Πώς υπολογίζουμε όριο 0 διά 0 (ΘΕΩΡΙΑ 1/2)
HTML-код
- Опубликовано: 19 сен 2024
- Στο βίντεο γίνεται εισαγωγή στην έννοια του ορίου μιας συνάρτησης με όσο γίνεται πιο απλά λόγια. Αναλύεται τι σημαίνει «απροσδιόριστη μορφή ορίου» και αντιμετωπίζει την πρώτη μορφή, 0 διά 0, όταν έχουμε ρητή συνάρτηση ή και τετραγωνικές ρίζες.
--------------------------------------------------
Αναλυτικότατη θεωρία και μεθοδολογία, αναλυτικότατα λυμένες ασκήσεις υπάρχουν στο βιβλίο που έχω γράψει για το κεφάλαιο των ορίων. Διάβασέ το δωρεάν στην διεύθυνση www.mathsteki.g...
--------------------------------------------------
Τώρα, μπορείς να κάνεις και μαθήματα μέσω Skype μαζί μου!
Μάθε εδώ πώς:
www.mathsteki.g...
Απλός, μεταδοτικός, ακριβής, κατανοητός και πάνω απ' όλα σωστός άνθρωπος. Είστε υπόδειγμα καθηγητή!!
Σας ευχαριστώ πολύ! Τα λόγια σας με τιμούν ιδιαιτέρως και χαίρομαι που τα μαθήματα σάς βοηθούν. :-)
Μακάρι να ηταν όλοι οι καθηγητές σαν εσας να αγαπούσαμε και εμείς τα μαθηματικά στον καιρό που έπρεπε..!! Να είστε καλα κ. Μοσχόπουλε. Το έργο σας είναι πραγματικά ανεκτίμητης αξίας!!
Σας ευχαριστώ πάρα πολύ για τα τόσο τιμητικά λόγια! Όμως πλέον πολλοί καθηγητές στο διαδίκτυο παλεύουν καθημερινά γι' αυτό που αναφέρατε, είτε μέσω των προσωπικών τους ιστοσελίδων και blogs είτε μέσω εργασιών τους που διαθέτουν δωρεάν. Η μαθηματική κοινότητα έχει να περηφανεύεται γι' αυτόν της τον καθημερινό αγώνα και νιώθω κι εγώ περήφανος που είμαι μέλος της. :-)
Συγχαρητήρια Κ. Μοσχόπουλε !!! Εξαιρετική δουλειά. Το κάνετε με τόσο αγάπη. Ευτυχώς που υπάρχουν και άνθρωποι σαν εσας και μπορούν τα Ελληνόπουλα, που δεν έχουν την οικονομική άνεση να παν σε φροντηστήριο, να βοηθηθούν. Εσας τους πραγματικούς δασκάλους χρειάζεται η Ελλάδα, της πνευματικής κρίσης πρωτίστως. Εδώ στο εξωτερικό, βλέπω πόσο μπροστά και πόσο μεγάλα μυαλά είμαστε, αλλα με κομμένα τα φτερά...
Σας ευχαριστώ πάρα πολύ για τα καλά σας λόγια (και συγχωρήστε μου την μεγάλη καθυστέρηση στην απάντηση στο σχόλιό σας, αλλά το έχασα ανάμεσα σε άλλα). Η διαδικτυακή μαθηματική κοινότητα έχει πολλούς καθηγητές που προσφέρουν ποικιλοτρόπως βοήθεια. Όλοι μας ελπίζουμε αυτή να αξιοποιείται με κάποιον τρόπο από τους ενδιαφερόμενους.
Συγχαρητήρια Κύριε Μοσχόπουλε! Με τέτοιες προσπάθειες κάνουμε τον κόσμο να προοδεύει!
Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια. Η μαθηματική διαδικτυακή κοινότητα έχει πολλούς καθηγητές που προσφέρουν βοήθεια ποικιλοτρόπως. Όλοι μας ελπίζουμε αυτή να αξιοποιείται με κάποιον τρόπο.
Καλησπέρα κ.Δημήτρη, είχα την τρελή ιδέα μετά από χρόνια πολλααά, να σπουδάσω στο ΕΑΠ.... νομίζω ότι τώρα που σας βρήκα δεν έχω καμία δικαιολογία να μην καταλαβαίνω τι μου γίνεται! Μπράβο και ευχαριστώ!
Ιωάννα, σ' ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια και χαίρομαι ιδιαίτερα που τα βίντεο αποδεικνύονται βοηθητικά στην πορεία σου στο Ε.Α.Π. Καλό κουράγιο σού εύχομαι, η πορεία σου θα 'ναι δύσκολη, αλλά ο καρπός της γλυκός!
Εκτός από τη βοήθεια που προσφέρουνα αυτά τα φίλμ στους μαθητάς συνιστούν και μία πολύ ωραία ηλεκτρονική μαθηματική εγκυκλοπαίδεια όπου δύναταί τις να μάθει πολλά χρησιμα πράγματα περί των Μαθηματικών. Μη τα διαγράψετε ποτέ αυτά τα φίλμ. Είναι πολύ σημαντικά και βοηθητικά.
Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια. Θα προσπαθήσω να τα βελτιώσω μελλοντικά.
Ευχαριστούμε για την πολύτιμη βοήθεια που εισπράττουμε μέσα από τα βίντεό σας.
Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια. Χαίρομαι πολύ που τα βίντεο σάς βοηθούν.
Μετά από τριάντα δύο χρόνια, έφυγε το σκοτάδι και αγάπησα τα μαθηματικά. Μπράβο σας.
Σας ευχαριστώ πολύ. Χαίρομαι που το βίντεο κατάφερε και σας βοήθησε :-)
κυριε μοσχοπουλε αρχικα θα ηθελα να σας ευχαριστησω γι αυτο που κανετε.
εμας της 3ης λυκειου μας βοηθατε παρα πολυ μ αυτο, ποσο μαλλον τα παιδια που δεν εχουν τη δυνατοτητα για φροντιστηρια.συνεχιστε την καλλη δουλεια !!!!
Εξαιρετική παρουσίαση.
Συγχαρητήρια Δάσκαλε!
Σας ευχαριστώ πολύ. Χαίρομαι που το βίντεο σάς βοήθσε :-)
Εξαιρετική , συνολικά η δουλεία σας κ.Μοσχόπουλε
Σας ευχαριστώ θερμά για τα καλά σας λόγια! Χαίρομαι που η ιστοσελίδα και το κανάλι καταφέρνουν και σας βοηθούν.
Κύριε Μοσχοπουλε, όσο περισσότερα βίντεό σας ανακαλύπτω, τόσο περισσότερο με εντυπωσιάζετε. Πρόσφατα επισκέφθηκα το "Μαθηματικό Στέκι" και πραγματικά έμεινα άφωνος από την οργάνωσή του. Ένα "μπράβο" είναι πάρα πολύ λίγο μπροστά σε όλο αυτό που προσφέρετε τόσα χρόνια! Σας ευχαριστούμε ιδιαίτερα!
Σας ευχαριστώ πάρα πολύ για τα τόσο καλά λόγια. Με τιμάτε και μου δίνετε πολύ κουράγιο για να συνεχίσω την προσπάθειά μου μέσα από το «Μαθηματικό στέκι» και το κανάλι του RUclips. Η τελευταία ανανέωση της ιστοσελίδας είναι μόνο η αρχή· σιγά σιγά θα έχουν οι επισκέπτες της ιστοσελίδας πολύ περισσότερα και καλύτερα πράγματα να δουν, τόσο σε αισθητικό και οργανωτικό επίπεδο, όσο και στο περιεχόμενο. Υγεία να υπάρχει μόνο.
@@dimoshopoulos Ακριβώς όπως το είπατε! Τα γεγονότα είναι πρωτοφανή και ελπίζουμε να μην επεκταθεί δυσάρεστα η υπόθεση με την έναρξη του νέου σχολικού έτους με αρνητικό αντίκτυπο, κυρίως, στους νέους μαθητές της Γ' Λυκείου...
Συγχαρητήρια για την δουλειά σας κ. Μοσχόπουλε , πραγματικά με βοήθησε πολύ το πρώτο μέρος και τώρα σπεύδω στο δεύτερο!!
Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά λόγια, χαίρομαι πολύ που το βίντεο-μάθημα σάς βοήθησε :-)
Στην διεύθυνση www.mathsteki.gr/g-lykeioy-oria/ υπάρχει για δωρεάν μελέτη ένα ολόκληρο βιβλίο αφιερωμένο στα όρια. Μελετήστε το, θα κερδίσετε ;-)
@@dimoshopoulos Σας ευχαριστώ πολύ
ο τροπος που παρουσιαζετε τα θεματα τα κανει πιο ευκολο να κατανοηθουν, τουλαχιστον για μενα.Σας ευχαριστω!
Ευχαριστω παρα πολυ για την βοηθεια σας κυριε Δημητρη με βοηθησατε πολυ σε καποιες ασκησεις.Συνεχειστε αυτο που κανετε γιατι βοηθατε πολλα παιδεια με το εργο σας.Και παλι ευχαριστω.Λεωνιδας.
Το σύνολο τιμών, αν και σημαντικό σαν έννοια, στο κεφάλαιο αυτό αντιμετωπίζεται με κάπως δυσχερείς τρόπους, μια και λείπουν κάποια «εργαλεία», τα οποία απλοποιούν τον τρόπο εύρεσής του. Στον Διαφορικό Λογισμό τα πράγματα γίνονται καλύτερα, διότι δίνονται και τα κατάλληλα «εργαλεία» για την εύρεση του συνόλου τιμών, οπότε καλύτερα κράτα την όρεξή σου για εκεί, όπου θα δεις και άλλες εφαρμογές του.
Η ασκηση στο 54:20 και 3 ασκησεις πριν απο αυτην ηταν αρκετα ευκολες. Ελεγχουμε για απροσδιοριστια και μετα πραξεις. Βεβαια ειμαι μαθητης 2ας λυκειου οποτε απο θεωρια δεν εχω ιδεα τι γινεται αλλα θεωρω πως αν τα καταλαβα απο τωρα δεν θα εχω προβλημα και οταν ερθει η στιγμη να τα εφαρμοσω. Πολυ καλη δουλεια και εξαιρετικη αναλυση Μπραβο σας!
Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά λόγια και το ενδιαφέρον σας για το μάθημα του βίντεο.
Στο μάθημα παρουσιάζονται βασικά στοιχεία θεωρίας και μεθοδολογίας, είναι εισαγωγικό στο σχετικό θέμα δηλαδή. Σε μεγαλύτερο βάθος πηγαίνει το σχετικό βιβλίο που έχω γράψει για το κεφάλαιο των ορίων και το οποίο μπορείτε να διαβάσετε δωρεάν από την ιστοσελίδα μου.
Συγχαρητήρια για τα πολύτιμα βίντεο .Εξαιρετικό το έργο σας και η μεταδοτικότητα σας .Να είστε καλά 👏👏
Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά λόγια :-)
Χαίρομαι που τα βίντεο-μαθήματα σάς βοηθούν τόσο. Στην ιστοσελίδα μου (www.mathsteki.gr/) θα βρείτε και τα βιβλία που έχω γράψει για την Γ΄Λυκείου, τα οποία είναι πολύ πιο αναλυτικά και μπορείτε να μελετήσετε δωρεάν την ψηφιακή τους μορφή.
Νά' σαι καλά ανθρωπέ μου, επιτέλους κατάλαβα τι λέει το βιβλίο της γ' λυκείου. Συγχαρητήρια.
Χαίρομαι που σας βοήθησε το βίντεο. Ελπίζω να σας βοηθήσουν και τα υπόλοιπα. Να έχετε υγεία, σας ευχαριστώ για τα καλά λόγια :-)
Πραγματικα υπεροχη δουλεια να ειστε καλα. Σας ευχαριστω πολυ
Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά λόγια. Χαίρομαι που τα βίντεο-μαθήματα του καναλιού σάς βοηθούν. Στην ιστοσελίδα μου (www.mathsteki.gr/) θα βρείτε και τα αναλυτικά βιβλία που έχω γράψει για κάθε κεφάλαιο της ύλης και θα σας βοηθήσουν περισσότερο.
Σ' ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια, Ιορδάνη! Χαίρομαι που τα βίντεο σάς βοηθούν, αυτός είναι ο σκοπός τους.
Χαίρομαι γι' αυτό :) Αυτός είναι ο σκοπός των βίντεο, να παρουσιάζονται με (όσο γίνεται) απλούστερο τρόπο τα πολύπλοκα θέματα των Μαθηματικών και να λύνονται απορίες, ώστε να μην φοβάστε τις ασκήσεις :) Σ' ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια.
Καλησπέρα!
Αριστη μεταδοτικοτητα!
Θα ήθελα να προτίνω κάτι...Θα ήταν πολύ όμορφο και πρακτικό, εάν συνεργαζόσασταν με κάποιον Καθηγητή Φυσικής, να έκανε μαθηματα Φυσικής.Το λέω σε εσάς, διότι έχετε ώραια δόμη μαθήματος και αυτό με κάνει να σας εμπιστεύομαι προς τον άνθρωπο που θα βρείτε!
Σας ευχαριστώ για την βοήθεια!
Σ' ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια, χαίρομαι που τα βίντεο καταφέρνουν και σε βοηθούν. Η ιστοσελίδα και το κανάλι όμως, αφορούν μόνο στα Μαθηματικά κι ένα «πάντρεμα» με Φυσική θα άλλαζε εντελώς τον χαρακτήρα τους. Δεν αποκλείεται κάτι τέτοιο στο μέλλον, η ιδέα σου είναι καλή. Βοήθεια στην Φυσική μπορεί να βρει κανείς στο You Tube, υπάρχουν και σ' αυτό το μάθημα ανήσυχοι καθηγητές :)
Λεωνίδα, εγώ σ' ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια! Χαίρομαι που τα βίντεο σάς βοηθούν και χαίρομαι όταν μαθαίνω γι' αυτό. Ο μόνος τρόπος είναι να δω ένα σχόλιό σας. Γράφοντας το βίντεο, δεν ξέρω τι αντίκτυπο έχει, κατά πόσο επιτελεί τον σκοπό του, παρά μόνο όταν μου το πείτε εσείς. Μην το βάζετε κάτω, παλέψτε κι οι καθηγητές σας θα σταθούμε όσο μπορούμε περισσότερο στο πλάι σας! :)
Ευχαριστω πολυ Κυριε Μοσχοπουλε. Μου ανοιξατε τα ματια.
Να είστε καλά. Χαίρομαι που σας βοήθησε το βίντεο.
Mπραβο σας !!! Χιλια μπραβο!!!
Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια :-)
Καλημερα σας και συγχαρητήρια για τα καταπληκτικά και to the point βιντεο σας.
Αν επιτρέπεται, πού τελειώσατε το Μαθηματικό?
Σας ευχαριστώ για τα καλά λόγια, χαίρομαι που το βίντεο-μάθημα σάς βοήθησε.
Πήρα το πτυχίο μου από το Α.Π.Θ. Περισσότερα για μένα μπορείτε να μάθετε μέσω αυτού του συνδέσμου:
www.mathsteki.gr/biografiko/
Καλή χρονιά κ. Δημήτρη και ευχαριστώ θερμά που μας βοηθάτε !
Στην τρίτη πράξη του υπολογισμού των ορίων όταν το Χ τείνει στο 2 με ρίζα δεν κατάλαβα πως βρήκε απροσδιοριστία ο δια 0. Είναι στο 49.30 λεπτό ;
Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να διαπιστώσουμε αν ένα όριο παρουσιάζει απροσδιοριστία; Ένας και μοναδικός υπάρχει κι αυτός ακολουθήθηκε.
Καλησπέρα, ευχαριστούμε για τα υπέροχα και κατατοπιστικά βίντεο κατ αρχάς. Η απορία που μου δημιουργήθηκε είναι γιατί δεν κάνουμε De l Hospital? Ευχαριστώ.
Σας ευχαριστώ για τα καλά λόγια.
Σε ποιο σημείο δημιουργήθηκε η απορία σας; Μην ξεχνάτε ότι το μάθημα αφορά θέματα του κεφαλαίου των ορίων και όχι των παραγώγων, όπου και βρίσκεται ο κανόνας του de l' Hospital.
@@dimoshopoulos Η αλήθεια είναι πως όταν έφτασα στο βίντεο με τον κανόνα de l' hospital, μου λύθηκε η απορία, ωστόσο ευχαριστώ για τον χρόνο και τη δουλειά σας.
Καλημέρα σας! Ειλικρινά σας είμαι ευγνώμων! Όμως έχω δύο απορίες... Α)Τελικά ποιο είναι το συμπέρασμα, όταν παίρνουμε αποτέλεσμα 3 όταν έχουμε την συνάρτηση χ^3-2χ+4 με το το χ να τείνει στο 1;;; (Βρίσκεται περίπου στο 11:00 λεπτό του βίντεο) Β)Μπορεί -αυτό το συμπέρασμα-να αποτυπωθεί με γραφική παράσταση;;
Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια. Ως προς τις απορίες σας τώρα:
Α) Το συμπέρασμα που παίρνουμε είναι ότι απλά το όριο είναι ίσο με 3. Σε απροσδιόριστη μορφή ορίου θα είχε κάποιο νόημα. Το μη προβληματικό όριο του παραδείγματος απλά χρησιμοποιήθηκε για να φανεί τι σημαίνει «υπολογίζω όριο».
Β) Μπορεί να αποτυπωθεί γραφικά, συσχετίζοντας το όριο με την έννοια της συνέχειας της συνάρτησης στο 1.
Γεία σας! Εχω μια απορια : Στο σχολειο μας κανουν συχνες αναφορες στο συνολο τιμών μιας συναρτησης και μπερδευομαι παρα πολυ στο πως μπορω να το βρισκω.
Σας ευχαριστω πολυ!
Στο Μαθ στεκι στο παραδειγμα 121, οταν στο ζητουμενο οριο δεν υπαρχει μονο ο συμβολισμος f(x) αλλα και συγκεκριμενες αλγεβρικες παραστασεις, πως προκύπτει το οριο οταν το y τεινει στο 0 του ημy/y να είναι 1; δίνω την εικόνα του παραδείγματος εδώ--> prntscr.com/lwjcxq
ΕΥΓΕ!!!!!!!!!!
Σας ευχαριστώ πολύ :-)
Γεια σας κ.δημητρή
θα ηθελα να ρωτησω κατι σχετικα με το σχημα του χορνερ
αν για παραδειγμα εχουμε 2x στο τετραγωνο - 3x+1 στο σχημα του χορνερ βαζω 1 και μετα -3 +1 ;;
η πρεπει να βαλω 2 γιατι εχουμε 2x ?
Το σχήμα του Horner είναι πανεύκολο: βάζουμε τους αριθμούς που βλέπουμε μπροστά από τις δυνάμεις του x (που λέγονται συντελεστές του πολυωνύμου). ΔΕΝ ΞΕΧΝΑΜΕ, αν λείπει κάποια δύναμη του x, τότε στο σχήμα Horner βάζουμε το μηδέν !! Άρα, για το παράδειγμα που έθεσες, πρώτα βάζουμε 2, μετά -3 και στο τέλος το 1.
Αν το πολυώνυμο δεν έχει σταθερό όρο, τότε ΔΕΝ κάνουμε το σχήμα Horner, αλλά κλασσική παραγοντοποίηση (βγάζουμε κοινό παράγοντα απ' όλα την μικρότερη δύναμη του x).
POV: Είσαι εδώ για τις Παγκύπριες/Πανελλήνιες εξετάσεις..
άκυρη η ερώτηση. το είδα! συγνωμη.!
συγνώμη για την παρέμβαση , αλλά μια παραγώγιση πάνω και κάτω θα έλυνε όλα τα δύσκολα παραδείγματα . . .
Εξαρτάται για ποια παραδείγματα μιλάτε. Έπειτα, το θέμα του μαθήματος εντάσσεται στο κεφάλαιο των ορίων, όπου δεν υπάρχει ακόμα «μια παραγώγιση πάνω και κάτω». Στον Διαφορικό Λογισμό ναι, αλλά και πάλι εξαρτάται από το όριο.
Προτίνω σε όσους παρακολουθούν τα βίντεο να γράφουν και τις ασκήσεις που γράφει ο κύριος Δημήτρης....θα σας βοηθήσει περισσότερο,εγω αυτό κάνω :).Επίσης δεν θα μένετε με άδια χέρια.
Συγγνώμη αλλά δε φαίνεται τίποτα με το πράσινο μαρκαδόρο σας
Επιλέγοντας ανάλυση 1080p, λογικά δεν θα πρέπει να έχετε κανένα πρόβλημα. Σε χαμηλότερη ανάλυση ίσως υπάρχει το θέμα που αναφέρετε.
@@dimoshopoulos ευχαριστώ με βοηθήσατε πάρα πολύ πάντως..!
Ωραίο το βίντεο και μπράβο αλλά θέλω να σας ρωτήσω, στην αρχή όπου λέτε για τον 0,999999999999 ότι δεν είναι 1
Δεν ισχύει οτι: έστω χ=0,999999999999999.....9
Άρα 10χ=9,9999999999999999...9
Άρα 10χ=9+χ
Άρα 9χ=9
Άρα χ=1 ?
Άρα έτσι δεν έχουμε 0 στον παρονομαστή?
Από μαθητή β' λυκειου
Το 0,99999... είναι ακριβώς αυτό, είναι 0,99999..., δεν είναι 1. Επίσης, το 0 του παρονομαστή δεν είναι 0, αλλά αριθμός πάρα πολύ κοντά στο 0. Το ίδιο ισχύει και για το 0 του αριθμητή, είναι αριθμός πάρα πολύ κοντά στο 0, οπότε το αποτέλεσμα τείνει (είναι η λέξη κλειδί) να γίνει 0 διά 0. Αν γράφουμε 0 διά 0 κατά την αντικατάσταση, αυτό δεν είναι πραγματικά 0 διά 0, είναι (όπως λέμε) σύμβαση γραφής.
Οκ ευχαριστώ!!!
Στο 52:14 εδω που λεει ολη την ριζα χ τετραγωνο + χ + 3 -3 κ το αλλο ολη την ριζα χ τετραγωνο + χ + 3 +3 πως βρήκατε -9 ? και Ευχαριστω που με βοηθησατε
Πολύ απλό: με την συζυγή παράσταση δημιουργείται πάντα διαφορά τετραγώνων, ό,τι ακριβώς φάνηκε και στα δύο προηγούμενα παραδείγματα του μαθήματος.
Μπορείτε να τα δείτε όλα αναλυτικότατα στο βιβλίο που έχω γράψει για τα όρια, εδώ: www.mathsteki.gr/g-lykeioy-oria/
(2η ενότητα, 2η παράγραφος).
@@dimoshopoulos α οκ σας ευχαριστω^^
γτ το f(x) δλδ ο τυπος δεν ειναι μαθηματικα πληρες οπως αναφερατε?
Σε ποιο χρονικό σημείο αναφέρεστε;
1.45-1.50
Όταν λέμε «συνάρτηση», πλήρως αυτή ορίζεται όταν έχουμε πρώτα το πεδίο ορισμού της και μετά τον τύπο της. Ο τύπος από μόνος του δεν αρκεί, αφού μας υποχρεώνει να βρούμε το πεδίο ορισμού, άρα γυρνάμε σ' αυτό που είπα πριν.
Σας ευχαριστω ιδιαιτερα για τον χρονο σας !
Να είστε καλά :-)