Mathe RÄTSEL Geometrie - Wie lang ist die Strecke?
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- Опубликовано: 1 авг 2024
- Mathe Rätsel
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man die Geometrie Aufgabe lösen kann. Wir nutzen die Trigonometrie, um den Sinus im rechtwinkligen Dreieck und den Kosinussatz anwenden zu können. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Mathe Rätsel
0:59 Lösung
3:44 Sinus im rechtwinkligen Dreieck
5:23 Kosinussatz
8:14 Bis zum nächsten Video :)
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(1 - x)(1 + x) = a^2
x(4 - x) = a^2
i.e. x = 1/4
a = sqrt(15)/4
2a = sqrt(15)/2
Hey zusammen :)
Mein Weg war es für die beiden Dreiecke über- und unterhalb der roten Linie jeweils den Satz des Pythagoras aufzustellen. So ergeben sich zwei Gleichungen mit zwei Variablen: oben: 2^2 = (2-y)^2 + (x/2)^2 und unten: 1^2 = y^2 + (x/2)^2. Mit y=(1/4) komme ich ebenso auf x=1,94.
Viele Grüße!
👍 exakter Wert ist sqrt(15)/2
Du musst nur noch verraten, was y ist, sonst verstehen das nur die, die selber drauf gekommen sind.
... und für die, die vor 2 quadratischen Gleiungen mit 2 Unbekannten etwas Respekt haben, einen Hinweis zur Lösung in diesem Fall.
Ich sehe gerade, dass ich den gleichen Lösungsweg eingeschlagen habe. Bei mir habe ich y mit der Variablen a (für den Abstand der roten Strecke vom kleinen Kreismittelpunkt) bezeichnet und jeden Schritt erklärt. Die quadratischen Anteile der beiden Gleichungen subtrahieren sich bei meinem Lösungsweg weg.
Hey, hatte den gleichen Ansatz und habe Gleichungen aufgelöst und komme auf das selbe Rätsel. Wie bist Du auf Y=1/4 gekommen? Gibt es einen leichten Ansatz als die beiden Lösungsgleichungen aufzulösen?
Na klar. Danke für den Hinweis, ich war etwas schreibfaul 😅
y ist bei mir die Strecke zwischen dem Schnittpunkt der Verbindungslinie der beiden Mittelpunkte mit der roten Linie und dem Mittelpunkt des kleinen Kreises.
Zu den Lösungsschritten: In der Gleichung des oberen Dreiecks kann man erstmal die binomische Formel anwenden, und 2^2 ausrechnen. Dann steht dort: 4 = 4 -4y + y^2 + (x/2)^2. Auf beiden Seiten kann jetzt noch 4 abgezogen werden: 0 = -4y + y^2 + (x/2)^2. Die Gleichung des unteren Dreiecks kann ebenfalls so umgestellt werden, dass auf einer Seite Null steht: 0 = y^2 + (x/2)^2 -1. Gleichsetzen ergibt: y^2 + (x/2)^2 -1 = -4y + y^2 + (x/2)^2. Auf beiden Seiten kann y^2 + (x/2)^2 abgezogen werden. Übrig bleibt: -1 = -4y und somit y = 0,25
Jetzt den Wert für y nur noch in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach x auflösen. Dann kommt man auf x = 1,94 bzw. den exakten Wert den @mitchsa3123 genannt hat.
Ich habe das so gelöst, dass ich die Gleichungen der Kreise (1. Kreis mit Radius 2: y^2 = 4 - x^2, 2. Kreis mit Radius 1: y^2 = 1 - (x - 2)^2) zur Schnittpunktermittlung gleichgesetzt habe. Dami ergeben sich fie Schnittpunkte S1 (7/4, Sqrt(15)/4) und S2 (7/4, -Sqrt(15)/4). Der Abstand von S1 und S2 ist dann Sqrt(15)/2. Gerundet ist das dann 1,94.
Deine Videos sind total klasse. Du erklärst alles super. Mach weiter so.
Hi! Ich hätte ganz ohne Winkelfunktionen das 2-2-1 Dreieck betrachtet. Da es gleichschenklig ist, lässt sich die Höhe auf die Basis mit Pythagoras berechnen und in weiterer Folge der Flächeninhalt. Wenn man den Flächeninhalt kennt, kann man die Höhe auf die Schenkel (x/2) berechnen.
Schön zu sehen, wie viele Wege zum selben Ergebnis führen. ❤
sehr schön , frohes neues Jahr 2024 Susanne. alles Gute und bleib so
Der Kosinussatz, das "Allheilmittel" für solche Problemstellungen, das haben Sie sehr gut rübergebracht! Prima
Ihnen ein gesundes und erfolgreiches Neues Jahr!
Meine 3 Gleichungen lauten x^2+z^2=4 z^2+y^2=1 und x+y=2. Daraus ergibt sich x=7/4 y=1/4 und z=√15/4. Da z die halbe gesuchte Strecke ist, ist die gesuchte rote Strecke damit √15/2. Eine schöne Aufgabe und vom Schwierigkeitsgrad für mich mal wieder genau richtig - eine Weile Knobelei und dann kein Frust, weil lösbar. Danke Susanne und ein gesundes neues Jahr wünsche ich dir und Thomas. (Diese Worte tippe ich gerade mit dem orangen Kugelschreiber aus deinem Shop, der aber auch auf Papier sehr gut schreibt.)
Du hast mir richtig Lust auf Mathe gemacht und ich werde immer mutiger es selbst zu versuchen. Hier hab ich die Strecke durch A gespiegelt und die Kreisschnittpunkte zu einem Rechteck verbunden. Dann hab ich den Kathetensatz herangezogen, weil sich die Diagonale des Rechtecks aus r+r ergibt: x^2 = p*q = Wurzel aus x^2 = Wurzel aus (r*r) = 2
Verbesserungsvorschlag: Die Schreibweise cos^(-1) hat sich zwar auf Taschenrechnern eingebürgert, aber mathematisch ist sie falsch -> es müsste es arccos heißen.
Ich plädiere für die korrekte Schreibweise,
a) um Missverständnisse zu vermeiden, denn korrekt ist cos^(-1) = 1/cos
b) denn wenn der TR endgültig vom Smartfon verdrängt ist, müssen Einige wieder umlernen.
Die Aufgabe selbst war schön, danke dafür.
Oh weh, da ist ja noch jemand, der meine Meinung teilt. Ja, die Arkus-Funktionen geraten leider in Vergessenheit, genauso wie die Sekans-Funktionen. A propos: 1/cos(x) = sec(x) 🙂
Ja, das macht Susanne leider immer so. Die Arkusfunktionen kommen in ihren Aufgaben zwar nur sehr selten vor, aber ich gebe dir völlig recht, dass es keinen Grund gibt, das in einem Lernvideo richtig zu machen.
Was mich persönlich fast noch mehr stört, ist, dass sie penetrant die Einheiten weglässt (und sie erst zum Endergebnis wieder dazu schreibt), aber so isses halt. 🙄
@@jensraab2902 Naja, jeder begeht halt so kleine Sünden im Alltag. Bei Susanne sind es halt die Einheiten. 😇😜
Ich persönlich finde das mit den Einheiten nicht so dramatisch, denn außer Längenangaben kommt - so weit ich mich erinnere - auf diesem Kanal bisher eh' nichts vor. Während des Rechnungsganges sind Einheiten oftmals nicht all zu sehr der Übersichtlichkeit dienlich. Susanne könnte ja irgendwo auf der Seite notieren: "Alle Längenangaben in Zentimetern" - dann wäre sicherlich jeder zufrieden.
Immerhin ist es so besser, als diese unausrottbaren Unsitte, die Einheiten in eckigen Klammern aufzuschreiben "x = 1,94 [cm]". Korrekt muss es "x = 1,94 cm" heißen.
Falsch ist es nicht, die Arcus-Funktionen mit "hoch -1" zu schreiben, schließlich ist allgemein f^-1 ja eine Standard-Notation für die Umkehrfunktion von f. Aber natürlich besteht dabei die Gefahr, dass jemand Unerfahrenes sin^-1(x) für (sin x)^-1 hält. (Für letzteres gibt ja außerdem den Cosecans bzw. den Secans, auch wenn die nicht so richtig oft vorkommen...)
Und drüber hinaus ist es auch schade, die am Namen der Funktion orientierte Notation arcsin nicht zu verwenden.
@@jensraab2902 Stimmt, um Einheiten hatte ich auch schon gebeten.
Andererseits sehe ich das einer Mathematikerin nach: Ist doch schon schön, wenn sie sich zum Fachrechnen mit Zahlen herablässt 😂
Klasse Video zur Überbrückung der langweiligen Momente hier in der Finanzbuchhaltung^^
Pythagoras auf oberes und unteres Dreieck gibt a/b*sqrt(4b^2-a^2). Mit a=1 und b=2 ist das 1,94.
Es gibt übrigens eine Reihe von Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen, wie z.B. sin(arccos(x))=sqrt(1-x^2). Also auch mit dem Ansatz über die Winkel wäre man darauf gekommen, nur komplizierter. Wenn man alles sofort auswertet (Taschenrechner-Junkies…), verbaut man sich aber die Möglichkeit dafür.
Dankeschön ❤❤
Herzlichen Dank für diese interessante Aufgabe 🙏
Mein Lösungsvorschlag ▶
Der Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden beiden Kreisen ist gleich r₂
r₂= 2 cm
Der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des kleinen Kreises bis zu der Spitze von der roten Linie ist gleich r₁= 1 cm,
Der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des großen Kreises bis zu der Spitze von der roten Linie ist gleich r₂= 2 cm.
⇒
Somit haben wir ein Dreieck, die Höhe wäre die Hälfte der gesuchten Länge.
Die Basis hat eine Länge von 2 cm, zwischen dem Punkt wo die Höhe h die Basis schneidet und der linken Ecke soll x sein, zwischen dem Punkt wo die Höhe h die Basis schneidet und der rechten Ecke ist dann (2-x) cm.
⇒
Für die linke Seite von dem Dreieck nach dem Satz von Phytagoras:
1²= x²+h²
Für die rechte Seite von dem Dreieck nach dem Satz von Phytagoras:
h²+(2-x)²= 2²
h²+(2-x)²= 4
⇒
Wenn man von der unteren Gleichung die oberen subtrahiert:
4= h²-(2-x)²
-1= -h²-x²
3= (2-x)²-x²
3= 4-4x+x²-x²
4x= 1
x= 1/4
⇒
h²= 1-x²
h²= 1-1/16
h²= 15/16
h= √15/4
Rote Linie= 2h
= 2*√15/4
Rote Linie= √15/2 cm
Rote Linie= 1,9365 cm
≅ 1, 94 cm
Perfekt. LG Gerald
Ich hab's über den Satz des Heron und das Drachenviereck gelöst:
x = 4/e * √(s * (s - a) * (s - b) * (s - e))
s = (1 + 2 + 2) / 2 = 5/2
x = 4/2 * √(5/2 * (5/2 - 1) * (5/2 - 2) * (5/2 - 2))
x = 2 * √(15/16)
x = 2 * √15/4
x = √15/2
x ≅ 1,936
Geht ähnlich schnell und die Zahlen sind schön einfach (im Vergleich zum Video).
@@m.h.6470 Das ist auch mega geil. Deine Denkweise ist wie immer phenomenal 👌🔝👍
LG Gerald
Hallo! Deine Videos sind mega, könntest du auch was zu Binomialkoeffizienten machen? Bezüglich vereinfachen, ausrechnen, das wäre sehr toll.
Mach weiter so!
Sehnensatz:
(x / 2)² = y ⋅ (2R - y) = (r + y) ⋅ (r - y)
(x / 2)² = 2Ry - y² = r² - y²
4y cm - y² = 1 cm² - y²
4y = 1 cm
y = 1/4 cm
(x / 2)² = 1 cm² - 1/16 cm²
(x / 2)² = 15/16 cm²
x / 2 = √15 cm / 4
x = √15/2 cm
x ≈ 1,936 cm
Perfekto 👌🔝
Ich hab's über den Satz des Heron und das Drachenviereck gelöst:
x = 4/e * √(s * (s - a) * (s - b) * (s - e))
s = (1 + 2 + 2) / 2 = 5/2
x = 4/2 * √(5/2 * (5/2 - 1) * (5/2 - 2) * (5/2 - 2))
x = 2 * √(15/16)
x = 2 * √15/4
x = √15/2
x ≅ 1,936
Geht ähnlich schnell und die Zahlen sind schön einfach (im Vergleich zum Video).
Hut ab für den Sehnensatz!
@@m.h.6470 Ja, das geht auch super.
@@m.h.6470 sehr schön 👌🔝👍
LG Gerald
Genauer Wert wäre Wurzel(15) / 2.
Geht mit Pythagoras, da man ja rechtwinklige Dreiecke hat (die beiden Radien jeweils als Hypotenusen). Das finde ich ehrlich gesagt einfacher, und es funktioniert ohne Taschenrechner.
Danke!
Dankeschön!
Toll erklärt. Ich wollte auch zuerst über den Cosinussatz gehen, aber die Berechnung von arccos(7/8) fand ich nicht so prickelnd und dann wieder in den Sinus einsetzen (ja, ist mit dem Taschenrechner kein Problem, aber ich mag halt keine Zwischenrundungen in einer Rechnung). Also habe ich mir alternativ folgendes überlegt:
Ich habe ja alle drei Seiten des Dreieckes ABC. Mit dem Satz von Heron kann ich die Fläche berechnen. x/2 ist die Höhe dieses Dreieckes (gleiche Begründung wie im Video) mit der Grundlinie AB. Mit dem Flächeninhalt kann ich rückwärts die Höhe berechnen. So komme ich als Ergebnis für die ganze Strecke = 1/2*sqr(15), was gerundet ebenfalls 1,94 entspricht.
Schönes Beispiel! ♥
Nimmt man allgemeine Kreisradien R und r, erhält man folgende Beziehung für die Sehne s:
Sei R>r, Mittelpunkt von Kreis k₂ liegt auf k₁, Winkel α zwischen den R's.
Pythagoras:
(s/2)² + (R·cos(α))² = R²
s²/4 = R² - R²·cos²(α)
----------------------
Der cos-Satz mit SWS = RαR ergibt
r² = R² + R² - 2·R·R·cos(α)
r² = 2R² - 2R²·cos(α)
cos(α) = (2R² - r²)/2R² = 1 - r²/2R²
Quadrieren:
cos²(α) = (1 - r²/2R²)² = 1 - 2r²/2R² + r⁴/4R⁴ = 1 - r²/R² + r⁴/4R⁴
----------------------
Einsetzen:
s²/4 = R² - R²·[1 - r²/R² + r⁴/4R⁴]
Ausmultiplizieren:
s²/4 = R² - R² + r² - r⁴/4R²
s²/4 = r² - r⁴/4R² |·4
s² = 4r² - r⁴/R² = r²(4 - r²/R²)
Wurzelziehen:
s = r√(4 - r²/R²) = r√(4 - (r/R)²)
==================================
Im vorliegenden Fall ist R=2 und r=1, also
s = r√(4 - (r/R)²) = 1·√(4 - (1/2)²) = √(16/4 - 1/4) = √(15/4) = √(15)/2 ≈ 1.936...
Wenn man die Kreismittelpunkte miteinander und außerdem mit den beiden Kreisschnittpunkten (also den Endpunkten der fetten roten Linie) verbindet, erhält man ein Drachenviereck.
Die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht und teilen den Drachen in vier rechtwinklige Vierecke.
Diese kann man heranziehen und den Pythagorassatz anwenden.
Jedes der Dreiecke hat folgende drei Seiten:
1. Die Hypotenuse, welche eine der Seiten des Drachenvierecks ist. Die Längen dieser Seiten sind die Radien der beiden Kreise.
2. Eine Kathete ist die Hälfte der gesuchten Länge x.
3. Die andere Kathete ist ein Teil des Radius 2 cm, welcher von der fetten roten Linie geteilt wird. Die Länge der zwei Teile ist unbekannt, aber wenn ein Teil a ist, dann ist der andere (2 cm - a).
Mit diesen Informationen kann man nun zwei Gleichungen aufstellen, die die beiden Unbekannten x und a enthalten.
a ist 1,75 cm, aber das interessiert nicht.
Der Wert von x ergibt sich mit ½√15 cm ≈ 1,9365 cm.
Ich persönlich rechne lieber mit Pythagoras als mit dem Kosinussatz, aber das ist natürlich Geschmackssache.
Einen Vorteil hat mein Ansatz dann aber schon, denn Susanne rundet gezwungenermaßen den Winkel α, den sie mit dem Arkuskosinus ausrechnet und ermittelt dann von dem gerundeten Wert den Sinus, und rundet das Ergebnis nocheinmal.
Mit meinem Ansatz erhält man hingegen den exakten Wert. 😉
Vom Cosinus eines Winkels (zwischen 0° und 90°) zum Sinus oder zurück geht's auch leichter als mit deren Umkehrfunktionen, weil ja sin^2+cos^2=1 ist. (Wer "Sinus" sagt und "Pythagoras", hat das immer vor Augen.)
Wenn also der Cosinus = 7/8 ist, ist sein Quadrat 49/64, d.h. der Sinus hat als Quadrat 15/64 und ist deswegen 1/8*wurzel(15). Das Endergebnis ist somit 1/2*wurzel(15).
Super Anmerkung! Damit kann man die Aufgabe sogar ohne TR rechnen.
Sehr cool 👌👍🔝
Habe es ganz andere gelöst, aber ich habe das gleiche raus. Ich habe den Radius von 2cm an der gesuchten Linie in a und b geteilt. Wegen der Rechtwinkligkeit ergeben sich folgende Gleichungen: a + b = 2; (x/2)^2 + b ^2 = 2^2; (x/2)^2 + a^2 = 1^2. Nach Umstellen kommt man auf x = Wurzel(15)/2, was korrekt ist
Huhu :) Klasse Video! Welche App ist das, die Du zum zeichnen benutzt?
Ich habe folgende Gleichung bei Wolframalpha verwendet: sqrt(1-x^2)=2-sqrt(4-x^2) . Da die Strecke durch die Schnittpunkte parallel zur X-achse ist, kann der kleinere vom größeren wert subtrahiert werden und die exakte Lösung ist sqrt(15)/2 .
a = Abstand der roten Strecke zum kleinen Kreismittelpunkt
Gleichung 1:
a² + (x/2)² = r²
a² + x²/4 = 1
Gleichung 2:
(R - a)² + (x/2)² = R²
(2 - a)² + (x/2)² = 4
4 - 4a + a² + x²/4 = 4
Gleichung 2 - Gleichung 1:
4 - 4a = 3
4a = 4 - 3 = 1
a = 1/4
Einsetzen in Gleichung 1:
1/16 + x²/4 = 1
x²/4 = 15/16
x² = 15/4
x = √15/2 ≈ 1,94 [cm]
Sehr schöne Aufgabe. Toll gelöst.
LG Gerald
Berechnung ohne Triggermetrie:
Gesuchte Strecke = 2x
y = Teilstrecke der Verbindung der beiden Kreismittelpunkte, vom Mittelpunkt des kleinen Kreises bis zur Sekante.
Pythagoras der beiden rechtwinkligen Dreiecke über und unter der roten Linie ergibt:
(2-y)2 + x2=4
y2+x2=1
x2=1-y2
Dritte Gleichung in erste einsetzen:
4-4y+y2+1-y2=4
y=1/4
Fünfte in dritte:
x2=1-1/16
x=+-wurzel(15/16)=+-0,9682
2x=+-1,9364
Durch Zeichnung und Anwendung des Pythagoras, kann die Länge der rot gekennzeichneten Sekante ermittelt werden: x/2=(2^2-1,75^2)^1/2=[(15^1/2)/4] •2=1,936 x=1,936
Die 1,75cm werden dabei wie ermittelt? Aus der Zeichnung gemessen oder per Augenmaß bestimmt? Mir ist nicht klar, woher der Wert kommt.
Wenn er gemessen wird, dann könnte auch gleich die rote Linie ausgemessen werden. Augenmaß fände ich etwas grob, aber für den Alltag ok.
Ich betrachte den senkrechten Durchmesser des oberen Kreises als Hypotenuse eines Thales-Dreiecks mit der Spitze im Schnittpunkt der Kreise.
Die Länge der Hypotenuse beträgt 4 und die der unteren Kathete 1. Nach Pythagoras ist dann die Länge der oberen Kathete gleich Wurzel(15).
Die obere Kathete dieses Dreiecks bildet als Hypotenuse mit der Höhe des Thales-Dreiecks als eine Kathete sowie einem großen Teilstück des Kreisdurchmessers als zweite Kathete ein rechtwinkliges Dreieck, welches zum Thales-Dreieck ähnlich ist. Das zweite Dreieck ist minimal kleiner, genau um den Faktor Wurzel(15)/4.
Die Höhe des Thales-Dreiecks beträgt also Wurzel(15)/4. Die gesuchte Strecke x ist doppelt so lang, also
x=Wurzel(15)/2=1,936492
Puh da fehlt inzwischen schon einiges an wissen. Danke fürs auffrischen und deine freundliche Art
Ich habe es über die Schnittpunkte zweier Halbkreisfunktion f(x)=√(r²-x²)
In dem Fall:
f(x)=-√(4-x²)
f(x)=√(1-x²)-2
Einen Schnittpunkt berechnen, da symmetrisch, den Betrag von x*2
Meine Lösung war ganz ähnlich. Ich habe die gleiche Methode gebraucht um cos(alpha) zu berechnen. Aber dann habe ich sin(alpha) vom Formel (cos(alpha))^2+(sin(alpha))^2 = 1 berechnet. Dann findet man das sin(alpha) = Wurzel(15)/8.
Danach habe ich wieder Ihren Weg gebraucht um x zu berechnen. x = 4sin(alpha) = 4*Wurzel(15)/8 = Wurzel(15)/2 für eine Analytische Antwort die ungefähr 1.94 ergibt.
(Entschuldigung für grammatische Fehler. Deutsch ist nicht meine Muttersprache aber Ihre Videos helfen mir mein deutsch zu verbessern).
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Die Aufgabe wird noch spannender, wenn man sie allgemeinser formuliert, also; Ein Kreis mit Radius r1, ein zweiter Kreis mit Radius r2, dessen Mittelpunkt auf dem Kreisbogen des ersten Kreises liegt. Wie groß ist der Abstand der Schnittpunkte? Am einfachsten zu lösen mit den Kreisgleichungen x^2+y^2=r1^2 und (x-r1)^2 + y^ 2 = r2^2. Man erhält den Abstand s zu s=r2*sqrt(4 - r2^2/r1^2), im Speialfall der Aufgabe also sqrt(15/16). Man kann aber sich auch die interessanten Fälle r2=r1, r2=2*r1 und r1 sehr klein anshauen. Nebenbei ist auch das Problem der fehlenden Einheiten beseitigt.
Die rote Linie mit dem Mittelpunkt verbinden sodass ein Dreieck entsteht und dann satz des Pythagoras nutzen 2²+2²=8 dann die Wurzel nehmen und das Ergebniss wird zu 2.
Mein Lösungsweg verlief wie folgt: Sei Punkt A der Mittelpunkt des Kreises mit Radius 2 und Punkt B der Mittelpunkt des Kreises mit Radius 1, während die gesuchte, rote Strecke als l bezeichnet wird. Die Strecke AB teilt l in zwei, während AB selbst von l in h1 (oberhalb) und h2 (unterhalb) geteilt wird. Zeichnet man von beiden Kreisen den Radius zu den Schnittpunkten ein, so entstehen zwei Dreiecke, welche von den Höhen h1 und h2 in rechtwinklige Dreiecke aufgeteilt werden. Es gilt:
1: h1 + h2 = 2 => h2 = 2 - h1
2: h1^2 + (l/2)^2 = 2^2 => (l/2)^2 = 2^2 - h1^2
3: h2^2 + (l/2)^2 = 1^2
Durch Substitution von 1. in 3. entsteht:
(2 - h1)^2 + (l/2)^2 = 1^2
4 - 4*h1 + h1^2 + (l/2)^2 = 1^2
Durch Substitution von 2. in die obige Gleichung entsteht:
4 - 4*h1 + h1^2 + 2^2 - h1^2 = 1^2
4 - 4*h1 + 4 = 1
8 - 4*h1 = 1
-4*h1 = -7 => h1 = 7/4
Nun kann mittels 2. die Länge l ermittelt werden:
(l/2)^2 = 2^2 - (7/4)^2
l^2/4 = 4 - 49/16
l^2/4 = 64/16 - 49/16
l^2/4 = 15/16
l^2 = 60/16
l = sqrt(60)/4
Die Zahl 60 kann wie folgt in ihre Primfaktoren zerlegt werden:
60 = 2 * 3 * 5 * 2 = 2^2 * 15, wodurch 2 aus der Wurzel gezogen werden kann.
l = 2 * sqrt(15)/4
l = sqrt(15)/2
l ≈ 1,93649
Davon wusste ich tatsächlich gar nichts mehr 😮
💯
Ich würde es mit Pythagoras und Sehnensatz versuchen. Bezeichnet man mit y den vertikalen Abstand der roten Sehne zum Mittelpunkt des kleinen Kreises, so gilt nach Pythagoras
(x/2)^2 + y^2 = 1^2
Also
(x/2)^2 = 1 - y^2
Und nach dem Sehnensatz
y * (4 - y) = (x/2) * (x/2)
Also
(x/2)^2 = 4y - y^2
Gleichsetzen ergibt
4y - y^2 = 1 - y^2
Addiert man y^2, bekommt man
4y = 1
y = 1/4
Einsetzen im die Pythagoras-Gleichung ergibt
(x/2)^2 = 1 - (1/4)^2
x^2 / 4 = 16/16 - 1/16
4x^2 / 16 = 15/16
4x^2 = 15
x^2 = 15/4
x = sqrt(15) / 2
x = 1,93649
(gerundet).
Dasselbe wie im Video, und sogar noch der exakte Wert mit Quadratwurzel statt Sinus.
🙂
Mein Patensohn hatte dieses Beispiel in der Maturavorbereitung, einmal mit und einmal ohne Technologie... der Lehrer wollte seinen Schülern hier aufzeigen, wie viele Wege nach Rom führen...
Cosinussatz, Sehnensatz, Pythagoras usw... die hatten eine ganze Unterrichtseinheit nur damit verbracht!
Ich habs mit dem Satz des Pythagoras gelöst. Die 2 cm in x und y aufgeteilt. Das Ergebnis war dann 2 mal die Wurzel aus 15/16. Das ist rund 1.936.
Habe es mit dem sehnensatz gelöst.
Lösung:
x = Abstand der Schnittpunkte der beiden Kreise,
a = Senkrechte Entfernung vom oberen Mittelpunkt zur Strecke x,
b = Senkrechte Entfernung vom unteren Mittelpunkt zur Strecke x.
2mal Pythagoras:
(1) a²+(x/2)² = 2²
(2) b²+(x/2)² = 1²
Und: (3) a+b = 2
(1)-(2) = (4) a²-b² = 3 ⟹
(4) a²-b² = (a+b)*(a-b) = 2*(a-b) [laut Gleichung (3)] = 3 |/2 ⟹
(4a) a-b = 3/2
(3)+(4a) = (5) 2a = 7/2 |/2 ⟹ (5a) a = 7/4 |in (1) ⟹
(1a) (7/4)²+(x/2)² = 2² |-(7/4)² ⟹
(1b) x²/4 = 2²-(7/4)² = 64/16-49/16 = 15/16 |*4 ⟹
(1c) x² = 15/4 |√() ⟹
(1d) x = +√15/2 ≈ 1,9365[cm]
Ich habe das über den Pythagoras mit den Dreiecken oberhalb und unterhalb der Linie gelöst. Das Ergebnis ist Wurzel 15 Halbe, das gerundet ebenfalls 1,94 ergibt.
I) 2^2 = (x/2)^2 + p^2, II) 1^2 = (x/2)^2 + q^2, III) p+q=2 p = 2 - q
I) - II) 3 = p^2 - q^2 = (2-q)^2 - q^2 = 4 - 4q q = 1/4 p = 7/4
x/2 = sqrt( 1 - q^2 ) = sqrt( 1 - 1/16 ) = sqrt( 15/16 ) = sqrt( 15 ) / 4 x = sqrt( 15) / 2
Die Lösung ist also x = sqrt (15 ) / 2
nix runden. Wurzel 15 durch 2 kommt raus.
3 mal Pythagoras anwenden. Kann leider keine Zeichnung anhängen.
Zeichnest Du den Durchmesser komplett nach oben, schneidet dieser oben den Kreis. Dort gibt es einen weiteren Punkt. Der Durchmesser mit dem vom kleinen Kreis abgeschnittenen kleinen Sektor der Länge 1 ergibt ein rechtwinkliges Dreieck (Thaleskreis). Eine Kathete 1, eine Kathete y und Hypothenuse 4. also y² = 16 - 1 = 15.
Dann gibt es ein Dreieck mit Hypothenuse y, Kathete der gesuchten Länge x ( ich teile am Schluss durch 2) und dem Durchmesser minus dem kleinen Schnipsel z (Abstand der gesuchten Querstrecke zum mittigen Punkt der Kreislinie.
y² = (4-z)² + x²
und das Mini Dreieck
1² = z² + x²
also
y² = 15= (4-z)² + 1 - z²= 16 -8z + z² + 1 - z² = 17 -8z => 8z = 17-15 = 2 = > z = 1/4
also
x² = 1 - 1/16 = 15/16 und damit x = Wurzel(15) / 4
Die gesuchte Strecke ist 2*x also = Wurzel(15)/2
By the way: Auch Deine Lösung funktioniert exakt ohne runden. Wenn cos alpha = 7/8 dann ist (weil 1= cos²+sin² ) sin alpha = wurzel (15)/ 8. das nimmst Du mal 4 und kommst auch auf Wurzel(15)/2
Was für eine app nutzt du zum schreiben?
Hey habe eine frage zu einem anderen Thema. Wenn man e^x ableitet kommt dann wieder e^x raus???
Wäre wichtig zu wissen hahah schreibe bald Klausur
Ja genau, aber da darf dann wirklich nur e^x stehen. Steht da aber beispielsweise e^2x, dann sieht die Welt nochmal anders aus und man muss die Kettenregel anwenden. Hilft dir das?
Cosinussatz hat uns unser Mathelehrer unterschlagen, scheint nützlich zu sein! Muss ich irgendwie in mein aktives Wissen aufnehmen!
Schlechter Lehrer.
Ich habe als Lehrer häufig die Erfahrung gemacht, dass Kollegen in der Mittelstufe den Sinussatz und den Kosinussatz unter den Tisch fallen lassen. Das ist ein Problem, weil gerade der Kosinussatz in der Oberstufe noch gebraucht wird. Dann muss ich ihn oft nachliefern.
Hallo Susanne Könnten Sie uns bitte zeigen, wie man das Kreiszentrum x/y und der Radius vom Kreis, der drei Punkte x/y berührt berechnen kann? LG Andreas
müsste das nicht auch mit einem gleichungssystem aus 2 xpythagoras gehen?
2*Area(ABC) = 1*h = 2*(x/2)
also x = h = √(2² − (1/2)²) = √15/2 (Pitagora)
Meine einzige Idee beim betrachten des Thumbnails war: bei Endpunkte der Gerade schneiden sich im Kreis, ergo haben sie den Radius als Länge und es sah mir nach nem gleichseitigen Dreieck aus von daher dachte ich an 2. Das ist zwar in keiner Weise eine korrekte Berechnung aber wäre eine Annäherung gewesen, die mir beim Überprüfen meines richtigen Ergebnisses geholfen hätte
Pythagoras b=sqr(c²-a²) -> c=2; a=1*0,5 -> sqr(2²-0,5²) = 1,9365
Man kann die Fläche des gleichschenkligen Dreiecks auf zwei Arten ausrechnen. Dann erhält man die geschlossene Lösung ohne Trigo: x=15^(1/2)/2. (Wurzel 15 durch 2).
hey das ist Geometrie. Wieso rechnet ihr da? Die Zwei Kreise wie beschrieben gezeichnet, Lineal genommen gemessen. Fertig
[7:30 min]
Ich sträube mich vor solchen Formulierungen, weil ich es verstehen will. Da die drei Winkelformeln aber dermaßen komplizierte Formeln "zusammenfassen", konnte ich sie noch nie leiden und meide solche Aufgaben so gut es geht. *(-_-)"*
Mal ehrlich... arccos = cos^(-1), nicht zu verwechseln mit dem Kehrwert des Cosinus, ist eine Differenz von pi/2 und der Summe von 0 an eines Produktes zwei bestimmter Doppelfakultäten bis unendlich im Bruch und Potenzen mit Exponenten bis unendlich. Wer denkt sich sowas aus??? *(o.O)?*
Mit ausschließlich Hypotenusensatz errechne ich exakt (15^(1/2))/2. (x = 2 mal Höhe im gleichseitigen Dreieck)
15^-1 = 1/15
Du musst 15^(1/2) schreiben.
Das ist nämlich Wurzel(15).
LG Gerald
Ups. Danke, korrigiert! :) @@GetMatheFit
Das gleichschenklige Dreieck zwischen dem Mittelpunkt des großen Kreises, dem des kleinen Kreises und einem der Schnittpunkte hat die Höhe 0,97cm , ergo ist die Strecke 1,94cm
In welcher Klasse hätte ich dafür besser aufpassen müssen? Frage für einen Freund.
Wäre es nicht schöner, sin(arccos(x))=sqrt(1-x^2) zu verwenden? Oder übersehe ich da was?
Nein, du bist nicht derjeniger, der (bzw.) die das übersehen hat! 😉
An den trigonometrischen Pythagoras hatte ich bei dem Ausdruck sin(arccos(x)) gar nicht gedacht, obwohl man den hier natürlich anwenden sollte, um den präzisen Wert zu bekommen.
Danke schön,@@jensraab2902 - ich habe ja total Spaß an den Videos, weil das strategische Vorgehen in der Schule wie sogar im Studium irgendwie an mir vorbeigegangen ist.
Ich hab nen anderen Rechenweg gefunden.
Ob er allgenmeine Gültigkeit hat, keine Ahnung. Für dieses Beispiel funktioniert er aber.
Die Summe der beiden Durchmesser = 6 mal Pi = 18.8 plus dem zehnfachen Radius des großen Kreises 20 = 38,8 und das Ganze durch 2 dividiert.
Da komme ich auf 19,4 und das dann wieder durch 10 dividiert = 1,94.
(20 + 6*pi)/20 = 1.94248... Die korrekte Lösung lautet √(15) / 2 = 1.93649....
Ich muss dich leider enttäuschen, aber das passt leider nicht.
Keine Ahnung, wie du deinen Rechenweg gefunden hast, aber der hat absolut keine allgemeine Gültigkeit.
Ich habe den Eindruck, dass du einfach rumprobiert hast, bist die Zahlen (scheinbar) passen. Kann das sein?
Wenn man genau hinschaut, stimmt deine Lösung auch so schon nicht, denn wenn man die Werte z.B. auf 4 Nachkommastellen rundet, statt auf zwei, dann ist die korrekte Lösung gerundet 1,9365 cm, deine Lösung aber 1,9425 cm.
Deine Lösung kann ja auch gar nicht stimmen, denn sie enthält die transzendente Zahl π, der Zahlenwert der richtigen Lösung ist aber ½√15.
Ich habe mir die beiden Rechenwege (den richtigen und den deinen) einmal allgemein angeschaut und dabei kommt folgendes heraus.
Die gesuchte Länge x kann man korrekt wiefolgt berechnen:
x = r₂ √(4 - r₂²/r₁²)
r₁ ist der Radius des großen Kreises und r₂ der Radius des kleinen. Wobei man besser des oberen und unteren Kreises schreiben sollte, denn zur Berechung ist wichtig, dass der Kreismittelpunkt des unteren Kreises auf dem Kreisbogen des oberen liegt. Der untere Kreis muss nicht unbedingt kleiner als der obere sein.
Deine Berechnung führt hingegen zu folgender allgemeiner Formel:
x = (½ + π/10) r₁ + π/10 r₂
oder
x = r₁/2 + π/10 (r₁ + r₂)
Beide Darstellungen sind äquivalent, nur sind andere Terme zusammengefasst.
Dass diese beiden unterschiedlichen Funktionen bei den gegebenen Radien denselben bzw. fast denselben Wert haben, ist Zufall. Oder kommt vermutlich daher, dass du deinen Rechenweg so hingebogen hast, dass es passt.
Wenn man aber andere Werte einsetzt, gehen die Ergebnisse deutlich auseinander.
Wenn beide Kreise gleichgroß sind, denn ist die Länge x genau √3-mal die Länge des Radius'. Bei einem Radius von 1 cm wären das ca. 1,732 cm.
Mit deiner Methode ergibt sich aber eine Länge x, die (½ +π/5)-mal die Länge des Radius' ist, das sind bei einem Radius von 1 cm etwa 1,128 cm.
15/8
Was macht man denn, wenn der Taschenrechner streikt?
mit Pythagoras lösen, wie einige gemacht haben
@@soletey832 Oder Höhensatz. Das liefert auch das genaue Ergebnis und nicht nur ein ungefähres.
Im Kommentarbereich sind ja "mal wieder" viele alternative Lösungswege aufgezeigt worden. Wie wäre es mit einem Follow-up-Video, das diese Lösungswege einen-nach-dem-anderen vorstellt? Vielleicht mit Bewertung hinsichtlich Eleganz, Kürze und Schwierigkeit?
Für mich x war die halbe der rote Länge, die wir suchen. (Rote Länge = 2x)
Zwei mal Pythagore gibt die vertikale Länge 2. So: √(4-x²) + √(1-x²)=2
... ... x=√(15/16) , rote Länge=2x=2√(15/16)=~1,9
Einfacher geht es mit:
x² = 2² - (1/2)²
x² = 4 - 1/4
x² = 16/4 - 1/4
x² = 15/4 /Wurzel
x = sqrt(15)/2
x = 1,93649
LG Gerald
Ich habe auf beide Kreise den Sehnensatz angewendet und komme auch auf √15/2 cm.
Der von Susanne vorgestellte Weg ist sogar problematisch, weil er mit der Berechnung von arccos und sin zusätzliche Rundungsfehler einbaut, während √15/2 cm das exakte Ergebnis ist, das nur einmal am Ende gerundet werden muss (wenn man denn einen Dezimalwert haben will).
ja so habe ich es auch gerechnet
LG Flo
@@Nikioko Es geht mit Susannes Weg auch ohne Rundung, siehe dazu Dein Kommentar weiter oben und meine dortige Antwort.
Spoiler: Die beiden Gleichungen von Susanne in sin^2(x) + cos^2(x) = 1 einsetzen und nach x auflösen.
@@Nikioko Ich hab zu diesem Beispiel jetzt auch ein Video gemacht. Mit drei Lösungsvariante.
LG Gerald
@@user-cg7zn8ey5k Auch cool. Super 👌👍🔝
Dann mal los:
.
..
...
....
.....
Wenn man annimmt, dass der Mittelpunkt des großen Kreises dem Ursprung des Koordinatensystems entspricht und der Mittelpunkt des kleinen Kreises auf der y-Achse liegt, dann kann man die beiden Kreise durch folgende Kreisgleichungen beschreiben:
Großer Kreis: x² + y² = (2cm)²
Kleiner Kreis: x² + (y+2cm)² = (1cm)²
An den beiden Schnittpunkten gelten beide Gleichungen und damit können die Koordinaten wie folgt erhalten werden:
x² + y² − (2cm)² = x² + (y + 2cm)² − (1cm)²
y² − (y + 2cm)² = (2cm)² − (1cm)²
y² − [y² + (4cm)y + 4cm²] = 4cm² − 1cm²
−(4cm)y − 4cm² = 3cm²
−(4cm)y = 7cm²
⇒ y = −(7/4)cm
Aus der Kreisgleichung für den großen Kreis ergibt sich dann:
x² + y² = (2cm)²
x² + [−(7/4)cm]² = (2cm)²
x² + (49/16)cm² = 4cm²
x² + (49/16)cm² = (64/16)cm²
x² = (15/16)cm²
⇒ x = ±(√15/4)cm
Der Abstand der beiden Punkte beträgt somit (√15/2)cm.
der Cosinussatz war mir überhaupt nicht geläufig. Ich glaube, wenn man mir die Aufgabe gegeben hätte, hätte ich es mangels Rechenansatz einfach grafisch gelöst, also die kreise mit den angegebenen maßen gezeichnet und dann die Länge zwischen den Schnittpunkten mit dem Lineal ausgemessen.
1 = 8(1 - cos(α)) → cos(α) = 7/8 → sin(α) = √(1 - cos^2(α)) = √15/8 →
cos(2α) = 1 - 2sin^2(α) = 17/32 → x^2 = 8(1 - cos(2α)) = 15/4 → x = √15/2
or: φ = 30°; x = CD; CAB = α → CAD = 2α
DBC = 2β = (1/2)(12φ - 2α) = 6φ - α → sin(2β) = sin(6φ - α) = sin(α) → cos(2β) = -cos(α)
∆ ABC → 1 = 8(1 - cos(α)) → cos(α) = 7/8 → cos(2β) = -cos(α) = -7/8 →
∆ BCD → x^2 = 2(1 - cos(2β)) = 15/4 → x = √15/2
Der vorgestellte Weg ist nicht ideal, weil zweimal gerundet wird, was zu größeren Rundungsfehlern führt.
Die anderen Wege führen zum exakten Ergebnis √15/2 cm, was dann nur noch einmal, und zwar am Ende, gerundet werden muss.
Aus dem Video kannst du bei 4:23 und 7:10 entnehmen:
x/4 = sin(a)
7/8 = cos(a)
Beide Gleichungen quadrieren und in sin^2(y)+cos^2(y) = 1 einsetzen liefert die Bestimmungsgleichung für x
(7/8)^2 + (x/4)^2 = 1
und dann das gewünschte x = √15/2.
--> Es würde also auch mit dem vorgestellten Weg (und ohne Taschenrechner) rundungsfrei gehen.😉
@@user-cg7zn8ey5k OK, dann formulieren wir mal anders: nicht der Weg an sich, aber wie er beschritten wird, ist ungeschickt. Wenn man die Gleichung sin²(x) + cos²(x) = 1 aufstellt und entsprechend einsetzt und entsprechend auflöst und dann rundet, ist es natürlich auch genau. War aber im Video nicht der Fall.
@@Nikioko Ja, ich bin absolut der gleichen Meinung!
(Und, ja, auch ich bevorzuge [bei dieser Art von Aufgaben] taschenrechnerfreie Lösungen und fände, dass das Video noch etwas besser hätte sein können...)
warum einfach wenn es umständlich auch geht ?
Mit gerundeten Zwischenergebnissen weiter zu rechnen ist grundsätzlich keine gute Idee; immer besser die Formel so lange umstellen, bis sie nur noch die gegebenen und die gesuchten Werte enthält, und diese erst ganz am Ende einsetzen. Hier also besser "x = 4 sin α" und "α = arccos(7/8)" weiter zu "x = 4 sin(arccos(7/8))" zusammenfassen und erst dann zum Taschenrechner greifen anstatt den Winkel α, nach dem niemand gefragt hat, explizit bestimmen zu wollen.
Ich empfehle, sin(arccos(x)) zu √(1-x^2) vereinfachen und dann erst die Zahlen einzusetzen. Dann erhälst Du eine analytische Lösung (ganz ohne die Notwendigkeit einer Rundung).
Andere Lösungen, 4 Stunden später nach Dir: ruclips.net/video/LCl4nrTgktY/видео.html , auch interessant.
Wann du cos alpha gerechnen - warum brauchst du alpha uberhaupt?
Berechnen sin durch cos**2 + sin**2 = 1
cos^(-1)(x) ist problematisch. Warum nicht korrekt arccos(x) ? Von cos (alpha)=7/8 geht es ohne Rundung und alpha direkt zu x = 4sqrt(1 - (7/8)^2)
Da wäre ich im Leben nicht drauf gekommen 😬.
Ich wäre es fast genauso angegangen. Bis zu dem Punkt cos = 7/8. Von dort hätte man mit der Umkehrfunktion direkt sin errechnen können. Aber wer bin ich, dass ich den gezeigten Weg kritisiere... Taschenrechner hätte es so oder so gebraucht oder wer kann die Wurzel aus 1 - (7/8)² so genau berechnen 😂
Ich würde einen Punkt abziehen, da ohne Einheiten gerechnet wurde.
Lösung:
Wenn man die beiden Endpunkte der gesuchten roten Linie mit den beiden Mittelpunkten der Kreise verbindet, erhält man ein Drachenviereck. Die Seiten des Drachenvierecks entsprechen den Radien der Kreise, also 1cm für die beiden kurzen Seiten und 2 cm für die beiden Langen Seiten. Zusätzlich haben wir die Längs-Diagonale, die ebenfalls 2cm hat, da sie von Mittelpunkt zu Mittelpunkt geht.
Jetzt können wir einfach über den Satz des Heron die Formel für die gesucht Quer-Diagonale aufstellen:
x ist der Flächeninhalt beider Dreiecke mal 2 (um ein Rechteck mit Länge und Breite der beiden Diagonalen zu erzeugen) und dann geteilt durch die bekannte Diagonale.
x = 4 * A / e
Per Satz des Heron ist A:
A = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - e))
mit
s = (a + b + e) / 2
a = kurz Seitenlänge
b = lange Seitenlänge
e = Längs-Diagonale
Daher:
x = 4/e * √(s * (s - a) * (s - b) * (s - e))
s = (1 + 2 + 2) / 2 = 5/2
x = 4/2 * √(5/2 * (5/2 - 1) * (5/2 - 2) * (5/2 - 2))
x = 2 * √(5/2 * 3/2 * 1/2 * 1/2)
x = 2 * √(15/16)
x = 2 * √15/√16
x = 2 * √15/4
x = √15/2
x ≅ 1,936
Ich hab's einfach in CAD konstruiert und da kommt dann 19,3649 mm raus XD
Ich habe einfach 2 geschätzt und das ist mir nah genug an der Lösung 1,94
Ich hatte ein sehr leckeres Eis😅
Habe nach Augenmaß geraten, dass x≈2 ist.
Man kann doch die Höhe des Dreiecks zwischen den Mitten und der Linie berechnen. Frag mich nu aber bitte nich wie, zu lange her :D
PS: ah, Winkel :D
Die gesuchte Strecke beträgt exakt 2cm.
Mensch Susanne, nach dir kann man schon die Uhren stellen,aaalless so durchstrukturiert, es mal 'n Eis wenn's kalt ist. und? Kontrollverlust? Ik glob nich, ansonsten cool, ich brauch so ne Erna wie Dich zu hause zum mieten für Nachhilfe, da kann man direkt fragen,so eine ist wat mir fehlt, ääscht schlimm
Ist sogar mega falsch. C^2 ist nicht 2????? Ist wesentlich weniger, 1,7-1,8 ca… wie kommst du auf 2?????
Gesetze auswendig lernen ist keine Lösung :-)
Was für Fanpost?!?!🤣🤣🤣 Lern erstmal richtig Leuten etwas zu erklären… furchtbar..
Ich hab eine Formel für die länge gefunden, was ja garnicht so schwer ist. Zu beachten ist, dass man eigentlich nur einen Kreis betrachten muss, um meine Formel anzuwenden
l = 2r * sin(θ/2),
Wobei θ der Winkel ist der entsteht wenn man den Mittelpunkt des Kreises mit den enden der Linie x verbindet, der war ja von ihnen berechnet, bzw. das ist ja schon die hälfte deswegen 2*2*sin(28,96°) = 1,94