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巨大数同士の比較、漫画キャラの強さ議論みたいで好き
いつ「0=1」という命題が集合のデカさの議論に登場するのか、を楽しみに見ていました。無矛盾性の強さを並べ始めたあたりで、「この頂点に0=1が居るんだ！」と気づいた瞬間が嬉しかったです。話の流れの美しさのおかげ。基数の強さ議論スレに突如現れた最強キャラ
数学基礎論系VTuberがいるなんて⋯！？推します！！！！！
より強い公理を認めるということは、よりあらゆる命題を証明可能するということ。数学には明らかな「公理系」が2つある。一つ、公理がなく、故に何も証明できない公理系。二つ、矛盾(0=1)を公理に含み、どんな命題でも証明できる公理系。この無価値な二つの間にある価値ある世界を探ることが数学なのかもしれない。
「三菱鉛筆 無関係」の画像で見たやつや
ありがとうございます。
基数の数列みたいで面白いっす。
動画だと「0=1」が他の基数より大きいような印象の図になっているけど、例えばもしZFC+MCが矛盾だとしたら可測基数が「0=1」の基数ってことかな？ある程度それっぽい構成法で矛盾するような基数があったら面白いですね（「0=1」の上界になって）
面白かったです。0=1は矛盾の塊であるのはわかるのですが、0=1が集合の濃度かと言われるとなんか違うような…
ZFC+「集合全体の集合が存在する（順序数全体の集合が存在する）」と言い換えると濃度っぽいですね
公理系の無矛盾性と巨大基数のあいだに不変量みたいな関係があるのは面白いですね。反対に空集合や有限集合に相当するような最弱や弱い公理はあるとしたら何なんでしょう？なんか、ネット掲示板とかの強さ決定スレみたいで面白かったです。「ふん、〇〇の奴、MCを認めただけで満足しておるようだな。だがやつは可測基数級の弱者、我ら、woodin基数級が相手になろうぞ」みたいなノリなのかな()
よくわからないけど、CHの方がZFCに近くて、ICの方は遠いって理解した。
モストフスキ崩壊補題とは何ですか？
0=1という命題が基数…？もうこれわかんねぇな
これって巨大基数を「巨大基数が存在する」という命題に変換していると思うんですが、逆に0=1に対応する巨大基数が取れるってことですか？
100%矛盾する基数を考えればいいので、例えば「 |X| = |P(X)| となる基数 λ=|X| 」を考えたら0=1に対応する基数になると思います
大学でちょっと集合論と不完全性定理を齧った程度の者なので的外れなことを言ってたらすみませんwikipediaの巨大基数のページには＞なお、無矛盾性の強さの順序は、巨大基数公理に対する最小の証人のサイズの順序とは必ずしも一致しない点に注意が要る。例えば、膨大基数の存在性は超コンパクト基数の存在性よりも無矛盾性の強さでは遥かに強いが、しかし両者の存在を仮定すると、最初の膨大基数は最初の超コンパクト基数よりも小さい。とあったので、少し気になりました最初のサイズを比較した場合以外の何か、例えば「任意の超コンパクト基数より大きい膨大基数が存在する」みたいな何かが示せることで、結局「膨大基数は超コンパクト基数より大きい」と言えるのでしょうか？
任意の集合があるGrothendieck宇宙に含まれるってのはどんくらいの強さなんだろうか
Grothendieck宇宙は強到達不能基数と一対一で対応するので、これは「強到達不能基数が非有界に存在する」ことと同値です。Con(ZFC+「強到達不能基数が非有界に存在する」)を証明できる巨大基数だと、例えば強2-到達不能基数(強到達不能基数の極限となる正則基数)などがあります。可測基数は強2-到達不能どころか強[自分自身]-到達不能ですらあるので、可測基数の方が圧倒的に無矛盾性が強いです。
@@VOICEROID-vd4cz ありがとうございます。
こう見ると巨大数はまだまだ発展途上ですね
n(0)の冪集合をn(1),n(1)の冪集合をn(2),と置いたら、n(∞)は？
巨大数同士の比較、
漫画キャラの強さ議論みたいで好き
いつ「0=1」という命題が集合のデカさの議論に登場するのか、を楽しみに見ていました。無矛盾性の強さを並べ始めたあたりで、「この頂点に0=1が居るんだ！」と気づいた瞬間が嬉しかったです。話の流れの美しさのおかげ。
基数の強さ議論スレに突如現れた最強キャラ
数学基礎論系VTuberがいるなんて⋯！？
推します！！！！！
より強い公理を認めるということは、よりあらゆる命題を証明可能するということ。
数学には明らかな「公理系」が2つある。
一つ、公理がなく、故に何も証明できない公理系。
二つ、矛盾(0=1)を公理に含み、どんな命題でも証明できる公理系。
この無価値な二つの間にある価値ある世界を探ることが数学なのかもしれない。
「三菱鉛筆 無関係」の画像で見たやつや
ありがとうございます。
基数の数列みたいで面白いっす。
動画だと「0=1」が他の基数より大きいような印象の図になっているけど、例えばもしZFC+MCが矛盾だとしたら可測基数が「0=1」の基数ってことかな？
ある程度それっぽい構成法で矛盾するような基数があったら面白いですね（「0=1」の上界になって）
面白かったです。0=1は矛盾の塊であるのはわかるのですが、0=1が集合の濃度かと言われるとなんか違うような…
ZFC+「集合全体の集合が存在する（順序数全体の集合が存在する）」と言い換えると濃度っぽいですね
公理系の無矛盾性と巨大基数のあいだに不変量みたいな関係があるのは面白いですね。
反対に空集合や有限集合に相当するような最弱や弱い公理はあるとしたら何なんでしょう？
なんか、ネット掲示板とかの強さ決定スレみたいで面白かったです。「ふん、〇〇の奴、MCを認めただけで満足しておるようだな。だがやつは可測基数級の弱者、我ら、woodin基数級が相手になろうぞ」みたいなノリなのかな()
よくわからないけど、CHの方がZFCに近くて、ICの方は遠いって理解した。
モストフスキ崩壊補題とは何ですか？
0=1という命題が基数…？もうこれわかんねぇな
これって巨大基数を「巨大基数が存在する」という命題に変換していると思うんですが、逆に0=1に対応する巨大基数が取れるってことですか？
100%矛盾する基数を考えればいいので、例えば「 |X| = |P(X)| となる基数 λ=|X| 」を考えたら0=1に対応する基数になると思います
大学でちょっと集合論と不完全性定理を齧った程度の者なので的外れなことを言ってたらすみません
wikipediaの巨大基数のページには
＞なお、無矛盾性の強さの順序は、巨大基数公理に対する最小の証人のサイズの順序とは必ずしも一致しない点に注意が要る。例えば、膨大基数の存在性は超コンパクト基数の存在性よりも無矛盾性の強さでは遥かに強いが、しかし両者の存在を仮定すると、最初の膨大基数は最初の超コンパクト基数よりも小さい。
とあったので、少し気になりました
最初のサイズを比較した場合以外の何か、例えば「任意の超コンパクト基数より大きい膨大基数が存在する」みたいな何かが示せることで、結局「膨大基数は超コンパクト基数より大きい」と言えるのでしょうか？
任意の集合があるGrothendieck宇宙に含まれるってのはどんくらいの強さなんだろうか
Grothendieck宇宙は強到達不能基数と一対一で対応するので、これは「強到達不能基数が非有界に存在する」ことと同値です。
Con(ZFC+「強到達不能基数が非有界に存在する」)を証明できる巨大基数だと、例えば強2-到達不能基数(強到達不能基数の極限となる正則基数)などがあります。
可測基数は強2-到達不能どころか強[自分自身]-到達不能ですらあるので、可測基数の方が圧倒的に無矛盾性が強いです。
@@VOICEROID-vd4cz ありがとうございます。
こう見ると巨大数はまだまだ発展途上ですね
n(0)の冪集合をn(1),n(1)の冪集合をn(2),と置いたら、n(∞)は？