IL PROBLEMA DI MONTY HALL (spiegazione veramente semplice) + VARIANTE FINALE!
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- Опубликовано: 27 авг 2024
- Buongiorno a tutti! In questo video voglio trattare il problema di Monty Hall, un problema conosciutissimo, ma che sempre desta discussioni. Lo conoscete tutti: siamo in un quiz televisivo in cui al concorrente viene data la possibilità di scegliere far tre pannelli. Dietro uno di questi si cela un' auto nuova, mentre dietro gli altri due si celano due capre. Il concorrente sceglie e poi il conduttore apre una porta rivelando una capra e a questo punto chiede al concorrente se vuole mantenere la porta scelta all'inizio oppure se vuole cambiarla: che si fa?
Con 100 porte il concetto diventa molto ma molto più chiaro e comprensibile, complimenti e grazie. Ciao
Grazie a te!
Quesito molto interessante. Complimenti per i tuoi video. Ecco la mia risposta.
Le probabilità tornano al 50%. Vediamo perché.
Analizziamo tutti i casi elementari possibili.
Assumiamo che il concorrente scelga la prima carta. I casi possibili sono i seguenti:
1 : il concorrente ha vinto,
a) il conduttore trova capra 1
b) il conduttore trova capra 2
2 : il concorrente trova capra 1
a) il conduttore vince
b) il conduttore trova capra 2
3 : il concorrente trova capra 2
a) il conduttore vince
b) il conduttore trova capra 1
Abbiamo 6 casi possibili. Però sappiamo che il conduttore ha trovato una capra e quindi dobbiamo escludere due casi ( 2a e 3a). Rimangono 4 casi. Due di questi vedono il concorrente vincente senza cambiare (1a e 1b) e gli altri due vedono il concorrente vincente se cambia (2b e 3b). Quindi è indifferente cambiare, le probabilità di vincere per il concorrente sono sempre del 50%.
Ciao, grazie mille per il tuo commento interessante😉
Hai fatto un ottimo ragionamento e sto pensando di fare un video su questo argomento. Dovró solo trovare il tempo e la motivazione (perchè ti dico la verità: questi video di pochi minuti richiedono parecchie ore di "lavoro" e non sempre ho voglia di mettermi davanti al computer per tutto questo tempo)oltre che fare ulteriori ricerche in merito.
Ho consultato diversi siti e notato che ci sono opinioni molto diverse al riguardo, ma io stesso la penso come te, però voglio essere sicuro che la mia analisi sia corretta.
Oltre alle varie simulazioni, un ragionamento che ho fatto prende spunto da un vecchio indovinello, ovvero quello dei due amici che giocano a testa e croce. Li chiamiamo Aldo e Bruno. Aldo lancia la monetina 6 volte e per 6 volte esce testa, quante sono le possibilità che al settimo lancio esca ancora testa?
La risposta è ovvia: sono comunque 50-50.
Quindi lo stesso vale per le porte rimaste, secondo me. E questo funziona anche con la variante a 10 o 100 porte. Mettiamo caso che Monty abbia aperto casualmente 8 porte e dietro ognuna di esse abbia trovato una capra, quante sono le possibilità che alla fine trovi ancora una capra?
Sono 50-50, perché alla fine sono rimaste due porte e si è arrivati a quel numero secondo una serie di eventi casuali e non a motivo della conoscenza che lo portava, ovviamente, ad eliminare porte che sapeva essere sbagliate.
Ma ci devo lavorare ancora un po'...
Gran ragionamento… eppure io penso che sia sempre più conveniente cambiare perche è vero che Monty non sapeva dove fosse la macchina (e quindi l’apertura della porta è casuale) , ma è pur vero che io concorrente effettuo la mia scelta solamente dopo aver visto che dietro la porta aperta ci sia la capra, cioè il controfattuale (cioè monty smemorato apre la porta con la macchina) renderebbe nullo il gioco.
Sarebbe 50 e 50 se venisse chiesto al concorrente: “guarda io tra un po apro la porta numero x ma non so cosa ne uscirá fuori perchè non me lo ricordo, preferisci cambiare senza sapere cosa c’e nella porta aperta?”
Francesco Albanese: osservazione molto interessante la tua. Merita riflessione...se la carta scelta dal conduttore non fosse rivelata sarebbe sicuramente come dici.
Grazie all’osservazione di Albanese credo di aver capito il mio errore: conviene cambiare perché la probabilità di vincere in tal caso diventa del 50%, mentre se non si cambia rimane quella iniziale del 33%.
Nel caso classico dove il conduttore sceglieva in maniera cosciente le probabilità passavano dal 33% al 66%.
Il punto è che questo gioco è comunque diviso in due fasi distinte e le probabilità si calcolano sui dati in possesso al momento della domanda. Dopo la prima domanda abbiamo ovviamente il 33,3% di possibilità di azzeccare la porta giusta e faccio una scelta.
Però, a questo punto, dopo l'apertura di una porta con dietro una capra, siamo di fronte ad uno scenario rinnovato e con nuovi dati a disposizione: sappiamo che la scelta giusta, mi da 1 porta su 2 come quella vincente e quindi in questo nuovo momento, il precedente scenario è cancellato, fa parte di una precedente situazione. Ora tenere o cambiare la porta, mi da indubbiamente il 50% di possibilità di vincere.
Il problema è creato dal fatto che si vuole analizzare la nuova situazione con i vecchi elementi che conoscevamo. In statistica con nuovi dati significativi, si rifanno i calcoli di probabilità o di previsione, altrimenti non funziona: ora le porte sono di fatto 2 non più 3, 100 o 1000.
Cambiare o tenere la porta è esattamente la stessa cosa che iniziare in questo punto il gioco e scegliere tra due porte.
Grazie sempre per la pazienza di fare il video
Ma anche no... Fatti il giochino 100 volte come se stessi giocando veramente... Vedrai che statisticamente cambiando scelta troverai (circa) 66 volte la macchina, e 33 volte la capra. Mentre mantenendo la scelta il contrario. Prova per credere
Bravissimo, continua!
Grazie mille!
Ciao grazie per il video, spiegato così ha molto più senso! Ma questo discorso vale anche per giochi come affari tuoi?
È un paradosso statistico e siamo d'accordo , ma è smontabile se si va ad analizzare la seconda scelta nel più classico dei 'qui ed ora' e non nel suo storico. La scelta di uno su tre, al momento che il presentatore solleva la prima porta , diventa un uno su due nell'attualità e resta uno su tre in una statistica che però adesso fa parte di uno storico, che è superata. Alla stato attuale , quello della seconda scelta, è matematicamente un 50 e 50 se ti viene data la facoltà di cambiare.
Che il conduttore sappia o no dove è celata l’auto non ha nessuna importanza! Si tratta sempre e comunque di un problema di probabilità condizionata.
La prima scelta effettuata ha sempre probabilità =1/3 mentre la seconda ha sempre probabilità 2(2/3x1/2)=2/3. Restare con la propria scelta iniziale equivarrebbe a non scegliere nel secondo evento.
Ottima spiegazione
Grazie mille!!!
matematicamente e corretto , giusto
pero il conduttore o gli organizzatori con la possibilita di mettere il premio dove vogliono mandano a monte le statistiche
lasciando il premio nella casa base , anche con 1 su 99 possono fare apposta a lasciare il premio nella carta 1
( commento cancellato modificato , avevo capito un altra cosa in un video simile )
Il punto è che, man mano che le porte aumentano, diventa sempre più difficile azzeccare al primo tiro. Ad esempio, se sono 1000 porte è quasi impossibile (mi deve dire di puro "culo") che azzecco alla prima scelta. Allo stesso modo, possiamo dire che è quasi certo che la macchina sia in una delle altre 999 porte e quindi l'unica cosa sensata all'inizio è partire un po' sfiduciati. Ora, questa stima iniziale non cambia più... cioè qualunque cosa accada dopo, sarà sempre difficile che io abbia azzeccato con la mia prima scelta dato che questa scelta era altamente disinformata.
Quando il presentatore elimina 998 porte CERTAMENTE ERRATE (questo particolare è rilevantissimo) io so che, a meno della difficilissima e improbabile sculata iniziale, la macchina deve essere nella porta residua.
Il fatto che il presentatore elimini porte CERTAMENTE ERRATE è cruciale, perché in quel momento lui conferisce a noi una parte dell'informazione in suo possesso circa la posizione della macchina - quindi noi, al momento del "cambio?" non stiamo più operando a caso, ma con un criterio. E scegliere di non cambiare, significa ignorare l'informazione ora in nostro possesso e scommettere di aver azzeccato alla prima botta la porta giusta tra 1000.
Su sole tre porte il vantaggio dato dall'informazione è minore. In effetti, su sole tre porte la sculata iniziale non è così difficile... è esattamente un terzo delle possibilità. Ma comunque un vantaggio nel cambio informato c'è, quindi se ripetiamo il gioco dal principio con sole 3 porte altre 1000 volte, accettando sempre il cambio finiremo per aver vinto più volte che non accettandolo.
Esatto😃
Chiarissimo. Grazie
Grazie a te!😃
Con il presentatore smemorato non cambia nulla.
Cambiare la mia scelta iniziale offre sempre e comunque il 66,6 % di vincere.
Bel video su un paradosso statistico che adoro!
Per la variante finale, se ho capito cosa accade, le probabilità non si modificano, perché comunque una capra è stata rivelata... quindi sempre 2/3 di probabilità ci sono cambiando porta.
Te ne propongo una anch'io di variante:
Le regole sono le stesse del gioco base, ma ci sono 5 porte. Tu scegli ben 2 porte su cui scommettere e il presentatore a sua volta apre 2 porte che non contengono l'auto.
A questo punto rimangono 3 porte chiuse: le 2 scelte da te e un'altra. Cosa fai? Lasci le tue 2 porte per la terza rimanente, oppure le tieni e speri che in almeno una delle tue due ci sia l'auto?
Ciao e grazie per il commento! Riguardo alla tua domanda voglio chiederti una cosa: il presentatore sa dietro quale porta si nasconde l’auto oppure apre porte a caso?
@@neureka8854 Ciao, sì sa dove si trova l'auto, come nello scenario originale di Monty Hall. Quindi apre 2 porte con il 100% di contenere 2 capre.
@@Tanukosauro a questo punto io cambierei comunque😉
@@neureka8854 esatto! ;) Cambiando hai 3/5 di probabilità di prendere l'auto, tenendo solo i 2/5
@@Tanukosauro bello! Potrebbe trarre in inganno perché può sembrare che con 2 porte vs 1 le probabilitá sono a nostro vantaggio, ma il ragionamento alla base è lo stesso del problema originale😉 interessante, magari potrei farci un video se vuoi
E perchè mai ? Su tre porte la mia ha il 33,3% di essere vincente come perdente e così il secondo gruppo ha il 66,6% di probabilità di essere vincente o perdente.
Scoperta una del secondo gruppo è perdente perchè mai dovrei pensare che la restante porta sia più fortunata della mia ?
Da come la vedo io questa è semmai la conferma che anche la seconda porta del secondo gruppo sia perdente.
E poi perchè mai attribuire sempre il 66.6% alla porta rimasta del secondo gruppo ?
Scartata una porta è come se il gioco ricominciasse da zero e quindi avresti sempre il 50%.
Questo ragionamento forse potrà servire come espediente per convincere a cambiare la scelta.
Ciao, quello che dici è vero nel caso la porta scartata venisse scelta casualmente. Allora sì che il gioco si “resetterebbe”, ma il conduttore sapendo quale è la porta vincente, eliminerà sempre e solo una porta perdente che sicuramente si troverà nel gruppo delle due rimaste. Lui elimina per così dire la “tara”, ma nella sostanza avendo due porte a sua disposizione ha il 66,6% di possibilità di vincere 😉
@@neureka8854 Ti chiedo scusa, il mio commento era di pancia. Comunque dopo ne avevo visto un'altro che mi ha aperto gli occhi con un semplice esempio usando tre bicchieri e una noce. E' incredibilmente vero.
@@Frujek ma figurati! L'ho vistoo anch'io quel video ed è fatto bene!
Comunque una piccola prova che analizza i tre possibili scenari (la nostra scelta è la porta 1)
1) Porta 1: auto
Porta 2: capra
Porta 3: capra
Il conduttore apre una delle due porte, ma poco conta tenendo la porta si vince
2) porta 1: capra
Porta 2: auto
Porta 3: capra
In questo caso il conduttore aprirà la porta 3, non cambiando perderemmo.
3)
Porta 1: capra
Porta 2: capra
Porta 3: auto
In questo caso il conduttore aprirà la porta 2, non cambiando perderemmo.
Si perde in due casi su 3, questo perchè il conduttore aprirà SEMPRE la porta sbagliata, ma lo fa con cognizione di causa, quel fetente!
Infatti tutto il problema si risolve considerando la percentuale iniziale del 33,3 % di trovare la macchina contro il 66,6 % di trovare la capra.
Quindi se io scelgo una porta e in quella porte c'è una capra ,cambiando la mia scelta iniziale ho effettivamente la certezza di vincere la macchina.
Quindi visto che porte sono 3 e le capre sono due ho effettivamente il 66,6 % di possibilità di scegliere inizialmente la capra e cambiando la mia scelta iniziale vincere la macchina.
Ciao il tuo ragionamento e vero se anche nelle rimanenti scelte ci siano delle CONDIZIONI cioè se chi mi induce a scegliere di cambiare lo fa xke sa che sto x indovinare la porta giusta oppure no.. quindi la cosa e vera ma sempre Condizionale.. xke se tolgo la condizionale, da una scela che parte dal 33.3 -33,3 -33,3 se una di queste scelte la tolgo, le altre due diventano matematicamente de 50-50 xke nessuna Condizione antecedente di scelta, fatta da un'altro, che togliendo di mezzo un 33,3 errato, mi potrà dare la sicurezza che la mia scelta del 33,3 o l'altra 33,3 sia quella giusta, a meno che il condizionatore che mi ha tolto di mezzo il primo 33,3 mi induca CONDIZIONANDOMI a cambiare scleta o meno perchè sa che sto x indovinale quella giusta e quindi portando via la vincita.. facendo un'altro esempio ho una Torta la divido in 3 parti una delle 3 fetta e marcia.. al principio e un INSIEME di 1/3 se da qui ne tolgo una (buona) rimane un INSIEME di 2 parti quindi 1/2 quindi una scelta di 50% e 50% e il fatto che sia stata tolte una fetta buona dall'insieme di 3 parti NON mi da sicurezza alcuna che la mia fetta scelta dall'inizio sia quella buona... a meno che la selta non sia Condizionata PRMA o DOPO da qualche evento o informazione che sia.. questo Chiamato Paradosso sta alla base del Gioco dei Pacchi sulla RAI ma la scelta senza condizioni e sempre una scelta matematica di INSIEMI infatti prima è un insieme di 3.. quindi 100%:3 se ne tolgo una diventa un insieme di 2 quindi 100%:2 e rimane solo scelta di probabilità e basta, a meno di CONDIZIONARE la scelta x qualche motivo quindi inducentoti a Sbagliare.. POI POSSO SBAGLARE anche IO.. ciao. LUIGI
salve,se io sono il conduttore del gioco decido dove posizionare la porta vincente e cosa importante non lo decide il caso,se faccio 10 esempi in sequenza vi dimostro che la scelta vincente e'sempre la prima ovvero non cambiando porta vinco o meglio in un numero altissimo di giocate le possibilita'sono del 50% e non 33%,dipende da dove e'collocata la porta vincente e cosa scelgo io
Esatto: bravo!
Bravo anche stavolta un video interessante!! ... Nella variante finale 🤔.. forse si che le percentuali tornano al 50....
Grazie mille Pierfrancesco, mi fa sempre piacere ricevere commenti, specialmente in un periodo in cui l'algoritmo di RUclips è più "calmo" rispetto a qualche settimana fa...
Per la variante: ne riparliamo fra qualche giorno! Sono curioso di vedere cosa dicono altri e, comunque, non è un argomento che mi sento di affrontare a mezzanotte passata😅😬😊
@@neureka8854 ... Infatti anche io sono più addormentato che sveglio!! 😁👋
@@neureka8854 a me sembra nell' ipotesi finale si torni al 50% Ci vorrebbe una bella simulazione al computer
Esatto, nella variante finale si ritorna al 50-50😉
@@neureka8854 👏👏👏
Per la variante:
Possiamo usare la "spiegazione delle 100 porte" e poi applicarla alla situazione in cui ce ne sono solo TRE ?
Noi scegliamo una porta, quindi abbiamo 1 probabilità su 100
Lui scarta a caso 98 porte... che però equivale (praticamente) a sceglierne 1 sul totale. La sua smemoratezza lo rende un giocatore identico a noi.
Quindi senza sapere nulla su cosa si nasconde dietro le porte, anche lui ha 1 probabilità su 100 di avere scelto la porta con la macchina.
Quindi non porta a nessun vantaggio cambiare scelta.
Applichiamo la stessa regola per le tre porte: non cambia nulla, come probabilità, tenere la nostra prima scelta o "prendere" quella del conduttore. 50-50.
Cosa cambia dalla due situazioni?
Che con 100 porte, nel primo caso, la macchina deve essere per forza dietro o la sua porta o la nostra porta perchè sa dove ci sono le Caprette, e non eliminerebbe quindi mai la porta con la macchina.
Nel secondo caso, come detto, la sua smemoratezza lo rende "identico" a noi: entrambi non conosciamo nulla del retro delle porte. Questa modifica nell'esporre i fatti lo trasformano da "conduttore" (con il vantaggio di conoscere le porte con le capre) a... concorrente.
Esatto: hai fornito una spiegazione assolutamente logica!👍🏻
chiarissimo, grazie!
non cambia dal momento che lui ha scoperto senza saperlo la capra
se nemmeno
il presentatore sa quale sia la porta vincente e per caso sceglie una porta perdente allora la probabilita' residua scende al 50%
Ma non è vero perché i 98 pannelli girati con la capra si sono portati via il 98% di probabilità. Quindi sono restati il pannello che avevamo scelto con la probabilità del 1% e il pannello residuo con la probabilità non più del 99% ma del 99 meno 98 cioè 1% . Sono equiprobabili : dire 1% e 1% su un totale del 2% è come dire 50 e 50. I pannelli girati si 'portano via' la loro probabilità e il loro caso possibile e ridefiniscono il problema in nuovi termini. Magari se provi in concreto a fare un elevato numero di tentativi lo potrai verificare anche nella realtà
Sarebbe così se le porte venissero aperte a caso, ma venendo aperte con il senno di sapere quali scartare, le possibilità non diventano 50 e 50. 😉
Nel momento in cui scelgo una delle 3 carte ho il 33,33% e questo è certo. Ma nel momento in cui mi viene tolta una carta sbagliata, automaticamente il 33,33% relativo a quella carta viene scaricato in parti uguali sulle 2 carte rimanenti, che pertanto si suddividono in parti uguali il nuovo 100% che si viene a creare. Quindi 50 e 50.
Ma che cacchio dici????
Sono d'accordo con Neureka, la probabilità di trovare una capra è del 99% durante la prima scelta, se poi il conduttore del gioco toglie tutte le capre (98) la probabilità di vincere cambiando scelta è del 99%. Con tre pannelli, se cambi hai comunque il 66%.
In sostanza, se non cambi 2 volte perdi e 1 vinci se cambi 2 volte vinci una perdi
Per la variante non saprei, mi verrebbe da dire 50 e 50, ma ciò significherebbe che, facendo l' esempio con le 100 porte, il presentatore escludendone 98 escluderebbe quasi sicuramente la porta vincente... bo
Ciao Eraldo, sì diciamo che con l’esempio delle 100 porte il presentatore escluderebbe quasi sicuramente la porta vincente. Rimane comunque il 2% di possibilità che ciò non accada, certo è una percentuale irrisoria, ma non tale da rendere la cosa impossibile.
Mettiamo quindi che abbia eliminato 98 porte sbagliate andando a casaccio, quante sono le possibilità che scelga la porta vincente alla fine? Sono sempre 50 e 50.
Si potrebbe riassumere il tutto con il famoso quesito del ragazzo che lancia la monetina e per 10 volte di fila trova “testa”, quante sono le possibilità che all’undicesimo lancio esca ancora testa? Sono sempre 50 e 50, perchè ogni lancio è un evento nuovo non condizionato dai precedenti. Certo se la questione all’inizio fosse: quante possibilità ci sono che il presentatore, andando a casaccio, elimini 98 porte sbagliate, allora le proporzioni sarebbero ben diverse!
Secondo me ha comunque il 66.% di possibilità di prendere la macchina, solo se all’inizio ha preso la macchina (33.3% di possibilità) allora sbaglia
Hanno 50 e 50. Il conduttore non conoscendo nulla del retro delle porte "tira a caso" come noi. Ma il gioco, la domanda, prende forma dopo che per caso, non per sicurezza, ha escluso una porta. È da li che cambia. Nel gioco classico lui elimina una porta con sicurezza perché conosce il retro delle porte, nella seconda situazione la elimina senza sciurezza. Nel calcolo di variabili serve sapere quali sono le incognite. Nel primo caso il conduttore che apre una porta con dietro una capra non è una incognita, è invece noto. Nel secondo caso invece è una incognita. Se applichi il ragionamento delle 100 porte non si avrà più la sciurezza che la macchina è dietro alla porta del concorrente o quella rimasta del conduttore (avviene questo perché il conduttore elimina solo porte con capre), ma è molto probabile che non sapendo nulla elimini la porta con dietro la macchina. Se si vede bene il quesito, ci si accorge che vine SEMPRE DETTO che il conduttore sa dove ci sono le capre. Nella costruzione del calcolo probabilistico questa affermazione è diversa dal dire che "apre a caso, perché smemorato".
@@Thersicore76 vabbè ma per quanto mi riguarda così come nel caso di tre porte ci viene detto che una porta viene scartata e ciò che è contenuto dietro la porta (la capra) viene svelato, anche nel caso di 100 porte mi aspetto che semplicemente o il conduttore smemorato apre casualmente (perché non si ricorda) 98 porte con le capre, e a quel punto mi conviene cambiare, o ad un certo punto nel svelare le porte gira e troviamo la macchina e il gioco si ferma. Dire che il conduttore smemorato apre le porte senza svelare ciò che c’è dietro è cambiare la dinamica del gioco. A questo punto, Secondo me, una volta arrivati alla situazione 1 porta scelta da me e 1 rimasta nel gioco (siano esse state 100, 3, 25 all’inizio etc….) la cosa giusta è sempre cambiare perché rispettivamente avresti il 99%, il 66.6% e il 96% di fare la scelta giusta e trovarti la macchina.
@@enricorizzo5990 Appunto. Hai colto nel segno. Il fatto che il conduttore sappia cosa si celi dietro le porte fa parte dell'equazione del calcolo probabilistico. Quello che nel Film 21 chiamano "cambio di variabili" perché il conduttore a cosa c'è dietro le tre porte, e non aprirebbe mai quella con la macchina. Le affermazioni, in un calcolo di probabilità hanno il loro peso nel cambiare o meno l'equazione. Il conduttore smemorato altro non è uno che sceglie a caso come il concorrente. Quindi si trovano sullo stesso piano. E' cambiata una variabile, il sapere o il non sapere del conduttore, che rivoluziona il tutto.
50 e 50
Ancora sta cosa idiota!
Una volta che si apre 1 porta, la scelta è tra 2, cioè hai il 50% di probabilità di vincere.
Fai finta di arrivare al quiz quando una porta è stata aperta, forse ti sarà più intuitivo.
Altro che 100 porte 😂
Non proprio…
Ma manco pe' niente, caro pippo pippo.
Il punto è che, man mano che le porte aumentano, diventa sempre più difficile azzeccare al primo tiro. Ad esempio, se sono 1000 porte è quasi impossibile (mi deve dire di puro culo) che azzecco alla prima scelta. Allo stesso modo, possiamo dire che è quasi certo che la macchina sia in una delle altre 999 porte. Ora, questa stima iniziale non cambia più... cioè qualunque cosa accada, sarà sempre difficile che io abbia azzeccato con la mia prima scelta dato che questa scelta era altamente disinformata. Quando il presentatore elimina 998 porte CERTAMENTE ERRATE (questo particolare è rilevantissimo) io so che, a meno della difficilissima e improbabile sculata iniziale, la macchina deve essere nella porta residua.
Il fatto che il presentatore elimini porte CERTAMENTE ERRATE è cruciale, perché in quel momento lui conferisce a noi una parte dell'informazione in suo possesso circa la posizione della macchina - quindi noi, al momento del "cambio?" non stiamo più operando a caso, ma con un criterio. E scegliere di non cambiare, significa ignorare l'informazione ora in nostro possesso e scommettere di aver azzeccato alla prima botta la porta giusta tra 1000.