Integralrechnung Substitution 2. Art | Einfach Erklärt + Beispiel
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- Опубликовано: 21 июл 2024
- Mit der Substitution kannst du Integrale transformieren, in der Hoffnung das neu entstandene Integral leichter zu lösen. Für die Substitution 2. Art gilt: Ersetze jedes x durch einen Substitutionsterm. Welche Tricks du dabei nutzen kannst und worauf du achten musst, erfährst du hier direkt an einem Beispiel!
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Inhalt:
0:00 Warum unterscheiden wir die Substitution in 2 Arten?
0:33 Wie funktioniert Substitution 1. Art?
1:27 Unterschied zwischen Substitution 1. Art & 2. Art
2:56 Rechenregeln, Additionstheoreme
4:20 Wichtige Aufgabentypen
5:07 Beispiel: Integral Wurzel(1-x^2)
7:58 Ansatz für die Substitution 2. Art an 2 weiteren Beispielen
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
Genau das habe ich gesucht Peter ich küss deine eier
Danke dir vom herzen man, für viele ist das nur ein Video, aber das ist kostenlose Onlinenachhilfe, für die man sonst auch Geld bezahlen würde.
Danke dir vielmals, das was du hier anbietest ist echt spitze!
digga du bist meine Rettung. Vielen Dank
Wunderschön strukturiert und übersichtlich. Ich wünschte die Lehrvideos von meinen Prof´s wären auch so gut :)
Gerne mehr solcher Tipps für "Fortgeschrittene" bitte ;)
danke dir!
Vielen Dank !
Du bist echt super, vielen Dank.
sehr hilfreich :)
Ich war so verzweifelt mit meinem Skript und dieses Video löst mein Problem, hallelujah
Danke!
Hey :-)
Super coole Videos und top erklärt VIELEN DANK!
Hätte nur eine Frage: Wo bzw. wie finde ich die weiteren Videos zur Substitution von denen du im Clip sprichst? Also wo du mehr Bsps rechnest usw. :-) DANKE schon mal und LG
Wenn du das Thema "Integralrechnung" in Perfektion üben und beherrschen willst, schau dir mal meinen Online Kurs dazu an. Dort hab ich alles, was das Herz vor der Prüfung begehrt, rund um "Integralrechnung". Aktuell sogar mit einem starken Rabatt und 30 Tage Geld-zurück-Garantie! Schau mal rein: www.udemy.com/integralrechnung/?couponCode=RUclips2019
@@MathePeter meinst du den auf udemy?
Ja genau. Habe ca. 1 Jahr dran gearbeitet, damit ihr in kurzer Zeit das Thema "Integralrechnung" perfekt beherrscht :)
Moin Peter, auf der Suche nach einer Herleitung für (4) sinh(arcosh(x))=sqrt(x^2-1) habe ich mir wolframalpha zuhilfe genommen, bekomme da jedoch keine "True". Kannst du mir sagen, weshalb das nicht funktioniert? Bei den anderen funktioniert es.
Wenn du 1=cosh^2(z)-sinh^2(z) umstellst, kriegst du sinh(z)=sqrt(cosh^2(z)-1). Jetzt z=arcosh(x) einsetzen. Schau noch mal, ob du vielleicht einen kleinen Tippfehler drin hast :)
Muss man die Integralsgrenzen dann beim Substitutionsschritt in die Umkehrfunktion g^(-1)(x) einsetzen statt wie bei der 1. Art in g(x)?
Ja genau.
müsste da nicht eine Wurzel stehen über dem Integrall von cosinus(z)?
Ich hab im Sinne der Übersicht zwei Schritte zusammengefasst: wurzel(cos^2(z))*cos(z) = cos^2(z). Das hintere cos(z) kommt vom Differential, weil ja dx = cos(z)*dz. Wenns dich aber im Detail interessiert, kann ich nur meinen Online Kurs zur Integralrechnung empfehlen (hab ich unter dem Video verlinkt). Da gibts genug Übungsaufgaben zum Thema, damit du alles mal gesehen hast, was es dazu gibt :)
Setzt die Substitution 2. Art nicht voraus, dass das x eine Umkehrfunktion ist?
also x=1/g(z), dz/dx ist dann verständlicherweise nach dx aufgelöst = g^2*dz
wenn du jetzt x durch sin(z) ersetzt und ableitest, ergibt das cos(z), wenn es 1/cos(z) ergibt, wäre ja klar, dass dx=cos(z)*dz ist, aber da sin(z) abgeleitet cos(z) verstehe ich nicht warum dx nicht dz/cos(z) ist.
danke für die Anwort
So wie ich es aufgeschrieben hab, sieht x aus wie die Umkehrfunktion von z. Da gibt es nämlich eine Regel für das Ableiten einer Umkehrfunktion: x'=1/z'. Darum unterscheiden Mathematiker nicht mehr in Substitution 1. Art und 2. Art, sondern nennen es nur noch "Substitution", weil sich beide nur in der Rechnung unterscheiden.
Hi finde all deine videos super hilfreich und toll! könntest du vlcht noch ein video machen bzgl der substitution 2.Art mit konkret ausgerechneten beispielen?das wäre toll danke peter:)))
Danke dir, das freut mich! In meinem Online Kurs zur "Integralrechnung" hab ich mehrere Videos zur Substitution 2. Art + mehreren Übungsaufgaben inkl. vollständigen Lösungen. Schau mal unter dem Video nach dem Link!
Hi, ich habe verstanden, dass dx=dz/z´ ist. Und wenn ich das hinten in die Formel einsetze, steht da: dz* 1/z´. Was das gleiche ist wie dz*1/g´(x). Doch in der Formel steht ja nicht 1/g´(x), sondern g´(x). Das verstehe ich nicht. Freue mich sehr über eine Antwort! :)
Genau und das g'(x) kürzt sich mit dem 1/g'(x) weg. Das ist die Idee bei der Substitution.
Nach dem ich das 3. Theorem benutzt habe lautet meine Gleichung: 1/2 * (z + 2sin(z)*cos(z)). Wie verwende ich das 4. Theorem dafür richtig? Muss ich mit x = g^(-1)(z) rücksubstituieren?
Richtig! Einfach rücksubstituieren. Der eine Term löst sich dann zu x auf (je nachdem ob du bei deiner Aufgabe x=sin(z) oder x=cos(z) substituiert hast) und der andere löst sich mit dem 4. Theorem auf.
Wo gehts denn zu den nachfolge videos mit drn beispielen? Ich find das nicht =(
Schau mal unter dem Video nach, dort hab ich meine Online Kurse verlinkt :)
Was kommt jetzt beim ersten Beispiel raus ... ich bekomme x*wurzel(1+x^2) +c ...Hilfe :D
Welches Beispiel genau?
Ich checke immer noch nicht dieses dx... :(
Dann schau dir mal das Einführungsvideo zur Integralrechnung an. Da wird es erklärt, was es mit Integral f(x) dx auf sich hat: ruclips.net/video/1O7KnjTB05U/видео.html
Grundlegend gilt aber immer: dx ist eine unendlich kleine Differenz. Die ist näherungsweise 0.
Wo gibts den nächsten Teil?
Schau mal unter meinem Video. Dort hab ich mehrere Online Kurse verlinkt. In dem Kurs "Integralrechug" findest du mehrere Beispiele und klassische Prüfungsfallen.
@@MathePeter Du meinst den Link zu deiner Website?? Ich wollte eigentlich zum nächsten RUclips-Video...
Zum Thema „Substitution 2. Art“ hab ich bisher nur Videos auf meiner Webseite, aber noch nicht bei RUclips.
Wieso gilt denn dx = dz/z‘ ?
z´=dz/dx I .(dx) (Mathematische Schreibweise )
z´.dx=dz
dx=dz/z´
@@OmarOmar-gf9kz z´=dz/dx I .(dx) das umformen kann ich auch aber wieso gilt der erste Satz
ich überleg nocht etwas vielleicht komme ich rauf aber über eine antwort würde ichmich freueen
Ich habe für das erste Beispiel als Ergebnis das raus:
1/2arcsin(x)+ 1/4sin( 2arcsin(x)) Entweder ist das falsch, oder du hast einen anderen Sinn von Schönheit, weil schön ist das nun wirklich nicht :D
Alles richtig, geht nur noch etwas zu vereinfachen:
1. Doppelter Winkel vom Sinus: sin(2x)=2*sin(x)*cos(x). Das heißt aber auch sin(2*arcsin(x))=2*sin(arcsin(x))*cos(arcsin(x))=2*x*cos(arcsin(x))
2. Trigonometrischer Pythagoras: cos^2(x)+sin^2(x)=1, diesen Term nach Kosinus umstellen. cos(x)=sqrt(1-sin^2(x)). Das heißt aber auch cos(arcsin(x))=sqrt(1-sin^2(arcsin(x)))=sqrt(1-x^2).
Das macht dann aus deinem Ergebnis 1/2arcsin(x)+ 1/4sin( 2arcsin(x)) = 1/2*(arcsin(x)+x*sqrt(1-x^2)). Wunderwunderschön :D
@@MathePeter hmm da bin ich jetzt etwas stutzig. Du hast in schritt a: sin(arcsin(x))=x gesetzt. Das ist doch aber falsch. Wenn du links 3 einsetzt und rechts 3 einsetzt, ists links undefiniert und rechts ists 3. Also stimmt das doch nicht.
@@songohan393 Erlaubt sind auch nur x-Werte zwischen -1 und 1, weil der Integrand sqrt(1-x^2) ist :)
Im Intervall des definierten Rationalen Bereiches sind beide Ergebnise gleich. Wenn ich aber bei deinem Ergebnis eine zahl größer 1 einsetze kommt eine irrationale Zahl raus, während bei meinem Ergebnis eine variable größer 1 ein undefiniertes Ergebnis liefert.
@@MathePeter Ist das dann mathematisch nicht unsauber? Es wird ja nicht in der Aufgabe erwähnt ob man nur die Rationalen zahlen betrachten soll.
versteh nichts
Ging mir am Anfang auch so :)
Die Substitution 2. Art ist schon etwas anspruchsvoller und kommt nur vielleicht bei einigen Ingenieuren in der Prüfung dran. Am besten schau dir ein paar Aufgaben dazu an, bis du dich wohl fühlst.
Danke für die Antwort, wenn das so ist brauch ich Die Substitution 2. Art wahrscheinlich nicht :) lern gerade fürs Abi
Dann mach dir keine Gedanken darüber :) Wenn du irgendwelche andern Fragen oder Videoideen hast, schreib mir einfach!
Ich bin dumm wie ein Sack Stroh alter. Nur der kann wenigstens jucken
Kriegen wir schon hin. Sag einfach Bescheid, wenn du Fragen hast!
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