연습문제 144번 관련 질문이 있어서 여쭤보려합니다. y'=-(5x^4y+y^2)/(2x^5+3xy)라는 문제였는데, 조건에서 u=y/x^4로 치환하라는 것을 주지 않고 단순히 치환변수분리로 문제를 해결하라는 지시가 왔을 때, u를 저렇게 잡아야하는 판단근거를 잘 모르겠습니다. 그리고 해설처럼 x^8로 나누었을때조차도 조건의 u를 맞추기 위해 나눈 것인지, 아니면 다른 판단 근거가 있어 나누고 u를 조건의 형태로 잡는 건지 궁금합니다. 만약 둘다 판단의 근거가 있다면, 그것을 많은 문제풀이 경험을 통해 충분히 볼수 있을까요?
질문있습니다 20:40초 부분 보면 -도 c로 넘겨서 처리하고 1/c도 c로 치환하시는데 c는 아무렇게나 써도 자유로운건가요? 문제를 풀다가 궁금해서 여쭤봅니다 ln|1-y|=e^{(cost)+c}라는 식을 정리해보면 |1-y|=ce^(cost) 1)절댓값은 c에의해서 부호가 결정 되니 1-y=ce^(cost) 2)위 식을 정리하다가 c를 이용해서 부호를 결정하는 거면 y=-ce^(cost)+1도 되고 -c를 일반상수 c로 치환해서 y=ce^(cost)+1 이렇게 나타내도 되는거 아닌가? 이런 생각이 들었는데 왜 안되는건가 너무 궁금해서 질문 드립니다
그냥 상수만을 미분할 경우 0이 되는것은 맞으나 이것은 tan y * (e^x^2) 을 y에 대하여 미분하는 경우입니다. 이때 (e^x^2)은 x에 대한 식이며 y와는 관련 없으므로 상수취급해서 최종답은 sec^2 y *(e^x^2)이 나오는 것입니다. (e^x^2)이 복잡하다면 우리가 평상시 익숙한 상수로 대체해보죠. 쉬운 예시인 숫자 2로 해봅시다. 즉, 문제가 2tan y 를 y에 대하여 미분하라는 문제가 주어지는 경우 2sec^2 y 이죠. 숫자 2는 상수로 tany라는 함수 앞에 곱해진 상수 계수이므로 숫자 2를 미분하지 않습니다. 질문자님께서는 상수만을 미분하는 경우와 상수가 곱해진 함수를 미분하는 서로 다른 두 가지 경우를 착각하고 계십니다.
강의 잘 듣고있습니다. 12:55 에서 R = (1/Q) * (∂P/∂y - ∂Q/∂x)라고 하시는데 kreyzig 공업 수학 원서에서는 1/F=dF/dx로부터 R = (1/Q) * (∂P/∂y - ∂Q/∂x) 을 얻는다고 적혀있습니다. 이 내용이 어떻게 도출되는지 과정을 알고싶습니다
27:38 문제에서 주어진 y(ln2)=0 이 왜 (ln2,0) 을 대입하는것과 같은 의미인지를 모르겠어요 전 그냥 최종식을 y= 형태로 정리했을때, y에 ln2를 대입하면 0이 나온다 의 의미로밖에 안 받아들여져서요.. ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ 아 y(ln2)를 곧 y(x)형태로 봐준다면, x에 ln2을 대입했을때 y에 0이 나온다는 의미니까 (ln2,0)의 의미로 써지는것인가요?
강의 잘 들었습니다. 방정식을 풀때 변수 분리가 가능하다면 변수분리로 푸는 것이 간단하게 풀린다는것은 이해했습니다. 근데 변수분리로 풀 수 있는 것과 없는 것은 어떻게 판별할 수 있나요? 변수분리 형식으로 풀다가 포기하고 다시 적분인자를 쓰게 되면 너무 시간소요가 많아져서 질문드립니다..!
교과서 : "f(x) y'=g(x) 의 형태이면 변수분리가 가능하다. " 제 생각: "딱 봤을때 x덩어리랑 y 덩어리 곱하고 나누었을때 x덩어리끼리 묶이고 y 덩어리끼리 묶이면 그건 변수분리" 머릿속으로 빠르게 암산하셔서 덩어리끼리 묶이면 변수분리입니다. 우선 변수분리가 되는지 빠르게 판단하시고 안되면 다른 방식으로 넘어가는것을 추천드려요. 질문자님께서는 변수분리 형식으로 풀다가 포기하신다고 하는데 이 부분을 좀 더 구체적으로 설명해주실 수 있을까요? 연습문제중에 풀어보신거 하나 선택하시고 해당 문제를 처음 보셨을때 머릿속에 했던 생각들을 전부 답글로 적어주시면 감사하겠습니다.
전제가 F가 오직 x에 대해 이루어졌을 경우입니다. 그렇다면 R 역시 x에 대해 이루어졌을 것이고 (P_y-Q_x)/Q 가 오직 x로만 이루어졌을 것입니다. 실제 문제를 푸실때는 (P_y-Q_x)/Q를 먼저 구하실 것이고 (P_y-Q_x)/Q가 오직 x에 대하여 이루어졌을 경우 강의 설명대로 R을 구하고 F를 구하시면 되고 질문자님이 말씀하신 2x=y처럼 (P_y-Q_x)/Q가 x외의 y와 함께 이루어졌을 경우 F역시 오직 x가 아닌 y와 함께 있다는 것을 의미하기 때문에 우선 F는 x에 대한 식이 아님을 알 수 있죠. 다양한 예제, 연습문제들을 풀어보시면 (P_y-Q_x)/Q가 x에 대해서 이루어져 있는지 또는 -(P_y-Q_x)/P 가 y에 대하여 이루어져있는지 빠른 파악이 필요합니다.
강의 잘 들었습니다 교수님.. 그런데 궁금한 점이 있어 질문드립니다! 적분 인자를 이용해서 ODE를 구할때, F(x) 나 F(y)를 통해서, x로만 이루어진 식, y로만 이루어진 식으로 "가정"하여 푸는 것은 이해했으나, F(x,y) 자체로 구하는 방법은 없나요? 그리고 왜 F(x,y) 로 구하지않고 F(x), F(y)로 나누어 구하는건가요? 저희 교수님께서 식 자체를 외우기보다 식에서 해당하는 것이 무엇을 의미하는지 전부 이해해야 한다고 하셔서 여쭤봅니다 ㅠ
적분인자가 x와 y의 두 가지 변수로 이루어져있을 경우 구할 수 없기 때문에 하나의 문자만 이루어진 Case들만 보는것입니다. 다른말로 F(x,y)의 경우 구할 수 없고 F(x) 또는 F(y)인 경우에만 문제풀이를 이어나갈 수 있죠. 자세한 내용은 적분인자 공식을 유도하는 과정에서 자세히 설명드립니다. P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0의 형태의 ODE가 주어졌을 경우 경우는 총 네 가지가 있습니다. 경우 1. F(x), F(y)가 모두 존재하는 경우 경우 2. F(x)만 존재하는 경우 경우 3. F(y)만 존재하는 경우 경우 4. F(x,y)로 존재하는 경우 경우 1~3이면 강의에서 보여드린 풀이로 푸시면 됩니다. 경우 4일 경우 적분인자를 구할 수 없죠. 그래서 문제에서 적분인자 F(x,y)가 주어지거나 적분인자로 풀지 않고 치환변수분리와 같은 다른 방법으로 푸는 문제입니다.
결론은 (+)이거나 (-)여도 최종 답은 똑같기 때문입니다. 절댓값을 통해서 secx 또는 -secx가 나오겠지만 F라는것은 적분 상수로 양변에 곱하는 값이므로 F의 계수는 최종답에 영향이 없습니다. F(x)=secx 일때와 F(x)=-secx일때 두 가지 경우를 두고 문제를 풀어도 최종 답은 같다는 뜻입니다 따라서 절댓값이 없어도 된다는 것을 의미합니다.
강의 자료에 나온 문제는 아니지만 궁금증이 해결되지 않아서 질문드립니다. ydx+[y+tan(x+y)]dy=0 이 문제 같은 경우에는 양변에 cos(x+y) 를 곱해서 완전상미분방정식의 형태로 푸는데 적분인자가 x,y에 대한 함수여서 공식으로 유도가 되지 않습니다. 이런 경우에는 어떤 방식으로 접근해야할까요?
좋은 질문입니다. 질문자님이 적으신 문제처럼 적분인자가 x, y에 대해 모두 이루어진 Case 들도 충분히 존재하며 이러한 경우는 영상에서 소개한 공식(방법)으로 적분인자를 구할 수 없습니다. 그 이유는 영상의 공식(방법)을 유도하는 과정에서 한 가정이 바로 적분인자는 오직 x 또는 y 하나의 문자에 대해서 이루어진다였는데 cos(x+y)처럼 x와 y로 이루어진 경우도 있거든요. 결론: cos(x+y)처럼 적분인자가 2개의 변수로 이루어진 경우... 1. 변수분리 2. 치환변수분리, 선형ODE, 베르누이 방정식 등 다른 형태인지 확인 3. 적분인자가 1개만으로도 이루어질 수 있음 (적분인자는 언제나 많이 존재하는데 대부분은 엄청복잡해서 가장 간단한것들만 봄) 4. (사람이 손으로) 풀 수 없다.
@@Korea-e3k 질문을 주실때 솔루션 풀이가 무엇인지, 본인 풀이가 무엇인지 알려주셔야 제가 도움을 드릴 수 있습니다. 단순하게 다르게 나왔다고 하면 이게 계산실수인지, 솔루션 오타인지, 문제 오타인지, 등등 경우가 너무 많습니다. 우선 해당 ODE에 대한 풀이를 G드라이브에서 "질의응답 50.pdf"로 업로드 했으니 해당 파일을 참조바랍니다.
적분과정에서 cos, sin 적분해야 하는데 그 과정에서 부호를 잘못적으셨을 것입니다. 풀이과정을 제게 보여주시면 확인해보겠습니다. (개인 G드라이브 업로드 -> 링크공유 설정 -> 링크복붙) 검산하는 방법: P dx + Q dy =0 의 문제에서 적분인자 F를 곱한 PF dx + QF dy =0을 M dx + N dy = 0 이라 하며 최종 일반해를 u(x,y)=c 라고 했을때 u_x = M 그리고 u_y = N 를 만족해야 함.
저도 적분 처음했을때 부호 실수를 많이 했습니다. 특히, sinx, cosx, 1/x, 1/x^2, x^-n 과 같이 미분, 적분이 진행될때마다 부호가 바뀌는것은 더욱 더 조심해야 하죠. 그래서 1. 미분을 완벽하게 익힌다음 2. 매번 적분을 할때마다 적분결과를 빠르게 암산으로 미분하여 위에 적은 식이랑 일치하는지 체크 이러한 습관을 기르시면 적분 과정에서 부호때문에 실수할 확률이 거의 없어집니다.
R은 오직 하나의 변수에 대해서만 이루어져야 합니다. 지금과 같이 Q로 나누면 R은 x와 y 모두 살아있어서 공식을 사용할 수 없습니다. Q로 나누는 공식말고 P로 나누는 공식을 활용하면 R은 오직 y에 대해 이루어져서 풀이를 이어나갈 수 있습니다. 자세한 내용은 강의영상과 강의자료를 참조해주세요.
![공학수학(1) [05강] 1계ODE - 선형상미분방정식 Linear 1st Order ODE (2023년 Ver.)](http://i.ytimg.com/vi/wqjd0tNXmBk/mqdefault.jpg)
![공학수학(1) [05강] 1계ODE - 선형상미분방정식 Linear 1st Order ODE (2023년 Ver.)](/img/tr.png)
![공학수학(1) [03강] 1계ODE - 완전상미분방정식 Exact ODE (2023년 Ver.)](http://i.ytimg.com/vi/ajeKczm35Fw/mqdefault.jpg)
![공학수학(1) [02강] 1계ODE - 치환변수분리 (2023년 Ver.)](/img/1.gif)
진짜 교수님 강의 듣다가 너무 이해가 안 가서 이 채널을 찾게 되었는데... 진짜 구원자이십니다...
복학전에 예습 중인데 너무 이해하기 쉽게 잘 가르쳐주시네요. 혹시 선형대수는 강의하실 계획 없으신가요?
강의 열심히 듣고 있습니다. 항상 감사합니다!
연습문제 144번 관련 질문이 있어서 여쭤보려합니다. y'=-(5x^4y+y^2)/(2x^5+3xy)라는 문제였는데, 조건에서 u=y/x^4로 치환하라는 것을 주지 않고 단순히 치환변수분리로 문제를 해결하라는 지시가 왔을 때, u를 저렇게 잡아야하는 판단근거를 잘 모르겠습니다.
그리고 해설처럼 x^8로 나누었을때조차도 조건의 u를 맞추기 위해 나눈 것인지, 아니면 다른 판단 근거가 있어 나누고 u를 조건의 형태로 잡는 건지 궁금합니다.
만약 둘다 판단의 근거가 있다면, 그것을 많은 문제풀이 경험을 통해 충분히 볼수 있을까요?
38:06에 u를 y에 대해서 편미분하면 4+k’(y)가 되는거 아닌가요??;;ㅜ
질문있습니다
20:40초 부분 보면 -도 c로 넘겨서 처리하고 1/c도 c로 치환하시는데
c는 아무렇게나 써도 자유로운건가요?
문제를 풀다가 궁금해서 여쭤봅니다
ln|1-y|=e^{(cost)+c}라는 식을 정리해보면
|1-y|=ce^(cost)
1)절댓값은 c에의해서 부호가 결정 되니
1-y=ce^(cost)
2)위 식을 정리하다가 c를 이용해서 부호를 결정하는 거면
y=-ce^(cost)+1도 되고
-c를 일반상수 c로 치환해서
y=ce^(cost)+1
이렇게 나타내도 되는거 아닌가?
이런 생각이 들었는데 왜 안되는건가 너무 궁금해서 질문 드립니다
안녕하세요 기초 질문 한가지 드릴 게 있어서 댓 답니다
34:20에 tan y * e^x2 이 식에서 y에 대해 미분하면 e^x2은 왜 그대로 내려오는 건가요? 상수 취급해서 그냥 0이 되지 않나요?
그냥 상수만을 미분할 경우 0이 되는것은 맞으나
이것은 tan y * (e^x^2) 을 y에 대하여 미분하는 경우입니다. 이때 (e^x^2)은 x에 대한 식이며 y와는 관련 없으므로 상수취급해서 최종답은
sec^2 y *(e^x^2)이 나오는 것입니다.
(e^x^2)이 복잡하다면 우리가 평상시 익숙한 상수로 대체해보죠. 쉬운 예시인 숫자 2로 해봅시다.
즉, 문제가 2tan y 를 y에 대하여 미분하라는 문제가 주어지는 경우 2sec^2 y 이죠. 숫자 2는 상수로 tany라는 함수 앞에 곱해진 상수 계수이므로 숫자 2를 미분하지 않습니다.
질문자님께서는 상수만을 미분하는 경우와 상수가 곱해진 함수를 미분하는 서로 다른 두 가지 경우를 착각하고 계십니다.
@@ODE_PDE 이 부분이 예전부터 자꾸 헷갈리는 거 같네요.
말씀해주신 거 곱씹으면서 다시 한번 살펴보겠습니다! 항상 감사합니다
강의 잘 듣고있습니다.
12:55 에서 R = (1/Q) * (∂P/∂y - ∂Q/∂x)라고 하시는데 kreyzig 공업 수학 원서에서는 1/F=dF/dx로부터 R = (1/Q) * (∂P/∂y - ∂Q/∂x) 을 얻는다고 적혀있습니다. 이 내용이 어떻게 도출되는지 과정을 알고싶습니다
27:38
문제에서 주어진 y(ln2)=0 이 왜 (ln2,0) 을 대입하는것과 같은 의미인지를 모르겠어요
전 그냥 최종식을 y= 형태로 정리했을때, y에 ln2를 대입하면 0이 나온다 의 의미로밖에 안 받아들여져서요..
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
아 y(ln2)를 곧 y(x)형태로 봐준다면, x에 ln2을 대입했을때 y에 0이 나온다는 의미니까 (ln2,0)의 의미로 써지는것인가요?
네 맞습니다. (a,b)대입과 y(a)=b 는 같은 의미입니다.
애초에 y(x)라는게 x라는 변수로 이루어진 함수 y를 뜻하며 x값 대입 시 y값을 뜻하기도 합니다. 그래서 y(ln2) 라는 뜻은 x=ln2 대입했을때의 y값입니다.
@@ODE_PDE 답변 정말 감사합니다
좋은 강의 정말 잘 듣고 있습니다. 감사합니다! 그런데 재생목록에 공학수학과 관련없는 영상들이 추가되었네요! 확인 바랍니다
8:17 , 41:48
적분상수가 절댓값을 상쇄시킨다고 하셨는데, 그 이유는요?
감사합니다.^^
1강의 예제 1번 문제풀이를 참조 바랍니다.
c|x| 에서
만약 x>0 이면 cx
만약 x
강의 잘 들었습니다.
방정식을 풀때 변수 분리가 가능하다면 변수분리로 푸는 것이 간단하게 풀린다는것은 이해했습니다.
근데 변수분리로 풀 수 있는 것과 없는 것은 어떻게 판별할 수 있나요?
변수분리 형식으로 풀다가 포기하고 다시 적분인자를 쓰게 되면 너무 시간소요가 많아져서 질문드립니다..!
교과서 : "f(x) y'=g(x) 의 형태이면 변수분리가 가능하다. "
제 생각: "딱 봤을때 x덩어리랑 y 덩어리 곱하고 나누었을때 x덩어리끼리 묶이고 y 덩어리끼리 묶이면 그건 변수분리"
머릿속으로 빠르게 암산하셔서 덩어리끼리 묶이면 변수분리입니다. 우선 변수분리가 되는지 빠르게 판단하시고 안되면 다른 방식으로 넘어가는것을 추천드려요.
질문자님께서는 변수분리 형식으로 풀다가 포기하신다고 하는데 이 부분을 좀 더 구체적으로 설명해주실 수 있을까요?
연습문제중에 풀어보신거 하나 선택하시고 해당 문제를 처음 보셨을때 머릿속에 했던 생각들을 전부 답글로 적어주시면 감사하겠습니다.
23.01.28~23.01.29 학습완료
초반 적분인자 메커니즘을 이해하고 활용하기까지 시간이 걸렸지만 이해완료.
감사합니다.
6:38 좌변이 x에 관한 식이라고 해서 우변또한 x로만 이루어진다는게 잘 와닿지 않아요. 2x=y를 예로 들면 아니지 않나요?
전제가 F가 오직 x에 대해 이루어졌을 경우입니다. 그렇다면 R 역시 x에 대해 이루어졌을 것이고 (P_y-Q_x)/Q 가 오직 x로만 이루어졌을 것입니다.
실제 문제를 푸실때는 (P_y-Q_x)/Q를 먼저 구하실 것이고 (P_y-Q_x)/Q가 오직 x에 대하여 이루어졌을 경우 강의 설명대로 R을 구하고 F를 구하시면 되고
질문자님이 말씀하신 2x=y처럼 (P_y-Q_x)/Q가 x외의 y와 함께 이루어졌을 경우 F역시 오직 x가 아닌 y와 함께 있다는 것을 의미하기 때문에 우선 F는 x에 대한 식이 아님을 알 수 있죠.
다양한 예제, 연습문제들을 풀어보시면 (P_y-Q_x)/Q가 x에 대해서 이루어져 있는지 또는 -(P_y-Q_x)/P 가 y에 대하여 이루어져있는지 빠른 파악이 필요합니다.
@@ODE_PDE 답변 감사합니다:)
(-2x^2 -2y^2 -y)dx + xdy =0에서 적분인자를 어떻게 구해야 할지 모르겠습니다. 영상에서의 방법으로도 해봤는데도 적분할 수 가 없네요 ㅠㅠ
경우 4번 일 때 양변에 무언가를 곱하는 과정을 통해 적분인자를 구하는 방법이 있을까요?
문제에서 주어지지 않는다면 어렵습니다. 따라서 경우 4번의 경우 적분인자 풀이법 보다는 변수분리로 풀릴 확률이 높습니다.
감사합니다.
강의 잘 들었습니다 교수님.. 그런데 궁금한 점이 있어 질문드립니다!
적분 인자를 이용해서 ODE를 구할때, F(x) 나 F(y)를 통해서, x로만 이루어진 식, y로만 이루어진 식으로 "가정"하여 푸는 것은 이해했으나,
F(x,y) 자체로 구하는 방법은 없나요?
그리고 왜 F(x,y) 로 구하지않고 F(x), F(y)로 나누어 구하는건가요?
저희 교수님께서 식 자체를 외우기보다 식에서 해당하는 것이 무엇을 의미하는지 전부 이해해야 한다고 하셔서 여쭤봅니다 ㅠ
적분인자가 x와 y의 두 가지 변수로 이루어져있을 경우 구할 수 없기 때문에 하나의 문자만 이루어진 Case들만 보는것입니다. 다른말로 F(x,y)의 경우 구할 수 없고 F(x) 또는 F(y)인 경우에만 문제풀이를 이어나갈 수 있죠. 자세한 내용은 적분인자 공식을 유도하는 과정에서 자세히 설명드립니다.
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0의 형태의 ODE가 주어졌을 경우 경우는 총 네 가지가 있습니다.
경우 1. F(x), F(y)가 모두 존재하는 경우
경우 2. F(x)만 존재하는 경우
경우 3. F(y)만 존재하는 경우
경우 4. F(x,y)로 존재하는 경우
경우 1~3이면 강의에서 보여드린 풀이로 푸시면 됩니다.
경우 4일 경우 적분인자를 구할 수 없죠. 그래서 문제에서 적분인자 F(x,y)가 주어지거나 적분인자로 풀지 않고 치환변수분리와 같은 다른 방법으로 푸는 문제입니다.
@@ODE_PDE 자세하게 설명해주셔서 감사합니다
122번 / 적분 상수 구하는 과정에서 e^(-ln|cosx|) = |secx| 이렇게 되는거 아닌가요..? 왜 갑자기 절댓값이 사라졌는지 궁금합니다.
결론은 (+)이거나 (-)여도 최종 답은 똑같기 때문입니다.
절댓값을 통해서 secx 또는 -secx가 나오겠지만 F라는것은 적분 상수로 양변에 곱하는 값이므로 F의 계수는 최종답에 영향이 없습니다.
F(x)=secx 일때와 F(x)=-secx일때 두 가지 경우를 두고 문제를 풀어도 최종 답은 같다는 뜻입니다 따라서 절댓값이 없어도 된다는 것을 의미합니다.
136번 문제에서 선생님과 다르게 -1/p로 나누어서 F를 구했더니 1/3^3 이 나왔습니다. 그렇게 해서 완상미 방식으로 풀었더니 답이 다르게 나왔는데 원래 답이 다르게 나올수 있나요? p로 나누었을때와 q로 나누었을때 답이 다른가요?
136번 저도 -1/P로 나누어서 F를 구했습니다. 136번의 경우 Q로 나누면 그 결과가 x에 대해서만 이루어지지 않습니다. 즉, Q로 나눌 수 없다는 거죠. 질문을 정확히 다시 확인부탁드립니다.
124번 적분인자가 이변수함수꼴로 나오는데 다른 풀이법이 있나요?
감사합니다
강의 자료에 나온 문제는 아니지만 궁금증이 해결되지 않아서 질문드립니다.
ydx+[y+tan(x+y)]dy=0
이 문제 같은 경우에는 양변에 cos(x+y) 를 곱해서 완전상미분방정식의 형태로 푸는데 적분인자가 x,y에 대한 함수여서 공식으로 유도가 되지 않습니다. 이런 경우에는 어떤 방식으로 접근해야할까요?
좋은 질문입니다.
질문자님이 적으신 문제처럼 적분인자가 x, y에 대해 모두 이루어진 Case 들도 충분히 존재하며 이러한 경우는 영상에서 소개한 공식(방법)으로 적분인자를 구할 수 없습니다. 그 이유는 영상의 공식(방법)을 유도하는 과정에서 한 가정이 바로 적분인자는 오직 x 또는 y 하나의 문자에 대해서 이루어진다였는데 cos(x+y)처럼 x와 y로 이루어진 경우도 있거든요.
결론: cos(x+y)처럼 적분인자가 2개의 변수로 이루어진 경우...
1. 변수분리
2. 치환변수분리, 선형ODE, 베르누이 방정식 등 다른 형태인지 확인
3. 적분인자가 1개만으로도 이루어질 수 있음 (적분인자는 언제나 많이 존재하는데 대부분은 엄청복잡해서 가장 간단한것들만 봄)
4. (사람이 손으로) 풀 수 없다.
121번에서 적분인자를 곱했는데 m을 y에 대해 미분한거랑 n을 x에 대해 미분한 값이 다른거같아요
이러면 완전상미분방정식이 아니지 않나요?
두 가지 경우가 있습니다.
1. 적분인자를 잘못 구했거나
2. M_y = N_x 에서 편미분을 잘못하셨거나.
G드라이브에 각 문제 별 해설이 있으니 참조바랍니다.
14:51
139번 문제에서 Py와 Qx를 구한 다음 Py-Qx를 하고 나면 P, Q 둘다 나눠지지 않습니다. 어떻게 접근해야 하나요?
문제에 오타가 있었습니다. 지금은 수정 후 G드라이브에 다시 업로드했습니다. 감사합니다.
적분인자 구할때 r이 x만의 식이면 무조건 dx y면 dy 인건가요?/ 만약 상수로 나오는 r은 x로 적분할지 y로 적분할지는 센스감각으로 유추하는건가요?/
만약 상수라면 둘 다 가능하다는 뜻입니다. 적분인자가 여러 개인 경우도 있습니다.
가ㅁ사합니다❤
저 혹시 한 문제 안에서 적분인자가 다르게 나올수도 있나요? (3-4x^2)dx+x^2(e^x+3y)=0 이 식을 영상처럼 구하면 1/x*e^1/2x이 나오는데 솔루션을 보면 x^-1/2이 나와사요 ㅠㅠ
문제 다시 확인바랍니다. dy가 어디있을까요?
@@ODE_PDE아 죄송합니다 dy는 x^2(e^x+3y)뒤에 있습니다!
@@Korea-e3k
해당 문제 자체를 풀 수 없을 것 같네요.
(3-4x^2)dx+x^2(e^x+3y)=0
변수분리: 불가
적분인자: 하나의 문자에 대하여 이루어져있지 않음 -> 불가
문제에 오타가 없는지 다시 한번 확인바랍니다.
@@ODE_PDE그럼 (2x+xy)dx+2xdy=0 이 문제는 어떤가요 ㅠㅠ 이 문제도 솔루션이랑 제가 푼거랑 적분인자가 다르게 나오네요..
@@Korea-e3k 질문을 주실때 솔루션 풀이가 무엇인지, 본인 풀이가 무엇인지 알려주셔야 제가 도움을 드릴 수 있습니다. 단순하게 다르게 나왔다고 하면 이게 계산실수인지, 솔루션 오타인지, 문제 오타인지, 등등 경우가 너무 많습니다.
우선 해당 ODE에 대한 풀이를 G드라이브에서 "질의응답 50.pdf"로 업로드 했으니 해당 파일을 참조바랍니다.
117번 R(y)로 풀면 R(y)값이 상수값이 나오는데 그에대한 해답은 x*exp(3y)=c로 나옵니다. 최종식과 일반해가 다른데 이문제는 R(y)로 풀면 안되는건지 궁금합니다.
둘 다 정답입니다. 같은 함수이죠. 단지 얼마나 더 정리했냐 차이입니다.
x*exp(3y)=c 에서 양변에 로그 씌우면 ln(x)+3y=c 이고 y(1)=0 대입하면 c=0 이라서
lnx+3y=0이 나옵니다.
@@ODE_PDE 아 이 댓글을 못봤네ㅠㅠ
혼자 끙끙 앓았습니다 🥲
적분인자에서 R(x) x에 대한 식으로만 이루어졌다고 하셨는데 상수만 있어도 괜찮나요?
네, 상수만 있어도 됩니다.
상수만 있을 경우 x에 대해서만 이루어졌다고 할 수도 있고 y에 대해서만 이루어졌다고 할 수 있습니다.
x^0 이 있다고 생각하시면 됩니다.
120번을 풀어봤는데 완전미분방정식이 나와서 정리해주면 K'(y)=0 , K(y)=C해서 정리해주면 C=cosy X e^x 해서 e^x 넘기면 Ce^-x=cosy 아닌가요?
똑같은거잖아요.
e^x cosy = c 이거나
cosy = c e^-x 이거나 같은것입니다.
그냥 양변에 e^(-x)를 곱한것 뿐이죠.
둘 다 정답입니다.
x^2y^3dx+(x+xy^2)dy=0
이것은 적분인자가 말씀해주신데로구하면.. 되질 않는데 어떻게 풀면좋을까요?
변수분리로 풀리네요. x덩어리와 y덩어리로 나눈다음 각각 x와 y에 대해 적분하면 됩니다.
안녕하세요 예제 140번을 풀어봤는데 강의자료에는 xy-ysiny-cosy=c라고 나와있는데 제가 풀어보면 xy-ysiny+cosy=c가 나오는데 제가 잘못 푼걸까요..?
적분과정에서 cos, sin 적분해야 하는데 그 과정에서 부호를 잘못적으셨을 것입니다. 풀이과정을 제게 보여주시면 확인해보겠습니다. (개인 G드라이브 업로드 -> 링크공유 설정 -> 링크복붙)
검산하는 방법:
P dx + Q dy =0 의 문제에서 적분인자 F를 곱한
PF dx + QF dy =0을
M dx + N dy = 0 이라 하며 최종 일반해를 u(x,y)=c 라고 했을때
u_x = M 그리고 u_y = N 를 만족해야 함.
제가 적분 하는 과정에서 부호가 자꾸 헷갈리네요. 다시 해보니 나왔습니다. 감사합니다!
저도 적분 처음했을때 부호 실수를 많이 했습니다.
특히, sinx, cosx, 1/x, 1/x^2, x^-n 과 같이 미분, 적분이 진행될때마다 부호가 바뀌는것은 더욱 더 조심해야 하죠.
그래서
1. 미분을 완벽하게 익힌다음
2. 매번 적분을 할때마다 적분결과를 빠르게 암산으로 미분하여 위에 적은 식이랑 일치하는지 체크
이러한 습관을 기르시면 적분 과정에서 부호때문에 실수할 확률이 거의 없어집니다.
감사합니다
130번에서 x에 관한 적분인자
F(x) = e^(∫(1/2x^2 + 3y^2 -20)(-3x)dx)
= (2x^2 + 3y^2 - 20)^(-3/4)으로 향후 계산이 굉장히 더러운데
제가 잘못 구한건가요?
아니면 y에 대해서 구해야 더 편한가요?
공식, 풀이를 잘못이해하신것 같습니다.
F(x) = e^(∫(1/2x^2 + 3y^2 -20)(-3x)dx) 가 어떻게 나왔는지 알려주세요.
전체적인 풀이 과정을 적어서 제게 보여주세요.
docs.google.com/document/d/1z_lERJIHiaPtYvpWQH-TqzkDu_HSLuqehQKLb1IHB7A/edit?usp=sharing
y상수취급하고 ln f(x) 꼴로 유도해서 적분했더니 결과가 이상했습니다.
R은 오직 하나의 변수에 대해서만 이루어져야 합니다. 지금과 같이 Q로 나누면 R은 x와 y 모두 살아있어서 공식을 사용할 수 없습니다.
Q로 나누는 공식말고 P로 나누는 공식을 활용하면 R은 오직 y에 대해 이루어져서 풀이를 이어나갈 수 있습니다.
자세한 내용은 강의영상과 강의자료를 참조해주세요.
118번 x^2-y^2=cx에서 cx=c로 해서 x^2-y^2=c해도 되는 건가요?
안됩니다.
x는 변수이므로 (상수)*(변수) 를 상수로 치환해버리게 된것입니다.
상수치환은 오직 상수끼리만 됩니다.
118번 문제에서 치환후 변수분리로 풀리는지 궁금합니다
네 풀리며 최종 일반해도 당연히 서로 일치합니다.
예제 117번을 풀다 보니까 마지막에 ln(abs(x))+3y=0으로 풀리는 것 같은데, 절댓값이 어떻게 사라지는 것인지 잘 모르겠습니다.
엄밀하게 적으면 절댓값이 있어야 합니다. 수정했습니다. 감사합니다.
로그 적분 미분 잘 못하겠는데 어떻게 공부해야 하나요..?
로그 미적분은 고등학교 수학 범위입니다. 고등학교 수학 중 미적분 내용을 복습하시면 됩니다.
선배들 질문 답변 A1에 답 오타 같은데요 y=x+e^-x +C 정녕 맞습니까
어떤 자료를 보고계시나요? 4강 자료인가요?
@@ODE_PDE 네 dy/dx+ y=x 해요
5강 자료네요. 4강 영상에 댓글을 달으셔서 4강을 말씀하시는줄 알았습니다. 네, 오타 맞습니다. y=x-1+ce^-x 입니다. 수정했고 다시 업로드했습니다.
아 헷갈리게 해서 죄송합니다. 강의 잘듣고있어요!!! ❤️
136번에 적분인자가 -3/y이 나와서 정리해보니 완전상미분 방정식으로 안풀려요...
적분인자 F가 -3/y 가 아니고
R = -3/y 입니다.
F = exp(integral(R)) 이고요
즉, R을 y 에 대하여 적분 후 지수화 시켜주면
F = 1/y^3 이 나옵니다.
@@ODE_PDE 감사합니다!! 좀 더 꼼꼼히 봤어야 했는데ㅠㅠ
117번 풀이에서 마지막에 ln절댓값이 사라진 이유가 뭔지 모르겠습니다ㅠㅠㅠ
절댓값 넣어주는게 더 정확합니다. ln|x|+3y=c
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