@@mik5482 , всем бы такой кризис среднего возраста. Думаю, что Вы поспешили с таким заявлением. Если рассмотреть определение кризиса среднего возраста, то говорится о связи с молодостью, а именно: важные идеи, мечты, которые не сбылись, однако Борис в детстве, в молодости не любил спорт, исходя из слов Бориса. Следовательно, это не подходит под критерий кризиса среднего возраста. Если что, худеть можно и без спорта, но теперь у Бориса есть спорт в жизни. И думаю, что Борис прекрасно знает, что можно худеть без спорта, но, видимо, взгляды поменялись, что и нормально.
Пока смотрел видео, захотел рассчитать точное математическое ожидание, через сумму ряда, но потупив пару минут решил влезть в питон и провести компьютерную симуляцию того, что происходит. Запускается цикл на 1 миллион итераций - внутри каждой итерации реализуется еще один цикл для создания последовательности из орлов и решек, которые извлекаются из распределения Бернулли (или просто равновероятно) и остановки внутреннего цикла, когда получена комбинация ‘OR’ - среднее значение длин таких последовательностей оказалось 4.000933. Аналогично реализовал цикл для случая ‘OO’ - среднее значение 5.996921. Спасибо за ролик, было интересно)
Видео сподвигло вспомнить аналитический метод. Сумму ряда считать не нужно. Нужно составить систему. Будем считать мат. ожидание орёл орёл ОО. При первых двух бросках получаем 4 комбинации ОО - серия окончена РР - серия продолжается с условным мат. ожиданием М1 не считая первых двух бросков РО - серия продолжается с условным мат. ожиданием М2 не считая первых двух бросков ОР - серия продолжается с условным мат. ожиданием М3 не считая первых двух бросков Продолжится все может так РРО РРР РОО РОР ОРР ОРО Составляем систему 0.5*(М2+1)+0.5*(М1+1)=М1 0.5*1+0.5*(М3+1)=М2 0.5*(М1+1)+0.5*(М2+1)=М3 её решение М1=6 М2=4 М3=6 Находим мат. ожидание длины серии 0.5²(2+(М1+2)+(М2+2)+(М3+2))=6 Программа в маткаде даёт тот же результат.
А мне больше было интересно посмотреть минимальную и максимальную последовательность для 1 миллион итераций. (Понятное дело, что минималка 2 и там, и там). Для 'OR' максимальные последовательности в диапазоне 25-30 бросков. Для 'OO' максимальные последовательности в диапазоне 70-80 бросков. Т.е. при мат. ожидании в 6 бросков, может случиться так, что нужно будет сделать 60 бросков. ;)
Последний раз, когда я заходил на этот канал, Борис ещё был с хвостом). И я бы очень удивился, если бы не был подписан на его Инстаграм. Вот и вы подписывайтесь - такая вот внезапная интеграция.
Это потрясающе полезная тема, потому что она развивает критическое мышление. После всех этих софизмов и парадоксов уже по-другому воспринимаешь жизнь, прогнозы и суждения. С удовольствием посмотрел, хотя мне уже далеко за 30. Спасибо!❤ А школьникам это нужно изучать обязательно, наряду с когнитивными искажениями.
Ура! Новое видео! Вы всегда интересно объясняйте теорию вероятностей. А ещё я начал изучать вашу книгу по теории чисел, очень доступно и интересно, спасибо за труд!😊
Борис Викторович, огромное спасибо за новое видео! Ваш вклад в популяризацию математики среди молодежи трудно переоценить. Сам я ещё учусь в школе, но очень интересуюсь тригонометрией. Очень бы хотел увидеть ролик, в котором вы расскажите про редко используемые тригонометрические функции, а то информации в интернете о них не так много. Спасибо за труд!❤
Крутая задача. Очень интересный метод - понимание зависимости неизвестной от самой себя, и потом решение. Было бы здорово посмотреть еще решений с таким подходом, не только по вероятностям. Может, и в каких-то классических задачах можно применять такой метод? Спасибо, Борис!
Вот это преображение) Приятно смотреть. Сначала подумал, что кто-то другой канал вести начал )) Удачи в развитии! Уже много лет ваши видео подогревают интерес к математике)
Хоть и простая, но достаточно интересная задачка. Надо сказать, что сначала (до включения логики) действительно рефлекторно хочется сказать, что одинаково :) Мне очень нравится, что вы доступно доносите мысль даже тем, кто не силён в математике. Большой вам респект, Борис! Вас интересно и приятно слушать
Абалдеть, мне задавали задачу с двумя орлами в школе. И я не понял как решить, мне учитель сказала, что понадобиться 4 броска, но как оказывается задача гораздо глубже и интереснее!
Думаю исходили из того, что есть всего 4 исхода, то есть равносильно броску четырёхгранного кубика. Правда учитывая, что один бросок кубика это два броска монетки и мы игнорируем предыдущий бросок, то мат ожидание в итоге получается 4х2=8.
Не досмотрел еще видео до конца, но скормил задачу в ChatGPT. Его ответ следующий: - Мат. ожидание для ОО равно 6 - Мат. ожидание для ОР равно 4 Для нахождения мат. ожидания использовался метод марковских цепей. Теперь пойду досматривать видео, прав ли окажется ИИ ))
Афигеть! ИЧСХ, я с начала думал: одинаково. Но включил видео, посмотрел, что Борис говорит именно о том, о чём я подумал и понял что сейчас будет вывод, что не одинаково, ибо Борис шуток не шутит и тут всё серьёзно. Так оно и оказалось.
Есть, кстати, смежная задача с тоже очень контринтуитивным ответом (я вообще изначально подумал, что ролик будет про неё): Вася и Петя подбрасывают монетку, Вася выиграет если сначала появится ОО, Петя выиграет, если сначала появится РО. Хотя казалось бы игра симметричная, как не сложно убедиться Петя на самом деле имеет 75% шанс выигрыша. А для последовательностей длины хотя бы 3 оказывается, что для любой последовательности из орлов и решек, есть другая последовательность, которая её строго выигрывает, это в Википедии по статье Penney's game можно почитать со ссылками.
Для РР тоже можно использовать геометрическое распределение. Случайная величина устроена так оор(ооороооорр) и ещё один пример р(ооорорр) т.е. сумма двух геометрических распределений. Первое по порядку обычное где первый успех это решка. Второе устроено похитрее. Здесь неудача это цепочка геометрического распределения его запускает орёл и успешное событие это решка. Вероятности событий "цепочка" "решка" 50/50. Номер первого успеха 1/p=2 . Мат ожидание длины успешного события const и равно 1. Неуспешного = 1 (т.е собственно орёл запускающий цепочку) плюс 1/p мат. ожидание "хвостика" дополняющего орёл, в итоге поучаем 1+1/p=3. т.к. мат ожидание номера первого успеха равно 2 и в нем 1 последнее событие то в итоге мат. ожидание длины всей цепочки (1+1/p)+1=4. Итак получили мат ожидание двух событий певой цепочки 2 и второй "хитрой" цепочки 4 складываем оба эти мат ожидания 2+4 и получаем 6.
Из парадоксов: если ничего не путаю, то вероятность того, что два орла подряд выпадут сразу равна вероятности того, что два орла подряд выпад после 100 "неудач" (все решки, решки чередуются с орлами и т. д.). Второй, про который было бы интересно послушать - "парадокс дней рождения".
Для двух орлов вероятность "ровно 5 бросков" = 3/32. В общем случае получается следующее: n=2: 1/2^2 n=3: 1/2^3 n=4: 2/2^4 n=5: 3/2^5 n=6: 5/2^6 ....... n=k: (k-1)-е число Фибоначчи/2^k Для последовательности "орёл-решка": n=k: (n-1)/2^k
Второе ведь очень доступно объясняют любые источники, шанс что у двух не совпадут дни рождения 364/365, у трёх 364*363/365^2.. Таким образом достаточно быстро эта цифра становится меньше 1/2
Ну для случая ОР понятно, что как только случился первый орёл, победа близка: последующий орёл оставит нас в том же самом состоянии, а решка даст-таки победу С двумя орлами решка всё обнуляет, поэтому бросков будет требоваться больше
Клевая задача) Я по интуиции делал так: Всего может быть 4 комбинации ОО, ОО (но перевернутые), ОР и РО. А поскольку ОО и ОО одинаковые, то и выпадать будут чаще.
Ожидаемое число бросков до ОР меньше, чем до ОО. Но если двое поспорили, что раньше выпадет, то вероятности выиграть у обоих равны. Тоже (псевдо)парадокс.
@@ЮраПельманесли мы с вами поспорили на эти две комбинации, то мы оба будем ждать первого орла (вне зависимости от того, каким он выпадет, первым, десятым, сотым, и т.д.), а сразу после первого орла наступит равновероятная победа любого из нас в зависимости от следующего броска. Суть парадокса как раз не в вероятности выпадения отдельной комбинации, а в том, что результат противоречит приведённому топикстартером примеру.
@@longpastgone что ты имеешь в виду под "какой-либо" и "конкретной" комбинацией? Если после очередного броска выпал орёл, то, если следующий бросок был орёл - инкрементировал ОО, а если - решка - инкрементировал ОР, и начинал считать заново. Возможно, так сильно повлияли на смещение результатов кривые броски - похоже, что я кидаю так, что та же сторона выпадает чаще, чем другая (я всегда монетку клал на указательный палец той стороной, которой она упала в прошлый раз).
@@DiIovну вы все же считали не то, потому что если считать как вы, должно получиться примерно одинаково, ведь в обоих случаях нужно ждать О, а затем с одинаковой вероятностью выпадает О/Р, нужно было считать именно сколько бросков занимает получение каждой из последовательностей
Цепи Маркова в помощь... Почти то, что нужно рисовалось, граф цепи Маркова. Нужно ещё дополнительное состояние цепи дорисовать ОО для первой задачи и ОР для второй.
Можно и проще посчитать. Для ОР там нужно посчитать сколько в среднем подбрасываем чтобы выпал орел (просто один) потом нужно сколько в среднем подбрасываем до решки (немного подумав понимаем это столько же подбрасываний). Сумма n/2^n это 2 (известная задача) ну значит ОР это 2+2. Для ОО из видео решение наверное самое простое
Я сразу прикинул 4 варианта. РР РО ОО ОР В первом случае, где нам нужно выбить орлов, у нас один исход оставляет половинку нашей цели, это - РО, а второй победный - ОО. Во втором случае, нам два варианта оставлют половинку цели - РО и ОО, а ещё один победный - ОР. То есть очевидно здесь больше положительных исходов и в среднем это чаще выпадет.
Добрый день, Борис! Спасибо вам за ваши видео. Прохожу курс Data Science на Udemy и там много статистики - вероятности, распределения, расчёт мат.ожиданий, регрессий и т.д. Вроде бы английский знаю свободно, но голова сломалась. Пришёл к вам смотреть на русском. Вроде что-то становится понятнее. Спасибо огромное! Но, я так понимаю, околостатистических тем у вас не много. Может быть вы могли бы посоветовать мне какие-нибудь хорошие материалы или курсы на русском языке?
Интересная закономерность. Что интересно, не смотря на разное среднее количество бросков, если рассматривать, что выпадет первее в одной последовательности, то шансы 50/50 и в среднем занимает три броска: X = (x+1)/2 + 2/2 => в случае, если выпадает решка, то у нас получается x+1, а если выпадает орёл, то следующий бросок точно создаст либо ОО, либо ОР.
Видео сподвигло вспомнить аналитический метод. Ряд можно не составлять. Можно решить через СЛАУ. Будем считать мат. ожидание орёл орёл ОО. При первых двух бросках получаем 4 комбинации ОО - серия окончена РР - серия продолжается с условным мат. ожиданием М1 не считая первых двух бросков РО - серия продолжается с условным мат. ожиданием М2 не считая первых двух бросков ОР - серия продолжается с условным мат. ожиданием М3 не считая первых двух бросков Продолжится все может так РРО РРР РОО РОР ОРР ОРО Составляем систему 0.5*(М2+1)+0.5*(М1+1)=М1 0.5*1+0.5*(М3+1)=М2 0.5*(М1+1)+0.5*(М2+1)=М3 её решение М1=6 М2=4 М3=6 Находим мат. ожидание длины серии 0.5²(2+(М1+2)+(М2+2)+(М3+2))=6 Программа в маткаде даёт тот же результат. PS Посмотрел видео. Немного я усложнил решение, но суть такая же. Надеюсь моё решение тоже кому-то поможет понять задачу лучше.
Кстати для ОР. Есть такая штука как геометрическое распределение. если первым выпадает орёл то будет это распределение. Мат. ожилание длины цепочки до первого успеха 1/p=1/0.5=2 и нужно учесть что первый раз уже бросили 1+1/p=3 если выпала решка то сначала должна пройти серия (условно) рррррро и затем ooooр (может и так быть pppo p) мат. ожидание суммы этих случайных величин по свойствам мат ожидания (1+1/p) + 1/p=5 Найденные мат ожидания условные поэтому искомое мат. ожидание 0.5*3+0.5*5=4 Но здесь правда пользуемся готовыми формулами для известного распределения.
Я, наверное, рассуждал неверно, но со следующей логикой: Вероятность выпадения О или Р = 50/50, т.е. при 10 бросках = 5/5 При выпадении первого О (а это необходимое условие), выпадение О в следующих 9 ходах ниже чем выпадение Р)
@@trushinbv Наверное, проще всего на вики ссылку дать. ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%B3%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8 Не уверен, что ссылка в комменте работать будет, так что можно просто в поиске вики вбить "Игра Пенни".
@trushinbv Не знаю, отправился ли предыдущий комментарий со ссылкой, не вижу что-то.( Вот цитата с вики, там Игра Пенни легко находится. "Суть этого парадокса сводится к следующему: пусть А и Б играют в такую игру - сначала А выбирает произвольную двоичную последовательность (например, из нулей и единиц) длины 3 и показывает её игроку Б. Затем Б делает то же самое. Далее игроки строят случайную двоичную последовательность, в которой появление 0 и 1 равновероятно (например, бросают монету, считая выпадение орла за 1 и решки за 0). Выигрывает тот игрок, чья последовательность встретится раньше в этой случайной последовательности. Например, пусть игрок А выбрал тройку 001, а игрок Б - тройку 100. Пусть при 5-кратном бросании монеты получилась случайная последовательность 10100. Последние 3 цифры в ней - 100 - совпадают с тройкой, выбранной игроком Б, а тройка А не встретилась, поэтому после 5-го бросания монеты игрок Б выигрывает. Парадокс заключается в том, что для любой тройки игрока А найдётся такая тройка, которая выигрывает у неё с вероятностью, большей 1/2."
Интересно, что если два человека решат играть в игру - кидать монетку, и если первым случится ОО то один платит другому рубль, а если первым случится ОР, то наоборот - то это будет совершенно равная игра. Несмотря на результат из ролика.
Поставил на паузу. Произвёл подбрасывание монеты и 33 раза записывал и тот, и другой результат. У меня вышло, что очерёдность ОО в среднем выходит три подбрасывания. Очерёдность ОР - 3-4 подбрасывания. То есть, в среднем, одинаково
Я смог найти мат ожидание числа бросков для случая ОО в виде ряда с общим членом F(k-1)•k/2^k , где F(k-1) - это к-1 число Фибоначчи, а посчитать сам до конца не смог... Я полез в программу, показывает, что ряд сходится к 6.
Борис стал буквально за год изменений выглядеть с 40-летнего на 25-летнего аспиранта. Красавчик)
Борис, да Вы похудели)
Наверное в зал ходит, железо тягает. Или бегает... Ещё бы до Панчина это дошло.
@@ИванВоронин-и2м Помню его пост про его первые 3 км в беге) Был очень рад за Бориса. Я думаю он продолжает заниматься активно
@@ИванВоронин-и2мУ Панчина как раз только что видео по теме вышло)
кризис среднего возраста, но выглядит отлично и объясняет ещё лучше.
@@mik5482 , всем бы такой кризис среднего возраста. Думаю, что Вы поспешили с таким заявлением. Если рассмотреть определение кризиса среднего возраста, то говорится о связи с молодостью, а именно: важные идеи, мечты, которые не сбылись, однако Борис в детстве, в молодости не любил спорт, исходя из слов Бориса. Следовательно, это не подходит под критерий кризиса среднего возраста. Если что, худеть можно и без спорта, но теперь у Бориса есть спорт в жизни. И думаю, что Борис прекрасно знает, что можно худеть без спорта, но, видимо, взгляды поменялись, что и нормально.
Смотрю переодически вас с 2018. Выглыдите моложе и энергичнее чем 6 лет назад! Борис, вы пример хорошего человека
Кто мне Аполлона в телефон засунул😮
Внешний вид поменялся в лучшую сторону.
А содержание всегда на высоте
прежний больше заходил, мне
важно чтоб ему нравилось, а тоо не важно
у него глаза блестят
Пока смотрел видео, захотел рассчитать точное математическое ожидание, через сумму ряда, но потупив пару минут решил влезть в питон и провести компьютерную симуляцию того, что происходит.
Запускается цикл на 1 миллион итераций - внутри каждой итерации реализуется еще один цикл для создания последовательности из орлов и решек, которые извлекаются из распределения Бернулли (или просто равновероятно) и остановки внутреннего цикла, когда получена комбинация ‘OR’ - среднее значение длин таких последовательностей оказалось 4.000933.
Аналогично реализовал цикл для случая ‘OO’ - среднее значение 5.996921.
Спасибо за ролик, было интересно)
Я бы тоже имитировала. Формулы ТЫ плохо понимаю
Вы применили продвинутый метод Монте-Карло, а не просто тупо бросали монетки!
Видео сподвигло вспомнить аналитический метод. Сумму ряда считать не нужно. Нужно составить систему. Будем считать мат. ожидание орёл орёл ОО. При первых двух бросках получаем 4 комбинации
ОО - серия окончена
РР - серия продолжается с условным мат. ожиданием М1 не считая первых двух бросков
РО - серия продолжается с условным мат. ожиданием М2 не считая первых двух бросков
ОР - серия продолжается с условным мат. ожиданием М3 не считая первых двух бросков
Продолжится все может так
РРО
РРР
РОО
РОР
ОРР
ОРО
Составляем систему
0.5*(М2+1)+0.5*(М1+1)=М1
0.5*1+0.5*(М3+1)=М2
0.5*(М1+1)+0.5*(М2+1)=М3
её решение М1=6 М2=4 М3=6
Находим мат. ожидание длины серии
0.5²(2+(М1+2)+(М2+2)+(М3+2))=6
Программа в маткаде даёт тот же результат.
А мне больше было интересно посмотреть минимальную и максимальную последовательность для 1 миллион итераций. (Понятное дело, что минималка 2 и там, и там).
Для 'OR' максимальные последовательности в диапазоне 25-30 бросков.
Для 'OO' максимальные последовательности в диапазоне 70-80 бросков.
Т.е. при мат. ожидании в 6 бросков, может случиться так, что нужно будет сделать 60 бросков. ;)
Борис, да вы прямо похорошели)) Так держать! 👍 Спасибо за новое видео
Последний раз, когда я заходил на этот канал, Борис ещё был с хвостом). И я бы очень удивился, если бы не был подписан на его Инстаграм. Вот и вы подписывайтесь - такая вот внезапная интеграция.
Если бы ты смотрел все видео, увидел бы преображение на видео
Раньше Трушин был металлюга, а теперь хипстер какой-то)
С пива на смузи перешёл))
Ужасные репрессии!!😅
Хипстером в хорошем смысле.
Может просто жене в карты проиграл???
Но металлюга, окончивший попутно семинарию, замечу!
Это потрясающе полезная тема, потому что она развивает критическое мышление. После всех этих софизмов и парадоксов уже по-другому воспринимаешь жизнь, прогнозы и суждения. С удовольствием посмотрел, хотя мне уже далеко за 30. Спасибо!❤
А школьникам это нужно изучать обязательно, наряду с когнитивными искажениями.
Конечно, давайте подобные сюжеты, очень интересно
Борис Трушин просто легенда
Ура! Новое видео! Вы всегда интересно объясняйте теорию вероятностей. А ещё я начал изучать вашу книгу по теории чисел, очень доступно и интересно, спасибо за труд!😊
привет из Невьянска!
можно ссылку на книгу?
@@kent1723 bombora.ru/books/serie/matematika_s_borisom_trushinym/
Отлично выглядишь Борис! В здоровом теле здоровый дух!
какой же кайф
контент - золото!
спасибо ❤
Спасибо и побольше сюжетов из теории остатков!
Борис, Вы выглядите отлично. Так держать!
до сих пор в голове не укладывается. парадокс практически. здорово.
Да, интересны такие задачки. Давайте ещё.
отличная тема про вероятности, побольше таких сюжетов.
Борис, да вы помолодели! Респект! Главное- интеллект только «не похудел»! ❤
спасибо за разбор, очень познавательно!
очень интересны подобные задачи. спасибо!
Отлично выглядите!
Как всегда, огромное спасибо вам за повышение квалификации и просто мега интересный контент! Саша, магистр математики, 41 годик
Борис Викторович, огромное спасибо за новое видео! Ваш вклад в популяризацию математики среди молодежи трудно переоценить. Сам я ещё учусь в школе, но очень интересуюсь тригонометрией. Очень бы хотел увидеть ролик, в котором вы расскажите про редко используемые тригонометрические функции, а то информации в интернете о них не так много. Спасибо за труд!❤
Борис краш 😮😍
Видела недавно еще фото в молодости, красавец
Очень классная задача и очень спасибо Борису!
По-моему контент становится по современному стильным, респект всем, кто там на бэке.
не бэке - это где? )
@@trushinbv Предположительно - кто-то помогает организовывать, снимать, монтировать, оформлять и продвигать?
Или вы один всё это делаете??
@@goge- Сам )
Но организовывать ничего особо не нужно, а продвижением я не занимаюсь
@@trushinbv Очень здорово получается, интегральная услада головы!
вот что Тбилиси с людьми делает)
отлично выглядите, Борис
Он че либераха бежавшая?
Крутая задача. Очень интересный метод - понимание зависимости неизвестной от самой себя, и потом решение. Было бы здорово посмотреть еще решений с таким подходом, не только по вероятностям. Может, и в каких-то классических задачах можно применять такой метод? Спасибо, Борис!
Вас не узнать, вы красавчик!
Офигенное. Больше парадоксов👍
Вот это преображение)
Приятно смотреть. Сначала подумал, что кто-то другой канал вести начал ))
Удачи в развитии! Уже много лет ваши видео подогревают интерес к математике)
Борис красавчик!
Я Вас сначала не узнала!🤣🤣🤣 Красавчик!!!
Борис, отлично выглядите!
Спасибо за контент
Спасибо за видео. Задача интересная. Савватеев уже не разбирал как-то. Это очень интересные задачи. Ждём видео про такие задачи
Борис, Вы чего так помолодели? Молодец!
мощно похудели, круто
знать производящие функции - это супер круто владеть математикой!? ruclips.net/video/-ehAHD9LUfc/видео.html
Хоть и простая, но достаточно интересная задачка. Надо сказать, что сначала (до включения логики) действительно рефлекторно хочется сказать, что одинаково :)
Мне очень нравится, что вы доступно доносите мысль даже тем, кто не силён в математике.
Большой вам респект, Борис! Вас интересно и приятно слушать
Интересуют такие задачки!😮
Офигенно элегантное решение
Красавчик!!! Вот ,что значит ГОООРЫ
Борис Викторович - математически строгий, но при этом невероятно добрый
looking good, BV :) It is a fun problem 😎
Даже не узнал, как увидел вас
В мгновение подумал, что новый ведущий появился 😅
такие задачки очень интересны. Эти рассуждения объясняют почему люди не верят, что "снова выпадет красное"
о, вот тут доходчиво объяснили!
Круто, спасибо большое!
Абалдеть, мне задавали задачу с двумя орлами в школе. И я не понял как решить, мне учитель сказала, что понадобиться 4 броска, но как оказывается задача гораздо глубже и интереснее!
Без Ь
@@sergeyshmargilov1535 ?
Думаю исходили из того, что есть всего 4 исхода, то есть равносильно броску четырёхгранного кубика.
Правда учитывая, что один бросок кубика это два броска монетки и мы игнорируем предыдущий бросок, то мат ожидание в итоге получается 4х2=8.
Очень крутое видео, спасибо!
😮 Борис, да вас не узнать. Похудел, помолодел, сменил имидж 🔥💣👍
Если ещё и качаться начнёт, то получится Коваль2 😅
@@Татьяна-щ2г3б Главное - не сменил пол)))
Красивая задача. Спасибо, Борис! Меня сразу потянуло на распределения Бернули и биномиальное, но все как-то проще получилось :)
Гениально!
Не досмотрел еще видео до конца, но скормил задачу в ChatGPT. Его ответ следующий:
- Мат. ожидание для ОО равно 6
- Мат. ожидание для ОР равно 4
Для нахождения мат. ожидания использовался метод марковских цепей. Теперь пойду досматривать видео, прав ли окажется ИИ ))
Я тоже скормил эту задачку GPT. И он выдал мат ожидание 6 для обоих двух случаев. Причём с решениями.
Красивое решение.
вау! вы молодец ❤
Афигеть!
ИЧСХ, я с начала думал: одинаково. Но включил видео, посмотрел, что Борис говорит именно о том, о чём я подумал и понял что сейчас будет вывод, что не одинаково, ибо Борис шуток не шутит и тут всё серьёзно.
Так оно и оказалось.
Спасибо! Очень интересно! Ещё, дядя! Хочу ещё!))0000))00
Очень понравилось
Так, ну схема понятна, пошел за горстью монет и картонкой. Потом к метро )
Есть, кстати, смежная задача с тоже очень контринтуитивным ответом (я вообще изначально подумал, что ролик будет про неё): Вася и Петя подбрасывают монетку, Вася выиграет если сначала появится ОО, Петя выиграет, если сначала появится РО. Хотя казалось бы игра симметричная, как не сложно убедиться Петя на самом деле имеет 75% шанс выигрыша. А для последовательностей длины хотя бы 3 оказывается, что для любой последовательности из орлов и решек, есть другая последовательность, которая её строго выигрывает, это в Википедии по статье Penney's game можно почитать со ссылками.
Для РР тоже можно использовать геометрическое распределение.
Случайная величина устроена так
оор(ооороооорр)
и ещё один пример р(ооорорр)
т.е. сумма двух геометрических распределений. Первое по порядку обычное где первый успех это решка. Второе устроено похитрее. Здесь неудача это цепочка геометрического распределения его запускает орёл и успешное событие это решка. Вероятности событий "цепочка" "решка" 50/50. Номер первого успеха 1/p=2 . Мат ожидание длины успешного события const и равно 1. Неуспешного = 1 (т.е собственно орёл запускающий цепочку) плюс 1/p мат. ожидание "хвостика" дополняющего орёл, в итоге поучаем 1+1/p=3. т.к. мат ожидание номера первого успеха равно 2 и в нем 1 последнее событие то в итоге мат. ожидание длины всей цепочки (1+1/p)+1=4. Итак получили мат ожидание двух событий певой цепочки 2 и второй "хитрой" цепочки 4 складываем оба эти мат ожидания 2+4 и получаем 6.
Офигеть, вообще не узнал. Молодец)
Даёшь больше теории вероятности
Из парадоксов: если ничего не путаю, то вероятность того, что два орла подряд выпадут сразу равна вероятности того, что два орла подряд выпад после 100 "неудач" (все решки, решки чередуются с орлами и т. д.).
Второй, про который было бы интересно послушать - "парадокс дней рождения".
Для двух орлов вероятность "ровно 5 бросков" = 3/32. В общем случае получается следующее:
n=2: 1/2^2
n=3: 1/2^3
n=4: 2/2^4
n=5: 3/2^5
n=6: 5/2^6
.......
n=k: (k-1)-е число Фибоначчи/2^k
Для последовательности "орёл-решка":
n=k: (n-1)/2^k
Второе ведь очень доступно объясняют любые источники, шанс что у двух не совпадут дни рождения 364/365, у трёх 364*363/365^2.. Таким образом достаточно быстро эта цифра становится меньше 1/2
Ну почему Трушин мне попадается перед тем, как собираюсь идти спать? ПОЧЕМУ?!
Ну для случая ОР понятно, что как только случился первый орёл, победа близка: последующий орёл оставит нас в том же самом состоянии, а решка даст-таки победу
С двумя орлами решка всё обнуляет, поэтому бросков будет требоваться больше
Клевая задача) Я по интуиции делал так:
Всего может быть 4 комбинации ОО, ОО (но перевернутые), ОР и РО. А поскольку ОО и ОО одинаковые, то и выпадать будут чаще.
Лайк подписка продвиженье!
Ожидаемое число бросков до ОР меньше, чем до ОО. Но если двое поспорили, что раньше выпадет, то вероятности выиграть у обоих равны. Тоже (псевдо)парадокс.
Нет, вероятность у ОР больше
@@ЮраПельман подумай ещё разок
Просто формулировка задачи недостаточно четкая.
@@ЮраПельманнет, после любого броска состояние двух последних монет равновероятно
@@ЮраПельманесли мы с вами поспорили на эти две комбинации, то мы оба будем ждать первого орла (вне зависимости от того, каким он выпадет, первым, десятым, сотым, и т.д.), а сразу после первого орла наступит равновероятная победа любого из нас в зависимости от следующего броска. Суть парадокса как раз не в вероятности выпадения отдельной комбинации, а в том, что результат противоречит приведённому топикстартером примеру.
Подбрасывал монетку до 50 исходов, итог следующий:
31 ОО,
19 ОР.
Видео ещё не смотрел, интересно, насколько близок эксперимент к реальности?
А ты что считал?) Первое появление КАКОЙ-ЛИБО комбинации, или первое появление КОНКРЕТНОЙ комбинации?
@@longpastgone что ты имеешь в виду под "какой-либо" и "конкретной" комбинацией?
Если после очередного броска выпал орёл, то,
если следующий бросок был орёл - инкрементировал ОО,
а если - решка - инкрементировал ОР,
и начинал считать заново.
Возможно, так сильно повлияли на смещение результатов кривые броски - похоже, что я кидаю так, что та же сторона выпадает чаще, чем другая (я всегда монетку клал на указательный палец той стороной, которой она упала в прошлый раз).
@@DiIovну вы все же считали не то, потому что если считать как вы, должно получиться примерно одинаково, ведь в обоих случаях нужно ждать О, а затем с одинаковой вероятностью выпадает О/Р, нужно было считать именно сколько бросков занимает получение каждой из последовательностей
Борис помолодел лет так на 10 точно
Наш Борька - это Бенджамин Б.
удивительные вещи рядом
О, наконец написали как решается задача про лохотрона, 1 проба - 1 рубль, въигръш при 00 - 5 рубля! Спасибо!
Цепи Маркова в помощь... Почти то, что нужно рисовалось, граф цепи Маркова. Нужно ещё дополнительное состояние цепи дорисовать ОО для первой задачи и ОР для второй.
Хороший стиль, прям Джельсомино!) Комбинаторикой не быстрей это решить?
я вот тоже в комбинаторику сначала полезла, я хз, как там высчитать средннее число бросков, но сравнить с помощью нее точно легко, даже не считая
Можно и проще посчитать. Для ОР там нужно посчитать сколько в среднем подбрасываем чтобы выпал орел (просто один) потом нужно сколько в среднем подбрасываем до решки (немного подумав понимаем это столько же подбрасываний). Сумма n/2^n это 2 (известная задача) ну значит ОР это 2+2. Для ОО из видео решение наверное самое простое
По теории вероятности 50 на 50
Я сразу прикинул 4 варианта.
РР
РО
ОО
ОР
В первом случае, где нам нужно выбить орлов, у нас один исход оставляет половинку нашей цели, это - РО, а второй победный - ОО.
Во втором случае, нам два варианта оставлют половинку цели - РО и ОО, а ещё один победный - ОР. То есть очевидно здесь больше положительных исходов и в среднем это чаще выпадет.
Трушинлендер😍
Добрый день, Борис!
Спасибо вам за ваши видео. Прохожу курс Data Science на Udemy и там много статистики - вероятности, распределения, расчёт мат.ожиданий, регрессий и т.д. Вроде бы английский знаю свободно, но голова сломалась. Пришёл к вам смотреть на русском. Вроде что-то становится понятнее. Спасибо огромное! Но, я так понимаю, околостатистических тем у вас не много. Может быть вы могли бы посоветовать мне какие-нибудь хорошие материалы или курсы на русском языке?
Да вы сегодня Модный )) Зачёт !!
Интересная закономерность. Что интересно, не смотря на разное среднее количество бросков, если рассматривать, что выпадет первее в одной последовательности, то шансы 50/50 и в среднем занимает три броска: X = (x+1)/2 + 2/2 => в случае, если выпадает решка, то у нас получается x+1, а если выпадает орёл, то следующий бросок точно создаст либо ОО, либо ОР.
Видео сподвигло вспомнить аналитический метод. Ряд можно не составлять. Можно решить через СЛАУ. Будем считать мат. ожидание орёл орёл ОО. При первых двух бросках получаем 4 комбинации
ОО - серия окончена
РР - серия продолжается с условным мат. ожиданием М1 не считая первых двух бросков
РО - серия продолжается с условным мат. ожиданием М2 не считая первых двух бросков
ОР - серия продолжается с условным мат. ожиданием М3 не считая первых двух бросков
Продолжится все может так
РРО
РРР
РОО
РОР
ОРР
ОРО
Составляем систему
0.5*(М2+1)+0.5*(М1+1)=М1
0.5*1+0.5*(М3+1)=М2
0.5*(М1+1)+0.5*(М2+1)=М3
её решение М1=6 М2=4 М3=6
Находим мат. ожидание длины серии
0.5²(2+(М1+2)+(М2+2)+(М3+2))=6
Программа в маткаде даёт тот же результат.
PS
Посмотрел видео. Немного я усложнил решение, но суть такая же. Надеюсь моё решение тоже кому-то поможет понять задачу лучше.
Для ОР
0.5*1+0.5(М1+1)=М1
0.5(М2+1)+0.5(М3+1)=М2
0.5(М1+1)+0.5(М2+1)=М3
Решение системы М1=2 М2=4 М3=2
М=0.5²(2+(М1+2)+(М2+2)+(М3+2))=4
Кстати для ОР. Есть такая штука как геометрическое распределение.
если первым выпадает орёл то будет это распределение. Мат. ожилание длины цепочки до первого успеха 1/p=1/0.5=2 и нужно учесть что первый раз уже бросили 1+1/p=3
если выпала решка то сначала должна пройти серия (условно)
рррррро и затем ooooр (может и так быть pppo p)
мат. ожидание суммы этих случайных величин по свойствам мат ожидания (1+1/p) + 1/p=5
Найденные мат ожидания условные поэтому искомое мат. ожидание
0.5*3+0.5*5=4
Но здесь правда пользуемся готовыми формулами для известного распределения.
Панки хой
Но живость во взгляде осталась прежней)
Я, наверное, рассуждал неверно, но со следующей логикой:
Вероятность выпадения О или Р = 50/50, т.е. при 10 бросках = 5/5
При выпадении первого О (а это необходимое условие), выпадение О в следующих 9 ходах ниже чем выпадение Р)
Почему Борис молодеет? Как это работает вообще
Вау! Сложно, но я даже понял!
А "Игру Пенни" рассмотрите в качестве продолжения темы?)
А можно условие? )
@@trushinbv
Наверное, проще всего на вики ссылку дать. ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%B3%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8
Не уверен, что ссылка в комменте работать будет, так что можно просто в поиске вики вбить "Игра Пенни".
@trushinbv
Не знаю, отправился ли предыдущий комментарий со ссылкой, не вижу что-то.(
Вот цитата с вики, там Игра Пенни легко находится.
"Суть этого парадокса сводится к следующему: пусть А и Б играют в такую игру - сначала А выбирает произвольную двоичную последовательность (например, из нулей и единиц) длины 3 и показывает её игроку Б. Затем Б делает то же самое. Далее игроки строят случайную двоичную последовательность, в которой появление 0 и 1 равновероятно (например, бросают монету, считая выпадение орла за 1 и решки за 0). Выигрывает тот игрок, чья последовательность встретится раньше в этой случайной последовательности. Например, пусть игрок А выбрал тройку 001, а игрок Б - тройку 100. Пусть при 5-кратном бросании монеты получилась случайная последовательность 10100. Последние 3 цифры в ней - 100 - совпадают с тройкой, выбранной игроком Б, а тройка А не встретилась, поэтому после 5-го бросания монеты игрок Б выигрывает. Парадокс заключается в том, что для любой тройки игрока А найдётся такая тройка, которая выигрывает у неё с вероятностью, большей 1/2."
Базу выдаете )Выпускники 2020 году тут есть?
X = sum((n+1)*F(n)/2^(n+1)) = 6, n = 1:inf;
Y = sum((n+1)* n /2^(n+1)) = 4, n = 1:inf.
Ого! А кто этот эффектный мущина? Новый ведущий?
Интересно, что если два человека решат играть в игру - кидать монетку, и если первым случится ОО то один платит другому рубль, а если первым случится ОР, то наоборот - то это будет совершенно равная игра. Несмотря на результат из ролика.
Поставил на паузу. Произвёл подбрасывание монеты и 33 раза записывал и тот, и другой результат.
У меня вышло, что очерёдность ОО в среднем выходит три подбрасывания.
Очерёдность ОР - 3-4 подбрасывания. То есть, в среднем, одинаково
Я смог найти мат ожидание числа бросков для случая ОО в виде ряда с общим членом F(k-1)•k/2^k , где F(k-1) - это к-1 число Фибоначчи, а посчитать сам до конца не смог... Я полез в программу, показывает, что ряд сходится к 6.
Для ОР ряд получается с общим членом (k-1)*k/2^k. Вроде как сходится к 4.
Там это довольно легко выводится с помощью метода производящих функций