Дан параллеогрмамм ABCD со сторонами 6 и 8 и углом 60 градусов. Проведены биссектрисы его углов, которые пересекаются в точках M и K. Найти площадь 4-ка AMKD.
"Не знаешь, что делать -- черти параллельные" В.В.К. Сразу находим высоту =√27 Через М и К проводим параллельные АВ. И откладываем а сторонку центральный параллелограммчик, помятуя, что желтого в нем ровно половина. Сдвигаем боковушки и получаем ромб со стороной 6 и высотой √27. Четвертинка -- желтая = (1/4)*6*√27= (3/2)*√27. Возвращаемя к серединке желтая ее часть =(1/2)*2*√27=√27. Итог (1+3/2)*3*√3=(15/2)*√3=√(675/4) Ответ:(15/2)*√3
Заметим, что параллелограмм состоит из двух одинаковых треугольников и двух одинаковых трапеций. Площадь параллелограмма: 6•8•√3/2, две площади треугольника: 3•3√3, ,отсюда две площади трапеции = √3(24 - 9) = 15√3, а одна площадь - 15√3/2.
a=6; b=8, sinα=30*2=60 1) S=ab*sinα=6*8*0,5√3=24√3 2) h=S/b=24√3/8 = 3√3 3) Опустим высоту в правой части трапеции, тем самым, получаем прямоугольный треугольник, и понимаем, что она равна 1,5√3. А отрезок между высотой и правой боковой стороной равен 1,5 4) Тем же способом, отрезок между высотой (в левой части) и левой боковой стороной равен 4,5 5) Верхнее основание равно разности нижнего основания и отрезков, образованных между боковыми сторонами и высотами, проведёнными из верхних вершин. Значит, верхнее основание равно 2 6) S=0,5h(a+b)=0,5*1,5√3*(2+8)=7,5√3
Сначала находим углы параллелограмма и пользуемся тем, что биссектрисы пересекаются под прямым углом (это можно доказать самому). Получаем красивые прямоугольные треугольники с углами в 30 градусов, с помощью этого узнаем стороны трапеции Пифоремой Теогора. Ну а потом продолжаем ВМ за М до пересечения с АD. Пусть будет МР. Получается равносторонний треугольник АВР (все это сами найдете, писать долго), и выходит так, что трапецию, разделили на прямоугольный треугольник АМР и параллелограмм МКDР со сторонами 3 и 2. Проводим в АМР высоту МН на АD, АН = Х, НР = У, Х + У = 6, составляем уравнение высоты МН, выражаем одну переменную через другую, сумма двух переменных это 6, еще составляем уравнение, ищем переменную и все в таком духе. И ответ получается 5 корней из 6.75
ДЗ Суть решения проста. Короче, пусть будет прямоугольник MM1KK1. M1D=4 (ибо катет напротив угла 30 градусов). KD=3, ибо KD=MF и опять же катет напротив угла 30 градусов. Отсюда KM1=1. Осталось найти MM1 по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника маленького MM1K. угол М1=90 градусов. Знаем, что МК=2. Будет корень из трех. И площадь таже корень из трех квадратных единиц. Если не просчитался в уме, то вроде так. Но суть решения правильна точно
😊 АМ и DN пересекаются под прямым углом. Рассмотреть подобные треугольники MKN и АКD. Коэффициент подобия 1:4. И далее находим площадь трапеции. Спасибо.
Д.З. Если присмотреться, площадь параллелограмма равна сумме площадей прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами параллелограмма а катеты лежат на биссектрисах, минус площадь перекрытия бо́льших треугольников, которое и является нашим прямоугольником. S[ABCD] = 6·8·sin 60° = 24√3, площади треугольников с гипотенузой 8 равны ½·8·sin 60°·8·cos 60° = ¼·8²·sin 120° = 8√3, аналогично меньших 9√3/2, тогда площадь прямоугольника 2·8√3+2·9√3/2−24√3 = √3.
Высота трапеции h=6sin60°/2=3√3/2, площадь S=(2+8)/2×3√3/2=15√3/2. ДЗ. В центре прямоугольник с диагоналями d=2, угол между стороной и диагональю 30°, так как они параллельны диагонали и стороне параллелограмма ABCD, угол между диагоналями d 2×30=60°, площадь S=2×2sin60°/2=√3
Если бы концы этого отрезка совпадали, то вся фигура была бы - ромб, описанный параллелограмм со стороной 6. Чтобы получить этот параллелограмм, надо добавить (вставить, растянуть параллельно стороне) недостающий кусок длиной 8 - 6 = 2.
Решила аналогично. Доказывала, что треугольники АВМ и КДZ равны, где КZ параллельна АМ и пересекает АД. Оба прямоугольные, так как прямые, образовавшие прямые углы соответственно параллельны. И АМКZ параллелограмм.
прямоуг (у них углы 30 и 60) треуги ABM и KCD равны по гипотенузе... высоты этих треугов проведенных из их прямых углов равны 3... а вот как доказать, что они сливаются с МК... ну можно начертить равные окружности с центрами на их гипотенузах... поскольку две точки, определяющие окружности, лежат на одной прямой, то и КО1, МК,МО1 на одной прямой...крч, МК=2... (8+2)/2=5... высота паралл =3√3... а его половины 1.5√3... S=7.5√3
4:56 объяснить, почему трапеция... а зачем? ведь постулат 'трапеция' задан в задаче (входит в часть условий) ;) ведь если это не трапеция, то задача поставлена некорректно допишу: вопрос должен звучать 'найти площадь фигуры (допускается слово четырёхугольника) образуемой углами параллелограмма и точками пересечения его биссектрис'. вот именно тогда надо доказать что угла четыре и что образуется трапеция
Зачем столько сложностей???? Угол 30, прямоугольного треугольника с диагональю 6. Находим площадь треугольника и площадь малого параллелограмма МКФД. складіваем. Все.
задача из ролика очень понравилась. Отличная,простая,последовательная!
Хорошая задача. С удовольствием порешала с вами. Спасибо
"Не знаешь, что делать -- черти параллельные" В.В.К.
Сразу находим высоту =√27
Через М и К проводим параллельные АВ. И откладываем а сторонку центральный параллелограммчик, помятуя, что желтого в нем ровно половина.
Сдвигаем боковушки и получаем ромб со стороной 6 и высотой √27. Четвертинка -- желтая = (1/4)*6*√27= (3/2)*√27. Возвращаемя к серединке желтая ее часть =(1/2)*2*√27=√27. Итог (1+3/2)*3*√3=(15/2)*√3=√(675/4)
Ответ:(15/2)*√3
Заметим, что параллелограмм состоит из двух одинаковых треугольников и двух одинаковых трапеций. Площадь параллелограмма: 6•8•√3/2, две площади треугольника: 3•3√3, ,отсюда две площади трапеции = √3(24 - 9) = 15√3, а одна площадь - 15√3/2.
ОТличное рассуждение.
ДЗ: на глаз корень из 3.
a=6; b=8, sinα=30*2=60
1) S=ab*sinα=6*8*0,5√3=24√3
2) h=S/b=24√3/8 = 3√3
3) Опустим высоту в правой части трапеции, тем самым, получаем прямоугольный треугольник, и понимаем, что она равна 1,5√3. А отрезок между высотой и правой боковой стороной равен 1,5
4) Тем же способом, отрезок между высотой (в левой части) и левой боковой стороной равен 4,5
5) Верхнее основание равно разности нижнего основания и отрезков, образованных между боковыми сторонами и высотами, проведёнными из верхних вершин. Значит, верхнее основание равно 2
6) S=0,5h(a+b)=0,5*1,5√3*(2+8)=7,5√3
Сначала находим углы параллелограмма и пользуемся тем, что биссектрисы пересекаются под прямым углом (это можно доказать самому). Получаем красивые прямоугольные треугольники с углами в 30 градусов, с помощью этого узнаем стороны трапеции Пифоремой Теогора. Ну а потом продолжаем ВМ за М до пересечения с АD. Пусть будет МР. Получается равносторонний треугольник АВР (все это сами найдете, писать долго), и выходит так, что трапецию, разделили на прямоугольный треугольник АМР и параллелограмм МКDР со сторонами 3 и 2. Проводим в АМР высоту МН на АD, АН = Х, НР = У, Х + У = 6, составляем уравнение высоты МН, выражаем одну переменную через другую, сумма двух переменных это 6, еще составляем уравнение, ищем переменную и все в таком духе. И ответ получается 5 корней из 6.75
ДЗ Суть решения проста. Короче, пусть будет прямоугольник MM1KK1. M1D=4 (ибо катет напротив угла 30 градусов). KD=3, ибо KD=MF и опять же катет напротив угла 30 градусов. Отсюда KM1=1. Осталось найти MM1 по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника маленького MM1K. угол М1=90 градусов. Знаем, что МК=2. Будет корень из трех. И площадь таже корень из трех квадратных единиц. Если не просчитался в уме, то вроде так. Но суть решения правильна точно
😊 АМ и DN пересекаются под прямым углом. Рассмотреть подобные треугольники MKN и АКD. Коэффициент подобия 1:4. И далее находим площадь трапеции.
Спасибо.
Д.З. Если присмотреться, площадь параллелограмма равна сумме площадей прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами параллелограмма а катеты лежат на биссектрисах, минус площадь перекрытия бо́льших треугольников, которое и является нашим прямоугольником. S[ABCD] = 6·8·sin 60° = 24√3, площади треугольников с гипотенузой 8 равны ½·8·sin 60°·8·cos 60° = ¼·8²·sin 120° = 8√3, аналогично меньших 9√3/2, тогда площадь прямоугольника 2·8√3+2·9√3/2−24√3 = √3.
Высота трапеции h=6sin60°/2=3√3/2, площадь S=(2+8)/2×3√3/2=15√3/2. ДЗ. В центре прямоугольник с диагоналями d=2, угол между стороной и диагональю 30°, так как они параллельны диагонали и стороне параллелограмма ABCD, угол между диагоналями d 2×30=60°, площадь S=2×2sin60°/2=√3
Отлично!
Если бы концы этого отрезка совпадали, то вся фигура была бы - ромб, описанный параллелограмм со стороной 6. Чтобы получить этот параллелограмм, надо добавить (вставить, растянуть параллельно стороне) недостающий кусок длиной 8 - 6 = 2.
Решила аналогично. Доказывала, что треугольники АВМ и КДZ равны, где КZ параллельна АМ и пересекает АД. Оба прямоугольные, так как прямые, образовавшие прямые углы соответственно параллельны. И АМКZ параллелограмм.
прямоуг (у них углы 30 и 60) треуги ABM и KCD равны по гипотенузе... высоты этих треугов проведенных из их прямых углов равны 3... а вот как доказать, что они сливаются с МК... ну можно начертить равные окружности с центрами на их гипотенузах... поскольку две точки, определяющие окружности, лежат на одной прямой, то и КО1, МК,МО1 на одной прямой...крч, МК=2... (8+2)/2=5... высота паралл =3√3... а его половины 1.5√3... S=7.5√3
Домашнее задание. S=(d1*d2)/2 формула площади ромба если известны диагонали.
Спасибо, но это не ромб.
ВМ=АВ/2=3;из треугольникаАВМ АМ=3корен3; МР=3корен3/2; плошадАМКД =1/2*(2+8)*мр
Без бумаги решить в уме сложно, но, все равно, решается без всякого напряжения.
4:56 объяснить, почему трапеция... а зачем? ведь постулат 'трапеция' задан в задаче (входит в часть условий) ;)
ведь если это не трапеция, то задача поставлена некорректно
допишу: вопрос должен звучать 'найти площадь фигуры (допускается слово четырёхугольника) образуемой углами параллелограмма и точками пересечения его биссектрис'. вот именно тогда надо доказать что угла четыре и что образуется трапеция
Площадь трапеции S=7,5√3
Супер.
ДЗ прямоугольник с диагональю 2 и углом диагонали к стороне 60° ... √3
Отлично.
Почему угол 60°?
Решил 1:1 ;)
ДЗ: прямоугольник со сторонами √ 3 и 1 . ответ √ 3
Отлично.
Зачем столько сложностей???? Угол 30, прямоугольного треугольника с диагональю 6. Находим площадь треугольника и площадь малого параллелограмма МКФД. складіваем. Все.
Дз корень из пяти.