Cher spectateur, salutations ! Si tu veux rentrer directement dans le vif du sujet, je te suggère de lire mes livres, qui sont mes produits les plus aboutis: 📘 Les principes d'une année réussie: amzn.to/33RoTUH 📗 Le petit manuel de la khôlle: amzn.to/35AeFZ9 Cette émission fait partie de mon défi personnel 100 jours, 100 émissions, entamé le 28 août 2017 [62/100]. Depuis, de l'eau a coulé sous les ponts et la qualité du contenu produit s'est considérablement améliorée. Ainsi, si tu viens d'arriver sur la chaîne, je te recommande le visionnage d'une de mes dernières émissions, qui te donnera une meilleure idée de ce que je produis, ainsi que de la vidéo d'introduction de la chaîne. 🎥 La vidéo d'introduction de la chaîne (2'30''): ruclips.net/video/7ywKEsQCwpE/видео.html Enfin, si tu souhaites me contacter, voici comment le faire. 📧 Contact: contact@oljen.fr 🌞 Bonne écoute !
Depuis plus de deux heures je tournais en rond sans comprendre mais heureusement que vous êtes la ! Merci beaucoup pour vos explications précises et concises
Bonjour ! Merci pour ces vidéos, la série est très intéressante. Je me demandais, est-ce qu'on a le droit d'étendre la formule trouvée à la fin pour des valeurs de n négatives? (peu importe la méthode employée)
Honnêtement, je n'ai pas de contre-exemple en tête dès lors que l'inverse de la matrice existe (si quelqu'un a la réponse, je prends!). Du coup, j'aurais tendance à répondre oui, mais il faudrait le démontrer. Pour cela, rien de plus simple: considère la matrice B obtenue de A^n en remplaçant n par -n, puis calculer B*A^n. Si tu trouves l'identité, alors tu auras démontré le résultat auquel tu penses 👍🏻.
J'ai juste calculé A² et je me suis dit qu'au vu de la forme de la matrice, ça devait être une combinaison linéaire de A et de I. En fouillant un peu, j'ai trouvé 4A-3I.
@@quinerisqueriennaurarien664 Non, c'est vraiment en regardant la tête de A². Quand on regarde les coefficients non diagonaux, on comprend qu'il faut prendre 4A plus un certain nombre de fois I, et puis on s'ajuste pour avoir ce qu'il faut sur la diagonale 👍🏻.
J'ai une petite question à propos de l'unicité du couple quotient-reste. En fait, quand on fait la division, on s'aperçoit que l'on a une suite de couples à chaque étapes de la division. Cela donne (sauf erreur de ma part) : 1. X^n = P(X) (X^(n-2)+4X^(n-3)) + (13X^(n-2)-12X^(n-3)) ce qui nous donne une erreur sur A^4 2. X^n = P(X) (X^(n-2)+4X^(n-3)+13X^(n-4)) + (40X^(n-3)-39X^(n-4)) ce qui donne le bon résultat pour A^4 3. X^n = P(X) (X^(n-2)+4X^(n-3)+13X^(n-4)+40X^(n-5)) + (121X^(n-4)-120X^(n-5)) ce qui donne le bon résultat pour A^4 J'ai donc plusieurs questions : a. Pourquoi parler d'unicité du couple quotient-reste puisqu'en 2 et 3 j'obtiens 2 couples différents avec deg(R)
Voici ! 🔹 Tout d'abord, les divisions ci-dessus ne sont valables que pour certaines valeurs de n. 1. N'est une division euclidienne que pour n = 3. 2. N'est une division euclidienne que pour n = 4. 3. N'est une division euclidienne que pour n = 5. Dans chacun de cas, si vous prenez des valeurs supérieures de n, votre division euclidienne n'est pas terminée: il faut poursuivre la manœuvre jusqu'à ce que le degré du reste soit au plus 1. Par exemple, dans la division 1. avec n = 4, vous avez un "reste" de degré 2: ce n'est pas le reste de la division euclidienne, ce qui répond à la question a. 🔹 Par contre, pour la question b., l'équation 1. devrait quand même donner la bonne réponse pour A^4: vous disposez d'une identité polynomiale (division euclidienne ou pas, peu importe), et avez tout à fait la possibilité de remplacer l'indéterminée X par n'importe quelle matrice carrée de votre choix. Sans doute qu'une erreur s'est glissée dans le calcul. 🔹 Enfin, pour n = 4, n-5 est négatif, donc X^(n-5) est un objet non identifié, puisqu'on parle ici de polynômes. Cela dit, votre égalité "formelle" reste juste. Pour retomber sur des polynômes, on pourrait tout multiplier par X, par exemple, puis évaluer en la matrice A. Enfin, on pourrait tout multiplier par l'inverse de A (qui est bien inversible), ce qui explique que 3. fonctionne.
@@oljenmaths Merci pour la réponse. Cependant, je serais surpris que ma première équation soit fausse et les autres vraies puisque je m'appuie sur la première pour obtenir les autres.
Bonjour, Je suis dans le cas d'une matrice 3x3 et son polynôme annulateur n'a qu'une seule racine. Je me retrouve donc avec 1 équation à 3 inconnues. Comment puis-je faire ? Merci d'avance
Salutations ! Je suppose que tu fais face à un polynôme annulateur P, de degré 3, n'admettant qu'une seule racine, que je vais noter α. Ainsi, α est une racine triple de P, donc annule P, P' et P''. Tu peux donc obtenir une équation en évaluant l'égalité de ta division euclidienne en α comme tu l'as fait, mais tu peux aussi dériver les polynômes de chaque côté de cette égalité et évaluer les polynômes obtenus en α pour en obtenir une deuxième. Et enfin, répéter la même opération pour en obtenir une troisième. N'hésite pas à répondre à ce commentaire si tu es encore bloqué 🗝️.
@@oljenmaths Merci de votre réponse. Je suis cependant encore bloqué... Mon polynôme est (-X+1)^3 soit -X^3 + 3X^2 - 3X + 1, son unique racine α est donc 1. J'ai donc X^n = anX^2 + bnX + cn Ensuite, en dérivant, j'obtiens donc nX^(n-1) = 2anX + bn et en dérivant à nouveau, (n²-n)X^(n-2) = 2an. En évaluant en 1, je trouve donc 1 = an + bn + cn n = 2an + bn n²-n = 2an. Je retrouve donc an, bn et cn mais lorsque je passe à la dernière étape, je trouve une matrice A^n fausse... Ai-je mal compris vos conseils ? Merci d'avance
@@mathisgermain8447 Je n'ai pas le temps de refaire tous les calculs, mais la démarche est bonne ! 🔹 Une petite boulette s'est glissée dans la première égalité, qui devrait être X^n = Q(X)(-X+1)^3 + R(X) 🔹 Je tombe exactement sur le même système. 🔹 À la fin, A^n = an A^2 + bn A + cn I. Si la matrice A^n est fausse, c'est qu'il y a une erreur dans le calcul, c'est la seule solution !
C'est normal que ça semble compliqué au début ! Il faut déjà commencer par assimiler la technique. Ensuite, tu pourras comparer les avantages et inconvénients des différentes façons de calculer les puissances successives d'une matrice. Je te mets un commentaire pour indiquer d'où je les sors. 1/ Par récurrence [pas fait]: naturel quand on débute, classique. 2/ Binôme de Newton n°1 [UT#11]: exercice classique. 3/ Binôme de Newton n°2 [UT#12]: jamais vu nulle part, inventé par accident. 4/ Suite arithmético-géométrique [UT#13]: jamais vu, né de la flemme de faire une récurrence. 5/ Polynôme annulateur [UT#14]: classique mais étrange la première fois qu'on le voit. 6/ Approche en finesse [UT#15]: jamais vu. 7/ Diagonalisation [UT#17]: très classique, une application typique de la diagonalisation. 8/ Projecteurs spectraux [UT#28]: abordé en hors-programme de classes préparatoires, me semble-t-il. L'idée est de parcourir le cours de manière transversale, plutôt que chapitre par chapitre. Je crois que l'idée est née de l'absence de réponse d'un étudiant lorsque je lui ai demandé de me proposer plusieurs méthodes pour calculer les puissances successives d'une matrice. Je me suis un peu creusé la tête, et voilà le résultat :-).
![[UT#15] Puissances d'une matrice - Approche en finesse !](http://i.ytimg.com/vi/gYut0C1siAk/mqdefault.jpg)
![[UT#15] Puissances d'une matrice - Approche en finesse !](/img/tr.png)
Cher spectateur, salutations !
Si tu veux rentrer directement dans le vif du sujet, je te suggère de lire mes livres, qui sont mes produits les plus aboutis:
📘 Les principes d'une année réussie:
amzn.to/33RoTUH
📗 Le petit manuel de la khôlle:
amzn.to/35AeFZ9
Cette émission fait partie de mon défi personnel 100 jours, 100 émissions, entamé le 28 août 2017 [62/100]. Depuis, de l'eau a coulé sous les ponts et la qualité du contenu produit s'est considérablement améliorée. Ainsi, si tu viens d'arriver sur la chaîne, je te recommande le visionnage d'une de mes dernières émissions, qui te donnera une meilleure idée de ce que je produis, ainsi que de la vidéo d'introduction de la chaîne.
🎥 La vidéo d'introduction de la chaîne (2'30''):
ruclips.net/video/7ywKEsQCwpE/видео.html
Enfin, si tu souhaites me contacter, voici comment le faire.
📧 Contact: contact@oljen.fr
🌞 Bonne écoute !
EXTRA, première fois que je comprends le principe de cette méthode depuis qu'on la vue en classe.
MERCI BEAUCOUP
Depuis plus de deux heures je tournais en rond sans comprendre mais heureusement que vous êtes la ! Merci beaucoup pour vos explications précises et concises
Au plaisir 🥳 !!
Un grand merci ! C'est très bien expliqué un grand bravo continue comme ça !
Merci beaucoup Monsieur
C'est super j'espère un jour que tu vas expliquer une leçon complète en un seul video ça sera magnifique
J'y pense de plus en plus, à faire des formats plus longs, pour l'année 2020/2021. C'est dans les tuyaux, en quelque sorte 🙃.
Merciii!!
Excellent
Bonjour ! Merci pour ces vidéos, la série est très intéressante. Je me demandais, est-ce qu'on a le droit d'étendre la formule trouvée à la fin pour des valeurs de n négatives? (peu importe la méthode employée)
Honnêtement, je n'ai pas de contre-exemple en tête dès lors que l'inverse de la matrice existe (si quelqu'un a la réponse, je prends!). Du coup, j'aurais tendance à répondre oui, mais il faudrait le démontrer. Pour cela, rien de plus simple: considère la matrice B obtenue de A^n en remplaçant n par -n, puis calculer B*A^n. Si tu trouves l'identité, alors tu auras démontré le résultat auquel tu penses 👍🏻.
salut j ai pas compris comment il a fait pour avoir A2=4A-3I
J'ai juste calculé A² et je me suis dit qu'au vu de la forme de la matrice, ça devait être une combinaison linéaire de A et de I. En fouillant un peu, j'ai trouvé 4A-3I.
mais il n y a pas de formule pour ça s'il vous plaît?
@@quinerisqueriennaurarien664 Non, c'est vraiment en regardant la tête de A². Quand on regarde les coefficients non diagonaux, on comprend qu'il faut prendre 4A plus un certain nombre de fois I, et puis on s'ajuste pour avoir ce qu'il faut sur la diagonale 👍🏻.
merci
J'ai une petite question à propos de l'unicité du couple quotient-reste. En fait, quand on fait la division, on s'aperçoit que l'on a une suite de couples à chaque étapes de la division. Cela donne (sauf erreur de ma part) :
1. X^n = P(X) (X^(n-2)+4X^(n-3)) + (13X^(n-2)-12X^(n-3)) ce qui nous donne une erreur sur A^4
2. X^n = P(X) (X^(n-2)+4X^(n-3)+13X^(n-4)) + (40X^(n-3)-39X^(n-4)) ce qui donne le bon résultat pour A^4
3. X^n = P(X) (X^(n-2)+4X^(n-3)+13X^(n-4)+40X^(n-5)) + (121X^(n-4)-120X^(n-5)) ce qui donne le bon résultat pour A^4
J'ai donc plusieurs questions :
a. Pourquoi parler d'unicité du couple quotient-reste puisqu'en 2 et 3 j'obtiens 2 couples différents avec deg(R)
Voici !
🔹 Tout d'abord, les divisions ci-dessus ne sont valables que pour certaines valeurs de n.
1. N'est une division euclidienne que pour n = 3.
2. N'est une division euclidienne que pour n = 4.
3. N'est une division euclidienne que pour n = 5.
Dans chacun de cas, si vous prenez des valeurs supérieures de n, votre division euclidienne n'est pas terminée: il faut poursuivre la manœuvre jusqu'à ce que le degré du reste soit au plus 1. Par exemple, dans la division 1. avec n = 4, vous avez un "reste" de degré 2: ce n'est pas le reste de la division euclidienne, ce qui répond à la question a.
🔹 Par contre, pour la question b., l'équation 1. devrait quand même donner la bonne réponse pour A^4: vous disposez d'une identité polynomiale (division euclidienne ou pas, peu importe), et avez tout à fait la possibilité de remplacer l'indéterminée X par n'importe quelle matrice carrée de votre choix. Sans doute qu'une erreur s'est glissée dans le calcul.
🔹 Enfin, pour n = 4, n-5 est négatif, donc X^(n-5) est un objet non identifié, puisqu'on parle ici de polynômes. Cela dit, votre égalité "formelle" reste juste. Pour retomber sur des polynômes, on pourrait tout multiplier par X, par exemple, puis évaluer en la matrice A. Enfin, on pourrait tout multiplier par l'inverse de A (qui est bien inversible), ce qui explique que 3. fonctionne.
@@oljenmaths Merci pour la réponse. Cependant, je serais surpris que ma première équation soit fausse et les autres vraies puisque je m'appuie sur la première pour obtenir les autres.
L'équation 1. est juste, c'est plutôt l'évaluation en la matrice A qui doit être fausse 👍.
Bonjour,
Je suis dans le cas d'une matrice 3x3 et son polynôme annulateur n'a qu'une seule racine.
Je me retrouve donc avec 1 équation à 3 inconnues.
Comment puis-je faire ?
Merci d'avance
Salutations ! Je suppose que tu fais face à un polynôme annulateur P, de degré 3, n'admettant qu'une seule racine, que je vais noter α.
Ainsi, α est une racine triple de P, donc annule P, P' et P''. Tu peux donc obtenir une équation en évaluant l'égalité de ta division euclidienne en α comme tu l'as fait, mais tu peux aussi dériver les polynômes de chaque côté de cette égalité et évaluer les polynômes obtenus en α pour en obtenir une deuxième. Et enfin, répéter la même opération pour en obtenir une troisième.
N'hésite pas à répondre à ce commentaire si tu es encore bloqué 🗝️.
@@oljenmaths Merci de votre réponse. Je suis cependant encore bloqué...
Mon polynôme est (-X+1)^3 soit -X^3 + 3X^2 - 3X + 1, son unique racine α est donc 1.
J'ai donc X^n = anX^2 + bnX + cn
Ensuite, en dérivant, j'obtiens donc nX^(n-1) = 2anX + bn et en dérivant à nouveau, (n²-n)X^(n-2) = 2an.
En évaluant en 1, je trouve donc
1 = an + bn + cn
n = 2an + bn
n²-n = 2an.
Je retrouve donc an, bn et cn mais lorsque je passe à la dernière étape, je trouve une matrice A^n fausse...
Ai-je mal compris vos conseils ? Merci d'avance
@@mathisgermain8447 Je n'ai pas le temps de refaire tous les calculs, mais la démarche est bonne !
🔹 Une petite boulette s'est glissée dans la première égalité, qui devrait être X^n = Q(X)(-X+1)^3 + R(X)
🔹 Je tombe exactement sur le même système.
🔹 À la fin, A^n = an A^2 + bn A + cn I.
Si la matrice A^n est fausse, c'est qu'il y a une erreur dans le calcul, c'est la seule solution !
@@oljenmaths Je vais donc revérifier mes calculs. Merci beaucoup pour la rapidité et la qualité de vos réponses !
C'est super intéressant ! Mais je trouve ça compliqué ! C'est toi qui trouve toutes tes façons de résoudre A^n ? :)
C'est normal que ça semble compliqué au début ! Il faut déjà commencer par assimiler la technique. Ensuite, tu pourras comparer les avantages et inconvénients des différentes façons de calculer les puissances successives d'une matrice. Je te mets un commentaire pour indiquer d'où je les sors.
1/ Par récurrence [pas fait]: naturel quand on débute, classique.
2/ Binôme de Newton n°1 [UT#11]: exercice classique.
3/ Binôme de Newton n°2 [UT#12]: jamais vu nulle part, inventé par accident.
4/ Suite arithmético-géométrique [UT#13]: jamais vu, né de la flemme de faire une récurrence.
5/ Polynôme annulateur [UT#14]: classique mais étrange la première fois qu'on le voit.
6/ Approche en finesse [UT#15]: jamais vu.
7/ Diagonalisation [UT#17]: très classique, une application typique de la diagonalisation.
8/ Projecteurs spectraux [UT#28]: abordé en hors-programme de classes préparatoires, me semble-t-il.
L'idée est de parcourir le cours de manière transversale, plutôt que chapitre par chapitre. Je crois que l'idée est née de l'absence de réponse d'un étudiant lorsque je lui ai demandé de me proposer plusieurs méthodes pour calculer les puissances successives d'une matrice. Je me suis un peu creusé la tête, et voilà le résultat :-).
D'accord super merci beaucoup ! Je vais potasser cela ! Merci de ton aide ! ;)