AK - биссектриса прям-го тр-ка ABC, где угол C - прямой. Окружность, описанная около тр-ка ACK пересекает гипотенузу в точке P. AP=6, KB=5. Найти S(ABC).
Обозначим СК и РК за x Тогда по теореме Пифагора PB=√(25-x^2) отсюда AB=6+√(25-x^2), а СВ=5+x Тогда по теореме Пифагора из треугольника АВС (6+√25-х^2)^2=36+(25+10х+x^2) 36+12√(25-x^2)+(25-x^2)=61+10x+x^2 12√(25-x^2)-2x^2-10x=0 6√(25-x^2)-x^2-5x=0 6√(25-x^2)=x^2+5x 36(25-x^2) =x^4+10x^3+25x^2 -900+36x^2+x^4+10x^3+25x^2=0 x^4+10x^3+61x^2-900=0 Итак видим что свободный член 900 у нас делится на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9 и т.д. По методу таблицы находим корень 3 *, 1, 10, 61, 0, -900 3, 1, 13, 100, 300, 0 3*1+10=13, 3*13+61=100, 3*100+0=300 3*300-900=0 получилось ноль значит один из корней равен 3, переписываем коэффициенты с таблицы (x-3)(x^3+13x^2+100x+300)=0 x=3 x^3+13x^2+100x+300=0 Видим что всё коэффициенты положительные значит корень будет точно отрицательным, но наша сторона не может быть отрицательнной Всё значит CK=3 Значит CB=CK+KB=3+5=8 S=CB*AC/2=8*6/2=24
Это длиннее, чем через Пифагора при проведении медианы на гипотенузу и соединение точки пересечения перпендикулярами на оба катета. Получается четыре равных треугольника, и ещё один, который уже был, с гипотенузой 5, но только перевёрнутый вокруг биссектрисы угла АВС.
Геометрическое решение есть всегда для прямоугольного треугольника. Нужно из середины катета АС, провести отрезок параллельный катета ВС до пересечения с гипотенузой АВ, обозначив его буквами М и Н, это будет средняя линия треугольника АВС с основанием ВС. Проведём медиану прямого угла, которая попадает в точку Н, из которой, опустим перпендикуляр НD на основание ВС. Мы наблюдаем, что треугольник АВС, поделен на 4 разных треугольника АМН, СМН, НDВ, НDС, но есть ещё один треугольник КРБ, который подобен этим четырём треугольниками по трём углам. Теперь проведём отрезок НК и из угла АВС, проведём на него биссектриса, которая одновременно окажется высотой треугольника ВКН, значит треугольник равнобедренный и ВН=ВК=5, но, отрезок НD, является средней линией треугольника АВС по основанию АС, и рвен 3, а ВН, как мы определили из равнобедренного треугольника ВКН, равно 5, то есть треугольник НDВ, является египетским, с катетом НD, равным трём, и гипотенузой ВН=5, второй катет ВD=4, поэтому, катетов ВС=8. Площадь АВС=6×8/2=24. А вы говорите алгебра. Не было бы ни алгебры, ни тригонометрии, если бы не было таких землемеров, как Пифагор и его последователи геометры, математики!
@@OlegVlCh Не только биссектрисой угла, но и медианой для НК, это доказывается тем, что она проходит через точку пересечения высот НD и РК, которые являются катерами равных треугольников НDB и КРВ, к тому же НD, является средней линией треугольника АВС по основанию АС (смотри чертёж)!
УВАЖАЕМЫЙ! Сколько можно говорить загадками? Вас же спросили "А почему биссектриса из В на сторону НК является высотой тр НВК?" Для "Египетского треугольника" это действительно так, а если угол А равен 60 градусов то тр НВК не равнобедренный. В своих рассуждениях Вы нигде не опираетесь на 5 и 6. "Спой светик, не стыдись," приведи доказательство.
Геометрическое решение в том, что треугольники подобные. Почему? Потому что высота из прямоугольного треугольника делит его на подрбные треугольники. Но не только высота. Но и любой перпендикуляр , проведенный к гипотенузе тоже делит прямоугольный треугольник на подобные теугольники .
Можно провести высоту из точки К( параллельно АС). В силу связей углов прямоугольного треугольника можно вычислить, что этот треугольник равнобедренный( угол АКВ равен 90 + САК или 90+ КАВ). Дальше получаемый прямоугольный подобен большому (КFB ~ACB). Отношения катетов их приводит к квадратному уравнению y*2+5y-30=0. Правда площадь выходит 25,5 а не 24.😢
углы CAK и KAP опираются на равные дуги... треуги CAK=KAP... АС=6... CK=x PB=t... по св-ву биссектр (6+t)/5=6/x.. x=30/(6+t)... x=KP... из треуга KPB (30/(6+t))^2+t^2=25... все, сдался) пойду спать... Маэстро как задаст чего на ночь
@@GeometriaValeriyKazakov Посмотрел утром на эту "сложность" взглядом Пифагора, и решил геометрически, используя свойства всех линий в треугольнике, биссектрисы, медианы, средних линий, а так же равенство и подобие треугольников, из которых состоит треугольник АВС.
А я не поверил, что нужно решать кубическое уравнение, и отбросил)) В лёгкую получил S=15+3•|CK|, а дальше ни тпру ни ну) PS Впрочем, если вспомнить о любимом 3-4-5 для KPB, то дальше и решать не нужно, но это частное подтвержденное предположение😑
// Я тоже сегодня придумал офигенную геометрическую задачу, но геометрического решения не придумал. АльФал=AL D а дальше не придумал. Наверное, вы его забанили. По обыкновению. //
у = 30/(6 + x), y = √(25 - x²). Нет смысла приводить к кубическому уравнению. 30/(6 + x) = sqrt(25 - x^2). Слева- убывающая функция, справа-тоже убывающая, но уних есть общая точка х=0. Дальше правая функция(четверть окружности) убывает до точки (5, 0), а левая медленно приближается к оси х. Очевидный корень х=4, здесь его легко увидеть, и он единственный.
@@GeometriaValeriyKazakov Если они не умеют строить графики, не понимают, как доказать единственность, не научены подбирать корень и раскладывать многочлен на множители,то НИКАК эту задачу им не решить. Это всё равно, что требовать от первоклассника решить квадратное уравнение. Простого решения эта задача не имеет. Если Вы не решили (не нашли геометрического решения), то кто же сможет?? Тем более, что это невозможно.
На эту задачу было множество комментариев. Решить ее чисто геометрически нельзя. И не поможет никто. Это невозможно. Всё, что будет в новых комментариях- это масса решений от ферматистов, с пеной у рта доказывающих, что их геометрическое решение абсолютно правильное. Разубедить их не удастся, кроме прямых оскорблений ничего не будет. У задачи очень сильный ложный след, по которому ферматисты и пойдут. То, что Вы повторили задачу-это отлично, не все её видели. Алгебраических и тригонометрических решений здесь множество.
Обозначим СК и РК за x
Тогда по теореме Пифагора PB=√(25-x^2) отсюда AB=6+√(25-x^2), а СВ=5+x
Тогда по теореме Пифагора из треугольника АВС
(6+√25-х^2)^2=36+(25+10х+x^2)
36+12√(25-x^2)+(25-x^2)=61+10x+x^2
12√(25-x^2)-2x^2-10x=0
6√(25-x^2)-x^2-5x=0
6√(25-x^2)=x^2+5x
36(25-x^2) =x^4+10x^3+25x^2
-900+36x^2+x^4+10x^3+25x^2=0
x^4+10x^3+61x^2-900=0
Итак видим что свободный член 900 у нас делится на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9 и т.д.
По методу таблицы находим корень 3
*, 1, 10, 61, 0, -900
3, 1, 13, 100, 300, 0
3*1+10=13, 3*13+61=100, 3*100+0=300
3*300-900=0 получилось ноль значит один из корней равен 3, переписываем коэффициенты с таблицы
(x-3)(x^3+13x^2+100x+300)=0
x=3
x^3+13x^2+100x+300=0
Видим что всё коэффициенты положительные значит корень будет точно отрицательным, но наша сторона не может быть отрицательнной
Всё значит CK=3
Значит CB=CK+KB=3+5=8
S=CB*AC/2=8*6/2=24
Это длиннее, чем через Пифагора при проведении медианы на гипотенузу и соединение точки пересечения перпендикулярами на оба катета. Получается четыре равных треугольника, и ещё один, который уже был, с гипотенузой 5, но только перевёрнутый вокруг биссектрисы угла АВС.
Геометрическое решение есть всегда для прямоугольного треугольника. Нужно из середины катета АС, провести отрезок параллельный катета ВС до пересечения с гипотенузой АВ, обозначив его буквами М и Н, это будет средняя линия треугольника АВС с основанием ВС. Проведём медиану прямого угла, которая попадает в точку Н, из которой, опустим перпендикуляр НD на основание ВС. Мы наблюдаем, что треугольник АВС, поделен на 4 разных треугольника АМН, СМН, НDВ, НDС, но есть ещё один треугольник КРБ, который подобен этим четырём треугольниками по трём углам. Теперь проведём отрезок НК и из угла АВС, проведём на него биссектриса, которая одновременно окажется высотой треугольника ВКН, значит треугольник равнобедренный и ВН=ВК=5, но, отрезок НD, является средней линией треугольника АВС по основанию АС, и рвен 3, а ВН, как мы определили из равнобедренного треугольника ВКН, равно 5, то есть треугольник НDВ, является египетским, с катетом НD, равным трём, и гипотенузой ВН=5, второй катет ВD=4, поэтому, катетов ВС=8. Площадь АВС=6×8/2=24. А вы говорите алгебра. Не было бы ни алгебры, ни тригонометрии, если бы не было таких землемеров, как Пифагор и его последователи геометры, математики!
А почему биссектриса из В на сторону НК является высотой тр НВК?
@@OlegVlCh Не только биссектрисой угла, но и медианой для НК, это доказывается тем, что она проходит через точку пересечения высот НD и РК, которые являются катерами равных треугольников НDB и КРВ, к тому же НD, является средней линией треугольника АВС по основанию АС (смотри чертёж)!
@@OlegVlCh Смотри чертёж!
УВАЖАЕМЫЙ! Сколько можно говорить загадками? Вас же спросили "А почему биссектриса из В на сторону НК является высотой тр НВК?" Для "Египетского треугольника" это действительно так, а если угол А равен 60 градусов то тр НВК не равнобедренный. В своих рассуждениях Вы нигде не опираетесь на 5 и 6. "Спой светик, не стыдись," приведи доказательство.
Спасибо за хорошее объяснение.
Геометрическое решение в том, что треугольники подобные. Почему? Потому что высота из прямоугольного треугольника делит его на подрбные треугольники. Но не только высота. Но и любой перпендикуляр , проведенный к гипотенузе тоже делит прямоугольный треугольник на подобные теугольники .
Можно провести высоту из точки К( параллельно АС). В силу связей углов прямоугольного треугольника можно вычислить, что этот треугольник равнобедренный( угол АКВ равен 90 + САК или 90+ КАВ). Дальше получаемый прямоугольный подобен большому (КFB ~ACB). Отношения катетов их приводит к квадратному уравнению y*2+5y-30=0. Правда площадь выходит 25,5 а не 24.😢
Оказалось, что треугольник КРВ не то что подобен, а равен всем четырём треугольниками со сторонами 3, 4 и 5.
Это я выспался, не смотря на ночные взрывы, бомбят, знаете ли!
Ретро - правда! Очень схожа цветовая гамма рабочего стола со старыми видео
отличная задача. и решение класс
Детский сад!
углы CAK и KAP опираются на равные дуги... треуги CAK=KAP... АС=6... CK=x PB=t... по св-ву биссектр (6+t)/5=6/x.. x=30/(6+t)... x=KP... из треуга KPB (30/(6+t))^2+t^2=25... все, сдался) пойду спать... Маэстро как задаст чего на ночь
А можно и без теоремы и без У? Без У можно, а без теоремы Пифагора низзя!
Сложная задача.
@@GeometriaValeriyKazakov Посмотрел утром на эту "сложность" взглядом Пифагора, и решил геометрически, используя свойства всех линий в треугольнике, биссектрисы, медианы, средних линий, а так же равенство и подобие треугольников, из которых состоит треугольник АВС.
А я не поверил, что нужно решать кубическое уравнение, и отбросил))
В лёгкую получил S=15+3•|CK|, а дальше ни тпру ни ну)
PS Впрочем, если вспомнить о любимом 3-4-5 для KPB, то дальше и решать не нужно, но это частное подтвержденное предположение😑
Да, это обратная задача. Я уже даже н еотвеаю на эти комменты.
//
Я тоже сегодня придумал офигенную геометрическую задачу, но геометрического решения не придумал.
АльФал=AL D
а дальше не придумал.
Наверное, вы его забанили. По обыкновению.
//
Если профессор не нашёл геометрического решения и честно в этом признался, значит, его нет, и никакой alfal не поможет. Я верю профессору.
И я тоже! Причем даже нескольким.
S=30, S=24. Может и попался,сейчас просмотрю ролик. Но мне здается,ответ 30 неправильный
задача красиваая и изящная
Не досматриваю. Не попался. Ответ один = 24
у = 30/(6 + x), y = √(25 - x²). Нет смысла приводить к кубическому уравнению. 30/(6 + x) = sqrt(25 - x^2). Слева- убывающая функция, справа-тоже убывающая, но уних есть
общая точка х=0. Дальше правая функция(четверть окружности) убывает до точки (5, 0), а левая медленно приближается к оси х. Очевидный корень х=4, здесь его легко
увидеть, и он единственный.
Да, но как решать 8 классу?
@@GeometriaValeriyKazakov Если они не умеют строить графики, не понимают, как доказать единственность, не научены подбирать корень и раскладывать многочлен на множители,то НИКАК эту задачу им не решить. Это всё равно, что требовать от первоклассника решить квадратное уравнение. Простого
решения эта задача не имеет. Если Вы не решили (не нашли геометрического решения), то кто же сможет?? Тем более, что это невозможно.
@@GeometriaValeriyKazakov В 8-м классе можно предположить, что PB < 4.
Тогда (по т. Пифагора) PK > 3, CB > 8, AB > 10, PB > 4.
На эту задачу было множество комментариев. Решить ее чисто геометрически нельзя. И не поможет никто. Это невозможно. Всё, что будет в новых комментариях- это
масса решений от ферматистов, с пеной у рта доказывающих, что их геометрическое решение абсолютно правильное. Разубедить их не удастся, кроме прямых оскорблений
ничего не будет. У задачи очень сильный ложный след, по которому ферматисты и пойдут. То, что Вы повторили задачу-это отлично, не все её видели. Алгебраических
и тригонометрических решений здесь множество.