6 이상의 모든 짝수도 세 변의 길이가 모두 자연수인 직각삼각형의 가장 짧은 변이 될 수 있습니다! (2n,n^2-1,n^2+1) 꼴로 가능합니다 n > 1 에서는 전부 성립하지만 n = 2 인 경우는 (4,3,5)가 되면서 2n이 가장 작은 값이 아니게 되므로 n이 3 이상인 경우에 대해 적용할 수 있습니다
일단 홀수부터 증명하자면 제곱수의 특징중의 하나는 n² = Σ(k->0,n)2k+1, 말로 풀자면 n의 제곱은 n번째 홀수 이하의 모든 홀수의 합 이라는겁니다. 피타고라스의 법칙 a²=b²+c²(c를 가장 짧은 변으로 가정) 에서 b항을 반대로 넘긴다면 c²=a²-b²가 되고, 즉 Σ(k->b+1,a)2k+1이 됩니다.(말로 풀면 b보다 큰 a이하의 모든 홀수의 합) 만약 a-b가 1이라면, c²은 임의의 홀수가 될 수 있습니다. 모든 홀수의 제곱수는 홀수이기 때문에, c가 어떤 홀수가 되어도 a²=b²+c²과 a-b=1을 성립하는 정수 a,b의 값이 존재함을 알수 있습니다. 하지만 c가 1일때는 a가 1, b가 0이 되므로 삼각형에서는 모든 변이 자연수인 직각삼각형의 가장 짧은 변이 홀수이기 위해서는 가장 짧은 변이 3 이상이어야만 합니다. 따라서 3 이상의 모든 홀수에 대해 그 수를 가장 짧은 변으로 두는 모든 변의 길이가 자연수인 직각삼각형은 존재합니다.
직각삼각형 하니까 생각나는 건데, a가 모두 자연수일때, a1²+a2²=a3²이면서 a2²+a3²=a4²인 수 4개가 존재할까요? + 밑에서 여러 의견 제시해주셔서 감사합니다. 하지만, 수학적으로 논의하는 것 이외의 발언에 대해서는 자제해주시기를 바랍니다. ++ a1,a2,a3,a4라고 적은 까닭은 적은 환경이 모바일이고, 아랫첨자를 쓰는 법을 모르기 때문에 해당과 같이 적었습니다. 추가로 이걸 궁금해 할 당시에 이러한 조건을 만족하는 수열에 대해 알고 싶었기 때문에 a,b,c,d 대신에 a1,a2,a3,a4와 같은 형태로 적게 되었습니다.
혹시 영상에 나온 피타고라스 수는 차이가 1인 두 자연수 m, n에 대한 식으로 표현할 수 있다는 사실을 알고 계신가요? 예를 들어 7, 24, 25는 3과 4를 이용해서 7=3+4, 24=2×3×4, 25=3^2+4^2과 과 같은 형태로 나타낼 수 있죠. 이를 증명해보는 것도 재밌으실 겁니다 :)
와 이거 고딩때 '3 이상의 모든 홀수는 세변의 길이가 모두 자연수인 직각삼각형의 제일 작은 변의 길이가 될 수 있다' 이거 증명해서 기분 개좋았는데
6 이상의 모든 짝수도 세 변의 길이가 모두 자연수인 직각삼각형의 가장 짧은 변이 될 수 있습니다!
(2n,n^2-1,n^2+1) 꼴로 가능합니다
n > 1 에서는 전부 성립하지만
n = 2 인 경우는 (4,3,5)가 되면서 2n이 가장 작은 값이 아니게 되므로
n이 3 이상인 경우에 대해 적용할 수 있습니다
증명 어떻게 하죠?
일단 홀수부터 증명하자면 제곱수의 특징중의 하나는 n² = Σ(k->0,n)2k+1, 말로 풀자면 n의 제곱은 n번째 홀수 이하의 모든 홀수의 합 이라는겁니다.
피타고라스의 법칙 a²=b²+c²(c를 가장 짧은 변으로 가정) 에서 b항을 반대로 넘긴다면 c²=a²-b²가 되고, 즉 Σ(k->b+1,a)2k+1이 됩니다.(말로 풀면 b보다 큰 a이하의 모든 홀수의 합)
만약 a-b가 1이라면, c²은 임의의 홀수가 될 수 있습니다. 모든 홀수의 제곱수는 홀수이기 때문에, c가 어떤 홀수가 되어도 a²=b²+c²과 a-b=1을 성립하는 정수 a,b의 값이 존재함을 알수 있습니다. 하지만 c가 1일때는 a가 1, b가 0이 되므로 삼각형에서는 모든 변이 자연수인 직각삼각형의 가장 짧은 변이 홀수이기 위해서는 가장 짧은 변이 3 이상이어야만 합니다.
따라서 3 이상의 모든 홀수에 대해 그 수를 가장 짧은 변으로 두는 모든 변의 길이가 자연수인 직각삼각형은 존재합니다.
6 이상의 짝수의 증명은 더 간단합니다.
위에서 3 이상의 홀수에 대해 증명했으니, 각 변의 길이가 2배인 닮은 삼각형이 존재합니다. 따라서 6이상의 짝수에 대해서도 성립합니다
@@simu14 수학 잘하시네요. 영재고 다니시나요?
직각삼각형에서 세 변 a, b, c에 대하여
a
직각삼각형 하니까 생각나는 건데,
a가 모두 자연수일때,
a1²+a2²=a3²이면서 a2²+a3²=a4²인 수 4개가 존재할까요?
+ 밑에서 여러 의견 제시해주셔서 감사합니다. 하지만, 수학적으로 논의하는 것 이외의 발언에 대해서는 자제해주시기를 바랍니다.
++ a1,a2,a3,a4라고 적은 까닭은 적은 환경이 모바일이고, 아랫첨자를 쓰는 법을 모르기 때문에 해당과 같이 적었습니다. 추가로 이걸 궁금해 할 당시에 이러한 조건을 만족하는 수열에 대해 알고 싶었기 때문에 a,b,c,d 대신에 a1,a2,a3,a4와 같은 형태로 적게 되었습니다.
그래서 그걸 왜 저한테 물어보시는 거죠??
그냥 a1과 a2를 다른 문자로 써주시면 안될까요 a^2+b^2=c^2 이런식으로
@@fcte6464(5,12,13)부터 이미 (2n, n^2-1,n^2+1)꼴이 아닌 것으로 보아 예외가 있을 것만 같군요
a1^2 + a2^2 = a3^2
a2^2 + a3^2 = a4^2
a1^2 + 2a2^2 = a4^2
a1^2 + (root(2)a2)^2 = a4^2
a1² a2² a3²이 뭐임? a₁² a₂² a₃²을 말하고 싶은건가
참고로 두 변의 차가 1인 삼각형의 피타고라스 세쌍은
(n,(n^2-1)/2,(n^2+1)/2)이다
(단 n이 1이 아닌 홀수 일때)
과학고 자기소개서에다가 이거 혼자서 발견하고 그에 이어 합차 곱셈공식도 혼자서 알아냈다는 내용 써서 붙음
지리네요
나도 거의 다 지어내서 썼는데 영재고 붙음 ㅋㅋ
자 인증 해볼까요? 유튜브 영상 하나씩 올려주세요 ㄹㄱㅎㅃ
@@안녕-g9r7g 함
@@안녕-g9r7g 올림
중2때 3이상의 홀수는~ 증명하고 그날 기분 개좋았는데 ㅋㅋㅋ
중2때 배운적이 없는데요 ㅋㅋ
@@김시후-e8z중2때 알았나보지
@@김시후-e8z 세상에는 아직도 진도를 안 나간 부분을 혼자서 깨우치는 사람들이 있더라...
@@yacht-responce부럽네요...
제목만 보고 두 변의 길이가 10000씩 차이가 나는 삼각형이라고 착각해서 길이가 만단위보다 크거나 작은 숫자들의 삼각형은 어느 차원 평면에 그려야 되는건가 기대하면서 들어왔음 ㅋ
아니 왜 모자이크됨
9,40,41 도 피타고라스 수인데 루트40+41은 놀랍게도 9 이게 되네
신기하네요
1000번째 좋아요는 본인이오
혹시 영상에 나온 피타고라스 수는 차이가 1인 두 자연수 m, n에 대한 식으로 표현할 수 있다는 사실을 알고 계신가요? 예를 들어 7, 24, 25는 3과 4를 이용해서 7=3+4, 24=2×3×4, 25=3^2+4^2과 과 같은 형태로 나타낼 수 있죠. 이를 증명해보는 것도 재밌으실 겁니다 :)
화면에 수식이 이상하다.
왜 근데 아무도 댓을 안달지
이거 내가 초등학생 때 혼자 생각했던건데 ㅋㅋㅋ
1,1,루트2는 변 1차이나는 직각삼각형인 경우에 해당안되지않나요 뭘 말하고자하는 영상인지 잘 모르겠어요
두변의 길이가 같으면 ( a - b ) = 0 이라,
조건 자체가 성립하지 않습니다...
제가 예시를 만들때 아예 잘못생각했습니다. 수정하고 앞으로 더 신경쓰겠습니다. 알려주셔서 감사합니다.
여기가 바로 외계행성인가요
길이가 10000차이난다는줄
ㅋㅋ 이거 예전에 여러 상상하면서 증명한건데
좀만 더 빨리 태어났으면 저게 니꺼 됐음
9 40 41
3 4 5
7 24 25
5 12 13
이거 연속된거 찾아서 재밌었는데 이제보면 그냥 자연수쌍은 홀수의 제곱을 쪼개면 되는거였어
(-c)^2 = a^2 + b^2 / a^2 + b^2 = c^2
6,8,10 이거도 외워두면 좋음
어차피 3 4 5를 2배 해준 것에 지나지 않기에...