상세한 증명과정 잘 봤습니다! 설명 중 궁금한 부분이 있어서 질문 드립니다. 전미분 식에서 왜 뒤에 dx가 붙는지에 대해 증명하시는 과정에서 식을 X_1 * X_2 * X_3로 임의로 정하셨는데, 이는 변수들이 다 곱해진 식에서만 성립하는 증명이고, 변수들이 서로 곱해지지 않은 식이라면 위의 가정으로 증명하는 것이 맞는가 의문이 들었습니다. 한 예로 로켓 추력 관련 식에서 V, P_e, A_e를 변수로 두고 m과 P_a를 상수로 두어 F=mV+(P_e - P_a)A_e 이러한 식을 전미분하는 과정이 있습니다. 여기서는 변수 중 V가 다른 변수와 곱해져 있지 않기 때문에 증명이 위의 방식으로는 불가능하지 않을까요? 물론 전미분했을 때의 형태는 위의 결과처럼 나옵니다.
우왁! 아주 예리한 지적 입니다. 주신 예를 보면 위와 같이 세가지 변수의 곱으로 표현이 힘듬을 확인 할 수 있습니다. 그러니 우리는 다음 특징을 이용하게 됩니다. 함수 f,g,h 에 대하여 f = g + h 라고 한다면 df/dx = dg/dx + dh/dx 이다라고 우리는 고등학교 미분 시간에 배웠습니다. 위의 식은 다음과 같습니다. F(V, P_e, A_e) = mV + (P_e - P_a) A_e = mV + P_e A_e - P_a A_e 그리고 위의 식은 다음과 같이 바뀔 수 있습니다. G(V, P_e, A_e) = mV H (V, P_e, A_e) = P_e A_e I (V, P_e, A_e) = - P_a A_e F(V, P_e, A_e) = G + H + I = mV + P_e A_e - P_a A_e 여기서 G, H, I 는 f(V) g(P_e) h(A_e) 꼴로 치환 가능 함을 확인 할 수 있고, 결국 ruclips.net/video/S_ehUZZEbW8/видео.html 에서 드린 답변과 동일한 형태로 미분한뒤 다 더하면 된다는 사실을 알 수 있습니다. 예리한 질문 감사드립니다!
으악! 조금 설명 드리기 어려운 부분을 찌르셨네요. 그러나 최대한 열심히 설명 드리도록 하겠습니다. 일단 dx는 미분을 공부 하셨더라면 보셨을 거예요. dx에서의 d는 기본적으로 2차원에서 미분할 때에 '매우 작다'라는 의미를 갖는 기호입니다. 그렇기 때문에 dy/dx 는 y 라는 함수의 기울기가 되는 것이지요. 반면에 δx에서의 δ는 3차원 또는 그 이상의 차원에서의 편미분을 하기 위한 '매우 작다'라는 의미를 갖는 기호입니다. 여기서 편미분은 삼차원 이상의 차원에서 미분 하고자 하는 변수를 제외한 나머지 변수들은 상수로 취급하고 미분 하는 것 이라고 생각 하시면 되겠습니다. 위의 영상의 예를 보시면 이해할 수 있으실 거예요. 위의 영상에서 δf/δx 는 x 를 제외한 다른 변수들은 상수 취급 하고 기울기를 구한 것이기 때문에 분수의 의미가 있다고 할 수 있겠네요. 요약 d 는 2차원 그리고 δ 는 3차원 이상의 조건에서의 매우 작다 라는 뜻이다. δf/δx는 분수의 의미가 있다. *** 여기는 심화적인 내용 입니다. 가볍게 알고 싶으시면 위의 내용만 아시면 됩니다.*** 위의 내용에서 중요한 것은 d 는 2차원을 기준으로 한다는 것 입니다. 2차원은 변수가 총 2개이고, 이러한 특징 때문에 어떤 함수 y 는 x에 관한 식으로 표현이 가능 합니다. (y = f(x)) 그리고 3차원 또는 그 이상의 n차원 에서는 변수가 총 n개이고, 이러한 특징 때문에 어떤 x_n 대한 함수는 나머지 변수들에 관한 식으로 표현이 가능 합니다. (x_n = f(x_1,x_2,...,x_n-1)) 그러나 위의 영상에서의 예는 3차원에 관한 식임에도 전미분에서 df, dx, dy 가 나옴을 확인 하셨을겁니다. 결국 여기서의 df, dx, dy는 3차원의 특성이 없고 2차원의 특성을 갖는 수이다 라고 생각하시면 되겠습니다. 2차원에서의 변수는 총 2개입니다. 일반적으로 x와 y를 사용하지만 이미 위에 있으니 x'과 y'을 변수로 갖는 2차원을 생각해 봅시다. df, dx, dy 에서의 f는 함수를 나타냅니다. 이는 다음과 같이 표현할 수 있겠습니다. y' = f(x,y) 여기서의 문제는 함수 f의 변수가 x 와 y 라는 것입니다. 새로운 2차원 에서는 x' 과 y' 만이 변수 임으로 x 와 y 라는 3 차원 에서의 변수는 2 차원 에서는 변수가 아니라는 겁니다. 즉 x 와 y 는 2차원 에서는 함수가 됩니다. 쉽게 생각 하시면 x 와 y 는 3차원 에서 변하는 수 였고, 이 변하는 특징을 반영하기 위하여 2차원 에서는 함수가 되었다 라고 생각 하시면 됩니다. 결국 이들은 다음과 같이 변하게 됩니다. x -> x(x') y -> y(x') x 와 y 는 x' 에 대한 함수로 바뀌게 된 것이고 결구국 함수 f 는 다음과 같이 됩니다. y' = f(x,y) = f(x(x'), y(x')) 결국 함수 f 는 x' 에 대한 식이 되는 것입니다. 요약 dx 와 δx 에서의 x 는 dx 에서는 함수 이고 δx 에서는 변수이다. ** 참고로 2 차원에서 y = x 와 같은 함수가 있듯이 x(x') = x' 과 같은 함수가 나올 수 있습니다. 이 경우에는 δx 는 2차원 에서도 변수다 라고 할 수 있습니다. 어려우시면 처음 요약 부분만 아시면 됩니다. 그럼 좋은 하루 되세요!
안녕하세요! 답변을 드리자면 비슷하지만 살짝 다른 듯합니다. 정확히는 x를 상수취급하고 미분한식 * dx + y를 상수취급하고 미분한식 * dy 가 됩니다. 결국 위의 식을 전미분 한다면 다음과 같이 됩니다. f(x, y) = 3x^2 + 4xy + y^2 전미분 전 df = f_x * dx + f_y * dy = (6x + 4y) * dx + (4x + 2y) * dy 전미분 후 좋은 하루 되세요!
더 계산을 하면 할 수는 있지만 저는 보통 안합니다. 더한다면 그냥 분배법칙을 써서 2x * dx + 3y * dx + 3x * dy + 2 * dy 정도 되겠네요. 제 생각에는 지금 dx 가 dy/dx 같은 꼴로 안나와서 뭔가 이상하다고 느끼시는것 같습니다. dx 는 그저 한없이 작아지는 x 이기에 저렇게 쓰여도 아무 이상 없습니다. 마치 적분안에 dx 가 있었던 것 같이요. 혹시 지금 처음 배우시는 것이라면, 그냥 이렇군아 하고 넘어가셔도 됩니다. 그냥 이게 전미분이다 라고 생각하시고, 나중에 배울 내용을 보시면 이걸 왜 하는지 알 수 있으실 거에요.
어렵네요,,,,,,
느낌상 전미분이 이럴것이다 느꼇는데, 생전처음 배우네요, 전미분의 물리학적 의미, x,y방향이 아닌 부분의 미분값.
아 문제풀이식 한국 교육이 천재를 바보로 만들어 버렷네.
상세한 증명과정 잘 봤습니다! 설명 중 궁금한 부분이 있어서 질문 드립니다. 전미분 식에서 왜 뒤에 dx가 붙는지에 대해 증명하시는 과정에서 식을 X_1 * X_2 * X_3로 임의로 정하셨는데, 이는 변수들이 다 곱해진 식에서만 성립하는 증명이고, 변수들이 서로 곱해지지 않은 식이라면 위의 가정으로 증명하는 것이 맞는가 의문이 들었습니다. 한 예로 로켓 추력 관련 식에서 V, P_e, A_e를 변수로 두고 m과 P_a를 상수로 두어 F=mV+(P_e - P_a)A_e 이러한 식을 전미분하는 과정이 있습니다. 여기서는 변수 중 V가 다른 변수와 곱해져 있지 않기 때문에 증명이 위의 방식으로는 불가능하지 않을까요? 물론 전미분했을 때의 형태는 위의 결과처럼 나옵니다.
우왁! 아주 예리한 지적 입니다. 주신 예를 보면 위와 같이 세가지 변수의 곱으로 표현이 힘듬을 확인 할 수 있습니다. 그러니 우리는 다음 특징을 이용하게 됩니다. 함수 f,g,h 에 대하여 f = g + h 라고 한다면 df/dx = dg/dx + dh/dx 이다라고 우리는 고등학교 미분 시간에 배웠습니다. 위의 식은 다음과 같습니다.
F(V, P_e, A_e) = mV + (P_e - P_a) A_e = mV + P_e A_e - P_a A_e
그리고 위의 식은 다음과 같이 바뀔 수 있습니다.
G(V, P_e, A_e) = mV
H (V, P_e, A_e) = P_e A_e
I (V, P_e, A_e) = - P_a A_e
F(V, P_e, A_e) = G + H + I = mV + P_e A_e - P_a A_e
여기서 G, H, I 는 f(V) g(P_e) h(A_e) 꼴로 치환 가능 함을 확인 할 수 있고, 결국 ruclips.net/video/S_ehUZZEbW8/видео.html 에서 드린 답변과 동일한 형태로 미분한뒤 다 더하면 된다는 사실을 알 수 있습니다.
예리한 질문 감사드립니다!
편미분과 전미분을 첨 봐서 초보적인 질문 몇 가지 합니다
δx와 dx는 어떻게 다른건가요?
δf/δx에 분수의 뜻은 없는건가요?
으악! 조금 설명 드리기 어려운 부분을 찌르셨네요. 그러나 최대한 열심히 설명 드리도록 하겠습니다.
일단 dx는 미분을 공부 하셨더라면 보셨을 거예요. dx에서의 d는 기본적으로 2차원에서 미분할 때에 '매우 작다'라는 의미를 갖는 기호입니다. 그렇기 때문에 dy/dx 는 y 라는 함수의 기울기가 되는 것이지요.
반면에 δx에서의 δ는 3차원 또는 그 이상의 차원에서의 편미분을 하기 위한 '매우 작다'라는 의미를 갖는 기호입니다. 여기서 편미분은 삼차원 이상의 차원에서 미분 하고자 하는 변수를 제외한 나머지 변수들은 상수로 취급하고 미분 하는 것 이라고 생각 하시면 되겠습니다. 위의 영상의 예를 보시면 이해할 수 있으실 거예요. 위의 영상에서 δf/δx 는 x 를 제외한 다른 변수들은 상수 취급 하고 기울기를 구한 것이기 때문에 분수의 의미가 있다고 할 수 있겠네요.
요약
d 는 2차원 그리고 δ 는 3차원 이상의 조건에서의 매우 작다 라는 뜻이다.
δf/δx는 분수의 의미가 있다.
*** 여기는 심화적인 내용 입니다. 가볍게 알고 싶으시면 위의 내용만 아시면 됩니다.***
위의 내용에서 중요한 것은 d 는 2차원을 기준으로 한다는 것 입니다. 2차원은 변수가 총 2개이고, 이러한 특징 때문에 어떤 함수 y 는 x에 관한 식으로 표현이 가능 합니다. (y = f(x)) 그리고 3차원 또는 그 이상의 n차원 에서는 변수가 총 n개이고, 이러한 특징 때문에 어떤 x_n 대한 함수는 나머지 변수들에 관한 식으로 표현이 가능 합니다. (x_n = f(x_1,x_2,...,x_n-1)) 그러나 위의 영상에서의 예는 3차원에 관한 식임에도 전미분에서 df, dx, dy 가 나옴을 확인 하셨을겁니다. 결국 여기서의 df, dx, dy는 3차원의 특성이 없고 2차원의 특성을 갖는 수이다 라고 생각하시면 되겠습니다.
2차원에서의 변수는 총 2개입니다. 일반적으로 x와 y를 사용하지만 이미 위에 있으니 x'과 y'을 변수로 갖는 2차원을 생각해 봅시다. df, dx, dy 에서의 f는 함수를 나타냅니다. 이는 다음과 같이 표현할 수 있겠습니다.
y' = f(x,y)
여기서의 문제는 함수 f의 변수가 x 와 y 라는 것입니다. 새로운 2차원 에서는 x' 과 y' 만이 변수 임으로 x 와 y 라는 3 차원 에서의 변수는 2 차원 에서는 변수가 아니라는 겁니다. 즉 x 와 y 는 2차원 에서는 함수가 됩니다.
쉽게 생각 하시면 x 와 y 는 3차원 에서 변하는 수 였고, 이 변하는 특징을 반영하기 위하여 2차원 에서는 함수가 되었다 라고 생각 하시면 됩니다. 결국 이들은 다음과 같이 변하게 됩니다.
x -> x(x') y -> y(x')
x 와 y 는 x' 에 대한 함수로 바뀌게 된 것이고 결구국 함수 f 는 다음과 같이 됩니다.
y' = f(x,y) = f(x(x'), y(x'))
결국 함수 f 는 x' 에 대한 식이 되는 것입니다.
요약
dx 와 δx 에서의 x 는 dx 에서는 함수 이고 δx 에서는 변수이다.
** 참고로 2 차원에서 y = x 와 같은 함수가 있듯이 x(x') = x' 과 같은 함수가 나올 수 있습니다. 이 경우에는 δx 는 2차원 에서도 변수다 라고 할 수 있습니다. 어려우시면 처음 요약 부분만 아시면 됩니다.
그럼 좋은 하루 되세요!
즐거운 하루! 으어어.. 이해하려면 조금 걸릴것 같아요.. 이렇게 정성들여 답변해주시다니 감사합니다!!ㅠㅠ 교수님들보다 훨씬 낫네요~
그럼 고등학교때 배운 미분과 전미분은 다른건가요??
사실상 음함수의 도함수가 전미분의 일부라고 볼 수 있습니다
질문자가 질문하신 문제에서 전미분을 구한다면 x를 상수취급하고 미분한 식을 미분한것 + y를 상수취급하고 미분한식을 미분한것 인건가요??
안녕하세요! 답변을 드리자면 비슷하지만 살짝 다른 듯합니다. 정확히는 x를 상수취급하고 미분한식 * dx + y를 상수취급하고 미분한식 * dy 가 됩니다.
결국 위의 식을 전미분 한다면 다음과 같이 됩니다.
f(x, y) = 3x^2 + 4xy + y^2 전미분 전
df = f_x * dx + f_y * dy
= (6x + 4y) * dx + (4x + 2y) * dy 전미분 후
좋은 하루 되세요!
즐거운 하루!
죄송하지만 하나만 더 여쭤봐도될까요?
f(x,y) = x^2+ 3xy + 2y
위의 식을 전미분하면 2x+3y +3y+2인가요 아니면 2x+3y+3xy’+2y’ 인가요???
위의 식을 전미분 하시면 다음과 같이 됩니다.
df = (2x+3y) * dx + (3x + 2) * dy
즐거운 하루!
정말 죄송한데.. 저기 ()*dx ()*dy는 뭔가요??그 식은 더이상 계산이 안되는건가요??
더 계산을 하면 할 수는 있지만 저는 보통 안합니다. 더한다면 그냥 분배법칙을 써서 2x * dx + 3y * dx + 3x * dy + 2 * dy 정도 되겠네요.
제 생각에는 지금 dx 가 dy/dx 같은 꼴로 안나와서 뭔가 이상하다고 느끼시는것 같습니다.
dx 는 그저 한없이 작아지는 x 이기에 저렇게 쓰여도 아무 이상 없습니다. 마치 적분안에 dx 가 있었던 것 같이요.
혹시 지금 처음 배우시는 것이라면, 그냥 이렇군아 하고 넘어가셔도 됩니다. 그냥 이게 전미분이다 라고 생각하시고, 나중에 배울 내용을 보시면 이걸 왜 하는지 알 수 있으실 거에요.