오늘 학교가서 이해하질 못해서 상실감이 많이 밀려오더라고요 너무 답답하고 앞으로 어떻게 하지 막막하고 그래서 집 와서 보스님 영상 미분 방정식 1편부터 보는데 아 교수님이 설명해주신게 이런거구나 와,,이걸 이렇게 생략하고 설명하셨구나 보스님 설명 듣고 진짜 마음에서 눈물이 나네요 정말 감사합니다 사막 한가운데서 샘물을 찾은 것 같습니다 지금 영상을 다 보진 못했지만 막혔던 것이 벌써 여러곳 뚫렸네요 행복합니다 휴학을 오랫동안 하여 같이 상의할 친구도 없었는데 ㅠㅠㅠㅠㅠ
@@외계인파브르 확인했습니다 :) 제가 수학 전공이 아니라서 '클레로 정리에 대해서' 최상의 답변을 드릴 수 있을지는 모르겠지만, 궁금증을 해결하시는데에 도움이 되어드릴 수는 있을 것 같아요 우선 달아주신 댓글 끝부분의 방향은 성립하는 것이 맞습니다 또한 저 역시, 역은 성립하지 않는 것으로 기억하고 있기는 합니다 다만 제가 설명드린 부분은 '미분방정식을 풀기 위해서 저러한 조건을 사용'한다는 상황을 전제로 깔고가는 것입니다 즉, 이 모든 논의는 'f가 존재한다면' 논할 수 있는 것이고, 클레로 정리에 유의하여 f를 구했을 때에 'f를 구할 수 있어야' 문제가 풀이 되는 것 입니다 :) 역이 성립하지 않는 경우는 제대로 된 f를 구할 수가 없다는 것인데, 그는 주어진 미분방정식 문제를 풀어내야 하는 관점에서는 '논외의 것'이라는 설명을 드릴 수 있고, 이는 (실제로 명제의 참과 거짓과 무관한 설명임에도) 타당한 이야기라는 것을 이해하실 수 있을 거에요 :)
@@외계인파브르 혹시 편미분 교환법칙은 성립하지만 완전미분방정식이 아닌 경우를 질문하시는 거라면, 그 부분은 저도 노트를 보고 복습을 해야합니다 :) (영상 속 내용과는 별개로 실제로 그러한 예제가 있습니다ㅎ) 다만 요약하자면 보통 '필요충분조건'인지의 여부는 '수학적으로 앞 뒤 명제를 서로 동치인 조건으로 취급할 수 있느냐'의 문제입니다 :) 미분방정식을 풀이하기 위해 방법을 시도하는 상황과는 다릅니다!
안녕하세요 이번 영상도 잘 보았습니다 그러나 궁금한 사항이 있어서 댓글로 질문 드려보아요! 04:12 f는 상수 05:11 우측 하단의 등식은 x와 y에 대한 편미분을 각각 한 번씩 시행한 것 두 가지 내용이 서로 다른 의미를 지니고 있다고 생각이 됩니다. 어느 부분에서 잘못 짚고 넘어간걸까요 ㅠㅠ?
우선 f가 상수라는 것은 맞지만, 그 f는 x와 y에 대한 함수로 표현 되어 있기에 f=f(x,y)이며, 그 함수 f가 상수의 값으로 제한될 때의 상황으로 생각해주시면 좋습니다 :) 예를 들어 f=x^2+y^2=25 라 함은 f가 x와 y에 대한 함수인 것은 맞으나 그의 함수값이 25로 결정되어야 하는 것을 의미히기 때문에, 이는 2차원 평면 전 영역에서 1차원적인 일부를 의미하는 자취가 됩니다 (실제로, 주어진 미분방정식은 dy/dx=~~ 꼴의 미분방정식 이므로 y가 x에 대해 어떠한 식으로 표현되는 선의 그래프가 될 것 입니다) 그렇기 때문에 f는 상수로 '제한' 되어 있는 상황인 것일 뿐, f 자체는 x와 y에 대한 함수입니다 ㅎ 그런데, 완전미분방정식의 형태를 잘 보면 Mdx+Ndy=0의 형태와 같으며, 이때 0은 상수를 미분한 것과 같으니 결국 df로서 f의 변화량을 의미하는 것과도 같다는 의미입니다! 즉, f=C라는 제한된 상황에서는 f의 값이 변하지 않으므로, df=0인 것 인데 이때 영상의 설명에 따라서, df=(af/ax)dx + (af/ay)dy =0로 표현이 되는 원리입니다 (a : 편미분 기호로 봐주세요) 즉, 그러한 상황에서 f를 찾는다면 (위에서 제가 든 예와 같이) y를 x에 대한 식으로 표현할 수 있거나 (양함수 꼴), x와 y에 대한 식의 형태로 써놓고 우변을 0으로 둘 수 있게 되고 (음함수 꼴), 그는 곧 해를 구한 것과 같습니다
제가지금 고3 면접준비때문에 공부를 하고 있는데요.. 검색을해보니 미분방정식에 대한 공부는 상미분방정식에 대해서 배우고나서 편미분을 배우는 거라해서 그렇구나 했는데 또 이영상은 상미분방정식 플레이리스트에 있는 영상인데 ∂도 나오고(저는 ∂가 편미분기호라고 알고 있는데) 순서가 뭐가 어떻게 된건지 모르겠네요… 처음 배울땐 khan academy의 AP calculus BC 라는 플레이리스트 에서 exact equation?라는 영상부터 이해가 잘안되서 여러 영상을 왔닥갔다 하면서 시청 했습니다 그런데 또 이영상은 이해가 잘 안되는데 베르누이 방정식 영상은 어찌저찌하니 이해가 잘되었네요…
( )dx + ( )dy =0 꼴로 나타내어진 식은 x와y가 종속 관계인가요? 아님 각각의 독립변수인가요 지금 변수가 한개인 미분방정식을 풀다가 갑자기 편미분이 나와서 머릿속이 정리가 안되네요.. 지금까지 y= 이런식의 해만 구하다가 갑자기 이런해가 나오니 받아들이기 좀 힘드네요 F만 보면 2 변수함수인데 F=C와같이 등호가 들어가게 되면 변수가 한개인 방정식이 되는건가요
오.. 좋은 질문입니다 우선 제가 수학적으로 엄밀한 설명을 드리기에는 쉽지 않을 것이고, 대신 보다 직관적인 설명을 드릴게요. 원래, y(x)라고 함은 x라는 독립변수(input, 입력)에 대한 y라는 종속변수(output, 출력)사이의 관계를 나타내는 것인데, 이 경우는 x의 정의역 상에서 임의의 x값에 대해 y값이 결정 되죠. 그런데, df(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy 라고 할 때의 x와 y는 'constraints(구속되는 조건)'이 없다면, 분명히 f(x,y)라는 output을 결정하는 독립변수 입니다. constraints라 함은 'x와 y가 이루는 평면 상에서, x와 y를 특정한 부분에만 존재하도록 제한하는' 조건으로 부른건데, 예를 들자면 f(x, y) = x^2 + y^2 이라는 함수가 f(x, y) = x^2 + y^2 = E 라는 상수로 제한되어야 하는 경우이죠. (물리학에서는 에너지 '보존' 법칙에 의해서 조화 진동자가 위와 같은 꼴의 constraints를 만족시켜야만 합니다) 그러한 조건으로 인해, x와 y는 그들이 이루는 2차원 평면 상의 임의의 영역을 돌아다닐 수 있는 것이 아니라 (예를 들어) 'f(x, y) = x^2 + y^2 = E'의 조건을 만족시키는 곳에서만 존재할 수 있고, 이로써 2차원 전체가 아니라 2 - 1 = 1차원의 영역으로 구속되었다고 표현할 수 있지요 : ) 또한, E는 상수이므로 df=0인 것입니다. 정리하자면, 어떤 함수 f(x,y)를 df=M(x,y)dx + N(x,y)dy 의 꼴로 나타내는 것은 'f가 x와 y에 대한 종속변수' 이기 때문인데, 여기서 df = 0 이어야 한다는 constraints가 있다면 x와 y 사이의 특정한 관계가 성립해야만 합니다. 그렇기에, 결론적으로 해를 얻는다면 y(x)로서 y가 독립변수 x에 대한 '종속변수'로 표현이 되는 것이에요 : ) 물론 질문자님이 예리하게 짚으신 것과 같이, df(x,y) = 0 에서 y(x) = ~~. 로 넘어갈 때에 x와 y를 고려한다면 '종속변수'와 '독립변수'의 명칭을 자세히 언급해야 하겠지만, (보통의 교재에서는) 그렇지 않은 경우가 많습니다. 제 경우는, 위에서 설명드린 과정에서 '평면'에서 '선' 으로 차원이 줄어드는(hypersurface) 과정을 '종속 변수'의 관점으로 설명드리는 것이 조금 조심스럽네요 ㅎ 그래도 답변이 도움되었길 바랍니다 : )
좀 더 요약하자면, f(x,y)에 대해서 df = M(x,y)dx + N(x,y)dy로 전미분을 표현한다는 것은 (x와 y에 대한 constraints가 없을 때) x와 y라는 독립변수에 대해 f가 종속변수임을 의미합니다. 즉, '원래는' x와 y가 이루는 평면 위에서라면, x와 y의 임의의 값에 대해 f(x,y)가 정의될 수 있죠. 다만, df = M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0이라 쓴다는 것은 f(x,y)가 상수로 보존되어야 한다는 constraints로, (x,y)가 이루는 평면 상에서 '특정한 영역'에만 구속되게끔 조건을 설정했다는 것입니다. 따라서 df = 0을 풀면, x와 y에 대한 관계식이 나오게 되고, 그 결과로는 y(x)가 나오게 되죠. 완전 미분방정식의 경우에서 말입니다 : )
안녕하세요 ^ ^ 말씀하신 것 처럼, 완전 미분도 1계선형 미방의 꼴로 푸는게 가능할 때가 종종 있습니다 ㅎ 좋은 예가 되는것이, 이번영상에서 풀이한 문제가 되어요! (실제로 1계선형 공식으로 적분해보면 크게 어렵지 않다는 것을 확인가능) 두가지 모두 좋은, 수학적인 방법이며 특별한 차이점이 있다면 1계선형 미방은 (2편에서 유도했듯이) 적분인자 라는 개념을 이미 사용한 공식을 써야 하기 때문에, (적분이 어렵던 쉽던) 공식을 계산해야 한다는 점이 있고 완전미방은 (f가존재할 경우에는) 간단하게 풀이가 가능하다는 점이 있긴 합니다 :) 그래서, 오히려 완전 미방은 '좀더 일반적으로 풀이가능한' 방법이 되겠습니다 ㅎ 어차피 f가 존재하지 않는 다소 어려운 상미방 문제의 경우를 직면해도, 4편내용을 참고하셔서 풀이하시면 해결됩니다 ^ ^
![[미분방정식] 4편. 완전 미분방정식 (적분인자)](http://i.ytimg.com/vi/LWiThtvYw18/mqdefault.jpg)
![[미분방정식] 4편. 완전 미분방정식 (적분인자)](/img/tr.png)
![[ODE Ep.4] 완전미분방정식의 해는 이렇게 생겼습니다.](/img/1.gif)
혼자 필기하면서 중얼거리는 우리교수새끼보다 훨씬 깔끔하고 꼼꼼히 가르쳐주는 이분이 100배 낫다
ㄷㄷ 감사합니다 🙂
제 대학생활을 책임지고계십니다...
😙 정말 영광입니다 시훈님 ^^ 감사합니다 :)
정말 감사합니다 공학수학 하고있는데 제 생명의 은인이십니다.
과찬이세요 ^_^; 저도 너무 감사드립니다 :) ^ ^
개인적으로 교수님이 쓰면서 설명하시니까 속도감이 느리고 집중력이 떨어지는 느낌이 들었는데,
이렇게 온전히 설명할 수 있도록 자료도 피피티로 띄워주시면서 강의해주시니까 정말 집중이 잘되고 좋아요 !!
@@관짝도둑 소중한 피드백 까지 .. :) 감사해요 !! @_@
교수가 이유설명하지도 않고 과정만 얼렁뚱땅 설명해서 혼자 끙끙거리고 있었는데 어느정도 윤곽이 잡힌 것 같습니다. 너무 잘 설명해시네요
:) 뿌듯합니다 ㅎㅎ
좋은 댓글 남겨주셔서 감사드려요
댓글 작성을 원래 하지 않는데 교수님께서 3시간 넘게 설명해주신 내용인데도 이해를 하지 못했는데 이렇게 짧은 시간에 이해하게 되어서 감사합니다. 나중에 대학 수학이나 고등 수학 강사 하시면 제 아들 꼭 보내고 싶네요..
좋은 말씀 남겨 주셔서 정말 감사드립니다 : )
제가 본업으로는 연구를 하고 있어서 아마 학원에 가지는 않겠지만, 앞으로도 유튜브를 꾸준히 해서 보다 이해하기 쉬운 설명을 계속 보실 수 있도록 하겠습니다 ㅎ ㅎ
진짜 한줄기 빛이세요... ㅠㅠㅠ 눈물콧물 흘리고 갑니다....🥺
영광입니다 ㅎ_ㅎ 감사드려요 :)
지금까지 본 ODE강의중 이분 강의들이 제일 이해가 잘된다
효원님 너무 감사드립니다 ..^^ 좋은하루되세요 :)
와 너무 이해가 잘 가요 당신은 나만의 교수님......
:-)
너무 깔끔하게 설명해주셔서 감사합니다. 다른 동영상을 듣고도 이해하지 못해서 다른 영상을 찾아보다가 우연히 듣게 되었는데 이해가 너무 잘되네요. 감사합니다. 다른 영상도 기대하고 있겠습니다.
헉.. 제가 너무 감사해요! ^^
정말 힘이되고 기분좋아지는 댓글 남겨주셔서 감사합니다 :)
앞으로도 꾸준히 보다 양질의 영상업로드 하도록 할게요
그저 감사합니다
교수가 정의만 쭉설명하고 판서만 시키고 하나도 이해못했는데 이 영상보고 완벽히 이해했습니다.. 1강부터 저에게 구세주십니다 학교학생들 다 공업수학 어려워하는데 결국 가르치는 방식의 문제였네요
이해에 도움을 드리게 되어서 기쁩니당 : ) 좋은 댓글 남겨주셔서 감사합니다 ㅎㅎ
교수보다 설명을 잘하시네염 너무 좋아영~~☺️☺️☺️
영광입니다 ㅎㅎ 좋은 댓글 남겨주셔서 감사드려요!
구독과 좋아요 댓글에 알림설정까지 했어요 감사합니다 감사합니다 감사하나이다.
BOS도 재원님께 정말 감사하나이다 ^_^
사랑해요 진심입니다 교재에 적힌 판서 해독하느라 애먹는 중이었는데 이거 본 이후로 쭉 정주행 중입니다 감사합니다 진짜로
친절하게 댓글을 남겨주셔서 저도 감사드립니다 :)
오늘 중간고사 다 맞았습니다 구세주를 만난 기분이에요 다시 한 번 감사합니다 ♡
@@하진성-w4y 우왕.. 정말 축하드립니다 ^_^
열심히 스터디 해주신 덕분이에요 :)
오늘 학교가서 이해하질 못해서 상실감이 많이 밀려오더라고요 너무 답답하고 앞으로 어떻게 하지 막막하고 그래서 집 와서 보스님 영상 미분 방정식 1편부터 보는데
아 교수님이 설명해주신게 이런거구나 와,,이걸 이렇게 생략하고 설명하셨구나 보스님 설명 듣고 진짜 마음에서 눈물이 나네요 정말 감사합니다
사막 한가운데서 샘물을 찾은 것 같습니다 지금 영상을 다 보진 못했지만 막혔던 것이 벌써 여러곳 뚫렸네요 행복합니다 휴학을 오랫동안 하여 같이 상의할 친구도 없었는데 ㅠㅠㅠㅠㅠ
설명으로 도움을 드릴 수 있어서 뿌듯하네요 ㅎ_ㅎ
친절하게 댓글을 남겨주셔서
제가 정말 감사드립니다 :)
설명을 너무 잘하세요 최고에요
🙂 과분한 말씀입니다:) 감사해요..^^
진짜 정말 감사합니다...교수가 어렵게 설명해서 이해를 못했늗데 한줄기 광명의 빛을 본 것 같습니다. 이번에 시험 A+ 받겠습니다.
꼭 시험 A+ 받으시길 바랍니다 :) 정말 감사합니다!
설명 왜 이렇게 잘해주시죠..? 구독하고 갑니다.
흠..왜이렇게 친절히 댓글달아주시죠?... 감동받고 갑니다 :)
진짜 대학 수업 들으면서 이해가 하나도 안돼서 너무 화났는데 이거 보고 바로 이해했어요ㅠㅜㅜㅠ 진짜 감사해요.ㅠㅜㅜ
댓글 남겨주셔서 저도 정말 감사합니다 ^_^
덕분에 이해가 잘 됐습니다. 다른 영상에도 신세 좀 지겠습니다
감사합니당 (__)
왐마.. 교수님 수업에서 못한 이해를 여기서 다 하고 갑니다,, 진짜 짱이에여!!
ㅎ ㅎ 좋은 피드백 주셔서 감사해요
컴공2학년인데 비대면이라 질문하기도 어렵고 유튜브 찾아봤더니 깔끔하게 설명돼있는 영상이 여기 있었네요 감사합니다...ㅠ
늦게 답글드려 죄송합니다 ^^; 가끔씩 왜 댓글 알림이 안왔는지 모르겠어요, 정말 감사합니다! :)
너무 영상 감사합니다 공학수학을 배우고 있는데 이해가 안갔는데 영상 보면서 복습도하고 외웠던부분 이해시켜주셔서 학점을 책임져주시고 계십니다...
이해하시는데에 도움을 드리게 된 것 같아서 너무 기쁩니당 :)
다 스스로 열심히 해주셨기 때문이에요 좋은 댓글 감사합니다 ㅎ
진짜 자세히 알고 싶었던 부분까지 알려주셔서 감사해요ㅜㅜㅜ 정말 왜 0이 되고 식이 왜 이렇게 되는건지 모르고 그냥 외우려고 하고 있었는데 너무 큰 도움 받았어요 진짜 너무 감사드려요
제 설명으로 조금이나마 도움을 드리게 된 것 같아 정말 기쁩니다 ㅎ_ㅎ
댓글 남겨주셔서 감사해요 :)
좋은 강의 정말 감사드립니다.
:) 친절한 댓글 감사드려요 ^_^
이해가 되는 정도
교수님
허거덩.....
과분한 칭찬 이십니다ㄷㄷ 정말 감사해요:)
감사합니다 이 영상 덕에 금방 이해했습니다
너무 뿌듯해요! 좋은 댓글 감사합니다 : )
최곱니다... 이해했습니다..
ㅎㅎ 감사합니다 👍
형님 감사드립니다 원래 나보다 수학 잘하면 다 형이라 그랬어요!!❤
ㅋㅋㅋㅋ 댓글 감사드려요 🩵
도움받고 갑니다 감사합니다
제가 더 감사합니다 :)
이 영상이 최고다... 감사합니다...
😘 ^_^
잘 이해하고 갑니다 감사합니다
댓글 감사드립니다, 늦게 답글드린 점 죄송해요 :)
감사합니다.
감사드립니다 :)
시험 내일인데 이제 보고있네요ㅠㅠㅠ
시험 화이팅입니다! : )
@@bosstudyroom 감사합니다! 다른분들도 공부안했는지 딱 중간점수받았어요 기말때 열심히 해서 좋은성적 받을게요
감사합니다 !
댓글 감사드립니다 : )
하 ㅋㅋㅋㅋ전자기장에 이어서 미분방정식까지 도움받고 갑니다... 제 학점은인 bos님ㅠㅠ
택이님 감사합니다 ^_^ :)
진짜 최고다...
ㅎㅎ 감사드립니다
와 공수 책 증명부분 보면 하나도 이해 안됐는데 단박에 이해됐습니다...
^_^ 친절한 댓글 너무 감사드려요
쉽게 설명해주셔서 감사합니다! 웬만한 교수님들보다 이해도가 높으신 것 같아요!
좋은 댓글 남겨주셔서 감사합니다! :)
와 이해 쏙쏙 되네요 감사합니당ㅠㅠ
좋은 말씀 감사드려요 : )
저희 학교는 전부 영어로 하는 강의여서 맨붕이 왔는데 여기 강의 들으니까 정말 이해가 잘되네요 저희학교도 BOS님 같은 교수님이 계셨으면 좋겠네요 ㅜㅜ 정말 감사합니다
:) 준형님 정말 감사드립니다 ^^* 영어로 강의를 들으셔야하다니 ㅠ 부디 제 영상들이 조금이라도 더 이해하시기에 도움이 되어드리길 바랍니다 ^^
정말 감사합니다 ㅠㅠ
저도 댓글 감사드려요 ^_^♡
굿🔥🔥🔥🔥
영상 너무 깔끔해서 이해가 잘 가네요!!
혹시 m,n 정하고 어느 것에 x랑 y 대입할지는 마음대로 정해도 되나요?
9:07 h(y)가 -3y가 아니라 뒤에 적분상수가 붙어야되지 않나요??
결론적으로 표현하고자 하는 것은 f = c이므로, 적분상수를 붙이더라도 결국 상수 c에 포함됩니다.
@@bosstudyroom 감사합니다! 사랑해요..💗
안녕하세요 궁금한 점이 있습니다.
클레로정리의 역이 성립하면 함수가 존재한다는 점이 궁금해서 여쭤봅니다.
f가 영역 d에서 연속인 2계편도함수를 가질때 ===> fxy = fyx 가 클레로 정리인데, 역은 성립 안 하지 않나요?
어떤 질문을 주신건지는 알겠는데,
혹시 영상 속에서 제가 말한 부분의 시간대를 답글로 알려주실 수 있을까요?
이 영상 업로드한지가 꽤 되어서
제가 뭐라고 말씀 드렸는지 헷갈려서요ㅎ
@@bosstudyroom 6분입니다!
@@외계인파브르 확인했습니다 :)
제가 수학 전공이 아니라서 '클레로 정리에 대해서' 최상의 답변을 드릴 수 있을지는 모르겠지만,
궁금증을 해결하시는데에 도움이 되어드릴 수는 있을 것 같아요
우선 달아주신 댓글 끝부분의 방향은 성립하는 것이 맞습니다
또한 저 역시, 역은 성립하지 않는 것으로 기억하고 있기는 합니다
다만 제가 설명드린 부분은 '미분방정식을 풀기 위해서 저러한 조건을 사용'한다는 상황을 전제로 깔고가는 것입니다
즉, 이 모든 논의는 'f가 존재한다면' 논할 수 있는 것이고, 클레로 정리에 유의하여 f를 구했을 때에 'f를 구할 수 있어야' 문제가 풀이 되는 것 입니다 :)
역이 성립하지 않는 경우는 제대로 된 f를 구할 수가 없다는 것인데,
그는 주어진 미분방정식 문제를 풀어내야 하는 관점에서는 '논외의 것'이라는 설명을 드릴 수 있고, 이는 (실제로 명제의 참과 거짓과 무관한 설명임에도) 타당한 이야기라는 것을 이해하실 수 있을 거에요
:)
@@외계인파브르 혹시 편미분 교환법칙은 성립하지만 완전미분방정식이 아닌 경우를 질문하시는 거라면, 그 부분은 저도 노트를 보고 복습을 해야합니다 :)
(영상 속 내용과는 별개로 실제로 그러한 예제가 있습니다ㅎ)
다만 요약하자면 보통 '필요충분조건'인지의 여부는
'수학적으로 앞 뒤 명제를 서로 동치인 조건으로 취급할 수 있느냐'의 문제입니다 :) 미분방정식을 풀이하기 위해 방법을 시도하는 상황과는 다릅니다!
clairaut 정리는 f_xy와 f_yx가 연속일 때 f_xy=f_yx가 성립한다는 내용으로 알고 있는데
f_xy=/=f_yx인 경우 중 이계 편도함수가 불연속이지만 f는 존재하는 경우도 있지 않나요?
5:26 내용은 미분적분학에서 찾아보면 될까요 혹시 어디부분 찾아보면 될지 알수있을까요
안녕하세요 이번 영상도 잘 보았습니다 그러나 궁금한 사항이 있어서 댓글로 질문 드려보아요!
04:12 f는 상수
05:11 우측 하단의 등식은 x와 y에 대한 편미분을 각각 한 번씩 시행한 것
두 가지 내용이 서로 다른 의미를 지니고 있다고 생각이 됩니다. 어느 부분에서 잘못 짚고 넘어간걸까요 ㅠㅠ?
우선 f가 상수라는 것은 맞지만,
그 f는 x와 y에 대한 함수로 표현 되어 있기에 f=f(x,y)이며, 그 함수 f가
상수의 값으로 제한될 때의 상황으로 생각해주시면 좋습니다 :)
예를 들어 f=x^2+y^2=25 라 함은
f가 x와 y에 대한 함수인 것은 맞으나
그의 함수값이 25로 결정되어야 하는 것을 의미히기 때문에, 이는 2차원 평면 전 영역에서 1차원적인 일부를 의미하는 자취가 됩니다 (실제로, 주어진 미분방정식은 dy/dx=~~ 꼴의 미분방정식 이므로
y가 x에 대해 어떠한 식으로 표현되는 선의 그래프가 될 것 입니다)
그렇기 때문에 f는 상수로 '제한' 되어 있는 상황인 것일 뿐, f 자체는 x와 y에 대한 함수입니다 ㅎ
그런데, 완전미분방정식의 형태를 잘 보면
Mdx+Ndy=0의 형태와 같으며,
이때 0은 상수를 미분한 것과 같으니
결국 df로서 f의 변화량을 의미하는 것과도 같다는 의미입니다!
즉, f=C라는 제한된 상황에서는 f의 값이 변하지 않으므로, df=0인 것 인데
이때 영상의 설명에 따라서,
df=(af/ax)dx + (af/ay)dy =0로 표현이 되는 원리입니다
(a : 편미분 기호로 봐주세요)
즉, 그러한 상황에서 f를 찾는다면
(위에서 제가 든 예와 같이) y를 x에 대한 식으로 표현할 수 있거나 (양함수 꼴),
x와 y에 대한 식의 형태로 써놓고 우변을 0으로 둘 수 있게 되고 (음함수 꼴),
그는 곧 해를 구한 것과 같습니다
그리고 그러한 f가 존재한다면, x에 대해 편미분하고 y에 대해 편미분 한 것
= y에 대해 편미분하고 x에 대해 편미분 한 것
의 등식이 성립해야 한다는 수학적인 정리가 있고, 그를 이용해서 주어진 식이
완전미분방정식 인지를 확인하는 것이죠
@@bosstudyroom 우와 친절하고 상세하게 설명해 주셔서 정말 감사합니다!! 사랑해요 BOS 교수님 ㅠㅠ
제가지금 고3 면접준비때문에 공부를 하고 있는데요.. 검색을해보니 미분방정식에 대한 공부는 상미분방정식에 대해서 배우고나서 편미분을 배우는 거라해서 그렇구나 했는데 또 이영상은 상미분방정식 플레이리스트에 있는 영상인데 ∂도 나오고(저는
∂가 편미분기호라고 알고 있는데) 순서가 뭐가 어떻게 된건지 모르겠네요… 처음 배울땐 khan academy의 AP calculus BC 라는 플레이리스트 에서
exact equation?라는 영상부터 이해가 잘안되서 여러 영상을 왔닥갔다 하면서 시청 했습니다
그런데 또 이영상은 이해가 잘 안되는데 베르누이 방정식 영상은 어찌저찌하니 이해가 잘되었네요…
m을 x에 대해 편적분 하거나 n을 y에 대해 편적분을 해도 그전에 조건이 성립한다면 항상 답은 똑같이 나오는 건가요?
10:08 정리
이 문제를 변수분리형으로 취급해서 풀면 안되는 건가요?
( )dx + ( )dy =0 꼴로 나타내어진 식은
x와y가 종속 관계인가요? 아님 각각의 독립변수인가요
지금 변수가 한개인 미분방정식을 풀다가 갑자기 편미분이 나와서
머릿속이 정리가 안되네요.. 지금까지 y= 이런식의 해만 구하다가 갑자기
이런해가 나오니 받아들이기 좀 힘드네요
F만 보면 2 변수함수인데
F=C와같이 등호가 들어가게 되면 변수가 한개인 방정식이 되는건가요
오.. 좋은 질문입니다
우선 제가 수학적으로 엄밀한 설명을 드리기에는 쉽지 않을 것이고, 대신 보다 직관적인 설명을 드릴게요.
원래, y(x)라고 함은 x라는 독립변수(input, 입력)에 대한 y라는 종속변수(output, 출력)사이의 관계를 나타내는 것인데, 이 경우는 x의 정의역 상에서 임의의 x값에 대해 y값이 결정 되죠.
그런데, df(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy 라고 할 때의 x와 y는 'constraints(구속되는 조건)'이 없다면, 분명히 f(x,y)라는 output을 결정하는 독립변수 입니다.
constraints라 함은 'x와 y가 이루는 평면 상에서, x와 y를 특정한 부분에만 존재하도록 제한하는' 조건으로 부른건데, 예를 들자면
f(x, y) = x^2 + y^2 이라는 함수가
f(x, y) = x^2 + y^2 = E 라는 상수로 제한되어야 하는 경우이죠.
(물리학에서는 에너지 '보존' 법칙에 의해서 조화 진동자가 위와 같은 꼴의 constraints를 만족시켜야만 합니다)
그러한 조건으로 인해, x와 y는 그들이 이루는 2차원 평면 상의 임의의 영역을 돌아다닐 수 있는 것이 아니라 (예를 들어) 'f(x, y) = x^2 + y^2 = E'의 조건을 만족시키는 곳에서만 존재할 수 있고, 이로써 2차원 전체가 아니라 2 - 1 = 1차원의 영역으로 구속되었다고 표현할 수 있지요 : )
또한, E는 상수이므로 df=0인 것입니다.
정리하자면, 어떤 함수 f(x,y)를 df=M(x,y)dx + N(x,y)dy 의 꼴로 나타내는 것은 'f가 x와 y에 대한 종속변수' 이기 때문인데, 여기서 df = 0 이어야 한다는 constraints가 있다면 x와 y 사이의 특정한 관계가 성립해야만 합니다.
그렇기에, 결론적으로 해를 얻는다면
y(x)로서 y가 독립변수 x에 대한 '종속변수'로 표현이 되는 것이에요 : )
물론 질문자님이 예리하게 짚으신 것과 같이, df(x,y) = 0 에서 y(x) = ~~. 로 넘어갈 때에
x와 y를 고려한다면 '종속변수'와 '독립변수'의 명칭을 자세히 언급해야 하겠지만, (보통의 교재에서는) 그렇지 않은 경우가 많습니다.
제 경우는, 위에서 설명드린 과정에서 '평면'에서 '선' 으로 차원이 줄어드는(hypersurface) 과정을 '종속 변수'의 관점으로 설명드리는 것이 조금 조심스럽네요 ㅎ
그래도 답변이 도움되었길 바랍니다 : )
좀 더 요약하자면, f(x,y)에 대해서
df = M(x,y)dx + N(x,y)dy로 전미분을 표현한다는 것은 (x와 y에 대한 constraints가 없을 때) x와 y라는 독립변수에 대해 f가 종속변수임을 의미합니다.
즉, '원래는' x와 y가 이루는 평면 위에서라면, x와 y의 임의의 값에 대해 f(x,y)가 정의될 수 있죠.
다만, df = M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0이라 쓴다는 것은
f(x,y)가 상수로 보존되어야 한다는 constraints로, (x,y)가 이루는 평면 상에서 '특정한 영역'에만 구속되게끔 조건을 설정했다는 것입니다. 따라서 df = 0을 풀면, x와 y에 대한 관계식이 나오게 되고, 그 결과로는 y(x)가 나오게 되죠. 완전 미분방정식의 경우에서 말입니다 : )
@@bosstudyroom 완전 미방의 해의 경우 F =C 를 y=x에관한식으로 나타낼수있다는 말이죠?
x^2+y^2-xy=5
@@rpgh8322 y=x라고 말씀드린 적은 없구요.. y=y(x) 라고 하면 y가 x의 함수라는 의미입니다. x가 독립변수고 그에 따라 y가 종속변수입니다.
@@rpgh8322 f(x,y) = c로서 f(x,y) = x^2+y^2-xy=5 이에요.
헷갈리신다면 교재나 다른 자료를 더 찾아보시는 것을 권장드립니다.
안녕하세요 혹시 2편의 1계선형 미분 풀이랑 3편의 완전미분을 각각 언제 적용시키는지 어떻게 알 수 있을까요? 가끔 완전 미분도 1계선형의 기본꼴로 나타낼수가 있더라고요 우변의 f(x)가 0인 상태로요 dy/dx +(P)x = 0 식으로
안녕하세요 ^ ^
말씀하신 것 처럼, 완전 미분도 1계선형 미방의 꼴로 푸는게 가능할 때가 종종 있습니다 ㅎ
좋은 예가 되는것이, 이번영상에서 풀이한 문제가 되어요! (실제로 1계선형 공식으로 적분해보면 크게 어렵지 않다는 것을 확인가능)
두가지 모두 좋은, 수학적인 방법이며 특별한 차이점이 있다면
1계선형 미방은 (2편에서 유도했듯이) 적분인자 라는 개념을 이미 사용한 공식을 써야 하기 때문에, (적분이 어렵던 쉽던) 공식을 계산해야 한다는 점이 있고
완전미방은 (f가존재할 경우에는) 간단하게 풀이가 가능하다는 점이 있긴 합니다 :)
그래서, 오히려 완전 미방은 '좀더 일반적으로 풀이가능한' 방법이 되겠습니다 ㅎ
어차피 f가 존재하지 않는 다소 어려운 상미방 문제의 경우를 직면해도,
4편내용을 참고하셔서 풀이하시면 해결됩니다 ^ ^
h’(y)를 적분할 땐 적분 상수 안 붙이나요?
질문있습니다!
완전미분방정식인지 확인하기 위해 라운드y분의 라운드f를 하고 라운드x분의 라운드f를 해서 같은지를 확인하는데
만약 두 식이 다르게 나오면 어떻게 되는건가요?
9:15 에 h(y)가 -3y 로나오고 뒤에 적분상수는 안붙나요? f = c 적분상수를 다 넘긴건가요?
c는 구하지않아도 되는건가요?
5:56 설명에서 질문이있어서 댓글남깁니다. [라운드^2]f/[라운드 y][라운드x] 를 사용해서 나타내는데 라운드제곱에서 제곱표시는 안되는건지 모르겠습니다
안녕하세요 :) 댓글을 이제야 확인했네요^^;
다만 어떤 부분을 질문하신 건지 헷갈리네요 ㅠ 라운드 제곱의 표기법이 적절한지 질문주시는건가요? :) 이는 수학적인 약속이라고 설명드리는 것이 적절한 답변일 것 같아서 답글드립니다^ ^
동차형 미분방정식은 없을까용..
재뮛따
:-)