解が無限個あるように見える整数問題

[@anasuit1111]

採用ありがとうございます‼️

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

こちらこそ有難うございました！

[@00_second]

最後のxyzがすべて偶数の場合についての議論ですが、α^2+β^2+γ^2=4αβγが出てきたら、n=(α^2+β^2+γ^2)/(αβγ)=4の式が出るから、n≦3じゃなくなるからこうなる解α,β,γが存在しないって結論づけできませんかねぇ？むしろαβγすべて偶数というのが議論として怪しい気がしますが。

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

①の結果で、αβγが全て偶数である必要があることを使ってます。ご指摘の解法の方がスマートですね。

[@のぶ-x2k]

2:57 t2=nYZ-Xよりt2は整数で、t2=(Y²+Z²)/X>0よりt2は自然数だから、vieta junpingで解を作れるので、これが最小解を上書きしないように大小関係を定める必要がある
4:07 n≦2(1/Z+Z/Y²)について、
1/Y≦1/Zより
2(1/Z+Z/Y²)≦2(1/Z+1/Y)
となり、Z,Y≧1から≦4となる。
等号成立がY=Z=1であることから、
X²≦2すなわちX=1だが、
このときn=3なので等号成立しない
よってn

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

有難うございます。その通りです！

[@dongkang7063]

なぜXYZ最小解になる際にnがMaxになるのが理解できない

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

3:49の不等式が成り立つからですね。

[@HideyukiWatanabe]

4:16 X+Y+Zが最小となる条件の元 n≦3が言えるだけで、X+Y+Zが最小でない場合については、ここまでの議論では n≦3は言えないのでは？

[@HideyukiWatanabe]

こうではないのかな?
x ≧ y ≧ z ≧ 1 を条件に加えても一般性を失わない。
(x,y,z,n)を解の一つとする。(最小でなくて良い!)
方程式をxについて整理すると
x² - (yzn)x + (y²+z²) = 0
これは xの二次方程式であり、解と係数の関係からもう一方の解は
t = yzn-x = (y²+z²)/x
と表せるので t も正の正数で、(t, y, z, n)も解。s = min{x, t}とおくと
s² ≦ tx = y²+z² かつ s²+y²+z² = syzn となり、
(s²+y²+z²)/(syz) ≦ 2(y²+z²)/(syz)
を満す。
しかし、s≠x のときは s < yになるかも知れなくて
2(y²+z²)/(syz) ≦ 2(y²+z²)/(y²z)
が必ずしも言えないのでは？

[@HideyukiWatanabe]

こういうことか。
n を固定し(x,y,z)の方程式とみる。
その解の和が最小となるものの1つを(X, Y, Z)とおく。
X≧Y≧Zとして一般性を失わない。
これをXについて整頓しXをxに置き換えると
x²-(nYZ)x + (Y²+Z²) = 0
この解の一方はx = X でありもう一方は解と係数の関係から
x = nYZ - X = (Y²+Z²)/X
であるから正の正数である。ここでX²>(Y²+Z²)とすると
もう一方の解tが t = (Y²+Z²)/X < X を満すから
t+Y+Z < X+Y+Z かつ (t²+Y²+z²)/(tYZ)=nを満すので(X, Y, Z)の最小性と矛盾。
よって X² ≦ Y²+Z²