Видел эту задачу давно у Саватеева. Когда кто то показывает решение - всё легко, а когда пытаешься сообразить сам - сложно, даже когда видел решение раньше. Побольше бы роликов по базовым понятиям проективной геометрии.
Увы, замечание - пальцем в небо. В различных областях знания есть устоявшиеся термины, которые бывают похожи на наши бытовые слова, однако имеют свой специфический смысл, понятный специалистам в этой области. Здесь тот самый случай: есть область математики, называемая ПРОЕКТИВНОЙ (а не ПРОЕКЦИОННОЙ ) геометрией и термин не имеет никакого отношения к процессу создания того или иного проекта. Помню, в мои далёкие аспирантские годы переводилась статья по сверхпроводимости, в которой есть общепринятый термин “дырочная" проводимость. Так вот редакторша, понятия не имевшая о физике, вымарала все слова -“дырки“ из перевода специалиста и заменила их на слово “отверстие", ей казалось, что так благозвучнее. Конечно, помню гомерический хохот всех научных сотрудников в отделе по этому поводу.
Отлично! Только есть небольшая корректировка. На последней картинке "диаметр" на эллипсе нужно было по малой оси (параллельно малой оси) строить. Тогда в перспективе как раз будет сужение вдоль большой оси и эллипс превратится в окружность, соответствующую левой части картинки.
Если картинки с эллипсом расположить согласно изометрической проекции, то было бы доходчивей. Интересно по данной схеме самостоятельно вспомнить геометрию и доказать её верность👍
Есть мобильная игра "Пифагория". Крайне интересная, кстати, рекомендую) Там на одном из последних уровней столкнулся именно с этой проблемой. Долго думал, но школьными рассуждениями не осилил. Полез на форум, там дали ссылки на краткий курс проективной геометрии с этим свойством поляры. Так и решил. Хоть этот способ с тех пор я и знаю, но ваше доказательство всё рано было интересно послушать.
Касательная к окружности проходящая через точку на этой окружности... Всмысле касательная проходит через 2 точки окружности ? :) ======================================== Я как-то игрался с астронавигацией - помню любопытный метод определения курса и координат цели по звуку. Практическая начерталка таксказать. Еще вообще даже не пробовал разобраться как это работает, может быть там что-то элементарное. Но так просто... практически - интересная магия получается :) Осторожно ! Много букав !!! ======================================== Для испытания работоспособности надо не от балды брать пеленг а нарисовать "невидимую прямую" по которой якобы равномерно и прямолинейно движется цель, и отметить равные отрезки, естественно, которые и считать за 15-минутный пеленг. Несмотря на то что мы "не знаем" где она и куда движется - пеленги должны быть вменяемые :) Делается как-то так: 1) аккустик внезапно где-то услышал шум двигателя. Останавливаемся, рисуем на карте прямую a1 в сторону этого звука, проходящую через точку O1 - своего текущего месторасположения. Ожидаем некоторое время, скажем минут 15. Цель переместилась - снова из своего местоположения рисуем на карте вторую прямую a2 в сторону звука. И еще через 15 минут так же a3. На прямой a2 выбираем произвольно какую-либо точку X1(желательно подальше от O1). Через нее проводим прямую b1, параллельную a1 и b2 параллельную а3. Прямые b1 и b2 пересекают а3 и a1 в точках B и A соответственно. Если провести через них прямую k - это и будет текущий курс цели. После этого запускаем двигатели и меняем позицию (на практике - идем на перехват цели основываясь на знании ее курса). 2) теперь ставим точку С на пересечении прямых k и a2. От точки B (пересечения k и a3) откладываем отрезок BD равный отрезку CB. AC=CB=BD(с поправкой на точность пеленга). Точка D - предположительный пеленг a4 (который должен быть еще через 15 минут и он там будет если мы внезапно угадали с выбором произвольной точки X1 но я бы на это не рассчитывал). Проводим этот предположительный пеленг a4 через точки O1 и D. Через следующие 15 минут останавливаем двигатели, отмечаем точку O2 своего нового местоположения (геометрически - ставим ее произвольно, на практике на небольшом удалении от O1), через нее проводим пеленг на цель a5 и отмечаем точку E пересечения с предположительным пеленгом. Это и есть текущие приблизительные координаты цели. Далее проводим через точку E прямую параллельную курсу k и можно с этим дальше работать по усмотрению.
ваше построение отлично объяснено, спасибо. но что делать, если мы знаем кроме точки, из которой проводится касательная, еще одну из точек касания, а так же еще 3 произвольные точки на окружности. как по этим 4 точкам на окружности построить только линейкой вторую касательную? я 2 недели убил на эту задачу с целью выяснить, как решение вообще может быт исполнено, но ничего дельного не получилось. не могли бы вы помочь разобраться с этим
По вопросу задачи в конце ролика: если использовать проективную геометрию, то имеем очевидное решение. Есть цилиндр и есть перпендикулярно оси проведенное сечение - с границей в виде окружности. Проводим по поверхности цилиндра линию параллельную оси вращения цилиндра получаем касательную к указанному сечению, НО (!) в плоскости проекции сечения эта касательная будет ТОЧКОЙ ! Той самой через которую надо провести касательную. Вот и решение.
раскритикуйте следующее: имеем окружность на листе бумаги, карандаш и угольник нужно нарисовать квадрат, в который данная окружность окажется вписанной прикладываем угольник перпендикулярными сторонами к линии окружности и получаем первый угол искомого квадрата
Я вот тоже не могу понять зачем так усложнять??? 3 секущих можно провести криво через точку, потом 4 отрезка нужно совместить с 6-ю точками. Потом определить места пересечения этих отрезков и провести ещё одну секущую. Если вы можете сделать всë это идеально, то вам и касательную не составит труда приделать, а, если не можете, то результат будет таким же кривым, как если сразу рисовать.
Вот другой способ. 1 найти центр окружности: из двух хорд провести серединные перпендикуляры. 2 найти середину отрезка между точкой и центром. 3 из середины провести окружность с радиусом половины длины между точкой и центром окружности 4 точки пересечения этой окружности и данной окружности и будут точки касания
Как-то странно поставлен вопрос. Имея на бумаге окружность и точку вне её, а также линейку, достаточно просто положить линейку и провести линию. Что и делает каждый из нас на практике.
Это Вы плохо помните школьную программу. Построения с помощью циркуля и линейки подразумевает алгоритм в котором можно проводить прямую через две конкретные точки и строить окружность с центром в конкретной точке радиус которой равен расстоянию между двумя уже построенными точками. Ну и конечно можно выбрать произвольную точку на прямой или окружности. Иными словами "двигаем линейку пока не получим касательную" не проходит.
Попробуйте пойти от обратного: представьте себе изображение эллипса с параллельными касательныи и секущими идущими от Вас и до самого горизонта. На горизонте параллельные линии сойдутся в точку. Можно подобрать такой ракурс, чтобы эллипс можно было увидеть такую картинку как окружность с проведенными из точки вне окружности касательными и секущими. А эллипс на земле с параллельными прямыми - это проекция картинки на горизонтальную поверхность.
Введя перспективные искажения и соединив параллельные прямые на горизонте в одну точку, автор доказал профанам, таким же как он сам, что параллельные прямые сходятся. Слов нет. Есть междометия. Автор, как далеко за горизонт вы бы не относили параллельные прямые, они никогда не пересекуться в одной точке. Это аксиома, вам недоступная.
это очень сомнительное решение! оно легко опровергается: проводим три произвольных секущих на бесконечно малом расстоянии от диаметра который лежит на прямой от центра окружности до точки А одинаково в обе стороны от диаметра. одна из секущих лежит на диаметре. так как расстояния между секущими бесконечно малы, то точка пересечения диагоналей трапеций почти совпадает с центром окружности. значит линия проведенная через такие точки является перпендикуляром к диаметру от центра окружности. а значит желаемые точки пересечения касательных не будут составлять 90 градусов с этой линией! таким образом ваше доказательство опровергается и то что вы строите является лишь оптической иллюзией
![Лента Мёбиуса - кому вообще нужна топология? [3Blue1Brown]](http://i.ytimg.com/vi/QJC27E9bvqU/mqdefault.jpg)
![Лента Мёбиуса — кому вообще нужна топология? [3Blue1Brown]](/img/tr.png)
Видел эту задачу давно у Саватеева. Когда кто то показывает решение - всё легко, а когда пытаешься сообразить сам - сложно, даже когда видел решение раньше.
Побольше бы роликов по базовым понятиям проективной геометрии.
С огромным интересом посмотрим Ваше видео: очень интересно!
Шикарные объяснения. Как всегда, на высоте! Большое спасибо! )
Увы, замечание - пальцем в небо. В различных областях знания есть устоявшиеся термины, которые бывают похожи на наши бытовые слова, однако имеют свой специфический смысл, понятный специалистам в этой области. Здесь тот самый случай: есть область математики, называемая ПРОЕКТИВНОЙ (а не ПРОЕКЦИОННОЙ ) геометрией и термин не имеет никакого отношения к процессу создания того или иного проекта. Помню, в мои далёкие аспирантские годы переводилась статья по сверхпроводимости, в которой есть общепринятый термин “дырочная" проводимость. Так вот редакторша, понятия не имевшая о физике, вымарала все слова -“дырки“ из перевода специалиста и заменила их на слово “отверстие", ей казалось, что так благозвучнее. Конечно, помню гомерический хохот всех научных сотрудников в отделе по этому поводу.
Отлично! Только есть небольшая корректировка. На последней картинке "диаметр" на эллипсе нужно было по малой оси (параллельно малой оси) строить. Тогда в перспективе как раз будет сужение вдоль большой оси и эллипс превратится в окружность, соответствующую левой части картинки.
Шикаарно! Все ваши видео буду дочке показывать по мере прохождения школы
Красивое решение! Я прошу прощения, но не *проектирование,* (создание проекта),_ а *проецирование* _(отображение объекта на плоскости)._
Отличное объяснение! Спасибо!
Если картинки с эллипсом расположить согласно изометрической проекции, то было бы доходчивей. Интересно по данной схеме самостоятельно вспомнить геометрию и доказать её верность👍
Спасибо, очень интересно!
Есть мобильная игра "Пифагория". Крайне интересная, кстати, рекомендую)
Там на одном из последних уровней столкнулся именно с этой проблемой. Долго думал, но школьными рассуждениями не осилил. Полез на форум, там дали ссылки на краткий курс проективной геометрии с этим свойством поляры. Так и решил.
Хоть этот способ с тех пор я и знаю, но ваше доказательство всё рано было интересно послушать.
Лет 5 назад ломал голову над Euclidea, вероятно аналог
@@golgothachurch Да, в нее тоже играл. Концепция там схожая. Это от тех же разработчиков.
Касательная к окружности проходящая через точку на этой окружности... Всмысле касательная проходит через 2 точки окружности ? :)
========================================
Я как-то игрался с астронавигацией - помню любопытный метод определения курса и координат цели по звуку. Практическая начерталка таксказать. Еще вообще даже не пробовал разобраться как это работает, может быть там что-то элементарное. Но так просто... практически - интересная магия получается :)
Осторожно ! Много букав !!!
========================================
Для испытания работоспособности надо не от балды брать пеленг а нарисовать "невидимую прямую" по которой якобы равномерно и прямолинейно движется цель, и отметить равные отрезки, естественно, которые и считать за 15-минутный пеленг. Несмотря на то что мы "не знаем" где она и куда движется - пеленги должны быть вменяемые :)
Делается как-то так:
1) аккустик внезапно где-то услышал шум двигателя. Останавливаемся, рисуем на карте прямую a1 в сторону этого звука, проходящую через точку O1 - своего текущего месторасположения. Ожидаем некоторое время, скажем минут 15. Цель переместилась - снова из своего местоположения рисуем на карте вторую прямую a2 в сторону звука.
И еще через 15 минут так же a3.
На прямой a2 выбираем произвольно какую-либо точку X1(желательно подальше от O1). Через нее проводим прямую b1, параллельную a1 и b2 параллельную а3. Прямые b1 и b2 пересекают а3 и a1 в точках B и A соответственно. Если провести через них прямую k - это и будет текущий курс цели. После этого запускаем двигатели и меняем позицию (на практике - идем на перехват цели основываясь на знании ее курса).
2) теперь ставим точку С на пересечении прямых k и a2. От точки B (пересечения k и a3) откладываем отрезок BD равный отрезку CB. AC=CB=BD(с поправкой на точность пеленга). Точка D - предположительный пеленг a4 (который должен быть еще через 15 минут и он там будет если мы внезапно угадали с выбором произвольной точки X1 но я бы на это не рассчитывал). Проводим этот предположительный пеленг a4 через точки O1 и D. Через следующие 15 минут останавливаем двигатели, отмечаем точку O2 своего нового местоположения (геометрически - ставим ее произвольно, на практике на небольшом удалении от O1), через нее проводим пеленг на цель a5 и отмечаем точку E пересечения с предположительным пеленгом. Это и есть текущие приблизительные координаты цели. Далее проводим через точку E прямую параллельную курсу k и можно с этим дальше работать по усмотрению.
Чем-то напомнило спортивную радиопеленгацию (охоту на лис и радиоориентирование). Только там "лисы" неподвижны.
@@schetnikov ага.
С виду кажется ничего особенного, а на практике когда поиграешься - счастья полны штаны от такой игры :)
Всё увлекательно и занимательно, только как при помощи ОДНОЙ ЛИНЕЙКИ (без делений) проводить параллельные прямые?
Никак не провести
Спасибо. У Савватеева есть про это тоже
Круть!
ваше построение отлично объяснено, спасибо.
но что делать, если мы знаем кроме точки, из которой проводится касательная, еще одну из точек касания, а так же еще 3 произвольные точки на окружности. как по этим 4 точкам на окружности построить только линейкой вторую касательную?
я 2 недели убил на эту задачу с целью выяснить, как решение вообще может быт исполнено, но ничего дельного не получилось. не могли бы вы помочь разобраться с этим
По вопросу задачи в конце ролика: если использовать проективную геометрию, то имеем очевидное решение. Есть цилиндр и есть перпендикулярно оси проведенное сечение - с границей в виде окружности. Проводим по поверхности цилиндра линию параллельную оси вращения цилиндра получаем касательную к указанному сечению, НО (!) в плоскости проекции сечения эта касательная будет ТОЧКОЙ ! Той самой через которую надо провести касательную. Вот и решение.
Гениально
чем-то напомнило афинные преобразования. параллельные линии остаются параллельными. что пересекалось, будет пересекаться )
Спасибо. Только я бы сказал проецируется вместо проектируется. .
раскритикуйте следующее:
имеем окружность на листе бумаги, карандаш и угольник
нужно нарисовать квадрат, в который данная окружность окажется вписанной
прикладываем угольник перпендикулярными сторонами к линии окружности и получаем первый угол искомого квадрата
Круто-круто! Красивое решение, однако касательные несложно провести и без дополнительных построений.
Я вот тоже не могу понять зачем так усложнять???
3 секущих можно провести криво через точку, потом 4 отрезка нужно совместить с 6-ю точками.
Потом определить места пересечения этих отрезков и провести ещё одну секущую.
Если вы можете сделать всë это идеально, то вам и касательную не составит труда приделать, а, если не можете, то результат будет таким же кривым, как если сразу рисовать.
Вот другой способ.
1 найти центр окружности: из двух хорд провести серединные перпендикуляры.
2 найти середину отрезка между точкой и центром.
3 из середины провести окружность с радиусом половины длины между точкой и центром окружности
4 точки пересечения этой окружности и данной окружности и будут точки касания
Вообще-то 1й пункт невозможен. (с помощью одной линейки)
Имеем только линейку!!!
Меня в школе учили, что в математике все доказывать надо. Некоторые, когда не могут доказать, используют слово "очевидно". А что такое "обоснование" ?
Наш преп после "очевидно" заставлял доказать это. И если не смог, то с чистой совестью ставил двойку. Очень быстро отбил охоту бросаться словами.
@@user-nc1bq5zk6r правильно делал ваш учитель
Как-то странно поставлен вопрос. Имея на бумаге окружность и точку вне её, а также линейку, достаточно просто положить линейку и провести линию. Что и делает каждый из нас на практике.
Это Вы плохо помните школьную программу. Построения с помощью циркуля и линейки подразумевает алгоритм в котором можно проводить прямую через две конкретные точки и строить окружность с центром в конкретной точке радиус которой равен расстоянию между двумя уже построенными точками. Ну и конечно можно выбрать произвольную точку на прямой или окружности.
Иными словами "двигаем линейку пока не получим касательную" не проходит.
А зачем так усложнять в первом случае? Если есть точка и линейка то просто приложить и готово
Наверное, вопрос в том насколько это будет точно. На очень большой окружности будет очень большая ошибка.
обоснуйте при помощи линейки., как прямые , пересекающиеся в одной точке становятся паралельными70
Пересмотрел два раза, так и не понял почему секущие на окружности сходились в одной точке, а их проекции на элипсе стали параллельны.
Попробуйте пойти от обратного: представьте себе изображение эллипса с параллельными касательныи и секущими идущими от Вас и до самого горизонта. На горизонте параллельные линии сойдутся в точку. Можно подобрать такой ракурс, чтобы эллипс можно было увидеть такую картинку как окружность с проведенными из точки вне окружности касательными и секущими. А эллипс на земле с параллельными прямыми - это проекция картинки на горизонтальную поверхность.
@@DidiKhan919 я попробую на досуге об этом подумать. Сейчас год спустя уже подзабыл в чём там суть была. Спасибо.
Я нашел бы сперва центр окружности, а потом уже касательную. Так быстрее.
Одной линейкой найти центр окружности невозможно, и это даже несложно доказывается от противного.
@@schetnikov можно пойти по этой задаче в обратном порядке и построить два произвольных диаметра. Их пересечение и будет центр окружности, разве нет?
Красиво, но неубедительно. Как сказал бы мой учитель математики - все это неубедительно.
Введя перспективные искажения и соединив параллельные прямые на горизонте в одну точку, автор доказал профанам, таким же как он сам, что параллельные прямые сходятся. Слов нет. Есть междометия. Автор, как далеко за горизонт вы бы не относили параллельные прямые, они никогда не пересекуться в одной точке. Это аксиома, вам недоступная.
это очень сомнительное решение! оно легко опровергается: проводим три произвольных секущих на бесконечно малом расстоянии от диаметра который лежит на прямой от центра окружности до точки А одинаково в обе стороны от диаметра. одна из секущих лежит на диаметре. так как расстояния между секущими бесконечно малы, то точка пересечения диагоналей трапеций почти совпадает с центром окружности. значит линия проведенная через такие точки является перпендикуляром к диаметру от центра окружности. а значит желаемые точки пересечения касательных не будут составлять 90 градусов с этой линией! таким образом ваше доказательство опровергается и то что вы строите является лишь оптической иллюзией
Извините дилетанта, но если просто взять линейку и провести просто касательные, то, мне кажется, они пройдут через те же точки!