで計算しましたが、3.13…となりまぁまぁ早いです。それでもラマヌジャンの公式使った方が効率はいいと思いますが…
Σ1/n^2=Π1/1-1/p^2=π^2/6 (p 素数)
自然数、素数、円周率、さらに1/6の部分にネイピア数が関わってきて、数学上の重要の数が一つの等式になっている。
個人的にe^iπ=-1よりも美しい式だと思います
オイラー積表示の話も絡めたらもっと面白い話になったと思います👀
学生時代に買った現代数学百科（矢野健太郎著）を見ながら三角関数の級数展開を追っかけて見ましたが見事ですね。
説明を聞けば「なるほど！」と納得できるのですが、これを発見したオイラーの慧眼には敬服するばかりです。
ただ、この世紀の大発見もニュートン（とライプニッツ）の微分法が無ければ発見できなかったことを考えると彼らの偉大さが今更ながら再認識できますね。それと高校で習う三角関数で突如ラジアン（弧度法）が登場し「なんで？」とか「°でいいじゃん！」なんて思ったけど、こういう結末が待ってたとは！…と納得できるのは理系の大学に入るか独学でやるかしかないんですね残念ですが。
加護志摩雄 さん
弧度法については2つ動画を作っています。最初のはあまり再生されなかったので2つ目を作りました。最初のは、「中学生の知識でオイラーの公式を理解しよう」の一部です。できれば、このシリーズ全編を観ていただきたいです。
ruclips.net/video/O5BLVlYgonc/видео.html vol.1
ruclips.net/video/wjLU1ruuz5E/видео.html Vol.7 弧度法を使う訳
久々に見に来たけどやっぱり面白いし、わかりやすい。
視聴者からの質問に答えるコーナーみたいなものでライブ配信でもして見たらいかがですか？
もうサムネだけで大好き
中学生でもわかるオイラーの公式を全て拝見したので、中学生でも、この動画は簡単に理解出来ました
オイラーシリーズ観てくださってありがとうございます。
視力失ってから言った名言イケメンすぎた
いきなり答えに飛んで三度見くらいしてしまいましたw
素晴らしい解説ありがとうございます！
文系なのですが、大学で教養の数学を履修したら内容が数Ⅲの微積でした。
マクローリン展開も習いましたが、当時は使い所がよく分からず。。
この動画で理解が深まりました。
証明が美しくて感動しました
おもしろいです！
大学でも数学やりたくなりました！！
自分用メモ👏。☆ 2周目→ sinx ＝【マクローリン展開】🔜【因数定理で因数分解】
🔜【1次の項の係数に着目して特殊変形】🔜【3次の項の係数比較】
-1/3!＝-1/π² {1/1²+1/2²+1/3³+ •••••••••••••••••• } ⇔ 1/1²+1/2²+1/3³+ •••••••••••••••••• ＝ π²/6 ❣️🙌
🉐オイラーの発想の素晴らしさが、♡貫太郎さんの動画によって、リアルに 再現されている。
ありがとうございます。
オイラーめっちゃ天才やんって思ったのと同時にこのおっちゃん教えるの天才すぎやん！ってなったわw
これ思いついたとかオイラー天才かよ...
天才か...
マクローリンの話めちゃくちゃわかりやすかったです
ご覧くださりありがとうございます。同じ内容を「東大美女」のもっちゃんと面白おかしく、でも真面目な内容なのがこちらです。
でんがんとヨビノリを脇に添えてもっちゃんとバーゼル問題を解く！ ruclips.net/video/A3HMN4j0jBw/видео.html
すげえ
結果は知ってたけど、分かるの諦めていた
10分ちょっとで鮮やかに分かってしまった！
otabegoro さん
ありがとうございます。お役に立てて幸いです。
ホワイトボード消すときかなり消し憎そう､､､ 新しいの買ってあげたい
たいへん面白く、驚きに満ちた動画でした。
鈴木先生、もし可能でしたら、正弦関数のテイラー展開と等値された因数分解型関数、
f(x)= x(1-x/π)(1+x/π)(1-x/2π)(1+x/2π)……
の方も、関数表示アプリで実際に見せていただけませんか。
別の動画で見た40因数の40次関数くらいで。煩雑で大変だと思いますが。
ついでですが、
f(X)=x(x-π)(x+π)(x-2π)(x+2π)……
の方はどんな形に表示されるのでしょう？
これは正弦曲線にはならないのですよね？
13πまでやったら、±10(3π)位までsinカーブ描きました。
Pyrope Garnet sinの定数倍やない？
先生の動画はよく見させて頂いていますが、今さらながらこちらを初めて見ました
この式はうっすらと知っていましたが、全く関係なさそうなπって数字が出て来るので正直疑ってました
けど今回動画を見て本当に驚きました！
ビックリしましたが真実なんですね…！
数学の深淵さに触れられたような衝撃です
発見したオイラーもさぞや驚いたことでしょう
元々sinＸをＸの整式として表すという行為は一般にn次の整式f(x)をx-aの整式として表すという事を考えたのちに、f(x)=sinＸ,a=0としたらどの様な整式となるかを考えると言った前段階があるわけです！
それでは、n次の整式f(x)をx-aの整式として表してみることにしましょう！
C1〜Cnを定数とし、n次の整式f(x)をx-aの整式で表してみる…
f(x)=C0+C1(x-a)^1+C2(x-a)^2+C3(x-a)^3+・・・+Ck(x-a)^k+・・・+Cn(x-a)^n とすると
C1〜Cnまでの値を全て求めるために次の様にする…
x=aの時(x-a)=0だから、余計な部分が消えて、f(a)=C0=f(a)となる。
f(x)をxのついて微分すると…
f’(x)=C1/1!+(C2/2)(x-a)^1+(C3/3)(x-a)^2+・・・+(Ck/k)(x-a)^(k-1)+・・・+(Cn/n)(x-a)^(n-1)であるから
今度もx=aの時(x-a)=0だから、余計な部分が消えて、f’(a)=1!*C1⇔C1=f’(a)となる。
同様に、C2を求めてみよう！
f”(x)=2!*C2+{3*2*C3}(x-a)^1+・・・+{k(k-1)Ck}(x-a)^(k-2)+・・・+{n(n-1)Cn}(x-a)^(n-2)であるので、
又もやx=aの時(x-a)=0だから、式が綺麗になり、f”(a)=2!*C2⇔C2=f”(a)/2!となる
さらにC3を求めて見ましょう！ところで、関数f(x)の1回微分はf’(x)、2回微分はf”(x)と書くが、
3回微分は’や”を書く位置(prime/ダッシュを書く位置)に’’’と書く代わりに(3)と書くのが一般的であるのだが、記述上コメント欄だと分かりにくくなると思われるので、’”の様にその数分だけ書くことにする。
f’”(x)=3!*C3+・・・+{k(k-1)(k-2)Ck}(x-a)^(k-3)+・・・+{n(n-1)(n-2)Cn}(x-a)^(n-3)である
やはりx=aの時余計な部分が消えて、f”’(a)=3!*C3⇔C3=f’”(a)/3!となる
さらにC4を求めるためにf””(x)を出してx=aでC4が分かる、C5はf””’(x)を…とやりCnまで機能的に求めると…
Ck=g(x)/k! ただしg(x)はf(x)のk回微分とする. となる。
だから、n次の整式f(x)をx-aの整式で表すと、
f(x)=f(a)
+f’(a)*(x-a)^1
+{f”(a)/2!}(x-a)^2
+{f’”(a)/3!}(x-a)^3
+・・・+{g(x)/k!}(x-a)^k+・・・+{[f(x)のn回微分]/n!}(x-a)^n となる！
この等式を用いるとxについてのn次方程式
f(x)=0がx=aで2重解としてもつための条件、即ちある整式h(x)によって、
f(x)=h(x)*(x-a)^2 , h(a)≠0
と表されるための条件は
f(a)=0 , f’(a)=0 , f”(a)=0
である事が分かる
f(x)が整式でない場合でも、e^x(eはネイピア数/自然対数の底)やsin(x)などの関数は
動画内でも説明があった通り、無限次()…の関数で表すことができる
即ちその様なものf(x)をx-aの整式で表すと、
f(x)=f(a)
+f’(a)*(x-a)^1
+{f”(a)/2!}(x-a)^2
+{f’”(a)/3!}(x-a)^3
+・・・+{[f(x)のn回微分]/n!}(x-a)^n+・・・
といった様に無限級数の形で表される。またこれをf(x)のテイラー展開という。
特にa=0の場合についてsin(x)のテイラー展開を求めると
f(x)=sin(x)の時
f(x)を 2m-1回微分したものは(-1)^(m-1) cos(x), 2m回微分したものは(-1)^m sin(x)
であり、それぞれx=0の時順に (-1)^(m-1) , 0 となるから、次のテイラー展開が得られる
sin(x)=1/1! x-1/3! x^3-1/5! x^7+・・・ -①
これが動画内で出て来たものですね…
因みに同様のcos(x),e^xのテイラー展開を求めると
cos(x)=1-1/2! x^2+1/4! x^4-1/6! x^6+・・・ -②
e^x=1+x+1/2! x^2+1/3! x^3+・・・ -③
となる
ここで i=√-1 として③のxにixを代入すると！
e^ix=1+ix+1/2! (ix)^2+1/3! (ix)^3+・・・+1/n! (ix)^n+・・・
となる。自然数sに対し、i^sは i , -1 , -i , 1の値を繰り返すから、
e^ix=(1-1/2! x^2+1/4 x^4-1/6! x^6+・・・)+i(x-1/3! x^3+1/5! x^5-1/7! x^7+・・・)
となおせる。
よって①②より
e^ix=cos(x)+i*sin(x) -④
↑
極形式
④をオイラーの公式という。 特にx=πとおくと
e^iπ=-1 即ち e^iπ+1=0 となる。
ーーーーーーーーーーーーーXーーーーーーーーーーーーーーXーーーーーーーーーーーーー
「A^B」は「AのB乗」、「A*B」は「A×B」という事である。
分数の部分が見にくくてすみません！
これで合ってますよね？？？
自分はまだ高校生になっていませんが8歳の頃に父に教わりました！？www
文系な私はエクセルで計算させましたわ。 600まで計算すると3.14、1611迄で3.141、10677迄で3.1415 参りました。 計算得意なオイラーは「円周率関係あり」の目算があったかも。
そうらしいです。
先生のおススメで拝聴致しましたが、実に面白かったです。
まさか数学が面白いと感じられるなんて！
医学部だったので、大学入学後は全く数学を使いませんでした。
嫌いなままで一生終わらず良かったです。
ご覧くださりありがとうございます。これはちょっと長いですが、お分かりのところは飛ばしつつご覧頂けたらと思います。人類の至宝e^iπ=-1を理解するシリーズです。
ruclips.net/p/PLFrlW-Y5LqlZ3GtrzuiMVZnjFXbpmG3YM
おもしろい！
チャンネル登録しました！もっとたくさん動画をあげて欲しいです
electrill さん
ありがとうございます。是非他の動画もご覧になって下さい。今後も出来るだけ興味を引いてもらえる動画の作成を心がけてまいります。
解法を思いつくことはできないけれども、示された解法なら理解することができる。
それが私の数学の楽しみ方です。
過去の偉人の業績にただただ感嘆の声をあげるのみです。
ご覧下さりありがとうござます。この問題の解法を思い付けるのはオイラー、ガウス等の数学史に名を残すような天才のみでしょう。私は理解するのが精一杯です。
途中からついていけなくなってしまいました！もっと勉強して理解できるようになりたいです。それにしても鈴木先生の説明はシンプルでわかりやすく為になります！
わかりやすい
blue cat さん
ありがとうございます。
ㅑ
出来ればもっと広いホワイトハウスボードを使い、
これまでの計算式をなるべく消さないで欲しいなぁ。
ついていけない時に立ち戻りたい。
これなんかの参考書のコラム的なんに載ってた気がする、難しそうだから飛ばしたけど、今回わかってよかった、ありがとうございます😊
まだ完全に微積を理解してない自分でもわかった気になれる。物凄い動画に出会えた気がします。
sinxの関数がxの無限次の多項式で表せると言えるのは何故かが分からなかった
あと途中で円周率のπとラジアンのπが混同されてるように見えてこんがらがってしまった
円周率のπとラジアンのπは全く同一のものなので混同しようのないものです。
こちらをご覧ください。
弧度法を使う理由 ruclips.net/video/f1Mby9Hk8Ug/видео.html
凄いですね……前半のSinxの微分しつつ各数字を出していく考え方に驚きました
聞いて分かっていくだけでも楽しいです♪
これからも頑張ってください(最近見始めました(｀・ω・´)ゝ)
元々sinＸをＸの整式として表すという行為は一般にn次の整式f(x)をx-aの整式として表すという事を考えたのちに、f(x)=sinＸ,a=0としたらどの様な整式となるかを考えると言った前段階があるわけです！
それでは、n次の整式f(x)をx-aの整式として表してみることにしましょう！
C1〜Cnを定数とし、n次の整式f(x)をx-aの整式で表してみる…
f(x)=C0+C1(x-a)^1+C2(x-a)^2+C3(x-a)^3+・・・+Ck(x-a)^k+・・・+Cn(x-a)^n とすると
C1〜Cnまでの値を全て求めるために次の様にする…
x=aの時(x-a)=0だから、余計な部分が消えて、f(a)=C0=f(a)となる。
f(x)をxのついて微分すると…
f’(x)=C1/1!+(C2/2)(x-a)^1+(C3/3)(x-a)^2+・・・+(Ck/k)(x-a)^(k-1)+・・・+(Cn/n)(x-a)^(n-1)であるから
今度もx=aの時(x-a)=0だから、余計な部分が消えて、f’(a)=1!*C1⇔C1=f’(a)となる。
同様に、C2を求めてみよう！
f”(x)=2!*C2+{3*2*C3}(x-a)^1+・・・+{k(k-1)Ck}(x-a)^(k-2)+・・・+{n(n-1)Cn}(x-a)^(n-2)であるので、
又もやx=aの時(x-a)=0だから、式が綺麗になり、f”(a)=2!*C2⇔C2=f”(a)/2!となる
さらにC3を求めて見ましょう！ところで、関数f(x)の1回微分はf’(x)、2回微分はf”(x)と書くが、
3回微分は’や”を書く位置(prime/ダッシュを書く位置)に’’’と書く代わりに(3)と書くのが一般的であるのだが、記述上コメント欄だと分かりにくくなると思われるので、’”の様にその数分だけ書くことにする。
f’”(x)=3!*C3+・・・+{k(k-1)(k-2)Ck}(x-a)^(k-3)+・・・+{n(n-1)(n-2)Cn}(x-a)^(n-3)である
やはりx=aの時余計な部分が消えて、f”’(a)=3!*C3⇔C3=f’”(a)/3!となる
さらにC4を求めるためにf””(x)を出してx=aでC4が分かる、C5はf””’(x)を…とやりCnまで機能的に求めると…
Ck=g(x)/k! ただしg(x)はf(x)のk回微分とする. となる。
だから、n次の整式f(x)をx-aの整式で表すと、
f(x)=f(a)
+f’(a)*(x-a)^1
+{f”(a)/2!}(x-a)^2
+{f’”(a)/3!}(x-a)^3
+・・・+{g(x)/k!}(x-a)^k+・・・+{[f(x)のn回微分]/n!}(x-a)^n となる！
この等式を用いるとxについてのn次方程式
f(x)=0がx=aで2重解としてもつための条件、即ちある整式h(x)によって、
f(x)=h(x)*(x-a)^2 , h(a)≠0
と表されるための条件は
f(a)=0 , f’(a)=0 , f”(a)=0
である事が分かる
f(x)が整式でない場合でも、e^x(eはネイピア数/自然対数の底)やsin(x)などの関数は
動画内でも説明があった通り、無限次()…の関数で表すことができる
即ちその様なものf(x)をx-aの整式で表すと、
f(x)=f(a)
+f’(a)*(x-a)^1
+{f”(a)/2!}(x-a)^2
+{f’”(a)/3!}(x-a)^3
+・・・+{[f(x)のn回微分]/n!}(x-a)^n+・・・
といった様に無限級数の形で表される。またこれをf(x)のテイラー展開という。
特にa=0の場合についてsin(x)のテイラー展開を求めると
f(x)=sin(x)の時
f(x)を 2m-1回微分したものは(-1)^(m-1) cos(x), 2m回微分したものは(-1)^m sin(x)
であり、それぞれx=0の時順に (-1)^(m-1) , 0 となるから、次のテイラー展開が得られる
sin(x)=1/1! x-1/3! x^3-1/5! x^7+・・・ -①
これが動画内で出て来たものですね…
因みに同様のcos(x),e^xのテイラー展開を求めると
cos(x)=1-1/2! x^2+1/4! x^4-1/6! x^6+・・・ -②
e^x=1+x+1/2! x^2+1/3! x^3+・・・ -③
となる
ここで i=√-1 として③のxにixを代入すると！
e^ix=1+ix+1/2! (ix)^2+1/3! (ix)^3+・・・+1/n! (ix)^n+・・・
となる。自然数sに対し、i^sは i , -1 , -i , 1の値を繰り返すから、
e^ix=(1-1/2! x^2+1/4 x^4-1/6! x^6+・・・)+i(x-1/3! x^3+1/5! x^5-1/7! x^7+・・・)
となおせる。
よって①②より
e^ix=cos(x)+i*sin(x) -④
↑
極形式
④をオイラーの公式という。 特にx=πとおくと
e^iπ=-1 即ち e^iπ+1=0 となる。
ーーーーーーーーーーーーーXーーーーーーーーーーーーーーXーーーーーーーーーーーーー
「A^B」は「AのB乗」、「A*B」は「A×B」という事である。
分数の部分が見にくくてすみません！
途中から雑談に入ってしまいましたが、結局何が言いたいかというとあのsin(x)の式変形？はテイラー展開というものです！
因みに自分はまだ高校生になっていませんが、父が大学数学の関係者であるが為に、色々と聞いて覚えてしまった感じですw
フィボナッチ 数学を美学として捉えている者からしたら至高的な展開要素で満ち溢れた、ゴッホの向日葵の様で美しく印象が強く残ります笑笑
何回見ても惚れ惚れする
πはただの円周÷直径ではなく、普遍的に存在している何かを表しているのかもしれないですね。πとはいったい何なんだろうか。
これ見て気になったんですがsinやcosはどんなきっかけで生まれたんですか？
何かの答えを探してて見つけたものですか？
それとも何かの答えを求めるために作り出した定義(?)の１つですか？
初回受講です👍️。
Kさんのおっしゃるとおり 無限の問題は素人の及ぶところではありますまい。しかし 鈴木先生の説明で 数学の美しさ楽しさを味わうことができ ありがたいかぎり。高校生のころに鈴木先生に出会っていれば。。。と思う中高年者は 私だけではありますまい。鈴木貫太郎はペンネームですか。著書やご講演があれば どうぞお知らせください。
Kohme Konisch さん
嬉しいコメントありがとうございます。本名です。著書や講演があるような人物ではありません。
数学とは関係のないもう一つの趣味(数学もかつては塾講師だったので商売道具でしたが、今は単なる趣味の一つです)ロードバイクでの家族旅行のブログならございます。
「家族で行こう自転車の旅」 kantaro1966.net/blog-entry-1.html
素朴な疑問です。
自然数の二乗の逆数和はπ²/6、奇数の二乗の逆数和はπ²/8に収束しますが素数の二乗の逆数和はどんな値に収束するのでしょうか。
そもそも素数の出現律さえわかってないので。
8:16あたりからのxの係数を1にしてあげるための手続きがなぜそうなるのかよくわからないので教えてくださる方いませんか。
こちらを見てみてください。でんがんとヨビノリを脇に添えてもっちゃんとバーゼル問題を解く！ ruclips.net/video/A3HMN4j0jBw/видео.html
ありがとうございます！🙏
分かりやすい！
みそしるゼリー さん
ありがとうございます。
すごすぎる。
数学ってのは、深い思考と、それと同等の発見の学問なんだ！ とすら思いました。
関口京 さん
ご覧になってくださりありがとうございます。是非、他の動画もご視聴下さい。
3連続コメ申し訳ありません、聞きたいことの種類が別で💦
09:07辺りの2つの式が同じと考えられるのが自分にはよく分かってなくて……ここが厳密には証明出来てないところということでしょうか
ご覧下さりありがとうございます。2つの式が同じであることを証明するのにオイラー自身も10年近くかかった程の難題なので、おっしゃる通り、この動画の内容は厳密な証明にはなっていないということです。
動画の冒頭の和の式
lim(n→∞)
が抜けてますよ。
数弱の俺でもこんな難しい問題が理解できちゃうんだからすごい
自然数の二乗の逆数の和にπが現れる事すら凡人の私には想像も出来ないのに、その答えをSINから求める！この発想
はどこからくるんだ？天才の思考はスゴイの一言に尽きる
cos x=x^2/2!+x^4/4!+x^6/6!+…は成り立つのですか？ふと疑問に思いました
こちらをご覧下さい。
天才オイラーが解決した問題。奇数の平方の逆数の和にπが登場 ruclips.net/video/D5Sfqk1bEsg/видео.html
ありがとうございます！
高一ですが途中まで理解出来て鈴木先生凄いと思いました！！
ですがsinXなぜをx(x-π)(x+π)(x-2π)(x+2π)･･･ に因数分解出来るのかが分からなくてついていけなくなっちゃいました。
±nπ でx軸と交わるから、x(x−π)(x+π)(x−2π)(x+2π)‥‥と因数分解したいところだけど、それだと展開したときにxの1次の係数が合わない。なので一工夫した。その点はもう一度動画をご覧ください。
因数分解の式を変形するとき、無限に発散する係数で割っていいのかな、
まだ高校生だからわからないけど
まじでこの人に大学での数学習いたかった………
秋元裕介 さん
嬉しいコメントをありがとうございます。
ん？これ基本高校数学内容だと思うんだけど。難関系だと、マクローリンぐらいまでは知識として知っとくといいことあるし。
かなぶん お、おう。。。
@@23nhiro84
ワイは一次近似を使わせる入試問題は見たことあるけど２次近似はないなぁ…ましてマクローリンの定理なんてどこで使うんや？
かなぶん エアプすぎて草
円とは無関係なのにπが出てくるのは弧度法を採用しているからだと思います
三角関数の位相の部分を変数Xとしてとってあるので
このπは円周率のことではなくて180°の意味だと思うんですが
単位をつけるとしたらπラジアンになるんじゃないでしょうか
πラジアンのπも円周率ですよ。
@@kantaro1966
単位円180°分の円周の長さですからもちろんそうなります
角度を単位円の円周の長さで表そうと決めたのが弧度法ですから
@@lyricospinto8940
この式に登場するπも円周率のπです。
@@kantaro1966
360°法を採用したとしてもsinxを微分するときに円周率のπが出てくるんですね
@@lyricospinto8940
こちらをご覧下さい。ruclips.net/video/f1Mby9Hk8Ug/видео.html
Cant i request translation? I cant understand i need english. You video is not only intended for Japanese. But for everyone
I ordered my son to translate in English
@@kantaro1966 i like your content
Ho WaiKeong
My son’s video Japanese Mathematics Olympic Question 2016 数学オリンピックruclips.net/video/6CVQ6eNg0Bg/видео.html
Ho WaiKeong
This is also my son
Jr. Japan Mathematics Olympiad 1st roundruclips.net/video/iZWbO1fMoI8/видео.html
教えの巧さ、ただ者じゃないな？
多項式から発想が始まるのか……
sinの階乗のとこやばいなぁ…
これは高校生に見てもらいたい。
sinxを微分すると何故cosxになるのか教えていただけませんか？？
こちらをご覧ください。→ 弧度法を使う理由ruclips.net/video/f1Mby9Hk8Ug/видео.html
まだ高校生ですが、タメになりました
影山優佳 さん
ご覧になってくださり、また、嬉しいコメントをありがとうございます。
これは、nが無限大まで近づくときに成り立つということですか？
そうです。
@@kantaro1966ありがとうごさいます。
なぜx=0を代入するのかよくわまりません、誰か教えてください
xは変数で何を代入しても構わないから、aを求めるためにx=0、を代入しました。普通の一次関数 y=ax+b でもxに0を代入してbを求めるのと同じです
鈴木貫太郎 なるほど、ありがとうございます！
虚数 さん
もしよろしければ、こちらをご覧下さい。同じ内容をより楽しく理解できるかもしれません。
でんがんとヨビノリを脇に添えてもっちゃんとバーゼル問題を解く！ ruclips.net/video/A3HMN4j0jBw/видео.html
鈴木貫太郎 ご丁寧にありがとうございます。拝見させて頂きました。数学はやはり面白いですね☺️
全然わかんない、、最初のsinxの展開ってx=0のとき成り立つようにしか定めてなくないですか？その式を使って一次の係数が合うようにしただけの式と係数比較して出してるの論理の飛躍にしか感じないです、、もちろん自分の頭が足りてないだけなのはわかっているのですが、、
y=ax+bがあったときx=0でbが求まるやろ。このときbは定数やからx=0以外の時でもbの値は変化しないちゅうことや。
いやーわかりやすい
4割ぐらい理解できた。学生時代なら完璧に理解できたかな
すいません、sinの時点でもうダメです。やはりこの辺りの前提知識は必要ですね。
バーゼル問題ですね。美しいです。
テイラー展開でしたっけ？やさしい理系数学でやった気がする、、、
なんとなーくわかりました
大学一年生の前期数学単位はこれでもらいよ
方形波の数式に良く似てますね
このことを考えようとしてsinx持ち出したなら頭おかしいけど、sinxいじってる時にたまたまこれが出来たってなら納得いく。
ゼータ関数絡みの問題は多いなぁ
なんで有理数の和なのに無理数ができるんだろう
すげぇなぁ
eも一つ一つの項は有理数ですね。
x(x-π)(x+π)(x-2π)(x+2π)……①から
x(1-x/π)(1+x/π)(1-x/2π)(1+x/2π)……②になるのがわからない
x(1-π/x)(1+π/x)(1-2π/x)(1+2π/x)……←こうじゃないの？
二番目の式の方を作ろうとする意図はわかるけど
どうして①から②になるのか
誰か無知な我に救いを
隻眼の猫 さん
①を②にしたのではなく、x=nπで0になり、展開した時にxの一次の係数が1になるように工夫して②が出てきたのです。
鈴木貫太郎 ①と②は別物として考えて
大丈夫なんでしょうか？
はい。➀はx=nπでゼロになるなら、という発想で真っ先に思いつく式、ただそれではxの一次の係数が合わない。じゃーということで②の式に至ったということです。
鈴木貫太郎 そういった意味の工夫だったのですね
理解できました
もう、大学も中退して
勉強というものから離れた自分でも
気になって見てしまいます
もっと、早くこのチャンネルに出会いたかったです
これからも、動画楽しみにしてます！
大学中退ですか！仲間ですね！
このsinxを多項式で表すことをテイラー展開って言うのですか？
Alan Smithee そうですね。厳密に言えば、x=0のときでのテイラー展開なので、マクローリン展開と呼ばれるものです。
最後「おぉー！」ってなった！
お菓子好きなルーミア さん
ありがとうございます。是非、他の動画もご覧になってください。
これはnの値が∞に近づくほど1/1²＋1/2²＋1/3²＋1/4²･･･1/n²の値がπ²/6に近づくということですか、、？
ごめんなさい理解力のないクズで、、、
そうです。ただ、「無限に近づく」という表現はあまりよろしくないかと‥‥近づくというとゴールがありそうで、無限とは文字通り限りが無いので永遠に大きくなり続ける。
鈴木貫太郎
なるほど！講義の内容、理解することが出来ました！！とても興味深い講義をありがとうございました！
言葉の表現についてのご指摘もありがとうございます！今後数学の本質に触れ、根本的理解をするうちにそういう違和感を無くしていけたらと思います。
ほほ～うまい！
ありがとうございます。