Hallo Magda, guten Abend, hier kann man sich die Schachbrettfliesen zu Hilfe nehmen. Wenn man jeweils die roten Linien als Diagonalen von Rechtecken betrachtet ergeben sich für die Winkel außerhalb des Fragezeichens tan^-1(1/5) Seitenlänge 1 Fliese zu Seitenlänge 5 Fliesen und tan^-1(2/3) Seitenlänge 2 Fliesen zu Seitenlänge 3 Fliesen. Beide Winkel zusammen (tan^-1(1/5) + tan^-1 (2/3)) = 45° Diese beiden Winkel dann vom rechten Winkel (90°) , der sich durch die beiden blauen Linien ergibt, abgezogen ergibt 45° für den roten gesuchten Winkel. Dir und allen anderen hier eine schöne Restwoche LG aus dem Schwabenland.
Um den Winkel \theta zwischen zwei Geraden mit den Steigungen m1 = 1,5 und m2 = 0,2 zu berechnen, nutzt man tan(\theta) = |(m1 - m2) / (1 + m1 * m2)|. Das ergibt tan(\theta) = |(1,5 - 0,2) / (1 + 1,5 * 0,2)| = 1, also \theta = 45°.
Hallo Magda, das war ein sehr schönes Rätsel. Nach Vervollständigung des Dreiecks, war es diesmal für mich leicht, den rechten Winkel zu sehen. Ich neige dazu, sehr gerne Geradengleichungen zu benutzen, insbesondere, wenn es um senkrecht aufeinander stehende Geraden geht. Mit dem Erkennen der gleichen Länge der beiden Katheten ist man dann schnell fertig.
Das Dreieck habe ich auch gebildet. Schon sieht man, dass es ein gleichseitiges Dreieck mit rechtem Winkel (unten) ist. Also bleibt nur 90/2 = 45°. Die Steigung braucht man dafür nicht. 🙂
Die Formeln müsste ich jetzt nachschlagen. Ich würde die beiden äusseren Winkel der Dreiecke Kantenlänge 5/1 und 3/2 berechnen, ist ja ein rechter Winkel drin und somit einfach, und diese dann von 90° abziehen und hätte so den gesuchten Winkel.
Wenn man eine rote Linie ergänzt, so dass man ein Dreieck erhält, sieht man aufgrund der Quadrate, dass man unten einen 90°-Winkel erhält. In einem gleichschenkligen Dreieck (auch aufgrund der Quadrate gegeben) sind die beiden Basiswinkel gleich, müssen also beide 45° betragen.
Ich habe es visuell "gelöst", ich habe den Winkel in Gedanken nach oben gedreht, so dass der Schenkel auf der oberen Seite des Quadrates liegt. Dann geht der andere Schenkel diagonal dorch die kleinen Quadrate und ist somit 45° groß.
Lösung Wenn man das ganze um 180° dreht, hat man ein Koordinatensystem mit zwei Geraden, die durch den Nullpunkt gehen. Die obere Linie hat eine Steigung von 3/2 und die untere Linie von 1/5. Damit haben wir als Differenz der Steigungsdreiecke: x = tan⁻¹(3/2) - tan⁻¹(1/5) = 45°
90 - (atan (2/3) + atan (1/5)) = 45 😊
Auch mein Weg gewesen😊
Ebenfalls mein Lösungsweg, da man die angrenzenden Winkeln durch die Seitenverhältnisse sehr leicht herausfinden kann 👍
was noch fehlt ist das Additionstheorem.
arctan((1/5+2/3)/(1-(1/5)*(2/3)))=arctan((13/15)/(13/15))=arctan(1)=45°
Ohne Taschenrechner.
Hallo Magda, guten Abend,
hier kann man sich die Schachbrettfliesen zu Hilfe nehmen.
Wenn man jeweils die roten Linien als Diagonalen von Rechtecken betrachtet ergeben sich für die Winkel außerhalb des Fragezeichens
tan^-1(1/5) Seitenlänge 1 Fliese zu Seitenlänge 5 Fliesen und
tan^-1(2/3) Seitenlänge 2 Fliesen zu Seitenlänge 3 Fliesen.
Beide Winkel zusammen (tan^-1(1/5) + tan^-1 (2/3)) = 45°
Diese beiden Winkel dann vom rechten Winkel (90°) , der sich durch die beiden blauen Linien ergibt, abgezogen ergibt 45° für den roten gesuchten Winkel.
Dir und allen anderen hier eine schöne Restwoche
LG aus dem Schwabenland.
Man kann ein rechtwinkeliges und gleichschenkeliges Dreieck einzeichnen, also der Winkel beträgt 45 Grad.
Um den Winkel \theta zwischen zwei Geraden mit den Steigungen m1 = 1,5 und m2 = 0,2 zu berechnen, nutzt man tan(\theta) = |(m1 - m2) / (1 + m1 * m2)|. Das ergibt tan(\theta) = |(1,5 - 0,2) / (1 + 1,5 * 0,2)| = 1, also \theta = 45°.

Lösung:
90°-arctan(1/5)-arctan(2/3) = roter Winkel = 45°
Elegante Lösung 👌
Hallo Magda, das war ein sehr schönes Rätsel. Nach Vervollständigung des Dreiecks, war es diesmal für mich leicht, den rechten Winkel zu sehen. Ich neige dazu, sehr gerne Geradengleichungen zu benutzen, insbesondere, wenn es um senkrecht aufeinander stehende Geraden geht. Mit dem Erkennen der gleichen Länge der beiden Katheten ist man dann schnell fertig.
Das Dreieck habe ich auch gebildet. Schon sieht man, dass es ein gleichseitiges Dreieck mit rechtem Winkel (unten) ist. Also bleibt nur 90/2 = 45°. Die Steigung braucht man dafür nicht. 🙂
@@opytmx gleichschenkelig ☝️
@@GetMatheFit Genau! Danke
Die Formeln müsste ich jetzt nachschlagen.
Ich würde die beiden äusseren Winkel der Dreiecke Kantenlänge 5/1 und 3/2 berechnen, ist ja ein rechter Winkel drin und somit einfach, und diese dann von 90° abziehen und hätte so den gesuchten Winkel.
Ich habe richtig geschätzt. Es sind genau 45° (Auf dem Schachbrett ablesbar).
Mein Lösungsvorschlag (ganz schnelle Lösung) ▶
x= Θ
Θ= 90° - α - β
α= arctan(1/5)
α= arctan(0,2)
α ≈ 11,3099°
β= arctan(2/3)
β= arctan(0,666...)
β≈ 33,69°
Θ= 90° - 11,3099° - 33,69°
Θ= 90° - 45°
Θ= 45°
⇒
x= 45°
Wenn man eine rote Linie ergänzt, so dass man ein Dreieck erhält, sieht man aufgrund der Quadrate, dass man unten einen 90°-Winkel erhält. In einem gleichschenkligen Dreieck (auch aufgrund der Quadrate gegeben) sind die beiden Basiswinkel gleich, müssen also beide 45° betragen.
tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA tanB) , tanA = ⅕ , tanB = ⅔
Ich habe es visuell "gelöst", ich habe den Winkel in Gedanken nach oben gedreht, so dass der Schenkel auf der oberen Seite des Quadrates liegt. Dann geht der andere Schenkel diagonal dorch die kleinen Quadrate und ist somit 45° groß.
Ich habe es ganz profan über das Skalarprodukt gemacht:
Oberer Vektor: vo = ( -5 ; -1 ) mit |vo| = sqrt(5² + 1²) = sqrt(26)
Unterer Vektor: vu = ( -2 ; -3 ) mit |vu| = sqrt(2² + 3²) = sqrt(13)
cos(alpha) = Skalarprodukt(vo,vu) / (|vo| * |vu|) = ((-5)*(-2) + (-1)*(-3)) / (sqrt(26) * sqrt(13)) = (10 + 3) / (sqrt(13) * sqrt(2) * sqrt(13)) = 13 / (13 * sqrt(2)) = 1/sqrt(2)
Daraus folgt alpha = 45°.
Lösung
Wenn man das ganze um 180° dreht, hat man ein Koordinatensystem mit zwei Geraden, die durch den Nullpunkt gehen.
Die obere Linie hat eine Steigung von 3/2 und die untere Linie von 1/5.
Damit haben wir als Differenz der Steigungsdreiecke:
x = tan⁻¹(3/2) - tan⁻¹(1/5) = 45°